中考數(shù)學(xué)專練總復(fù)習(xí) 三角形的有關(guān)概念（提高）知識(shí)講解

1、三角形的有關(guān)概念（提高）知識(shí)講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 理解三角形及與三角形有關(guān)的概念,掌握它們的文字、符號(hào)語(yǔ)言及圖形表述方法2. 理解并會(huì)應(yīng)用三角形三邊間的關(guān)系3. 理解三角形的高、中線、角平分線的概念，學(xué)會(huì)它們的畫法4. 對(duì)三角形的穩(wěn)定性有所認(rèn)識(shí)，知道這個(gè)性質(zhì)有廣泛的應(yīng)用【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、三角形的定義由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形 要點(diǎn)詮釋：（1）三角形的基本元素：三角形的邊：即組成三角形的線段；三角形的角：即相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡(jiǎn)稱三角形的角； 三角形的頂點(diǎn)：即相鄰兩邊的公共端點(diǎn).（2）三角形的定義中的三個(gè)要求：“不在同一條直線上”、“三條線段

2、”、“首尾順次相接”.（3）三角形的表示：三角形用符號(hào)“”表示，頂點(diǎn)為a、b、c的三角形記作“abc”，讀作“三角形abc”，注意單獨(dú)的沒(méi)有意義；abc的三邊可以用大寫字母ab、bc、ac來(lái)表示，也可以用小寫字母a、b、c來(lái)表示，邊bc用a表示，邊ac、ab分別用b、c表示要點(diǎn)二、三角形的三邊關(guān)系定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊.推論：三角形任意兩邊的之差小于第三邊.要點(diǎn)詮釋：（1）理論依據(jù)：兩點(diǎn)之間線段最短.（2）三邊關(guān)系的應(yīng)用：判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長(zhǎng)之和大于最長(zhǎng)線段的長(zhǎng)，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形當(dāng)已知三角形兩邊長(zhǎng)，可求第三邊長(zhǎng)的取值范圍（

3、3）證明線段之間的不等關(guān)系要點(diǎn)三、三角形的分類【高清課堂：與三角形有關(guān)的線段 2、三角形的分類 】1.按角分類：要點(diǎn)詮釋：銳角三角形：三個(gè)內(nèi)角都是銳角的三角形;鈍角三角形：有一個(gè)內(nèi)角為鈍角的三角形.2.按邊分類：要點(diǎn)詮釋： 不等邊三角形：三邊都不相等的三角形；等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊都叫做腰，另外一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫頂角，腰與底邊夾角叫做底角;等邊三角形：三邊都相等的三角形.要點(diǎn)四、三角形的三條重要線段三角形的高、中線和角平分線是三角形中三條重要的線段，它們提供了重要的線段或角的關(guān)系，為我們以后深入研究三角形的一些特征起著很大的幫助作用，因此，我們需要從

4、不同的角度弄清這三條線段，列表如下：線段名稱三角形的高三角形的中線三角形的角平分線文字語(yǔ)言從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線段三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段圖形語(yǔ)言作圖語(yǔ)言過(guò)點(diǎn)a作adbc于點(diǎn)d取bc邊的中點(diǎn)d，連接ad作bac的平分線ad，交bc于點(diǎn)d標(biāo)示圖形符號(hào)語(yǔ)言1ad是abc的高2ad是abc中bc邊上的高3adbc于點(diǎn)d4adc90，adb90(或adcadb90)1ad是abc的中線2ad是abc中bc邊上的中線3bddcbc4點(diǎn)d是bc邊的中點(diǎn)1ad是abc的角平分線2ad平

5、分bac，交bc于點(diǎn)d312bac推理語(yǔ)言因?yàn)閍d是abc的高，所以adbc(或adbadc90)因?yàn)閍d是abc的中線，所以bddcbc因?yàn)閍d平分bac，所以12bac用途舉例1線段垂直2角度相等1線段相等2面積相等角度相等注意事項(xiàng)1與邊的垂線不同2不一定在三角形內(nèi)與角的平分線不同重要特征三角形的三條高(或它們的延長(zhǎng)線)交于一點(diǎn)一個(gè)三角形有三條中線，它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn)一個(gè)三角形有三條角平分線，它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn)要點(diǎn)五、三角形的穩(wěn)定性 三角形的三條邊確定后，三角形的形狀和大小就確定不變了，這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性。 要點(diǎn)詮釋：（1）三角形的形狀固定是指三角形的三個(gè)內(nèi)角不會(huì)改變，大小固定

6、指三條邊長(zhǎng)不改變（2）三角形的穩(wěn)定性在生產(chǎn)和生活中很有用例如，房屋的人字梁具有三角形的結(jié)構(gòu)，它就堅(jiān)固而穩(wěn)定；在柵欄門上斜著釘一條(或兩條)木板，構(gòu)成一個(gè)三角形，就可以使柵欄門不變形大橋鋼架、輸電線支架都采用三角形結(jié)構(gòu)，也是這個(gè)道理（3）四邊形沒(méi)有穩(wěn)定性，也就是說(shuō)，四邊形的四條邊長(zhǎng)確定后，不能確定它的形狀，它的各個(gè)角的大小可以改變四邊形的不穩(wěn)定性也有廣泛應(yīng)用，如活動(dòng)掛架，伸縮尺有時(shí)我們又要克服四邊形的不穩(wěn)定性，如在門框未安好之前，先在門框上斜著釘一根木板，使它不變形【典型例題】類型一、三角形的概念及表示1若有一條公共邊的兩個(gè)三角形稱為一對(duì)“共邊三角形”，則下圖中以bc為公共邊的“共邊三角形”有（

7、 ） a2對(duì)； b3對(duì)； c4對(duì)； d6對(duì)； 【思路點(diǎn)撥】對(duì)比三角形的相關(guān)概念分析和思考【答案】b【解析】以bc為公共邊的“共邊三角形”有：bdc與bec、bdc與bac、bec與bac三對(duì)【總結(jié)升華】根據(jù)新定義和已學(xué)過(guò)的知識(shí)，全面準(zhǔn)確的識(shí)圖舉一反三：【變式】根據(jù)下圖所示的形、三個(gè)圖所表示的規(guī)律，依次下去第n個(gè)圖中的三角形的個(gè)數(shù)是( ) a6(n-1) ； b6n； c6(n+1) ； d12n；【答案】c類型二、三角形的三邊關(guān)系2.已知三角形的三邊長(zhǎng)分別是3，8，,若的值為偶數(shù)，則的值有 ( ) a6個(gè) b5個(gè) c4個(gè) d3個(gè) 【答案】d【解析】的取值范圍：，又為偶數(shù)，所以的值可以是6, 8

8、, 10，故的值有3個(gè)?！究偨Y(jié)升華】不要忽略“x為偶數(shù)”這一條件.舉一反三：【變式】三角形的三邊長(zhǎng)為2，x-3，4，且都為整數(shù)，則共能組成 個(gè)不同的三角形.當(dāng)x為 時(shí)，所組成的三角形周長(zhǎng)最大.【答案】三；8 (由三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，有4-2x-34+2，解得5x9，因?yàn)閤為整數(shù)，故x可取6，7，8；當(dāng)x=8時(shí)，組成的三角形周長(zhǎng)最大為11).3.如圖，o是abc內(nèi)一點(diǎn)，連接ob和oc (1)你能說(shuō)明ob+ocab+ac的理由嗎? (2)若ab5，ac6，bc7，你能寫出ob+oc的取值范圍嗎?【答案與解析】解：(1)如圖，延長(zhǎng)bo交ac于點(diǎn)e，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可以得

9、到，在abe中，ab+aebe；在eoc中，oe+ecoc，兩不等式相加，得ab+ae+oe+ecbe+oc由圖可知，ae+ecac，beob+oe 所以ab+ac+oeob+oc+oe，即ob+ocab+ac(2)因?yàn)閛b+ocbc，所以ob+oc7又因?yàn)閛b+ocab+ac，所以ob+oc11，所以7ob+oc11【總結(jié)升華】充分利用三角形三邊關(guān)系的性質(zhì)進(jìn)行解題舉一反三：【變式】若五條線段的長(zhǎng)分別是1cm、2cm、3cm、4cm、5cm,則以其中三條線段為邊可構(gòu)成_個(gè)三角形.【答案】3.類型三、三角形中的重要線段4.在abc中，abac，ac邊上的中線bd把a(bǔ)bc的周長(zhǎng)分為12cm和15c

10、m兩部分，求三角形的各邊長(zhǎng)【思路點(diǎn)撥】因?yàn)橹芯€bd的端點(diǎn)d是ac邊的中點(diǎn)，所以adcd，造成兩部分不等的原因是bc邊與ab、ac邊不等，故應(yīng)分類討論【答案與解析】 解：如圖(1)，設(shè)abx，adcd (1)若ab+ad12，即，所以x8， 即abac8，則cd4故bc15-411 此時(shí)ab+acbc，所以三邊長(zhǎng)為8，8，11 (2)如圖(2)，若ab+ad15，即，所以x10 即abac10，則cd5故bc12-57 顯然此時(shí)三角形存在，所以三邊長(zhǎng)為10，10，7 綜上所述此三角形的三邊長(zhǎng)分別為8，8，11或10，10，7【總結(jié)升華】bd把a(bǔ)bc的周長(zhǎng)分為12cm和15cm兩部分，哪部分是12

11、cm，哪部分是15cm，問(wèn)題中沒(méi)有交代，因此，必須進(jìn)行分類討論【高清課堂：與三角形有關(guān)的線段 例5、】舉一反三：【變式】有一塊三角形優(yōu)良品種試驗(yàn)田，現(xiàn)引進(jìn)四個(gè)品種進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)，需將這塊土地分成面積相等的四塊，請(qǐng)你制定出兩種以上的方案供選擇.【答案】解：方案1：如圖（1），在bc上取d、e、f，使bd=ed=ef=fc，連接ae、ad、af方案2：如圖(2)，分別取ab、bc、ca的中點(diǎn)d、e、f，連接de、ef、df方案3：如圖(3)，取ab中點(diǎn)d，連接ad，再取ad的中點(diǎn)e，連接be、ce方案4：如圖(4)，在 ab取點(diǎn) d，使dc2bd，連接ad，再取ad的三等分點(diǎn)e、f，連接ce、cf類型四、三角形的穩(wěn)定性5. 如圖是一種流行的衣帽架，它是用木條（四長(zhǎng)四短）構(gòu)成的幾個(gè)連續(xù)的菱形（四條邊都相等），每一個(gè)頂點(diǎn)處都有一個(gè)掛鉤（連在軸上），不僅美觀，而且使用，你知道它能收縮的原因和固定方法嗎？【答案與解析】解：這種衣帽架能收縮是利用四邊形的不穩(wěn)定性，可以根據(jù)需要改變掛鉤間的距離。它的固定方法是：任選兩個(gè)不在同一木條上的頂點(diǎn)固定就行了?！究偨Y(jié)升華】要使物體具有穩(wěn)定性