階躍響應(yīng)、沖激響應(yīng)和卷積積分的應(yīng)用20-9

1、9.1 階躍函數(shù)和沖激函數(shù)階躍函數(shù)和沖激函數(shù) 本章重點(diǎn)本章重點(diǎn) 9.4 電路在任意激勵(lì)作用下的零狀態(tài)電路在任意激勵(lì)作用下的零狀態(tài)響應(yīng)響應(yīng)卷積積分卷積積分9.5 電容電壓和電感電流的躍變電容電壓和電感電流的躍變 9.2 階躍響應(yīng)階躍響應(yīng) 9.3 沖激響應(yīng)沖激響應(yīng) 階躍響應(yīng)和沖激響應(yīng)階躍響應(yīng)和沖激響應(yīng) 本章重點(diǎn)本章重點(diǎn) 階躍函數(shù)和沖激函數(shù)階躍函數(shù)和沖激函數(shù) 卷積積分卷積積分 返回目錄返回目錄 電容電壓和電感電流的躍變電容電壓和電感電流的躍變 9.1 9.1 階躍函數(shù)和沖激函數(shù)階躍函數(shù)和沖激函數(shù) 一、單位階躍函數(shù)（一、單位階躍函數(shù)（unit step function） 1. 定義定義 t (t)1

2、0( ) t 用用可描述開關(guān)的動(dòng)作。可描述開關(guān)的動(dòng)作。 +uCUS (t)RCdef0 (0)( )1 (0)ttt defSS0 (0)( ) (0)tUtUt USS+uCRC開關(guān)在開關(guān)在t =0 時(shí)閉合時(shí)閉合 2. 延遲的單位階躍函數(shù)延遲的單位階躍函數(shù) t (t-t0)t00def0000 ()()1 ()tttttt 3. 由單位階躍函數(shù)可組成復(fù)雜的信號(hào)由單位階躍函數(shù)可組成復(fù)雜的信號(hào) USS+uCRC開關(guān)在開關(guān)在t =t0 時(shí)閉合時(shí)閉合 0( )( )()f tttt t0t- (t-t0) (t)0f(t)1解解所示矩形脈沖可分解為階躍函數(shù)和延遲階躍函數(shù)相加。所示矩形脈沖可分解為階躍

3、函數(shù)和延遲階躍函數(shù)相加。 例例1 ) , 0( 0)0( 1)(00ttttttf1t0tf(t)0試用階躍函數(shù)表示上圖所示的矩形脈沖。試用階躍函數(shù)表示上圖所示的矩形脈沖。 ( ) ( )(1)(1)f ttttt11t001t1f(t)例例2 試用階躍函數(shù)表示圖示的波形。試用階躍函數(shù)表示圖示的波形。 解解 f(t) 分成兩段表示。分成兩段表示。 1t101t1+(0 t 1)( ) ( )(1)f tttt(10時(shí)，可用三要素法得到其解。時(shí)，可用三要素法得到其解。t0若激勵(lì)在若激勵(lì)在 t = t0 時(shí)加入，時(shí)加入，則響應(yīng)從則響應(yīng)從 t = t0開始。開始。 t- t01eRCCiR ( t

4、- t0 )iCR1t0注意注意 1eRCR t( t - t0 )不要寫為不要寫為 f (t )f(t ) (t)f(t ) (t-t0)t0f(t-t0 ) (t-t0) (t -t0)C+uCRt0t0f(t ) (t)S10 ( )10 (0.5)Vutt 解解 10k 10k +-iC1100 FuC(0-)=010 ( )Vt 10 (0.5)Vt 10k 10k +-iC2100 FuC(0-)=0由疊加定理有由疊加定理有 例例 求圖示電路中電流求圖示電路中電流 iC(t) 10k 10k uS+-iC100 FuC(0-)=00.510t/suS/V0等效等效 s5 . 010

5、51010036 RC 2(0.5)2e(0.5) mAtCit 21e( ) mAtCit 22(0.5)e( )e(0.5) mAttCitt5k +-iC2100 FuC(0-)=05 ( ) t 10k 10k +-iC1100 FuC(0-)=010 ( ) t 由線性、齊次和時(shí)不變性質(zhì)，得由線性、齊次和時(shí)不變性質(zhì)，得 )5 . 0(10 t10k 10k +-iC100 FuC(0-)=0分段表示為分段表示為 s)0.5( mA 0.632e-s)5 . 0(0 mA e)(5)0.2(2tttitt- - -t/si/mA01-0.6320.5波形波形 0.36822(0.5)e

6、( )e(0.5) mAttCitt222(0.5)e ( )(0.5) ee (0.5)tttCittt212(0.5)e ( )(0.5)(e1)e(0.5)ttttt22(0.5)e ( )(0.5)0.632e(0.5)mAttttt也可用時(shí)間分段形式表示也可用時(shí)間分段形式表示 二、二階電路的階躍響應(yīng)二、二階電路的階躍響應(yīng)已知已知 uC(0- -)=0 ， i (0- -)=0以以u(píng)C為變量微分方程為為變量微分方程為2dd ( )ddCCCuuLCRCuttt RLC+-uCi+- -( ) t 以以RLC串聯(lián)電路為例討論。串聯(lián)電路為例討論。二階常系數(shù)非齊次微分方程。二階常系數(shù)非齊次微

7、分方程。上述微分方程等價(jià)于：上述微分方程等價(jià)于：2dd 1 (0)ddCCCuuLCRCuttt121212(1ee) ( ) ()p tp tCuAAtpp 1212(1ee) ( ) ( )ttCuAA ttpp 1,21esin() ( ) (j)tCuAttp 2221,201()22RRpLLLC 特征根為特征根為 按特征根的不同情況，通解（自由分量）有三種不按特征根的不同情況，通解（自由分量）有三種不同形式，同形式，uC解答可表示為解答可表示為過阻尼情況過阻尼情況臨界阻尼情況臨界阻尼情況欠阻尼情況欠阻尼情況0(0 ) ddCCtuut 由由起起始始值值可可確確定定二二個(gè)個(gè)待待定定系

8、系數(shù)數(shù)。返回目錄返回目錄9.3 9.3 沖激響應(yīng)沖激響應(yīng) 零狀態(tài)零狀態(tài) h(t)() t 沖激響應(yīng)沖激響應(yīng)（impulse response）：電路在沖激激勵(lì)作用）：電路在沖激激勵(lì)作用下的的零狀態(tài)響應(yīng)。下的的零狀態(tài)響應(yīng)。 ( )0 (0)( )d1tttt 方法一方法一 ： 分兩個(gè)時(shí)間段來考慮分兩個(gè)時(shí)間段來考慮 （1） t 在在 0- - 0+；（2） t 0+。 分析沖激響應(yīng)時(shí)，分析沖激響應(yīng)時(shí)，時(shí)間范圍為時(shí)間范圍為 0 到到 t 。 t( ) t 0（1） t 在在 0- - 0+ 間間 ( )Cit 00d1Cqit CuCquCC1)0()0( （2） t 0+ 零輸入響應(yīng)。零輸入響應(yīng)。

9、 iCiSRC+uC ( ) t 例例1(0 )0Cu 。已知：已知：求：求： iS(t)為單位沖激時(shí)電路的響應(yīng)為單位沖激時(shí)電路的響應(yīng)uC(t)和和 iC (t)。定性分析定性分析 uC(0)=0，電容相當(dāng)于短路，電容相當(dāng)于短路 1)0()0( CCuuC（2） t 0+ RC放電放電 e1 RCtCCu e1 RCtCCRCRui CCuuCC11)0()0( CuC1)0( iCRC+uC （1） t 在在 0- - 0+ 間間 解解uC不是沖激，僅是有限的跳變。不是沖激，僅是有限的跳變。 d( )dCCuuCttR =1=0000000ddd( )ddCCuuCtttttR t/suC/

10、VC10沖激響應(yīng)為沖激響應(yīng)為 1e( )tRCCutC 1( )e( )tRCCittRC t/siC /ARC1 ( ) t 0d( )diRiLtt 000000ddd( )ddiRi tLtttt 1d00 iLLLiiLL11)0()0( （1） t 在在 0- - 0+間間定性分析定性分析 ( )Lut 1d00 LuLiLiLL1)0()0( 例例2(0 )0Li 。已知已知求求 uS 為單位沖激時(shí)為單位沖激時(shí)的的電路響應(yīng)電路響應(yīng)iL(t)和和uL(t)。 解解 =1=0i不是沖激，不是沖激，僅是有限的跳變僅是有限的跳變 RL+- -iLuS( ) t +-uL（2） t 0+ R

11、L放電放電 RL 1e( )tLitL ( )e( )tLRuttL tiL0L1LiL1)0( tLLi e1 tLLLRRiu e tuL)( tLR 0LiLR+-uL沖激響應(yīng)為沖激響應(yīng)為 （1） t 在在 0- 0+間間S( )CutiRR （2） t 0+ RC放電放電 RCuC1)0( 1etRCCuRC 001( )1(0 )(0 )dCCtuutCRRC 21etCRCCuiRR C 0)0( Cu例例3已知：已知： 求：求： uS 為單位沖激時(shí)電路響應(yīng)為單位沖激時(shí)電路響應(yīng) iC(t)和和uC(t)。iCRC+uC-+-iCRuS( ) t +uC-解解電容短路電容短路 1e(

12、 )tR CCutR C 2( )1e( )tR CCtitRR C 沖激響應(yīng)為沖激響應(yīng)為方法二方法二: 利用階躍響應(yīng)求沖激響應(yīng)。利用階躍響應(yīng)求沖激響應(yīng)。 零狀態(tài)零狀態(tài)h(t)( ) t 零狀態(tài)零狀態(tài)s(t)( ) t d ( )( )dttt )(dd)(tstth 11( )( )()f t t t 1( )s t 1()s t 01( ) ( )()limh ts ts t )(ddtst 1 f(t)t0求沖激響應(yīng)。求沖激響應(yīng)。 已知單位階躍響應(yīng)已知單位階躍響應(yīng) (1e) ( )tRCCut 1e( )tRCCitR d(1e) ( )dtRCCutt 1e( )(1e) ( )ttR

13、CRCttRC)( e1 tRCRCt )( e1dd tRtiRCtC 211e( )e( )ttRCRCttR CR 211( )e( )tRCttRR C 0)0( Cu例例+-iCRuS( ) t +uC-解解 返回目錄返回目錄9.4 9.4 電路在任意激勵(lì)作用下的零狀態(tài)響應(yīng)電路在任意激勵(lì)作用下的零狀態(tài)響應(yīng) 卷積積分卷積積分一、卷積積分一、卷積積分（convolution）定義定義 設(shè)設(shè) f1(t) , f2(t)在在 t 0時(shí)均為零時(shí)均為零 d)()()(*)(20121 tfftftft性質(zhì)性質(zhì)1 )(*)()(*)(1221tftftftf 應(yīng)用：求任意波形激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)。應(yīng)

14、用：求任意波形激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)。 e(t)r(t)零狀態(tài)零狀態(tài)線性網(wǎng)絡(luò)線性網(wǎng)絡(luò)( ) t h(t)(*)()(thtetr d)()()(*)(20121 tfftftft)d)()(021 tftf tftf021d)()( 證明證明 )(*)(12tftf 令令 = t - ：0 t : t 0性質(zhì)性質(zhì)2 ( )* ( )( )*( )( )()df tttf tf t 篩分性篩分性 = f ( t )000( )* ()()*( )()f tttttf tf tt二、卷積積分的二、卷積積分的物理解釋物理解釋 t0)(tee (0)將將e(t)在作用時(shí)間在作用時(shí)間0 t 內(nèi)內(nèi)劃分為劃分為

15、n等分，等分，每個(gè)間隔為每個(gè)間隔為 單位脈沖函數(shù)的延時(shí)單位脈沖函數(shù)的延時(shí) t0)(tee (0) 2 k (k+1) ( )(0)( )( )( ) ( )(2 ) e tettett 01( ) ( )(1) )nke ktktk 0( ) ( )(1) )nke ktktk 第第1個(gè)矩形脈沖個(gè)矩形脈沖 )()0()()0(thetpep若單位脈沖函數(shù)若單位脈沖函數(shù) p ( t ) 的響應(yīng)為的響應(yīng)為 h p ( t )第第k個(gè)矩形脈沖個(gè)矩形脈沖 )()()()(kthkektpkep 0( )( )nke kp tk )()()(0ktpketenk 激勵(lì)激勵(lì) 響應(yīng)響應(yīng) )()()(0kth

16、ketrpnk 脈沖響應(yīng)脈沖響應(yīng) tthetr0d)()()( 0)()(lim)(kpkkthketr 響應(yīng)響應(yīng) 脈沖函數(shù)脈沖函數(shù) )()(lim)(0ktpketekk 激勵(lì)激勵(lì) )( t沖激函數(shù)沖激函數(shù) )( th沖激響應(yīng)沖激響應(yīng) 積分積分 , ,kdn當(dāng)當(dāng)卷積積分卷積積分-疊加積分疊加積分 d)()()(*)(20121 tfftftft被積函數(shù)被積函數(shù) 積分變量積分變量 參變量參變量 三、卷積積分的圖解說明三、卷積積分的圖解說明 f2(- )10 )(*)(21tftf求求f1(t)201tf2(t)10tf1( )201 1t t t 卷卷 移移 乘乘 積積 f2( )10 f2(

17、t- )10 t 1f1( ) f2(t- )02 f2(- )10 f1( )201 ttf1(t)* f2(t)0t1tttttftf e*)1( )( 2)(*)(21由圖解過程確定積分上下限由圖解過程確定積分上下限 1 201e-(- )t010)(0 tftttttft e22de2)(100)( ttttft e2e2de2)(1)1(10)( t0)(0 tfttttft e22de2)(100 tttttft e2e2de2)(1)1(1 tt-1t0102 -11e- 法二法二 e-(t- )tttt法一法一 解解 先求該電路的沖激響應(yīng)先求該電路的沖激響應(yīng) h(t)uC( )

18、=0V)(e1000)(2ttht s5 . 0101050063 RC 00Sd1)0(tiCuC例例1.已知：已知：R=500 k , C=1 F , uC(0 )=0求：求： uC(t)。mA )(e2Stit 00d)(1ttC V1000103 CmA )(Sti iCRiSC+uC四、應(yīng)用舉例四、應(yīng)用舉例 再由卷積積分計(jì)算當(dāng)再由卷積積分計(jì)算當(dāng) iS=2e t (t) mA 時(shí)的響應(yīng)時(shí)的響應(yīng) uC ( t ): d)()()(*)()(0 thithtitutSSCV )()ee (20002ttt ttd0)(2e1000e2 tttt022)1e (e2000dee2000 r(

19、t)=iS*h(t)=h(t)*iS 此卷積積分需分段進(jìn)行此卷積積分需分段進(jìn)行 0)(0 trt例例2 已知線性網(wǎng)絡(luò)沖激響應(yīng)為已知線性網(wǎng)絡(luò)沖激響應(yīng)為h(t)， 求此網(wǎng)絡(luò)激勵(lì)為圖示求此網(wǎng)絡(luò)激勵(lì)為圖示iS時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng)。時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng)。 h(t)23tt e20tiS042is(t)零狀態(tài)零狀態(tài)線性網(wǎng)絡(luò)線性網(wǎng)絡(luò)h(t) iS042 32 tttr0)(d4e2)( )e1(8t 0 t 2 2 t 3 20)(d4e2)( ttr)1e (e82 t3 t 5 r(t)=0 5) 0,( 0 )53( )e8(e3)t(2 )1e (e8)20( )e1(8)(3)2(2tttttrttt043-

20、2 思考思考 如何劃分時(shí)間段？確定積分上下限。如何劃分時(shí)間段？確定積分上下限。 2042 3 46t02tt-3返回目錄返回目錄9.5 9.5 電容電壓和電感電流的躍變電容電壓和電感電流的躍變?cè)趽Q路瞬間，若電容中流過沖激電流時(shí)，電容在換路瞬間，若電容中流過沖激電流時(shí)，電容電壓可能發(fā)生躍變，此時(shí)電容的瞬時(shí)充電（或放電）電壓可能發(fā)生躍變，此時(shí)電容的瞬時(shí)充電（或放電）功率為無窮大。功率為無窮大。在換路瞬間，若電感兩端出現(xiàn)沖激電壓時(shí)，在換路瞬間，若電感兩端出現(xiàn)沖激電壓時(shí)，電感中的電流可能發(fā)生躍變，此時(shí)電感的瞬時(shí)充電感中的電流可能發(fā)生躍變，此時(shí)電感的瞬時(shí)充電（或放電）功率為無窮大。電（或放電）功率為無窮

21、大。一、電容電壓的躍變一、電容電壓的躍變例例1 理想電壓源瞬間加在純電容理想電壓源瞬間加在純電容C兩端。兩端。 則電容電壓可以表示為則電容電壓可以表示為 SuCC+ US+ iCuC , iCtoUSuC iC S( )( )CutUt 電容中電流為電容中電流為 Sd( )( )dCCuitCCUtt 例例2 電路如圖所示。電路如圖所示。S+R1uC2C1+ US+ C2uC1iC1iC2AR2以以u(píng)C1為變量，可列些出方程如下：為變量，可列些出方程如下：21S21111122211111S)d)d(dd( )dddd(RtuUCtuCRuuRtuCtuCRuuUCCCCCCCC 由上述方程可

22、知，電容電壓由上述方程可知，電容電壓uC1應(yīng)為有限值。再根據(jù)應(yīng)為有限值。再根據(jù)KVL， uC2也應(yīng)為有限值。也應(yīng)為有限值。節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)A的的KCL方程：方程：在在0 0區(qū)間對(duì)上式積分，并整理得區(qū)間對(duì)上式積分，并整理得11221122(0 )(0 )(0 )(0 )0 (1)CCCCC uC uC uC u 式式(1)表明節(jié)點(diǎn)表明節(jié)點(diǎn)A滿足電荷守恒。其中滿足電荷守恒。其中uC1(0+)、 uC2(0+)待求。待求。11221212ddddCCCCuuuuCCRtRt再根據(jù)再根據(jù)KVL，有，有122S(0 )(0 ) (2)CCuC uU 當(dāng)當(dāng)uC1(0)0、 uC2(0)0時(shí)，聯(lián)立求解式（時(shí)，聯(lián)立求

23、解式（1）和式（）和式（2）可求得可求得21S12(0 )CCuUCC 12S12(0 )CCuUCC 由此可用三要素法得到此一階電路的解：由此可用三要素法得到此一階電路的解：121212()R RCCRR 11S12( )CRuURR 22S12( )CRuURR 其時(shí)間常數(shù)為其時(shí)間常數(shù)為換路后達(dá)穩(wěn)態(tài)時(shí)有換路后達(dá)穩(wěn)態(tài)時(shí)有所以電容電壓分別為所以電容電壓分別為1211SS121212( )()e ( )tCRCRutUUtRRCCRR 2122SS121212( )()e ( )tCRCRutUUtRRCCRR 對(duì)電容電壓的全時(shí)間域表達(dá)式求導(dǎo)，可得電容電流為對(duì)電容電壓的全時(shí)間域表達(dá)式求導(dǎo)，可得電容電流為12211121SS1212121212()( )( )()e ( )()tCC CCRC RRitUtUtCCCCRRR R CC 12122122SS1212121212()( )( )()e ( )()tCC CCRCRRitUtUtCCCCRRR R CC 小結(jié)：小結(jié)： 一般情況下，當(dāng)換路后電路中出現(xiàn)由理想電壓源和電一般情況下，當(dāng)換路后電路中出現(xiàn)由理想電壓源和電容（或全部由電容）構(gòu)成的回路時(shí)，則電容電壓可能容（或全部由電容）構(gòu)成的回路時(shí)，則電容電壓可能發(fā)生躍變。發(fā)生躍變。 分析方法是：首先根據(jù)分析方法是：首先根據(jù)KVL，列寫換路