高等數(shù)學(xué)（上）：D5_5反常積分審斂法

1、二、無(wú)界函數(shù)反常積分的審斂法二、無(wú)界函數(shù)反常積分的審斂法第五節(jié)第五節(jié)反常積分反常積分無(wú)窮限的反常積分無(wú)窮限的反常積分無(wú)界函數(shù)的反常積分無(wú)界函數(shù)的反常積分一、無(wú)窮限反常積分的審斂法一、無(wú)窮限反常積分的審斂法反常積分的審斂法反常積分的審斂法 函數(shù)函數(shù) 第五章第五章 三、三、 函數(shù)函數(shù)2一、無(wú)窮限反常積分的審斂法一、無(wú)窮限反常積分的審斂法定理定理1 ,0)(, ),)( xfaCxf且且設(shè)設(shè)若函數(shù)若函數(shù) xattfxFd)()(.d)(收斂收斂則反常積分則反常積分 axxf,),上有上界上有上界在在 a證證 ,0)( xf根據(jù)極限收斂準(zhǔn)則知根據(jù)極限收斂準(zhǔn)則知 xaxxttfxFd)(lim)(lim

2、存在存在 ,.d)(收斂收斂即反常積分即反常積分 axxf，上上單單調(diào)調(diào)遞遞增增有有上上界界在在),)( axF3定理定理2 ( (比較審斂原理比較審斂原理) ), ),)( aCxf設(shè)設(shè)有有分大的分大的x且對(duì)充且對(duì)充)()(0 xgxf , 則則收斂收斂xxgad)( 收斂收斂xxfad)( 發(fā)散發(fā)散xxfad)( 發(fā)散發(fā)散xxgad)( 證證 不失一般性不失一般性 ,),時(shí)時(shí)設(shè)設(shè) ax)()(0 xgxf ,d)(收斂收斂若若xxga 有有則對(duì)則對(duì)at xxftad)( xxgtad)( xxgad)( 的的是是故故txxftad)( 因此因此 單調(diào)遞增有上界函數(shù)單調(diào)遞增有上界函數(shù) , 4

3、xxfxxfatatd)(d)(lim .d)(收斂收斂即反常積分即反常積分xxfa ,d)(發(fā)散發(fā)散若若xxfa 時(shí)有時(shí)有因?yàn)橐驗(yàn)閍t xxgxxftatad)(d)(0 ,t令令.)(必發(fā)散必發(fā)散可見(jiàn)反常積分可見(jiàn)反常積分xdxga 說(shuō)明說(shuō)明: 已知已知 xxapd11, p收斂收斂1, p發(fā)散發(fā)散)0( a,)0()(作比較函數(shù)作比較函數(shù)故常取故常取 AxAxgp得下列比較審斂法得下列比較審斂法.極限存在極限存在,5定理定理3 ( (比較審斂法比較審斂法1) ),)( aCxf設(shè)非負(fù)函數(shù)設(shè)非負(fù)函數(shù),0)1 M若存在常數(shù)若存在常數(shù)有有使對(duì)充分大的使對(duì)充分大的 xpxMxf )(;d)(收斂收

4、斂則則xxfa ,0)2 N若存在常數(shù)若存在常數(shù)有有使對(duì)充分大的使對(duì)充分大的 xpxNxf )(.d)(發(fā)散發(fā)散則則xxfa ,1 p,1 p. )0( a6例例1 判別反常積分判別反常積分xxxd1sin1342 解解 的斂散性的斂散性 .3421sin0 xx341x 341x 由比較審斂法由比較審斂法 1 可知原積分收斂可知原積分收斂 .思考題思考題: 討論反常積分討論反常積分xxd11133 的斂散性的斂散性 .提示提示: 當(dāng)當(dāng) x1 時(shí)時(shí), 利用利用 11)1(1113333 xxx可知原積分發(fā)散可知原積分發(fā)散 .7定理定理4 (極限審斂法極限審斂法1),0)(, ),)( xfaC

5、xf且且若若;d)(收斂收斂時(shí)時(shí)xxfa .d)(發(fā)散發(fā)散時(shí)時(shí)xxfa lp0,1 lp0,1lxfxpx )(lim則有則有: 1) 當(dāng)當(dāng)2) 當(dāng)當(dāng)證證 ,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) p根據(jù)極限定義根據(jù)極限定義 , 對(duì)取定的對(duì)取定的,0 當(dāng)當(dāng) x 充充分大時(shí)分大時(shí), 必有必有 lxfxp)(, 即即pxMxf )(0)( lM;d)(收斂收斂可見(jiàn)可見(jiàn)xxfa 滿足滿足8當(dāng)當(dāng).d)(發(fā)散發(fā)散可見(jiàn)可見(jiàn)xxfa ,1時(shí)時(shí) p可取可取,0 必有必有 lxfxp)(即即pxlxf )()( lNxN,0 l使使時(shí)用任意正時(shí)用任意正 l (, ) lN 代替代替數(shù)數(shù)pxxpxxfxfx1)(lim)(lim 注意注意:

6、 此極限的大小刻畫(huà)了此極限的大小刻畫(huà)了.0)(的快慢程度的快慢程度趨于趨于時(shí)時(shí)xfx9例例2 判別反常積分判別反常積分 121dxxx的斂散性的斂散性 . 解解 2211limxxxx 11lim21 xx1 根據(jù)極限審斂法根據(jù)極限審斂法 1 , 該積分收斂該積分收斂 . 例例3 判別反常積分判別反常積分xxxd11223 的斂散性的斂散性 . 解解 21lim2321xxxx 221limxxx 1 根據(jù)極限審斂法根據(jù)極限審斂法 1 , 該積分發(fā)散該積分發(fā)散 . 10定理定理5 ,d, ),)(收斂收斂）（且且若若 axxfaCxf.d)(收斂收斂則反常積分則反常積分 axxf證證 , )(

7、)()(21xfxfx 令令則則)()(0 xfx ,d 收斂收斂）（ axxf,d)(也收斂也收斂 axx )()(2)(xfxxf xxfxxxxfaaad)(d)(2d)( 而而.d)(收斂收斂可見(jiàn)反常積分可見(jiàn)反常積分xxfa 11定義定義 設(shè)反常積分設(shè)反常積分,d)(收斂收斂xxfa xxfad)( ,d)(收斂收斂若若 axxf則稱(chēng)則稱(chēng)絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂 ; xxfad)( ,d)(發(fā)散發(fā)散若若 axxf則稱(chēng)則稱(chēng)條件收斂條件收斂 . 例例4 判斷反常積分判斷反常積分)0,(dsin0 abaxbxexa為常數(shù)為常數(shù)的斂散性的斂散性 .解解 ,sinxaxaexbe 因因,d0收斂收斂而

8、而xexa 根據(jù)比根據(jù)比較審斂原理知較審斂原理知,dsin收斂收斂 axaxbxe故由定理故由定理5 知所知所給積分收斂給積分收斂 (絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂) .12無(wú)界函數(shù)的反常積分可轉(zhuǎn)化為無(wú)窮限的反常積分無(wú)界函數(shù)的反常積分可轉(zhuǎn)化為無(wú)窮限的反常積分.二、無(wú)界函數(shù)反常積分的審斂法二、無(wú)界函數(shù)反常積分的審斂法,)(, ,()(的瑕點(diǎn)的瑕點(diǎn)為為設(shè)設(shè)xfabaCxf 由定義由定義 babaxxfxxf d)(limd)(0則有則有令令,1tax 例如例如 1120d)1(limd)(abtttafxxfba abtttaf12d)1(因此無(wú)窮限反常積分的審斂法完全可平移到無(wú)界函數(shù)因此無(wú)窮限反常積分的審斂法

9、完全可平移到無(wú)界函數(shù)的反常積分中來(lái)的反常積分中來(lái) .13定理定理6 (比較審斂法比較審斂法 2)為為設(shè)非負(fù)函數(shù)設(shè)非負(fù)函數(shù)abaCxf, ,)( ,0)1 M若存在常數(shù)若存在常數(shù)qaxMxf)()( ;d)(收斂收斂則則xxfba ,0)2 N若存在常數(shù)若存在常數(shù)axNxf )(.d)(發(fā)散發(fā)散則則xxfba ,1 q瑕點(diǎn)瑕點(diǎn) ,有有有有利用利用 xaxbaqd)(11, q收斂收斂1, q發(fā)散發(fā)散有類(lèi)似定理有類(lèi)似定理 3 與定理與定理 4 的如下審斂法的如下審斂法. 使對(duì)一切充分接近使對(duì)一切充分接近 a 的的 x ( x a) .14定理定理7 (極限審斂法極限審斂法2)，且且若若0)(, ,

10、()( xfbaCxf;d)(,收斂收斂時(shí)時(shí)xxfba .d)(,發(fā)散發(fā)散時(shí)時(shí)xxfba lq0,10 lq0,1lxfaxqx )()(lim則有則有: 1) 當(dāng)當(dāng)2) 當(dāng)當(dāng)例例5 判別反常積分判別反常積分.lnd31的斂散性的斂散性 xx解解 ,1為瑕點(diǎn)為瑕點(diǎn)此處此處 x利用洛必達(dá)法則得利用洛必達(dá)法則得xxxln1)1(lim1 xx111lim 1 根據(jù)極限審斂法根據(jù)極限審斂法2 , 所給積分發(fā)散所給積分發(fā)散 .15例例6 判定橢圓積分判定橢圓積分)1()1)(1(d210222 kxkxx散性散性 . 解解 ,1為瑕點(diǎn)為瑕點(diǎn)此處此處 x由于由于 1limx的斂的斂21)1( x)1)(

11、1(1222xkx )1)(1(1lim221xkxx )1(212k 根據(jù)極限審斂法根據(jù)極限審斂法 2 , 橢圓積分收斂橢圓積分收斂 . 16類(lèi)似定理類(lèi)似定理5, 有下列結(jié)論有下列結(jié)論:,)(d)( baaxxf收斂收斂為瑕點(diǎn)為瑕點(diǎn)若反常積分若反常積分例例7 判別反常積分判別反常積分xxxdln10 的斂散性的斂散性 .解解 ,d)( baxxf收斂收斂稱(chēng)為絕對(duì)收斂稱(chēng)為絕對(duì)收斂 . ,0為瑕點(diǎn)為瑕點(diǎn)此處此處 x,0lnlim410 xxx因因,1ln,41 xxx 有有的的故對(duì)充分小故對(duì)充分小從而從而 4141lnlnxxxxx 411x 據(jù)比較審斂法據(jù)比較審斂法2, 所給積分絕對(duì)收斂所給積

12、分絕對(duì)收斂 .則反常積分則反常積分 17三、三、 函數(shù)函數(shù)1. 定義定義:函數(shù)函數(shù) 下面證明這個(gè)特殊函數(shù)在下面證明這個(gè)特殊函數(shù)在0 s內(nèi)收斂?jī)?nèi)收斂 . 1121011d,dxexIxexIxsxs.)11I討論討論)0(d)(01 sxexsxs令令;,11是定積分是定積分時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Is ,10時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) sxsxsexex1111 sx 11,11 s而而.21收斂收斂知知根據(jù)比較審斂法根據(jù)比較審斂法I)(的反常積分的反常積分含參變量含參變量 s18)(1xsex xsxex1lim .)22I討論討論 2lim xx0 112d xexIxs.12收斂收斂知知根據(jù)極限審斂法根據(jù)極限審斂法I綜上

13、所述綜上所述 , 21)(IIs .0上收斂上收斂在在 s192. 性質(zhì)性質(zhì)(1) 遞推公式遞推公式證證 0d)1(xexsxs)0()()1( ssss(分部積分分部積分) 0dxsex 01d0 xexsexxsxs)(ss 注意到注意到: 0d)1(xex1 有有,N n)()1(nnn )1()1( nnn)1(! n!n 20(2)證證 ,)1()(sss .)(,0 ss時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)1)1( ,0)(連續(xù)連續(xù)在在且可證明且可證明 ss )(,0ss時(shí)時(shí)(3) 余元公式余元公式: )10()sin()1()( ssss 有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),21 s )(21(證明略證明略)21(4)得得令令,2ux 的其他形式的其他形式)(s )0(d)(01 sxexsxs)0(d2)(0122 suuessu,12ts 再令再令,21ts 即即得應(yīng)用中常見(jiàn)的積分得應(yīng)用中常見(jiàn)的積分 )1(2121d02 ttueuut這表明左端的積分可用這表明左端的積分可用 函數(shù)來(lái)計(jì)算函數(shù)來(lái)計(jì)算.例如例如, 0d2ueu 2121 2 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 1. 兩類(lèi)反常積分的兩類(lèi)反常積分的比較審斂法比較審斂法和和極限審斂法極限審斂法 . 2. 若在同一積分式中出現(xiàn)