(完整版)太原理工大學(xué)研究生期末考試組合數(shù)學(xué)答案

1、1. 填空（本題共 20 分，共 10 空，每空 2 分） 1） 三只白色棋子和兩只紅色棋子擺放在 5*5 的棋盤上，要求每行每列只放 置一個棋子，則共有 1200 種不同的擺放方法。 2 答案：5! C5 1200 2） 在（5a2a2+3a3）6 的展開式中，a/?a2?a33 的系數(shù)是 -81000。 52 ( 2) 33 8100答2!1!3! 3） 有 n 個不同的整數(shù)，從中取出兩組來，要求第一組數(shù)里的最小數(shù)大于第 n 1 二組的最大數(shù)，共有n 2 1 種方案。 4） 六個引擎分列兩排，要求引擎的點火的次序兩排交錯開來，試求從一特 定引擎開始點火有 12 種方案。 答案.C3 C2

2、C2 12 5） 從 1 到 600 整數(shù)中既不能被 3 整除也不能被 5 整除的整數(shù)有 320 個。 6） 要舉辦一場晚會，共 10 個節(jié)目，其中 6 個演唱節(jié)目，4 個舞蹈節(jié)目?，F(xiàn) 要編排節(jié)目單，要求任意兩個舞蹈節(jié)目之間至少要安排一個演唱節(jié)目， 則共可以寫出 604800 種不同的節(jié)目單。 3 答案.6! C7 4! 604800 2 7） 把 n 男 n 女排成一只男女相間的隊伍，共有 2 （n!） 種排列方法； 2 若圍成一圓桌坐下，又有 2 （n!） /（2n） 種方法。 2n 8） n 個變量的布爾函數(shù)共有 n 個互不相同的。 9） 把 r 個相異物體放入 n 個不同的盒子里，每個

3、盒子允許放任意個物體， 而且要考慮放入同一盒中的物體的次序，這種分配方案數(shù)目為 P(n r 1,r) 答案: n(n 1)(n 2) (n r 1) (n r 1)! (n 1)! P(n r 1,r) 2. (本題 10 分) 核反應(yīng)堆中有a和B兩種粒子，每秒鐘內(nèi)一個 a粒子分裂成三個B粒子，而 一個B粒子分裂成一個a粒子和兩個B粒子。若在時刻 t=0 時，反應(yīng)堆中只 有一個a粒子，問 t=100 秒時反應(yīng)堆中將有多少個 a粒子？多少個B粒子? 解：設(shè) t 秒鐘的a粒子數(shù)位 at， B粒子數(shù)為 bt,則 at bt i b 3at 1 2bt 1 a。 1,bo 0 3 3t 目為多少? a

4、t bt 1 bt 2bt 1 b 0,d 3bt 2() 3 (*)式的特征方程為 x2 2x 3 0， 解得 r1 1,r2 3，即 bt A ( 1)f A2 3t 代入初始值 b0 力3，解得 Ai 4,A2 at bt 1 1)t1 3 4 3t 1 a100 3(399 4 1), t100 3 / R00 4(3 1) 3.(本題共 10 分，共 2 小題, 每小題 5 分) 設(shè) n Ra1P2a2 P? ，Pi, 2, Pn是互不相同的素數(shù), 設(shè)求能除盡 n 的正整數(shù)數(shù) 解：每個能整除盡數(shù) n 的正整數(shù)都可以選取每個素數(shù) P 從 0 到 ai，即每個素數(shù) 有 ai+1 種選擇,

5、 所以能整除 n 的正整數(shù)數(shù)目為 (a1 1)(a2 1) (an 1)個。 試證明一整數(shù)是另一整數(shù)的平方的必要條件是除盡它的數(shù)目為奇數(shù)。 n P/1p2a2 Pnn，能被(a1 1)(a2 1) (an 1)個證明：根據(jù)題中結(jié)論, 數(shù)整除，而n2腎b2曽能被(2ai 1)(2a2 1) 個數(shù)整除, 2ai+1 為奇數(shù) (0 i 1) ,所以乘積為奇數(shù),證畢 4. (本題 10 分) 證明等式 222 2 nnn n 2n 012 nn 求(1+X4+x8)100中 x20項的系數(shù)。 證明： (1 x)2n (1 x)n (1 x)n 2n 2n 2n 2n xx 0 1 2n 2 n n n

6、 n xx 0 1 n n n n n 0 n 1 n 1 比較 n 次方系數(shù)即可證。(2an 1) 解：(1 x4 8 100 x) 1 (x4 8 x) 100 100 k 100 (x4 8k x) 100 k k0 分析(x4 x8)k的結(jié)構(gòu)可知僅當(dāng) k k 3 時，系數(shù) C1300 C32, k 4 時，系數(shù) C1400 C43, k 5 時，系數(shù) C1500 C50, 三個系數(shù)相加即為所求 3,4,5 時有 X20項 （本題 10 分） 6 個人參加一會議，入場時將帽子隨意掛在衣架上，走時匆匆忙忙順手帶 頂走了，試問沒有一人拿對的概率是多少？ 解：P D6 1 1 4 4 1 4

7、1 6! 12! 3! 45! 6! 1 2 3 4 5 (720 C6 5! C6 4! C6 3! C6 2! C6 1! 1) / 720 (720 6 120 15 24 20 615 2 6 1)/ 720 (720 720 360 120 30 6 1)/720 265/720 0.368 可以證明，當(dāng)n比較大時， 0.36788. n! e 7.（本題 10 分） 求滿足下列條件的整數(shù)解數(shù)目 x1+x2+x3+x4=20 其中 1 強(qiáng) 1 嶼，0 強(qiáng) 2 筍, 4 強(qiáng) 3 毛，2 強(qiáng) 4 詬。5. (本題 10 分) 求 1, 3, 5, 7, 9 這五個數(shù)可以組成多少個不同的

8、n 位數(shù)，其中要求 3 和 7 出現(xiàn)次數(shù)為偶數(shù) 解：Ge(x) (1 x 1 x x 3x e e ( 2 X 2! 2x .2 3x e )e 2 3 x )(1 2! 2x e 2 4 4 X 4! )2 1 x 3x (e 2e 4 5x e ) r x -(1 2 3 5) 4 r o r! 所以可以組成 2 3n 5n）個不同的 n 位數(shù)。 6. Oi 解：設(shè) yi Xi 1, y2 X2,y3 X3 4, X4 2, yi y y3 y4 13, 0 yi 4,0 y2 7,0 y3 4,0 討4 4, 13 4-i 16 16 若不附加有上屆條件的根據(jù)公式應(yīng)為 560. 13 1

9、3 3 對于有上屆的問題要作 變換 1 4 - yi, 2 7 - y2, 3 4 y3, 4 4-y4, 1 0, 2 0, 3 0, 4 0 于是問題轉(zhuǎn)為1 2 3 4 6 6 4-1 9 9 整數(shù)解數(shù)目為 84 6 6 3 8.(本題 10 分) 長為 5 米的木棒用紅，藍(lán)兩色染色，每米染一色，問有多少種不同的染色方 案？(剛體運動使之吻合算一種方案) 解：第一類置換： R (1)(2)(3)(4)(5), 第二類置換：P繞00翻轉(zhuǎn)P2 (15)( 24)( 3)， 置換格式：1個 15,1 個 1122， I (25 23)/2 20. 試問若要求其中有 3 米為紅色，2 米為藍(lán)色的方

10、案數(shù)是多少？ 解： 若木棒不可動， 則 5 個對象任取 2 個對象染藍(lán)色， 方案數(shù)為 10. 但木棒可翻轉(zhuǎn)， 使得 12 和 45,13 和 53,14 和 52,23 和 43 為藍(lán)色分別 為同一種方案，此時不 同方案數(shù)為 6. 1 2 3 4 5 O P 1 2 3 32 2 9. (本題共 10 分，共 2 小題，每小題 5 分) m m n n m 2n 的組合意義 n 0 n 解：右邊：m個球，從中取出n個放入兩個盒子，n個球中每個球都有 兩種方法，得到可能的 方案數(shù)。 左邊：第i項的意義是一個盒子中 放i個，另一個盒子放n-i個, 所有的方案數(shù)相加應(yīng)該 等于右邊。 證明 n 22 n 32 12 證明： n n n 在二項式 (1 x)n 01 的兩端對 x 求導(dǎo)可得： n(1 x)n 1 n 2 n x 3 12 nn 令 x 1,即得式： 2 12 再給式子： n(1 x)n 1 n 1 兩端同乘以 X后并求導(dǎo)得： n 3 2n n n n(n 1)2n 2 。 n 2 n 3 n n x xx x