概率論-條件概率-全概率公式-貝葉斯公式

1、下下回回停停一、條件概率一、條件概率二、全概率公式二、全概率公式 與貝葉斯公式與貝葉斯公式第四節(jié)第四節(jié) 條件概率、條件概率、 全概率公式全概率公式 與貝葉斯公式與貝葉斯公式一、條件概率一、條件概率甲乙兩臺車床加工同一種機械零件，質(zhì)量甲乙兩臺車床加工同一種機械零件，質(zhì)量 表如下：表如下：正品數(shù)正品數(shù)次品數(shù)次品數(shù) 合計合計甲車床甲車床 35 5 40乙車床乙車床 50 10 60總總 計計 85 15 100 從這從這100個零件中任取一個，求下列事件的概率：個零件中任取一個，求下列事件的概率：引例引例1. 問題的引入問題的引入取出的一個為正品；取出的一個為正品；取出的一個為甲車床加工的零件；取出

2、的一個為甲車床加工的零件；取出的一個為甲車床加工的正品；取出的一個為甲車床加工的正品；已知取出的一個為甲車床加工的零件，其為已知取出的一個為甲車床加工的零件，其為ABABC 100 15 85總 計 60 10 50乙車床 40 5 35甲車床 合計次品數(shù)正品數(shù)解解 (1)85. 010085)(= = =AP(2)40. 010040)(= = =BP35(3)10035. 0)(= = =ABP正品正品. 已知取出的一個為甲車床加工的零件，已知取出的一個為甲車床加工的零件， 其為正品其為正品. .(4)發(fā)發(fā)生生”發(fā)發(fā)生生的的條條件件下下，事事件件“事事件件ABBAC:= =附加條件附加條件

3、BA的的樣樣本本點點必必然然出出現(xiàn)現(xiàn)的的中中屬屬于于“樣樣本本空空間間B .的的樣樣本本點點出出現(xiàn)現(xiàn)”條條件件下下，屬屬于于A此時，樣本空間已不再是原來包含此時，樣本空間已不再是原來包含100100個樣本個樣本點的點的 ，而縮減為只包含，而縮減為只包含4040個樣本點的個樣本點的 B B= =B B. .875. 04035)()(= = = =BAPCP).(85. 0)(1BAPAP = =).(35. 0)(2BAPABP = =BA () :.P AB以以為為樣樣本本空空間間():P A B這是巧合嗎？這是巧合嗎？不是不是.注注為樣本空間為樣本空間. .以以BB= = .)()(100

4、40100354035)(3BPABPBAP= = = =設設A，B是兩個事件，且是兩個事件，且P(B) 0, 則稱則稱)()()(BPABPBAP= =為事件為事件B發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的發(fā)生的條件概率條件概率. .注注:)(1的的兩兩種種方方法法計計算算BAP 樣本空間縮減法；樣本空間縮減法； 用定義用定義.2. 定義定義1.8 (條件概率的定義條件概率的定義)的的區(qū)區(qū)別別：與與)()(2BAPABP;:)(為為樣樣本本空空間間以以ABP;:)(為為樣樣本本空空間間以以BBAPB= =如：對于古典概型，如：對于古典概型，,)(包包含含的的樣樣本本點點數(shù)數(shù)樣樣本本空空間

5、間包包含含的的樣樣本本點點數(shù)數(shù)ABABP= =.)(包包含含的的樣樣本本點點數(shù)數(shù)包包含含的的樣樣本本點點數(shù)數(shù)BABBAP= = ABAB 女孩的概率女孩的概率(設男孩與女孩是等可能的設男孩與女孩是等可能的).解解,3個個全全是是男男孩孩”“= =A,3個中至少有一個女孩”個中至少有一個女孩”“= =A樣本點總數(shù)：樣本點總數(shù)：23,例例1,8121)(3= = =AP(1)求在有求在有3個小孩的家庭中，至少有一個個小孩的家庭中，至少有一個.87811)(1)(= = = = = =APAP123男男女女(2)在有在有3個小孩的家庭中，已知個小孩的家庭中，已知至少有至少有1個女個女孩孩，求該家庭，

6、求該家庭至少有至少有1個男孩個男孩的概率的概率.解解,3孩孩”個個小小孩孩中中至至少少有有一一個個女女“= =A,3孩孩”個個小小孩孩中中至至少少有有一一個個男男“再再設設= =B,1”“有有一一個個男男孩孩兩兩個個女女孩孩設設= =A,2”“有有兩兩個個男男孩孩一一個個女女孩孩= =A).(2121= = = =AAAAAB則則.87811)(1)(= = = = = =APAP則則)()()(21APAPABP = =.8622323= = = =C)()()(APABPABP= =從從而而.768/78/6= = =; 1)(0 BAP證證BAB )()(0BPABP 0)( BP又又1

7、)()(0 BPABP.1)(0 BAP即即證證BB = =. 1)()()()()(= = = =BPBPBPBPBP; 0)(, 1)(= = = BPBP3. 條件概率的性質(zhì)條件概率的性質(zhì)(2)規(guī)范性：規(guī)范性：(1)非負性非負性: :，列列：對對于于兩兩兩兩互互斥斥的的事事件件序序21AA11()().kkkkPABP AB = = = = 有有證證)()()(11BPBAPBAPkkkk = = = = =)()(1BPBAPkk = = =1().kkP A B = = = (3) 可列可加性：可列可加性：證證1212() )()PAA BP A BA B= = )()()(2121

8、BAAPBAPBAP = =).(1)( BAPBAP = =(5) 逆事件的條件概率：逆事件的條件概率：1212()()()( )P A BP A BP A A BP B= =1212(|)(|)(|).P ABP ABP A AB= = (4) 加法公式：加法公式：).()()()(212121BAAPBAPBAPBAAP = =)()()(2121BPBAAPBAAP= =. )()()(, 0)(BAPBPABPBP= = 則有則有若若. )()()(, 0)(ABPAPABPAP= = 則有則有若若意義：意義： 兩事件積的概率等于其中的某一事件的概兩事件積的概率等于其中的某一事件的概

9、率乘以另一事件在前一事件已發(fā)生的條件率乘以另一事件在前一事件已發(fā)生的條件下的條件概率下的條件概率.推廣：推廣：則有則有且且為事件為事件設設, 0)(, ABPCBA()( ) () ().P ABCP A P B A P C AB=4.乘法公式乘法公式,0)(121 nAAAP = =)()()()(21312121AAAPAAPAPAAAPn).(121 nnAAAAP則則一般地，設一般地，設個事件，若個事件，若是是，nAAAn21例例2 摸球試驗摸球試驗(卜里耶模型卜里耶模型)把原球放回，并加進與抽出球同色的球把原球放回，并加進與抽出球同色的球c只，再取只，再取第二次，這樣下去共取了第二次

10、，這樣下去共取了n次球，問前次球，問前n1次取到黑次取到黑球，后球，后n2=n-n1次取到紅球的概率是多少？次取到紅球的概率是多少？解解11,nAA以以表表示示第第一一次次取取出出黑黑球球一一事事件件, ,表表示示11111nnAn 第第 次次取取出出黑黑球球; ;表表示示第第次次取取出出紅紅球球, ,nAn表表示示第第 次次取取出出紅紅球球, ,則則 1(),bP Abr= = 21(|)P AA= =箱中有箱中有b只黑球，只黑球，r只紅球，隨機取出一只，只紅球，隨機取出一只，.bcbrc 11211()nnP AA AA = =.)(121111cnrbrAAAAPnn = = .)1()

11、(1121211cnrbcrAAAAPnn = = .)1()1()(2121cnrbcnrAAAAPnn = = 11(1).(1)bncbrnc此模型被卜里耶用來作為描述傳染病的數(shù)學模型此模型被卜里耶用來作為描述傳染病的數(shù)學模型. .因此因此111(1)(1)bncrbrncbrn c 21(1).(1)(1)rncrcbrncbrnc )(21nAAAPrbb = =bcbrc 22bcbrc 121312121() (|) (|)(|)nnP A P AA P AA AP AA AA = =二、全概率公式與貝葉斯公式二、全概率公式與貝葉斯公式12,.nA AA 則則稱稱為為樣樣本本空空

12、間間的的一一個個劃劃分分為為的的樣樣本本空空間間，為為實實驗驗設設定定義義nAAAE,211A2A3A1nAnA1. 樣本空間的劃分樣本空間的劃分的的一一組組事事件件，若若E(1), ,1,2, ;ijA Aij i jn= = = =12(2).nAAA = = 全概率公式全概率公式定理定理 )|()()()|()()|()()|()(12211iniinnABPAPAPABPAPABPAPABPBP = = = = =2. 全概率公式全概率公式1,2,EBEA A 設設為為實實驗驗 的的樣樣本本空空間間， 為為 的的事事件件，,()0(1,2, ),niAP Ain = =為為的的一一個個

13、劃劃分分，且且則則= =jiAA由由= =)(jiBABA)()()()(21nBAPBAPBAPBP = =圖示圖示B1A2A3A1nAnA.21nBABABA= =化整為零化整為零各個擊破各個擊破)(21nAAABBB= = = =).|()()|()()|()()(2211nnABPAPABPAPABPAPBP = =證證全概率公式中的條件：全概率公式中的條件： = = = =niiA1可換為可換為.1 = = niiAB注注 全概率公式的主要用處在于全概率公式的主要用處在于: 它可以將一它可以將一個個復雜事件復雜事件的概率計算問題的概率計算問題,分解分解為若干個為若干個簡單簡單事件事件

14、的概率計算問題的概率計算問題, 最后應用概率的可加性求最后應用概率的可加性求出最終結(jié)果出最終結(jié)果.B1A2A3A1nAnA直直觀觀意意義：義： 某事件某事件B的發(fā)生由各種可能的的發(fā)生由各種可能的“原因原因”Ai (i=1,2, ,n)引起，而引起，而Ai與與Aj (i j) 互斥，互斥，則則B發(fā)生的概率與發(fā)生的概率與 P(AiB)(i=1,2, ,n)有關，有關，且等于它們的總和：且等于它們的總和：1( )().niiP BP A B= = = 3.全概率公式的意義全概率公式的意義個黑球個黑球; ;乙箱中裝有一個白球乙箱中裝有一個白球, ,兩個黑球兩個黑球. .現(xiàn)由甲現(xiàn)由甲箱中任取一球放入乙箱

15、箱中任取一球放入乙箱, ,再從乙箱中任取一球再從乙箱中任取一球, ,問取到白球的概率是多少問取到白球的概率是多少? ?解解 以以A1 1表示事件表示事件“從甲箱中取出一個白球從甲箱中取出一個白球”, ,A2表示表示“從甲箱中取出一個黑球從甲箱中取出一個黑球”這一事件這一事件, ,以以B表示表示“從乙箱中取出一個白球從乙箱中取出一個白球”這一事件這一事件, ,則則: :12,AA = 12,A A = = 且且例例3 甲、乙兩個箱子甲、乙兩個箱子,甲箱中裝有兩個白球甲箱中裝有兩個白球,一一21115.323412=,32)(1= =AP,31)(2= =AP,2142)(1= = =ABP.41

16、)(2= =ABP因而因而)()()()()(2211ABPAPABPAPBP = =子子, ,1.5%的三等種子的三等種子, ,1.0%的四等種子的四等種子. .用一等用一等, ,二二 等等, ,三等三等, ,四等種子長出的穗含四等種子長出的穗含50顆以上麥粒的概率顆以上麥粒的概率為為0.5,0.15,0.1,0.05.求這批種子所結(jié)的穗含有求這批種子所結(jié)的穗含有50顆以顆以上麥粒的概率上麥粒的概率. .解解 以以Ai( (i = 1, 2, 3, 4)分別記任選一顆種子是分別記任選一顆種子是i 等等用用B表示在這批種子中任選一顆且這顆種子表示在這批種子中任選一顆且這顆種子所結(jié)所結(jié)則則Ai(

17、 (i = 1, 2, 3, 4)是一個劃分是一個劃分.例例4 播種用的一等小麥種子中混和播種用的一等小麥種子中混和2.0%的二等種的二等種(i = 1, 2, 3, 4)這一事件這一事件,的穗含的穗含50顆以上麥粒這一事件顆以上麥粒這一事件.則由全概率公式則由全概率公式)()()(41iiiABPAPBP = = =15. 002. 05 . 0955. 0 = =05. 001. 01 . 0015. 0 .4825. 0= =稱此為稱此為貝葉斯公式貝葉斯公式.貝葉斯資料貝葉斯資料則則且且的的一一個個劃劃分分為為的的事事件件為為的的樣樣本本空空間間為為試試驗驗設設), 2 , 1(0)(,

18、 0)(,21niAPBPAAAEBEin= = 定理定理., 2 , 1,)()|()()|()|(1niAPABPAPABPBAPnjjjiii= = = = =4. 貝葉斯公式貝葉斯公式)(BAPi., 2 , 1ni= =證畢證畢.)|()()|()(1 = = =niiiiiABPAPABPAP()(|)()iiP AP BAP B= =證證)()(BPBAPi= =解解例例5.90. 0)(,95. 0)(= = =CAPCAP,95. 0)(= =CAP因為因為, 1 . 0)(1)(= = = =CAPCAP示示“被檢驗者患有肝癌被檢驗者患有肝癌”這一事件，以這一事件，以A表示

19、表示“判判斷被檢驗者患有肝癌斷被檢驗者患有肝癌”這一事件這一事件.假設這一檢驗假設這一檢驗法相應的概率為法相應的概率為檢驗法診斷為患有肝癌，求此人真正患有肝癌的檢驗法診斷為患有肝癌，求此人真正患有肝癌的又設在人群中又設在人群中. 現(xiàn)在若有一人被此現(xiàn)在若有一人被此( )0.0004P C = =假定用血清甲胎蛋白法診斷肝癌，以假定用血清甲胎蛋白法診斷肝癌，以C表表).(ACP概概率率( )0.0004,( )0.9996P CP C= = =由由貝葉斯公式得所求概率為貝葉斯公式得所求概率為即平均即平均10000個具有陽性反應的人中大約只有個具有陽性反應的人中大約只有38人人0.00040.950

20、.00040.950.99960.1 = = 0.0038.= =患有癌癥患有癌癥.)(ACP)()()()()()(CAPCPCAPCPCAPCP = =上題中概率上題中概率 0.0004 是由以往的數(shù)據(jù)分析得到的是由以往的數(shù)據(jù)分析得到的, 叫叫而在得到信息之后再重新加以修正的概率而在得到信息之后再重新加以修正的概率 0.0038先驗概率與后驗概率先驗概率與后驗概率做先驗概率做先驗概率.叫做后驗概率叫做后驗概率.乘船乘船,乘汽車乘汽車,乘飛機來的概率分別為乘飛機來的概率分別為1/5,1/10, 2/5 .若他乘火車來若他乘火車來,遲到的概率是遲到的概率是1/4;如果乘船如果乘船,乘汽車來乘汽

21、車來,遲到的概率是遲到的概率是1/3,1/12;如果乘飛機便如果乘飛機便不會遲到不會遲到,即遲到的概率為即遲到的概率為0.在結(jié)果是遲到的情形在結(jié)果是遲到的情形解解 表示乘火車、乘船、乘汽表示乘火車、乘船、乘汽車車, 以以B表示遲到這一事件表示遲到這一事件, ,設設A1, ,A2, A3, A4分別分別由由Bayes公式公式, ,有有例例6 有朋友自遠方來訪有朋友自遠方來訪,乘火車來的概率乘火車來的概率3/10,下下,求他是乘火車的概率求他是乘火車的概率.乘飛機來的事件乘飛機來的事件.3 10 1 43 10 1 4 1 5 1 3 110 1122 5 012. = = = =)(1BAP =

22、 = =4111)()()()(iiiABPAPABPAP)()(BPBAP= =()()( )P ABP A BP B= =全概率公式全概率公式貝葉斯公式貝葉斯公式1122( )() ( |)() ()() ()nnP BP A P B AP A P B AP A P B A=1() ()(),1,2, .() (|)iiinjjjP A P B AP A BinP A P B A=()( ) ()P ABP A P B A=乘法定理乘法定理內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1.條件概率條件概率2. 條件概率條件概率 P(A|B)與積事件與積事件P(AB)概率的區(qū)別概率的區(qū)別B().ABP A B = = 基

23、基本本事事件件數(shù)數(shù)中中基基本本事事件件數(shù)數(shù)().ABP AB = = 中中基基本本事事件件數(shù)數(shù)中中基基本本事事件件數(shù)數(shù)表示在樣本空間表示在樣本空間中，計算中，計算發(fā)生的發(fā)生的)(ABPAB概率，而概率，而表示在縮小的樣本空間表示在縮小的樣本空間中，計中，計)(BAPB算算發(fā)生的概率發(fā)生的概率.用古典概率公式，則用古典概率公式，則A.)()(大大比比一一般般來來說說，ABPBAP條件概率也是概率條件概率也是概率, , 故具有概率的性質(zhì)：故具有概率的性質(zhì)：; 1)(= =AP ;11 = = = = = iiiiABPABP3. 條件概率的性質(zhì)條件概率的性質(zhì)(1)非負性非負性(2)歸一性歸一性(3

24、)可列可加性可列可加性; 0)( ABP; )(1)()5(ABPABP = =);()()()()4(212121ABBPABPABPABBP = =).()()()6(21121ABBPABPABBP = = 活到活到25歲以上的概率為歲以上的概率為0.4, 如果現(xiàn)在有一個如果現(xiàn)在有一個20歲的歲的這種動物這種動物, 問它能活到問它能活到25歲以上的概率是多少歲以上的概率是多少? 設設 A =“ 能活能活 20 歲以上歲以上 ” 的事件的事件; 則有則有, 8 . 0)(= =AP因因為為,)()()(APABPABP= =, 4 . 0)(= =BP),()(BPABP= =.218 .

25、 04 . 0= = =)()()(APABPABP= =所以所以解解),(BABAB= = 備用題備用題例例1-1 某種動物由出生算起活某種動物由出生算起活20歲以上的概率為歲以上的概率為0.8, B = “ 能活能活 25 歲以上歲以上”的事件的事件;解法解法1 令令A表示表示“2 張都是假鈔張都是假鈔”, ,B表示表示“其中其中1張是假鈔張是假鈔”, ,由縮減樣本空間法得由縮減樣本空間法得下面兩種解法哪個正確？下面兩種解法哪個正確？例例1-2.2105. 0194)(= = =BAP從混有從混有5張假鈔的張假鈔的20張百元鈔票中任意抽出張百元鈔票中任意抽出2張張,將其中將其中1張放在驗鈔

26、機上檢驗發(fā)現(xiàn)上假鈔張放在驗鈔機上檢驗發(fā)現(xiàn)上假鈔 .求求2張都是假鈔的概率張都是假鈔的概率. 令令 A 表示表示“抽到抽到2 張都是假鈔張都是假鈔”B 表示表示“2 張中至少有張中至少有1張假鈔張假鈔”所以所以 解法解法2BA ),)!()(APBAP（而而不不是是則則所所求求概概率率是是22025)()(CCAPABP= = =2201151525)()(CCCCBP = =)()()(BPABPBAP= =.118. 08510)(115152525= = = = =CCCC機地抽取兩次機地抽取兩次, 每次取一球每次取一球, 求在兩次抽取中至多求在兩次抽取中至多抽到一個紅球的概率抽到一個紅球

27、的概率? (2) 若無放回的抽取若無放回的抽取 3次次, 每次抽取一球每次抽取一球, 求求 (a) 第一次是白球的情況下第一次是白球的情況下, 第第二次與第三次均是白球的概率二次與第三次均是白球的概率? (b) 第一次與第二第一次與第二次均是白球的情況下次均是白球的情況下 , 第三次是白球的概率第三次是白球的概率?例例2-1 設袋中有設袋中有4只白球只白球, 2只紅球只紅球 , (1) 無放回隨無放回隨.1514546252645364= = = =)()()()(212121AAPAAPAAPAP = =則有則有,212121AAAAAAA = =解解)()(121AAPAP= =)()(1

28、21AAPAP (1)設設為事件為事件“兩次抽取中至多抽到一個紅兩次抽取中至多抽到一個紅A抽到紅球抽到紅球“.球球”事事件件為為“第一次抽取到紅球第一次抽取到紅球”，為為“第二次第二次2A1A)()(121AAPAP . 3 , 2 , 1,)2(= =iiAi次次取取出出的的是是白白球球第第為為設設事事件件)()(132AAAPa,)()(1321APAAAP= =.1033251)()()(1321132= = = =APAAAPAAAP所所以以,513634)(,3264)(3211= = = = = =AAAPAP因因為為,522624)(21= = = =AAP因因為為.215251

29、)()()(21321213= = = =AAPAAAPAAAP所以所以,)()()()(21321213AAPAAAPAAAPb= =,513634)(321= = = =AAAP因而他隨意地撥號因而他隨意地撥號. . 求他撥號不超過求他撥號不超過3次而接次而接通電話的概率通電話的概率. .解解,3次次接接通通電電話話”“撥撥號號不不超超過過設設= =A,321321211AAAAAAAAAA= = = =則則次次接接通通電電話話”“撥撥號號),3 , 2 , 1( = = =iiAi,321211AAAAAAA = =(撥號撥號3次都未接通次都未接通)()(321AAAPAP= =例例2-

30、2 某人忘記了電話號碼的最后一個數(shù)字，某人忘記了電話號碼的最后一個數(shù)字，)()(321AAAPAP= =)()()(213121AAAPAAPAP= =.1078798109= = = =.1031071)(1)(= = = = = =APAP故故時打破的概率為時打破的概率為1/2,若第一次落下未打破若第一次落下未打破, 第二次第二次落下打破的概率為落下打破的概率為7/10 , 若前兩次落下未打破若前兩次落下未打破, 第第三次落下打破的概率為三次落下打破的概率為9/10.試求透鏡落下三次而試求透鏡落下三次而未打破的概率未打破的概率.解解以以B 表示事件表示事件“透鏡落下三次而未打破透鏡落下三次

31、而未打破”.,321AAAB = =因因為為)()(321AAAPBP= =所所以以121312() () ()P A P A A P A A A=)1091)(1071)(211( = =.2003= =,)3 , 2 , 1(次次落落下下打打破破透透鏡鏡第第表表示示事事件件以以iiAi= =例例2-3 設某光學儀器廠制造的透鏡設某光學儀器廠制造的透鏡, 第一次落下第一次落下摸球試驗摸球試驗(卜里耶模型卜里耶模型) 解解例例2-4 設袋中裝有設袋中裝有r只紅球，只紅球，t只白球只白球.每次自袋中每次自袋中任取一只球，觀察其顏色然后放回，并再放入任取一只球，觀察其顏色然后放回，并再放入a只只與

32、取出的那只球同色的球，若在袋中連續(xù)去球與取出的那只球同色的球，若在袋中連續(xù)去球4次，次，試求第一，二次取到紅球且第三，四次取到白球試求第一，二次取到紅球且第三，四次取到白球的概率的概率.,)4 , 3 , 2 , 1(次取到紅球”次取到紅球”為事件“第為事件“第設設iiAi= =,43到到白白球球”為為事事件件第第三三，第第四四次次取取則則AA因因此此所所求求概概率率為為)(4321AAAAP1213124123() () () ()P A P A A P A A A P A A A A=rrt= = 此模型被卜里耶用來作為描述傳染病的數(shù)學模型此模型被卜里耶用來作為描述傳染病的數(shù)學模型. .r

33、arta 2trta .3tarta 由甲、乙、丙三廠生產(chǎn)的分別有由甲、乙、丙三廠生產(chǎn)的分別有5箱箱 , 3箱箱, 2 箱箱,三廠產(chǎn)品的廢品率依次為三廠產(chǎn)品的廢品率依次為 0.1, 0.2, 0.3 從這從這 10箱產(chǎn)品中任取一箱箱產(chǎn)品中任取一箱 , 再從這箱中任取一件產(chǎn)品再從這箱中任取一件產(chǎn)品,求取得的正品概率求取得的正品概率. 設設 A 為事件為事件“取得的產(chǎn)品為正品取得的產(chǎn)品為正品”, 分別表示分別表示“任取一件產(chǎn)品是甲、乙、丙生產(chǎn)的任取一件產(chǎn)品是甲、乙、丙生產(chǎn)的”,321BBB由題設知由題設知.102)(,103)(,105)(321= = = =BPBPBP解解例例3-1設一倉庫中有

34、設一倉庫中有10 箱同種規(guī)格的產(chǎn)品箱同種規(guī)格的產(chǎn)品, 其中其中, 7 . 0)(, 8 . 0)(, 9 . 0)(321= = = =BAPBAPBAP故故)()()(31iiiBAPBPAP = = =107102108103109105 = =.82. 0= =“有有”字字, 三個鬮內(nèi)不寫字三個鬮內(nèi)不寫字 , 五人依次五人依次抓取抓取,問各人抓到問各人抓到“有有”字鬮的概率字鬮的概率是是否相同否相同?解解. 5 , 4 , 3 , 2 , 1= =i則有則有,52)(1= =AP)()(22 = =APAP).(112AAAP= =,的的事事件件人人抓抓到到有有字字鬮鬮第第表表示示設設i

35、Ai抓鬮是否與次序有關抓鬮是否與次序有關? 例例3-2五個鬮五個鬮, 其中兩個鬮內(nèi)寫著其中兩個鬮內(nèi)寫著)()()(212121333AAAAAAAPAPAP= = = =)()()(321321321AAAPAAAPAAAP = =42534152 = =,52= =)()()()(121121AAPAPAAPAP = =)(2121AAAAP = =)()(2121AAPAAP = =)()()(213121AAAPAAPAP= =)()()(213121AAAPAAPAP )()()(213121AAAPAAPAP 324253314253314352 = =,52= =依此類推依此類推.

36、52)()(54= = =APAP故抓鬮與次序無關故抓鬮與次序無關.的占的占 30% , 二廠生產(chǎn)的占二廠生產(chǎn)的占 50% , 三廠生產(chǎn)的占三廠生產(chǎn)的占 20%, 又知這三個廠的產(chǎn)品次品率分別為又知這三個廠的產(chǎn)品次品率分別為2% , 1%, 1%,問問從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是多少從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是多少?設事件設事件 A 為為“任取一件為次品任取一件為次品”,. 3 , 2 , 1,= =iiBi廠廠的的產(chǎn)產(chǎn)品品任任取取一一件件為為為為事事件件123,BBB = 解解. 3 , 2 , 1,= = =jiBBji例例4 -1 有一批同一型號的產(chǎn)品有一批同一型號的產(chǎn)品,已

37、知其中由一廠生產(chǎn)已知其中由一廠生產(chǎn)由全概率公式得由全概率公式得, 2 . 0)(, 5 . 0)(, 3 . 0)(321= = = =BPBPBP30%20%50%2%1%1%112233( )() ()() ()() ().P AP B P A BP B P A BP B P A B=.013. 02 . 001. 05 . 001. 03 . 002. 0= = = =,01. 0)(,01. 0)(,02. 0)(321= = = =BAPBAPBAP112233( )() ()() ()() ()P AP B P ABP B P ABP B P AB=故故例例4-2 有有3箱同型號的

38、燈泡，已知甲箱次品率為箱同型號的燈泡，已知甲箱次品率為1%，乙箱次品率為乙箱次品率為2%，丙箱次品率為丙箱次品率為3%，現(xiàn)從現(xiàn)從3乙，丙兩箱的機得次品的概率乙，丙兩箱的機得次品的概率.解解箱中任取一燈泡，設取到甲箱的概率為箱中任取一燈泡，設取到甲箱的概率為，而取到，而取到21箱箱”.B表示表示“取到次品取到次品”.設設分別表示分別表示“燈泡分別取自甲，乙，丙燈泡分別取自甲，乙，丙321,AAA已知已知,21)(1= =AP.41)(3= =AP,41)(2= =AP%,1)(1= =ABP%,2)(2= =ABP%.3)(3= =ABP所以所以)()()(31 = = =iiiABPAPBP0

39、3. 04102. 04101. 021 = =0175. 0= =%.75. 1= =例例5-1 炮戰(zhàn)中，在距目標炮戰(zhàn)中，在距目標250m,200m,150m處射處射擊的概率分別為擊的概率分別為0.1，0.7，0.2，而在該處射擊命中而在該處射擊命中目標的概率分別為目標的概率分別為0.05，0.1，0.2.現(xiàn)在已知目標被現(xiàn)在已知目標被擊毀，求擊毀目標的炮彈是由距目標擊毀，求擊毀目標的炮彈是由距目標250m處射出處射出的概率的概率.解解 設設B表示表示“目標被擊毀目標被擊毀”，分別表示距目分別表示距目321,AAA標標250m,200m,150m處射擊，則所求概率為處射擊，則所求概率為)()(

40、)(11BPBAPBAP= = = = =3111)()()()(iiiABPAPABPAP2 . 02 . 01 . 07 . 005. 01 . 005. 01 . 0 = =.04535. 0= =例例5-2 設有設有5個袋子中放有白球，黑球，其中個袋子中放有白球，黑球，其中1號號袋中白球占袋中白球占另外另外2，3，4，5號號4個袋子中白球都個袋子中白球都,31取取1個球，結(jié)果是白球，求這個球是來自個球，結(jié)果是白球，求這個球是來自1號袋子中號袋子中的概率的概率.解解占占今從中隨機取今從中隨機取1個袋子，從所取的袋子中隨機個袋子，從所取的袋子中隨機,41求概率求概率由貝葉斯公式得由貝葉斯公

41、式得，取到白球取到白球= =B),(1BAP. 5 , 4 , 3 , 2 , 1= = =iiAi，號袋子號袋子取到第取到第設設 = = =51111)()()()()(iiiABPAPABPAPBAP)41414141(5131513151 = =.41= =例例5-3,21)(= =BP,05. 0)(= =BAP,21)(= =BP已知已知5%的男人和的男人和0.25%的女人是色盲患者，的女人是色盲患者，現(xiàn)隨機地選取一人，此人恰為色盲患者，此人是男現(xiàn)隨機地選取一人，此人恰為色盲患者，此人是男人的概率是多少？（假設男人，女人各占人數(shù)的一人的概率是多少？（假設男人，女人各占人數(shù)的一半）半）

42、.解解設設A=選取的人患色盲選取的人患色盲，設，設B=選取的人是男人選取的人是男人則則選取的人是女人選取的人是女人，依題意得，依題意得= =B.0025. 0)(= =BAP根據(jù)逆概公式（貝葉斯公式），所求概率為根據(jù)逆概公式（貝葉斯公式），所求概率為)()()()()()()(BAPBPBAPBPBAPBPABP = =0025. 02105. 02105. 021 = =.2120= =例例6-1制造廠提供的制造廠提供的.根據(jù)以往的記錄有以下的數(shù)據(jù)：根據(jù)以往的記錄有以下的數(shù)據(jù)：元件制造廠元件制造廠次品率次品率 提供元件的份額提供元件的份額 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3

43、0.03 0.05設這三家工廠的產(chǎn)品在倉庫中是均勻混合的，設這三家工廠的產(chǎn)品在倉庫中是均勻混合的， 且且無區(qū)別的標志無區(qū)別的標志.(1)在倉庫中隨機地取一只元件，求它是次品的概在倉庫中隨機地取一只元件，求它是次品的概率；率；某電子設備制造廠所用的元件是由三家元件某電子設備制造廠所用的元件是由三家元件解解,取到的是一只次品取到的是一只次品表示表示設設 A.家家工工廠廠提提供供的的所所取取到到的的產(chǎn)產(chǎn)品品是是由由第第表表示示i)3 , 2 , 1( = =iBi,321的的一一個個劃劃分分是是樣樣本本空空間間則則BBB,05. 0)(,80. 0)(,15. 0)(321= = = =BPBPBP

44、且且(2)在倉庫中隨機地取一只元件在倉庫中隨機地取一只元件,若已知取到的是次若已知取到的是次品品,為分析此次品出自何廠為分析此次品出自何廠,需求出此次品出由三需求出此次品出由三家工廠生產(chǎn)的概率分別是多少家工廠生產(chǎn)的概率分別是多少. 試求這些概率試求這些概率.03. 0)(,01. 0)(,02. 0)(321= = = =BAPBAPBAP(1) 由全概率公式得由全概率公式得)()()()()()()(332211BPBAPBPBAPBPBAPAP = =.0125. 0= =(2) 由貝葉斯公式得由貝葉斯公式得)()()()(111APBPBAPABP= =0125. 015. 002. 0 = =.24. 0= =,64. 0)()()()(222= = =