華南理工大學(xué) 線性代數(shù)與解析幾何 課時課件 (19)

1、第五章第五章 特征值與特征向量特征值與特征向量5.1 矩陣矩陣的特征值和特征向量的特征值和特征向量 5.2 相似矩陣相似矩陣及矩陣可對角化的條件及矩陣可對角化的條件5.3 實(shí)實(shí)對稱矩陣的對角化對稱矩陣的對角化n 特征值的性質(zhì)特征值的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì) 1.1n 特征值的性質(zhì)特征值的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì) 1.2性質(zhì)性質(zhì) 1.2 的證明的證明22221.3nAAAA 設(shè) 是 階矩陣 的一個特征值，是 對應(yīng)特征值 的一個特征向量。證明是矩陣的一個特征值，是對應(yīng)特征值的一例題個特征向量。1110( )( ),( )( )mmmmAAf Aa AaAa Aa Eff Af設(shè) 是n階矩陣 的一個特征值，是 對應(yīng)特征值

2、的一個特征向量。則矩陣多項(xiàng)式的一個特征值為且也是矩陣對應(yīng)特征值的一個特征向量。n 進(jìn)一步推廣進(jìn)一步推廣2110430102121( )31,( )Af xxxf A 已知矩陣的特征值為2,1,對應(yīng)的特征向量分別是。求矩陣的特征值和特00 ，1征向量。2( )3f AAA E解：21 1 01 1 04 3 034 3 010 211 0 00 110 200 0 110( )430211f A( )(2)(1)f Aff的特征值為和，( )121f A 即的特征值為-1,特征向量001為，22(2)2(1)11ff-3 2+1=-1,-3+1=-12( )31f xxx-1-111AAAA 設(shè)

3、 是n階的一個特征值，是 對應(yīng)特征值 的一個特征向量。證明可逆矩：矩陣的一個特征值是，也是對應(yīng)特征值的一例陣個特征向量。 的證明的證明 的證明的證明5.2 相似矩陣及矩陣可對角化的條件n 設(shè)某城市總?cè)丝跀?shù)保持不變設(shè)某城市總?cè)丝跀?shù)保持不變，但每年但每年都有都有 5 的市的市區(qū)居民搬到郊區(qū)區(qū)居民搬到郊區(qū)；又有；又有 15 的郊區(qū)居民搬到市區(qū)的郊區(qū)居民搬到市區(qū)。問該城市市區(qū)人口與郊區(qū)人口的分布最終是否會趨問該城市市區(qū)人口與郊區(qū)人口的分布最終是否會趨向一個向一個“穩(wěn)定狀態(tài)穩(wěn)定狀態(tài)”？引例引例人口流動模型人口流動模型,nnnxXy110.950.150.050.85nnnnnnxxyyxy000 xyX

4、1110.950.150.050.85nnnnnnxxXAXyyn 設(shè)某城市總?cè)丝跀?shù)保持不變設(shè)某城市總?cè)丝跀?shù)保持不變，但每年但每年都有都有 5 的市的市區(qū)居民搬到郊區(qū)區(qū)居民搬到郊區(qū)；又有；又有 15 的郊區(qū)居民搬到市區(qū)的郊區(qū)居民搬到市區(qū)。問該城市市區(qū)人口與郊區(qū)人口的分布最終是否會趨問該城市市區(qū)人口與郊區(qū)人口的分布最終是否會趨向一個向一個“穩(wěn)定狀態(tài)穩(wěn)定狀態(tài)”？引例引例人口流動模型人口流動模型1110.950.150.050.85nnnnnnxxXAXyy-2021-nnnnXXXXAAA10012,14AA如：，要計算1 AP ABPP對于 ，若能找到，使得逆陣對角矩陣可1=A PBP求方陣求方

5、陣A的冪的冪Am的一種方法的一種方法直接做乘法，計算量大。111()()()mPBPPBPPBAPmBB其中， 是對角矩陣，容易計算1mPB P122-3141-3AP可對于，找到逆矩陣，10010010012-3201-11-3031/32/3APBP1001002-31-1201-31/32/3031011001011001001001001002322 32322 3 1=A PBP11-1122-320 1/32 /3141-303PABP使得n 相似矩陣相似矩陣則稱則稱12000000nEB1210000(,)00nnBdiag 與與A相似的矩陣有相同的特征值相似的矩陣有相同的特征值

6、， 而對角矩陣最容易計算特征值。而對角矩陣最容易計算特征值。12()()()n定理定理 2 2.1n, (1,2, )inniiin11：設(shè) 有 個線性無關(guān)特征向量相應(yīng)特征值為，則 充分性AA11(,nnPP構(gòu)造一個矩陣)，由于線性無關(guān)，故 可逆。1111(,)(,) (,)nnnnAPAAA 12110000(,)(,)00nnnP diag1( ,),nAPP diag即 定理定理 2 2.1111( ,) . ( ,)nnP APdiAdiagag則即 11(,)nn 12(,)nAPP diag 12121212,(,)nnnnPAdiag 設(shè) 則 121122,nnnAAA 1112

7、22 nnnAAA 1212,nnP 由于是可逆矩陣，知都不是零向量，且線性無關(guān)。所以，1212,nnnAA 有特有 個線征性值，無關(guān)對應(yīng)的特征向的特征量是。向量。證畢12112(,), (,)nnAdiagPPAPdiag ：設(shè)則存在可逆矩陣使得必要性定理定理 2 2.1定理定理 2 2.2定理定理 322224242A ：判斷是例否可以對角化。245242EA2-3-22解：=2=( -2)()122,對于1222244244EA12-200000012 ( 2,1,0) ,(2,0,1)TT 方程組的基礎(chǔ)解系12325 特征值，12,它們是特征值、的特征向量的極大無關(guān)組2其向量個數(shù)特征值重數(shù)8225234243EA20-101100000 0000225A所以， ，1其向量個數(shù)特征值重數(shù)35, 對于3 (1, 2,2),T3方程組的基礎(chǔ)解系是特征值 的特征向量的極大無關(guān)組1(2,2, 5)P APdiagP是相似變換矩陣，123,P 221102012100011001A：判斷是否例可以對角化。1231 特征值（3重根）0001001000EA00100000011001EA-100解：=03=( -1)1231,對于1210 0 ,100 方程組的基礎(chǔ)解系12 1,和是特征值的特征向量的極大無關(guān)組23,其