無(wú)窮限廣義積分的計(jì)算

1、無(wú)窮限廣義積分的計(jì)算陳雪靜（寶雞文理學(xué)院 數(shù)學(xué)系,陜西 寶雞 721013）摘 要: 文章歸納總結(jié)了利用數(shù)學(xué)分析、復(fù)變函數(shù)、積分變換、概率論統(tǒng)計(jì)理論等知識(shí)計(jì)算無(wú)窮限廣義積分的幾種方法.在學(xué)習(xí)中運(yùn)用這幾種方法可開(kāi)拓視野,激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.關(guān)鍵詞: 廣義積分;收斂;計(jì)算方法廣義積分是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)知識(shí),廣義積分的概念不僅抽象,而且計(jì)算方法靈活,不易掌握.廣義積分包括兩大類(lèi),一類(lèi)是積分區(qū)間無(wú)窮型的廣義積分,另一類(lèi)是積分區(qū)間雖為有窮,但被積函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)含有有限個(gè)無(wú)窮型間斷點(diǎn)（瑕點(diǎn)）的廣義積分.一般的判別法是對(duì)積分區(qū)間無(wú)窮型的廣義積分,先將積分限視為有限的積分區(qū)間按常義積分處理,待積分求出

2、原函數(shù)后再考查其極限是否存在,在用此極限去判定原積分是否收斂.對(duì)于第二類(lèi)廣義積分,我們可將積分區(qū)間改動(dòng),使被積函數(shù)在改動(dòng)后的積分區(qū)間內(nèi)成為有界函數(shù)再按常義積分處理,求出原函數(shù)之后考查它在原積分區(qū)間上的極限是否收斂.但是有些被積函數(shù)的原函數(shù)不易求出或無(wú)法用初等函數(shù)表示,使得廣義積分無(wú)法用常規(guī)方法計(jì)算,因此需尋求其它的計(jì)算方法.本文主要研究無(wú)窮限廣義積分的計(jì)算方法,主要方法包括利用廣義積分定義、參量積分、變量代換、二重積分、留數(shù)定理、級(jí)數(shù)展開(kāi)、概率論知識(shí)以及拉普拉斯變換等方法.1 無(wú)窮限廣義積分的定義定義1 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),取.如果極限存在,則稱(chēng)此極限為函數(shù)在無(wú)窮區(qū)間上的反常積分（也稱(chēng)作廣義積

3、分）,記作,即=;這時(shí)也稱(chēng)反常積分收斂;如果上述極限不存在,函數(shù)在無(wú)窮區(qū)間上的反常積分就沒(méi)有意義,習(xí)慣上稱(chēng)為反常積分發(fā)散,這時(shí)記號(hào)不再表示數(shù)值了.類(lèi)似地,設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),取. 如果極限存在,則稱(chēng)此極限為函數(shù)在無(wú)窮區(qū)間上的反常積分,記作,即=;這時(shí)也稱(chēng)反常積分收斂;如果上述極限不存在,就稱(chēng)反常積分發(fā)散.設(shè)函數(shù)在無(wú)窮區(qū)間內(nèi)連續(xù),如果廣義積分和（為常數(shù)）都收斂,則稱(chēng)上述兩個(gè)反常積分之和為函數(shù)在無(wú)窮區(qū)間內(nèi)的廣義積分,記作,即=+ =+這時(shí)也稱(chēng)廣義積分收斂;否則就稱(chēng)反常積分發(fā)散.上述反常積分統(tǒng)稱(chēng)為積分區(qū)間為無(wú)窮區(qū)間的廣義積分或無(wú)窮限廣義積分.2 無(wú)窮限廣義積分的計(jì)算方法2.1利用廣義積分的定義求無(wú)窮

4、限廣義積分由定義計(jì)算可以分兩步:1求定積分=.需要說(shuō)明的是原函數(shù)均指有限形式.2取極限=.例11 計(jì)算解 = 2.2利用含參量積分的理論求無(wú)窮限廣義積分含參量積分:（） （）統(tǒng)稱(chēng)為歐拉積分.其中稱(chēng)為格馬函數(shù).稱(chēng)為貝塔函數(shù).且有遞推公式 及 .因此在計(jì)算廣義積分時(shí)看所給廣義積分當(dāng)為何值時(shí)對(duì)應(yīng)的歐拉積分,然后用歐拉積分公式直接算出廣義積分的值.例25 求（為正整數(shù)）解 此廣義積分與表達(dá)式相似,因此可用函數(shù)法求解.= 注:.2.3利用變量代換法求無(wú)窮限廣義積分有些函數(shù)的原函數(shù)不易求出或直接積分不出來(lái),但如果對(duì)被積函數(shù)施以變量代換,在輔以一定的技巧就可以求出這類(lèi)積分.作變量帶換時(shí),首先要對(duì)被積函數(shù)的結(jié)

5、構(gòu)進(jìn)行分析,然后再看積分限與被積函數(shù)的關(guān)系.變換的方向是求出原函數(shù)或求出一個(gè)含原積分的方程,從而求得所含廣義積分的值.例32 求i=解 令x=,則i=上式加上i=得2i=故 i=2.4利用二重積分理論計(jì)算無(wú)窮限廣義積分.利用二重積分理論計(jì)算廣義積分時(shí),應(yīng)分兩步:1把廣義積分巧妙的化為一個(gè)二重積分.2計(jì)算二重積分,從而間接的計(jì)算出廣義積分的值.例45 計(jì)算廣義積分解 由于= 所以= 而= 其中d=故= 而=.例53 計(jì)算廣義積分i=解 因?yàn)?所以i= = =-. 2.5積分號(hào)下求導(dǎo)法計(jì)算無(wú)窮限廣義積分.收斂因子法:此方法是對(duì)被積函數(shù)引入一個(gè)收斂因子,因子中有一個(gè)參數(shù), 對(duì)參數(shù)（不一定是收斂因子中

6、的參數(shù)）求導(dǎo),有時(shí)可求得原積分的值.在此情況下引入的收斂因子加強(qiáng)了原積分的收斂性（如條件收斂的成為絕對(duì)收斂,或求導(dǎo)后發(fā)散的,變成一致收斂）.這樣使積分號(hào)下求導(dǎo)條件得以滿(mǎn)足.一般采用（k0)作為收斂因子.例65 求積分 () 解 引入積分因子（0)作積分= =故 = += (顯然=i(0)=0)由此有 =所以 i= 故同樣可得 =-2.6積分號(hào)下求積分法算無(wú)窮限廣義積分這種方法是將被積函數(shù)中某一因子表為一個(gè)適當(dāng)?shù)姆e分.于是將原積分化成二次積分.交換這兩個(gè)積分的順序,就可求出所給的積分.例72 求積分i=解 由,于是i= =由,有=所以 =為了確定,令.得 故.2.7利用復(fù)變函數(shù)理論中的留數(shù)定理計(jì)

7、算無(wú)窮限廣義積分. 定理15 設(shè)函數(shù)在實(shí)軸上處處解析,在上半平面除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)外處處解析,且存在常數(shù),使得當(dāng),且時(shí), ,則推論 15 設(shè)是有理函數(shù),與為的,次多項(xiàng),多項(xiàng)式的次數(shù)比至少高2次,在實(shí)軸上沒(méi)有零點(diǎn),是在上半平面的孤立奇點(diǎn),則例8 4 計(jì)算廣義積分 解 因?yàn)?顯然滿(mǎn)足推論的條件,且,是在上半平面的孤立奇點(diǎn),這兩個(gè)點(diǎn)都是的一級(jí)極點(diǎn),因此有 同理故=+ =2.8級(jí)數(shù)展開(kāi)法求廣義積分利用無(wú)窮級(jí)數(shù)計(jì)算廣義積分也是常用的一種技巧.常有兩種方法.其一是將被積函數(shù)展成級(jí)數(shù)以求積分;其二是將無(wú)窮區(qū)間上的廣義積分表示成級(jí)數(shù)的形式以求積分.例92 求積分i=解 利用余弦函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)以及指數(shù)函數(shù)的展開(kāi)

8、式 我們有=例105 計(jì)算廣義積分.解 由于= 而= 故原式=-.利用級(jí)數(shù)展開(kāi)求積分,展開(kāi)的僅是被積函數(shù)的某個(gè)因子,“展開(kāi)因子”選擇應(yīng)是其展開(kāi)的級(jí)數(shù)形式比較簡(jiǎn)單;展開(kāi)的級(jí)數(shù)連同被積函數(shù)剩下的因子可逐項(xiàng)積分;這些積分容易求出.因此記住一些常用函數(shù)的展開(kāi)式及一些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和對(duì)積分計(jì)算是有益的.2.9利用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)求無(wú)窮限廣義積分.例115 計(jì)算廣義積分i=.解 因?yàn)闉闃?biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布密度函數(shù)所以= 1.即=1. 所以即=令=2.10用拉普拉斯變換求無(wú)窮限廣義積分定義26 設(shè)在上有定義,且積分（是復(fù)變參量）關(guān)于某一范圍內(nèi)的收斂,則由這個(gè)積分確定的函數(shù)稱(chēng)為函數(shù)的拉普拉斯變換.并記做,即=,其中的稱(chēng)為的

9、像函數(shù),稱(chēng)為的像原函數(shù).定理 25 (laplace變換存在定理) 設(shè)函數(shù)在的任何有限區(qū)間內(nèi)分段連續(xù),并且當(dāng)時(shí), 的增長(zhǎng)速度不超過(guò)某一指數(shù)函數(shù),即存在常數(shù),和,使得在上,則在半平面上,存在,且=是的解析函數(shù).其中稱(chēng)為的增長(zhǎng)指數(shù).性質(zhì)11（積分性質(zhì)）若,則（為復(fù)數(shù)） （1）性質(zhì)21(終值性質(zhì)) 若,且的所有奇點(diǎn)全在平面的部 （2）性質(zhì)31 若,在上解析,且收斂,則存在,且 （3）證明 由微分性知 = =由性質(zhì)1 所以由性質(zhì)2 即 =特別的,時(shí),有. （4）性質(zhì)41（象函數(shù)的積分性質(zhì)）若,且積分收斂. （5）性質(zhì) 51 設(shè),且與皆收斂,則 （6） 證明 由（5）式, 由（4）式, = 例124 求

10、的拉普拉斯變換,并求積分.解 由定理2,因?yàn)?故在的實(shí)部大于零上, 拉普拉斯變換存在,且 =于是 （在的實(shí)部大于零）那么 由命題4知 =在利用命題5知 =.例136 計(jì)算下列積分解 , 由微分性質(zhì)知,但是另一方面 當(dāng)時(shí),即=致謝：本文在寫(xiě)作過(guò)程中得到陳一虎老師的指導(dǎo).在此表示感謝！參考文獻(xiàn):1 白水周.無(wú)窮限廣義積分的幾種有效解法j.開(kāi)封大學(xué)學(xué)報(bào),2000,14(1):49-50.2 李紹成.論廣義積分的計(jì)算j.綿陽(yáng)農(nóng)專(zhuān)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,1996,13(2):65-70.3 數(shù)學(xué)分析.華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系m.高等教育出版社,20014 宋叔尼,孫濤.復(fù)變函數(shù)與積分變換m.北京:科學(xué)出版社,200

11、6.5 劉開(kāi)生,楊鐘玄.無(wú)窮限廣義積分的幾種計(jì)算方法j.天水師范學(xué)院學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版,2002,22(2):9-10.6 蓋云英,包革軍.復(fù)變函數(shù)與積分變換學(xué)習(xí)指導(dǎo)m.科學(xué)出版社,2004.ways of calculating limitless generalized integralchen xue-jing(department of mathematic,baoji university of arts and science baoji 721013,shaanxi ,china)abstract: ways of calculating generlazed integral are given by using maths analysis, complex variable and integral transform, complex function and proabability statistical theroy