高等數(shù)學應(yīng)用題實際應(yīng)用研究—本科畢業(yè)論文

1、摘 要應(yīng)用題一直都是高等數(shù)學中的一個重點內(nèi)容，它將高等數(shù)學中的理論知識與實際應(yīng)用相聯(lián)系，通過練習應(yīng)用題，我們可以很好地掌握高等數(shù)學中的理論要點，但是在我們所學的內(nèi)容中，很少將高等數(shù)學中的應(yīng)用題進行總結(jié)性的歸類，我覺得在這方面做一下探討很有必要.本文中主要是在我們學習了高等數(shù)學的基礎(chǔ)上，進一步對高等數(shù)學中的應(yīng)用題進行總結(jié)歸納.文章中主要分七個部分進行介紹：首先是引言部分，即介紹研究課題的意義、目的及本課題在國內(nèi)外的發(fā)展概況及存在的問題，并對正文中的內(nèi)容作大概介紹；其次是正文部分，即介紹六類高等數(shù)學中的應(yīng)用題：高等數(shù)學中導數(shù)的應(yīng)用、極值最值的應(yīng)用、不定積分的應(yīng)用、定積分的應(yīng)用、微分方程的應(yīng)用以及概

2、率論的應(yīng)用.其中先介紹理論知識，再根據(jù)理論給出相應(yīng)的應(yīng)用題，將抽象的知識直觀化，進一步領(lǐng)悟數(shù)學的實際應(yīng)用價值，達到潛移默化地培養(yǎng)學生應(yīng)用數(shù)學的能力.關(guān)鍵詞：高等數(shù)學；應(yīng)用題；實際應(yīng)用ABSTRACTApplication problem of higher mathematics has always been a key content of higher mathematics; it connects the theoretical knowledge of higher mathematics with the actual application. Through practicin

3、g it, we can better grasp the theoretical points of higher mathematics. But in the knowledge we learned, word problems are rarely conclusively classified, so I think that it is necessary to do some study about this aspect.This paper is aimed to further classify word problems in higher mathematics, i

4、t is mainly divided into two parts: the first part is the introduction, introducing the significance and purpose of the paper researched ,the development of this topic at home and abroad and the existing problems, and giving brief introduction of the body; then comes to the body part, it introduces

5、six different word problems in higher mathematics, including application of derivative, extreme value and the most value, indefinite integral, definite integral, differential equation and theory of probability in higher mathematics. First is the introduction of the theoretical knowledge, second is t

6、he corresponding practice under the basis of theory to visualize the abstract knowledge, make the students understand the application value of mathematics, and cultivate students ability to apply mathematics by imperceptible influence.Key words: higher mathematics; application problem; practical app

7、lication 目 錄摘 要IABSTRACTII1引言12高等數(shù)學中導數(shù)的應(yīng)用12.1導數(shù)的概念12.2導數(shù)應(yīng)用題13高等數(shù)學中極值與最值的應(yīng)用23.1函數(shù)極值與最值的相關(guān)概念23.2極值與最值應(yīng)用題34高等數(shù)學中不定積分的應(yīng)用44.1不定積分的相關(guān)概念44.2不定積分應(yīng)用題45高等數(shù)學中定積分的應(yīng)用55.1定積分的相關(guān)性質(zhì)55.2定積分應(yīng)用題66高等數(shù)學中微分方程的應(yīng)用76.1微分方程的概念76.2微分方程應(yīng)用題77高等數(shù)學中有關(guān)概率論的應(yīng)用77.1古典型概率87.2幾何型概率88 結(jié)束語9參考文獻91 引言在現(xiàn)實生活中，數(shù)學逐漸成為現(xiàn)代文化的一個很重要的組成部分，數(shù)學的各種思想各種方法

8、都在向其他的領(lǐng)域不斷滲透，人們越來越重視對于數(shù)學的應(yīng)用.大學的學習任務(wù)就是讓學生兼?zhèn)洫毩?yīng)用數(shù)學的實際能力，能運用自己所學的理論知識去解決實際生活的問題. 因此培養(yǎng)學生的數(shù)學應(yīng)用意識，提高學生應(yīng)用數(shù)學知識解決問題的能力,在大學高等數(shù)學學習中尤為重要.在大學學習中，高等數(shù)學的學習過程比較枯燥，公式、定義、定理等，這些都在影響著學生的學習興趣與主動性.但是高等數(shù)學應(yīng)用題就會引起學生學習的興趣，高等數(shù)學應(yīng)用題是理論知識與實踐生活的結(jié)合，通過列舉生活中的實際案例應(yīng)用題，學生應(yīng)用高等數(shù)學中的理論知識去解決問題，在真實的生活案例中理解與掌握高等數(shù)學的理論知識，從而可以增強學生數(shù)學的應(yīng)用意識，培養(yǎng)學生數(shù)學的

9、應(yīng)用能力.學生在高等數(shù)學應(yīng)用題的練習中，潛移默化的學會學以致用，應(yīng)用理論知識去解決實際問題.本文主要是在學習了高等數(shù)學的基礎(chǔ)上，對高等數(shù)學中出現(xiàn)的應(yīng)用題進行歸納總結(jié).其中主要介紹了六類應(yīng)用題，即高等數(shù)學中導數(shù)的應(yīng)用、極值最值的應(yīng)用、不定積分的應(yīng)用、定積分的應(yīng)用、微分方程的應(yīng)用以及概率的應(yīng)用.在分別介紹理論知識后，我都會在其后用例子來加以說明，以便于讓讀者更清晰的了解，并加以理解和更好的掌握.2 高等數(shù)學中導數(shù)的應(yīng)用2.1 導數(shù)的概念定義1 設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)有定義，給以改變量，則函數(shù)的相應(yīng)改變量為.如果當時，兩個改變量比的極限存在，則稱這個極限值為函數(shù)在點的導數(shù)，并稱函數(shù)在可導或具有導數(shù)，

10、也稱為在可微或有微商.我們常采用記號或者等來表示函數(shù)在點的導數(shù).注：如果這個極限不存在，就叫函數(shù)在點沒有導數(shù)或者導數(shù)不存在.如果極限為無窮大，那么導數(shù)是不存在的，但有時為方便起見，也稱函數(shù)在點 的導數(shù)無窮大.2.2 導數(shù)應(yīng)用題導數(shù)概念的一個有趣的應(yīng)用就是計算相對變化率.它典型的模式是這樣的：在某一個過程中，有兩個相關(guān)的變量，它們都是時間的函數(shù)，給定某一變量在某一個時刻的速度，求另外一個變量的速度.在應(yīng)用的過程中，我們需要從原始數(shù)據(jù)中找出必要的關(guān)系.有些關(guān)系直接給出的，有些是需要推導才能得出的.一般情況下分為以下五個步驟：找出變量，標上符號；用數(shù)學的專業(yè)術(shù)語表達出問題；將變量之間的關(guān)系用方程式的

11、方式表達出來；利用復合函數(shù)求導法則找出導數(shù)之間的關(guān)系；代入數(shù)據(jù)，求解出答案.【例1】 有一個半球面形狀的碗，半徑為厘米，正在以立方厘米/分鐘的穩(wěn)定流量注入水流.當水的深度已達到厘米時，試求水面高度上升的速率為多少？解：設(shè)水深達厘米時，體積為立方厘米，則，故.又，所以.當時，即水面高度上升的速率為每分鐘厘米.3 高等數(shù)學中極值與最值的應(yīng)用3.1 函數(shù)極值與最值的相關(guān)概念定義2 設(shè)函數(shù)在點附近有定義，若對點附近的一切，恒有.則稱為的極大（小）值，并稱在點取到極大（小）值，點稱為的極大（小）點.定理1 設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)有有限多個極值,記.若在上單調(diào)增（減），則為最?。ù螅┲?，為最大（?。┲?若在上連

12、續(xù)且在內(nèi)只有唯一一個極值，則該極值（極大值或極小值）就是最值（最大值或最小值）.注：求函數(shù)在上的最大（?。┲担恍枰讶繕O大（?。┲蹬c函數(shù)的端點值,作比較，其中最大（?。┑闹稻褪窃谏系淖畲螅ㄐ。┲?3.2 極值與最值應(yīng)用題在工程技術(shù)，自然科學及日常生活中的大量實際問題都可以化為求函數(shù)的極大值與極小值問題.企業(yè)家追求最大利潤與最小成本；飛行員尋求最短飛行時間；醫(yī)生希望病人康復時間最短，等等.借助于微積分我們可以解決許多這種類似的問題.通常一個問題到達我們手上，都是用描述性語言給出的.因此我們面臨的第一個任務(wù)就是將它轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，我們所期望的形式是：求函數(shù)在區(qū)間上的最大值或者最小值.函數(shù)的圖形

13、告訴我們：函數(shù)的最大（小）值，或者在函數(shù)的極大（小）值點處達到，或者在區(qū)間的端點處達到.這樣一來，函數(shù)的最大值、最小值，或在端點，處達到，或在方程的根處達到.【例2】 某一個星級賓館有間客房，通過一段時間的經(jīng)營管理，賓館經(jīng)理整理出一些數(shù)據(jù)：如果每個房間定價為元，則住房率為；如果每個房間定價為元，則住房率為；如果每個房間定價為元，則住房率為；如果每個房間定價為元，住房率為.如果想使得每天收入最高，那么每個房間定價應(yīng)為多少？解：問題分析由題意，易得出：定價每降低元，住房率便增加，呈線性增長的趨勢；元的定價是否為最高價需要確定；是否所有客房定價相同應(yīng)給與確定.模型假設(shè)在無其他信息時，每個房間的最高定

14、價均為元；所有客房定價相同.模型建立根據(jù)假設(shè)一，如果設(shè)代表賓館一天的總收入，而 表示與元相比降低的房價，則可以得出：每降低元錢的房價，住房率增加為.由此便可以得到.注意到又得到于是得到所求的數(shù)學模型為：，模型求解這是一個二次函數(shù)的極值問題，利用導數(shù)的方法易得到為唯一的駐點，問題又確實存在最大值，故（元）即為價格降低的幅度，也就是（元）應(yīng)為最大收入所對應(yīng)的房價.模型分析 將房價定在135元時，相應(yīng)的住房率為最大收入為（元）.表面上住房率沒有達到最高，但是總收入達到最大，這自然是住房率與價格相互制約造成. 為了便于管理，將價格定在每個房間每天140元也無妨，因為此時的總收入與最高收入僅差18.75

15、元.假如定價是180元，住房率應(yīng)為45%，其相應(yīng)的收入只有12150元，由此可知，我們的假設(shè)一是正確的.4 高等數(shù)學中不定積分的應(yīng)用4.1 不定積分的相關(guān)概念原函數(shù)：若在區(qū)間上，可導函數(shù)的導函數(shù)為,即對于任意一個，都有或者，則稱函數(shù)為（或）在區(qū)間上的原函數(shù).定理2 設(shè)，定義在同一區(qū)間內(nèi)，如果是的一個原函數(shù)，那么也是的原函數(shù)，這里是任意的常數(shù)，而包含了的全部原函數(shù).不定積分：在區(qū)間上，函數(shù)帶有任意常數(shù)項的原函數(shù)稱為（或）在區(qū)間上的不定積分，記作，其中稱為積分變量，與分別稱作被積函數(shù)和被積表達式.由定理2可知，如果知道了的一個原函數(shù)，則就是的全部原函數(shù)，因此有，其中是一個任意的常數(shù)，稱為積分常數(shù).

16、4.2 不定積分應(yīng)用題不定積分計算的題目千變?nèi)f化，方法靈活多變，使初學者無所適從.實際上，大部分問題可由湊微分法和分部積分法進行計算.除此之外，就是一些特殊類型函數(shù)（簡單的有理函數(shù)，簡單的三角有理式及特殊形式的根式）的積分，這類問題的方法相對比較固定.因此，通?？梢韵瓤幢环e函數(shù)是否有特殊類型的函數(shù)；然后看被積函數(shù)是否為可用分部積分法的五大類函數(shù)的乘積形式；最后考慮湊微分法.（后兩步的考查順序也可以顛倒一下.）當然有些比較復雜的題目需要多種方法綜合運用，也有些題目解法是多種多樣的，這些都是需要通過練習、觀察、分析和總結(jié)各種解題的方法和技巧，掌握不同類型問題的特點及彼此間的聯(lián)系，達到融會貫通的目的

17、.【例3】 在平面上有運動著的質(zhì)點，若它在軸方向與軸方向的分速度分別為 ，又，求：（1）時間為時質(zhì)點所在的位置； （2）運動的軌跡方程.解：（1）設(shè)時間為時質(zhì)點位置為，由導數(shù)的物理意義有.由，得，因此時間為時，質(zhì)點位置為.運動軌跡方程為或者消去參數(shù)得軌跡方程為.5 高等數(shù)學中定積分的應(yīng)用5.1 定積分的相關(guān)性質(zhì) 定積分的微元法我們在研究曲邊梯形的面積問題和變速直線運動的路程問題時，都是先把整體問題轉(zhuǎn)化為局部問題，在局部范圍內(nèi)“以直代曲”或者“以不變代變”，從而求得整體量在各個局部范圍內(nèi)的近似值，然后加起來在取極限，最終求得整體量.即： 分割：把所求量分成個部分； 近似代替：，； 求和：； 取極

18、限：（其中）.這就是用定積分解決實際問題的基本思路，在這四步中，第二步近似代替是關(guān)鍵.因為只要能夠?qū)懗蛇@一步，那么所求定積分的表達式的雛形就構(gòu)成了，因此下面的問題就不難解決了.在實際問題中，通常采取以下三步來解決問題： 選取積分變量：根據(jù)具體問題，適當選取坐標系，確定積分變量及其變化區(qū)間； 確定被積表達式：在內(nèi)任取一個小區(qū)間,“以不變代變”求得整體量相應(yīng)于區(qū)間上的局部量的近似值：，其中稱為整體量的微元或元素，記為（必須注意：與僅相差一個比高階的無窮小，否則可能會造成失誤）； 求定積分以所求量的微元為被積表達式，在區(qū)間上定積分，得，這就是所求量的定積分表達式，計算出定積分就得到所求量的值.以上這

19、種方法就是微元法或者元素法.5.2 定積分應(yīng)用題應(yīng)用定積分的理論和計算方法能解決一些實際問題.但應(yīng)用定積分理論解決實際問題的第一步就是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，這一步往往較為困難，而微元法恰恰是解決這個困難，實現(xiàn)這個轉(zhuǎn)化的得力工具.【例4】 某早上開始下雪，整天穩(wěn)降不停.正午12點一輛掃雪車開始進行掃雪，每小時掃雪量按體積是常數(shù).到了下午2點的時候掃清了兩英里路，到了下午4點又掃清了1英里路，問降雪是從什么時候開始的？解：設(shè)從時刻開始下雪，正午記為.雪量為，鏟雪速度為，街區(qū)長為定值，寬為.則時刻地面上雪的厚度為，清掃雪時的速度為.在時刻清掃的路長為.由題可知與.比較得.6 高等數(shù)學中微分方程的

20、應(yīng)用6.1 微分方程的概念在我們的實際生活中有很多量，它隨著時間的變化率正比于它的大小.例如，銀行的存款按照一定的利率增加.在數(shù)學上恰有一個函數(shù)能描述上述現(xiàn)象，這就是指數(shù)函數(shù)；指數(shù)函數(shù)關(guān)于自變量的變化率正比于它的大?。喝?，則.因此，用指數(shù)函數(shù)來描述上述現(xiàn)象我們將不會驚訝.事實上，滿足上述方程的函數(shù)一定是指數(shù)函數(shù).定理3 若滿足（6.11），則，這里是任意的常數(shù).證明：由（6.11） ，從而，.定理得證.我們剛才解的方程（6.11）是一個含有函數(shù)的導數(shù)的方程式，人們稱這種方程式為微分方程式.微分方程的解是函數(shù)，而不是數(shù)，這是與代數(shù)方程不同的地方.6.2 微分方程應(yīng)用題【例5】 一起交通事故發(fā)生了

21、個小時以后，警方測得司機的血液中酒精的含量是又過了兩個小時，其血液內(nèi)酒精含量降為，試判斷，當事故發(fā)生的時候，司機是否違反了酒精含量的規(guī)定（不超過）.解：設(shè)為時刻血液中酒精的濃度，則濃度遞減率的模型應(yīng)為，其通解是，而就是所求量.由題設(shè)可知故有 和 .由此解得 可見在事故發(fā)生時，司機血液中酒精的濃度已經(jīng)超出了規(guī)定.7 高等數(shù)學中有關(guān)概率論的應(yīng)用關(guān)于概率論方面的應(yīng)用題，可以發(fā)現(xiàn)其應(yīng)用題種類繁多，應(yīng)當結(jié)合題目所涉及的具體情境，對隱含在題目已知條件中的隱含條件進行分析，找出他們當中的關(guān)系，最終回到利用概率知識求解概率模型的解題思路當中.在這里，本文就以最基本的兩個類型進行介紹.7.1 古典型概率稱隨機試

22、驗（隨機現(xiàn)象）的概率模型為古典概型（也稱等可能概型），如果其基本事件空間（樣本空間）滿足：（1）只有有限個基本事件（樣本點）；（2）每個基本事件（樣本點）發(fā)生的可能性都一樣.如果古典概型的基本事件總數(shù)為，事件包含個基本事件，即有利于的基本事件為個，則事件的概率定義為由上式計算的概率稱為事件的古典概型.【例6】 一條公交車的路線，中途設(shè)有9個?？空?，最后達到終點站.已知在起點站上有20位乘客上車，那么在第一站恰有4位乘客下車的概率是多少？（假設(shè)每位乘客在各車站下車時等可能的）解：設(shè)事件表示第一站有4位乘客下車，則樣本空間所含樣本點總數(shù)為，而事件是20位乘客中有4人在第一站就下車，其余16位沒有在

23、第一站下車，他們將在第一站后面的9個站（包含終點站）下車，因此有利于事件的樣本點為.根據(jù)古典概型公式有.7.2 幾何型概率稱隨機試驗（隨機現(xiàn)象）的概率模型為幾何模型，如果：（1）樣本空間（基本事件空間）是一個可度量的幾何區(qū)域；（2）每個樣本點（基本事件）發(fā)生的可能性都是一樣的，即樣本點落入的某一個可度量的子區(qū)域的可能性大小與的幾何度量成正比，而與的位置及形狀無關(guān).在幾何概率型隨機試驗中，如果是樣本空間的一個可度量的子區(qū)域，則事件“樣本點落入?yún)^(qū)域”的概率定義為：.由上式計算的概率稱為事件的幾何型概率.【例7】 甲乙兩人相約于12點至1點在某地會面.先到的人需等候另一個人20分鐘，過時就立即離開，設(shè)兩人的到達時刻在12點至1點間都是隨機和等可能的，則求這兩人會面的概率.解：以表示甲到達的時刻，以表示乙到達的時刻.要這兩個人會面，其充要條件是.記事件表示“兩人能會面”，表示所有可能，則.8 結(jié)束語通過大學對高等數(shù)學的學習，我們知道高等數(shù)學應(yīng)用題種類很多，而本文中主要介紹了六類高等數(shù)學中的應(yīng)用題類型，即高等數(shù)學中導數(shù)的應(yīng)用、極值最值的應(yīng)用、不定積分的應(yīng)用、定積分的應(yīng)用、微分方程的應(yīng)用和有關(guān)概率的應(yīng)用.然而高等數(shù)學應(yīng)用題還有其他方面的應(yīng)用，這還有待于我們進一步探索研究.畢業(yè)論文是對我們大學四年來所學知識的總結(jié)與拓展，這其中所涉及到