葉公中學(xué)銳角三角函數(shù)的實際應(yīng)用問題徐秋麗

1、銳角三角函數(shù)的實際應(yīng)用問題一、數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)要求數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn) 中要求：運用三角函數(shù)解決與直角三角形有關(guān)的簡單實際問題，考綱中的能級要求為 C(掌握 ) 。數(shù)學(xué)離不開生活，生活也離不開數(shù)學(xué)。在實際生活中，有不少問題的解決都涉及到數(shù)學(xué)中直角三角形的邊、 角關(guān)系。而銳角三角函數(shù)的實際應(yīng)用注重聯(lián)系學(xué)生的生活實際， 側(cè)重于解決與學(xué)生生活比較接近的實際問題，突出了學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的意識與過程。二、考向分析結(jié)合近五年中考試題分析, 銳角三角函數(shù)的內(nèi)容考查主要有以下特點 :1. 命題方式為運用銳角三角函數(shù)解決與直角三角形有關(guān)的實際問題 . 題型解答題 , 以中檔題出現(xiàn) . 分值都是 9 分；2. 命題的熱

2、點為根據(jù)題中給出的信息構(gòu)建圖形 , 建立數(shù)學(xué)模型 , 然后用解直角三角形的知識解決問題；三、銳角三角函數(shù)的實際應(yīng)用這道題的價值1. 它是代表初中幾何圖形的計算中的一個最高水平；2. 此題蘊含的數(shù)學(xué)思想比較多，如化歸思想、方程思想等；3. 能加入實際生活的背景，增強學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識；4. 能把學(xué)生的基本思想、基本方法、基本能力呈現(xiàn)出來。四、近五年銳角三角函數(shù)的實際應(yīng)用中考試題變與不變1. 價值不變2. 基本模型不變；3. 2012.2014.2015.2016 四年都是考察解直角三角形的應(yīng)用 - 仰角俯角問題 2013 年考察解直角三角形的應(yīng)用 - 坡度坡角問題4. 2012. 2013. 2

3、016 年的都能在圖中找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形， 2014.2015 年要通過作高或垂線構(gòu)造直角三角形，把實際問題劃歸為直角三角形中邊角關(guān)系問題加以解決5. 外形變化，實際背景變化，一些條件和結(jié)論的變化。五、近五年銳角三角函數(shù)的實際應(yīng)用中考試題回顧1. （河南省 2012）（9 分）某賓館為慶祝開業(yè)，在樓前懸掛了許多宣傳條幅。如圖所示，一條幅從樓頂 A 處放下，在樓前點 C處拉直固定。小明為了測量此條幅的長度， 他先測得樓頂 A 點的仰角為 45，已知點 C到大廈的距離 BC=7 米，ABD=90. 請根據(jù)以上數(shù)據(jù)求條幅的長度（結(jié)果保留整數(shù)。參考數(shù)據(jù)： tan31 0.60,sin3

4、1 0.52 ，cos31 0.86 ） .A考點：解直角三角形的應(yīng)用 - 仰角問題【解析】設(shè) ABx 米，DECB AEB45 ,ABE90.BEAB x第 20 題在 RtABD 中， tanDAB ,xBD即tan 31.x1616 tan 31160.624.xtan 3110.61即 AB24 ( 米)在 RtABC 中 ACBC 2AB27224225即條幅的長度約為25 米點評： 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形并解直角三角形2、（河南省 2013）（9 分）我國南水北調(diào)中線工程的起點是丹江口水庫，按照工程計劃，需對原水庫大壩進(jìn)行混凝土培厚加高，使壩高

5、由原來的 162 米增加到 176.6 米，以抬高蓄水位， 如圖是某一段壩體加高工程的截面示意圖， 其中原壩體的高為 BE ，背水坡坡角 BAE 68 ，新壩體的高為 DE ，背水坡坡角 DCE 60 。求工程完工后背水坡底端水平方向增加的寬度 AC .( 結(jié)果精確到 0.1 米，參考數(shù)據(jù)sin 680.93,cos 680.37, tan 682.50,31.73 ）考點：解直角三角形的應(yīng)用 - 坡度坡角問題分析： 在 RtBAE中，根據(jù) BE=162米， BAE=68，解直角三角形求出 AE的長度，然后在 RtDCE中解直角三角形求出 CE的長度，然后根據(jù) AC=CEAE求出 AC的長度即

6、可解答：解：在 RtBAE中， BE=162米， BAE=68， AE= = =64.8 （米），在 RtDCE中，DE=176.6米， DCE=60， CE= = = 102.1 （米），則 AC=CEAE=102.164.8=37.3 （米）答：工程完工后背水坡坡底端水平方向增加的寬度AC約為 37.3 米點評： 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，難度適中，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形并解直角三角形3（9 分）（2014 河南）在中俄“海上聯(lián)合 2014”反潛演習(xí)中，我軍艦 A 測得潛艇 C的俯角為 30，位于軍艦 A正上方 1000 米的反潛直升機 B測得潛艇 C的俯角為 68，試根據(jù)以上

7、數(shù)據(jù)求出潛艇 C離開海平面的下潛深度（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)： sin68 0.9 ，cos68 0.4 ，tan68 2.5 ，1.7 ）考點：解直角三角形的應(yīng)用 - 仰角俯角問題分析：過點 C作 CDAB，交 BA的延長線于點 D，則 AD即為潛艇 C的下潛深度，分別在 Rt 三角形 ACD中表示出 CD和在 Rt 三角形 BCD中表示出 BD，從而利用二者之間的關(guān)系列出方程求解解答：解：過點 C作 CDAB，交 BA的延長線于點 D，則 AD即為潛艇 C的下潛深度，根據(jù)題意得： ACD=30， BCD=68，設(shè) AD=x，則 BD=BA+AD=1000+x，在 Rt 三角形 ACD中，

8、CD=，在 Rt 三角形 BCD中， BD=CD?tan68，1000+x=x?tan68 解得： x=308 米，潛艇 C離開海平面的下潛深度為308 米點評：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從題目中抽象出直角三角形并選擇合適的邊角關(guān)系求解4. （河南省 2015）（9 分）如圖所示，某學(xué)?；顒有〗M選定測B量小河對岸大樹BC的高度，他們在斜坡上 D處測得大樹頂端 B處的仰角是 300，朝大樹方向下FD300坡走 6 米到達(dá)坡底 A 處，在 A谷瑞林制圖480處測得大樹頂端B處的仰角是EAC00求大 的高。（ 果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin48048 ，若坡角 FAE=30,0.74

9、，con4800.67 ，tan48 01.11 ，3 1.73 ）【分析】通 察 形，要 求大 的高度， 需要構(gòu)造直角三角形，將所求 段 系起來 . 合 目中的信息， 即要延 BD交 AE于點 G，并 點 D作 DHAE于點 H，分 在 RtGBC和 RtABC中表示出 CG 和 AC的 即可求解 .解：延 BD交 AE于點 G, 點 D作 DHAE于 H，0由 意得， DAE=BGH=30,DA=6, GD=DA=6, GH=AH=DAcos300=6 3 =3 3 ，2GA=6 3 , 2 分設(shè) BC=x米，在 RtGBC中，GC=BCx3xtan300tan BGC4 分在 RtABC

10、中，AC=BCx 6 分0tan BACtan48 GC-AC=GA,3 x-x8 分0 =6 3 ，tan48x13. 即大 的高 13米。9 分BFD300谷瑞林制圖48 0ECGHA【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題解決此類問題要了解角之間的關(guān)系，找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形，當(dāng)圖形中沒有直角三角形時，要通過作高或垂線構(gòu)造直角三角形，把實際問題劃歸為直角三角形中邊角關(guān)系問題加以解決5（河南省 2016）（9 分）如圖，小東在教學(xué)樓距地面 9 米高的窗口C處，測得正前方旗桿頂部 A 點的仰角為 37，旗桿底部 B 點的俯角為 45，升旗時，國旗上端懸掛在距地面 2.25

11、 米處，若國旗隨國歌聲冉冉升起，并在國歌播放 45 秒結(jié)束時到達(dá)旗桿頂端，則國旗應(yīng)以多少米 / 秒的速度勻速上升？（參考數(shù)據(jù)：sin37 0.60 ，cos37 0.80 ，tan37 0.75 ）【考點】解直角三角形的應(yīng)用- 仰角俯角問題【分析】通過解直角BCD和直角 ACD分別求得 BD、CD以及 AD的長度，則易得 AB的長度，則根據(jù)題意得到整個過程中旗子上升高度，由“速度 =”進(jìn)行解答即可【解答】解：在RtBCD中， BD=9米， BCD=45，則 BD=CD=9米在 RtACD中， CD=9米， ACD=37，則AD=CD?tan37 90.75=6.75（米）所以， AB=AD+B

12、D=15.75米，整個過程中旗子上升高度是：15.75 2.25=13.5 （米），因為耗時 45s，所以上升速度v=0.3 （米 / 秒）答：國旗應(yīng)以0.3 米/ 秒的速度勻速上升【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題解決此類問題要了解角之間的關(guān)系，找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形，把實際問題劃歸為直角三角形中邊角關(guān)系問題加以解決六、方法總結(jié)銳角三角函數(shù)的實際應(yīng)用的一般步驟為：第一步：分析理解題意，根據(jù)題目中的已知條件，將實際問題抽象為解直角三角形的數(shù)學(xué)問題， 畫出平面幾何圖形， 弄清已知條件中各量之間的關(guān)系；第二步：建模根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)， 把已知條件與求解量盡量集中在有關(guān)

13、的三角形中， 建立一個解直角三角形的數(shù)學(xué)模型； 若三角形是直角三角形， 根據(jù)邊角關(guān)系進(jìn)行計算， 若三角形不是直角三角形，可通過添加輔助線構(gòu)造直角三角形來解決。第三步：求解利用三角函數(shù)的邊角關(guān)系解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解；第四步：檢驗檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解銳角三角函數(shù)的實際應(yīng)用問題最后的結(jié)果常要取近似值，要注意題中精確度的要求。七、教學(xué)中應(yīng)注意的幾個問題1. 平時應(yīng)注重能力的培養(yǎng)；2. 不能搞題海戰(zhàn)術(shù)，多注重方法的總結(jié)；3. 平時注意計算能力的培養(yǎng)，尤其是銳角三角函數(shù)的實際應(yīng)用這類題，計算不是很好算，教師要做好指導(dǎo)；4. 此題難度不大， 是提高學(xué)生成績的一個題，

14、 但也是學(xué)生不細(xì)心丟分的一個題，教師一定要重視這道題。教學(xué)舉例（河南省 2016）（9 分）如圖，小東在教學(xué)樓距地面9 米高的窗口 C處，測得正前方旗桿頂部A點的仰角為 37，旗桿底部 B 點的俯角為 45，升旗時，國旗上端懸掛在距地面 2.25 米處，若國旗隨國歌聲冉冉升起，并在國歌播放 45 秒結(jié)束時到達(dá)旗桿頂端，則國旗應(yīng)以多少米 / 秒的速度勻速上升？（參考數(shù)據(jù)：sin37 0.60 ，cos37 0.80 ，tan37 0.75 ）新課程標(biāo)準(zhǔn)要求學(xué)生能認(rèn)識到現(xiàn)實生活中蘊含著大量了數(shù)學(xué)信息、數(shù)學(xué)在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應(yīng)用； 面對實際問題時， 能主動嘗試著從數(shù)學(xué)的角度運用所學(xué)知識和方法尋求

15、解決問題的策略； 面對新的數(shù)學(xué)知識時，能主動地尋找其實際背景，并探索其應(yīng)用價值。因此使學(xué)生從生活中體驗數(shù)學(xué)的意義 , 激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣 . 有利于讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)來源于生活、服務(wù)于生活 .教法設(shè)計 1. 本節(jié)課主要內(nèi)容是一個關(guān)于仰角和俯角問題的實際問題，本節(jié)課采用自主探究式教學(xué)， 通過問題情境自然引入新課， 通過對實際問題的探究，體驗實際問題的解決過程，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，體會數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用，提高解題能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模意識。具體思路如下： 出示問題讓學(xué)生讀題審題。 探究：出示問題1、小東在教學(xué)樓距地面9 米高的窗口 C處，可知 BD的長度是多少？由旗桿底部 B 點的俯角為 45可知 CD的長度是多少？2、由測得正前方旗桿頂部A 點的仰角為 37和 CD的長度如何求 AD的長度；3、由 AD和 BD的長度可求出 AB的長度是多少？4、根據(jù)題意得到整個過程中旗子上升高度是多少？5、若國旗隨國歌聲冉冉升起， 并在國歌播放45 秒結(jié)束時到達(dá)