2021屆高考數(shù)學(xué)統(tǒng)考第二輪專題復(fù)習(xí)第21講不等式選講學(xué)案理含解析

1、第21講不等式選講高考年份全國(guó)卷全國(guó)卷全國(guó)卷2020含絕對(duì)值的函數(shù)的圖像與不等式的求解t23絕對(duì)值不等式的求解t23不等式的證明t232019不等式的證明t23絕對(duì)值不等式的求解t23求最值與不等式的證明t232018絕對(duì)值不等式的求解t23絕對(duì)值不等式的求解t23含絕對(duì)值的函數(shù)的圖像與綜合應(yīng)用t231.2020全國(guó)卷已知函數(shù)f(x)=|3x+1|-2|x-1|.(1)畫(huà)出y=f(x)的圖像;(2)求不等式f(x)f(x+1)的解集.圖m7-21-12.2020全國(guó)卷設(shè)a,b,cr,a+b+c=0,abc=1.(1)證明:ab+bc+ca1的解集.圖m7-21-22已知函數(shù)f(x)=|2x-a

2、|+|x-1|,ar.(1)若不等式f(x)2-|x-1|無(wú)解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)當(dāng)a2時(shí),函數(shù)f(x)的最小值為2,求實(shí)數(shù)a的值.【規(guī)律提煉】絕對(duì)值不等式的解法主要有三種:一是零點(diǎn)分段法,即令每一個(gè)絕對(duì)值為0,找到零點(diǎn),然后通過(guò)分類討論得到每一段的解集,最后求并集,得到不等式解集的方法;二是通過(guò)數(shù)形結(jié)合,畫(huà)出圖像,經(jīng)過(guò)定性與定量分析得到解集;三是幾何法,即利用絕對(duì)值的幾何意義求解的方法.測(cè)題1.2020全國(guó)卷已知函數(shù)f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|.(1)當(dāng)a=2時(shí),求不等式f(x)4的解集;(2)若f(x)4,求a的取值范圍.2.已知函數(shù)f(x)=|2x-1|-|x+3|+

3、m.(1)求不等式f(x)m的解集;(2)若恰好存在7個(gè)不同的整數(shù)n,使得f(n)f(x),是指kf(x)min.測(cè)題已知函數(shù)f(x)=|ax+1|+|2x-1|.(1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)3的解集;(2)若0a2,且對(duì)任意xr,f(x)32a恒成立,求a的最小值.第21講不等式選講真知真題掃描1.解:(1)由題設(shè)知f(x)=-x-3,x-13,5x-1,-131.y=f(x)的圖像如圖所示.(2)函數(shù)y=f(x)的圖像向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)y=f(x+1)的圖像.y=f(x)的圖像與y=f(x+1)的圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)為-76,-116.由圖像可知當(dāng)且僅當(dāng)xf(x+1)的解集為-

4、,-76.2.證明:(1)由題設(shè)可知,a,b,c均不為零,所以ab+bc+ca=12(a+b+c)2-(a2+b2+c2)=-12(a2+b2+c2)0,b0,c0.由bc(b+c)24,可得abca34,故a34,所以maxa,b,c34.3.解:(1)由于(x-1)+(y+1)+(z+1)2=(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2+2(x-1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x-1)3(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2,故由已知得(x-1)2+(y+1)2+(z+1)243,當(dāng)且僅當(dāng)x=53,y=-13,z=-13時(shí)等號(hào)成立.所以(x-1)2+(y+1)2+(z+1)

5、2的最小值為43.(2)證明:由于(x-2)+(y-1)+(z-a)2=(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2+2(x-2)(y-1)+(y-1)(z-a)+(z-a)(x-2)3(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2,故由已知得(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2(2+a)23,當(dāng)且僅當(dāng)x=4-a3,y=1-a3,z=2a-23時(shí)等號(hào)成立.因此(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2的最小值為(2+a)23.由題設(shè)知(2+a)2313,解得a-3或a-1.考點(diǎn)考法探究解答1例1解:(1)由已知得f(x)=x-4,x-1,3x-2,-1x1,解得x5或x3,x-1;當(dāng)-1x1,解得x1

6、或x13,-1x13或1x1,解得x5或x3,32x5.綜上,|f(x)|1的解集為-,13(1,3)(5,+).例2解:(1)由f(x)2-|x-1|,得|2x-a|+|2x-2|2,不等式f(x)2-|x-1|無(wú)解,(|2x-a|+|2x-2|)min2,又|2x-a|+|2x-2|(2x-a)-(2x-2)|=|a-2|,|a-2|2,a4或a0,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-,0)(4,+).(2)a2,a21,f(x)=|2x-a|+|x-1|=-3x+a+1,xa2,x-a+1,a2x1,3x-a-1,x1,則當(dāng)x=a2時(shí),f(x)min=1-a2=2,a=-22,符合題意,a=-2.【自

7、測(cè)題】1.解:(1)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=7-2x,x3,1,34.因此,不等式f(x)4的解集為x|x32或x112.(2)因?yàn)閒(x)=|x-a2|+|x-2a+1|a2-2a+1|=(a-1)2,故當(dāng)(a-1)24,即|a-1|2時(shí),f(x)4,所以當(dāng)a3或a-1時(shí),f(x)4.當(dāng)-1a3時(shí),f(a2)=|a2-2a+1|=(a-1)24.所以a的取值范圍是(-,-13,+).2.解:(1)由f(x)m,得|2x-1|x+3|,(2x-1)2(x+3)2,(3x+2)(x-4)0,解得-23x4,不等式f(x)m的解集為x-23x4.(2)設(shè)g(x)=|2x-1|-|x+3|,則g(x)

8、=-x+4,x12,不等式f(x)1等價(jià)于g(x)1-m,若恰好存在7個(gè)不同的整數(shù)n,使得f(n)1,則恰好存在7個(gè)不同的整數(shù)n,使得g(n)1-m,又g(-2)=4,g(-1)=1,g(0)0,g(1)0,g(2)0,g(3)0,g(4)=0,g(5)=1,g(6)=2,g(5)1-m,g(6)1-m,即11-m,21-m,-1m12時(shí),不等式可化為2x-1+2x+26,解得x54,12x54;當(dāng)-1x12時(shí),不等式可化為-(2x-1)+2x+26,即36,-1x12;當(dāng)x-1時(shí),不等式可化為-(2x-1)-(2x+2)6,解得x-74,-74x-1.綜上所述,不等式f(x)6的解集是x-7

9、4x54.(2)由題意得g(x)=|x-1|+22,f(x)=|2x-a|+|2x+2|a+2|,則|a+2|2,解得a0或a-4,a的取值范圍是(-,-40,+).【自測(cè)題】解:(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=|x+1|+|2x-1|=-3x,x12.,方法一:作出函數(shù)f(x)=|x+1|+|2x-1|的圖像,它與直線y=3的交點(diǎn)為a(-1,3),b(1,3),所以f(x)3的解集為(-,-1)(1,+).方法二:不等式f(x)3等價(jià)于x3或-1x12,-x+23或x12,3x3,解得x1,所以f(x)3的解集為(-,-1)(1,+).(2)因?yàn)?a2,所以-1a0,a-20,則f(x)=|ax+1|+|2x-1|=-(a+2)x,x12,所以函數(shù)f