第十三章函數(shù)列及函數(shù)項(xiàng)級數(shù)

1、第十三章 函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)目的與要求：1.掌握函數(shù)序列與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂性的定義,函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂性判別的柯西收斂準(zhǔn)則,函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂性的判別法. 2. 掌握一致收斂函數(shù)序列與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的連續(xù)性、可積性、可微性的結(jié)論重點(diǎn)與難點(diǎn)：本章重點(diǎn)是函數(shù)序列與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂性的定義,判別法和性質(zhì)；難點(diǎn)則是利克雷判別法和阿貝爾判別法.第一節(jié) 一致收斂性我們知道,可以用收斂數(shù)列（或級數(shù)）來表示或定義一個(gè)數(shù),在此,將討論如何用函數(shù)列（或函數(shù)項(xiàng)級數(shù)）來表示或定義一個(gè)函數(shù).一 函數(shù)列及其一致收斂性 設(shè) (1)是一列定義在同一數(shù)集上的函數(shù),稱為定義在上的函數(shù)列.也可簡記為： 或 , .設(shè),將代入

2、得到數(shù)列 (2)若數(shù)列(2)收斂,則稱函數(shù)列(1)在點(diǎn)收斂,稱為函數(shù)列(1)的收斂點(diǎn).若數(shù)列(2)發(fā)散,則稱函數(shù)列(2)在點(diǎn)發(fā)散.若函數(shù)列在數(shù)集上每一點(diǎn)都收斂,則稱在數(shù)集上收斂.這時(shí)對于,都有數(shù)列的一個(gè)極限值與之對應(yīng),由這個(gè)對應(yīng)法則就確定了上的一個(gè)函數(shù),稱它為函數(shù)列的極限函數(shù).記作.于是有 , ,或 ,.函數(shù)列極限的定義是： 對每一個(gè)固定的,對,（注意：一般說來值的確定與和的值都有關(guān)）,使得當(dāng)時(shí),總有 .使函數(shù)列收斂的全體收斂點(diǎn)的集合,稱為函數(shù)列的收斂域.例1 設(shè),為定義在上的函數(shù)列,證明它的收斂域是,且有極限函數(shù) (3)證明：因?yàn)槎x域?yàn)?所以根據(jù)數(shù)列收斂的定義可以將分為四部分 (i) ,對

3、于任給（不妨設(shè)）,當(dāng)時(shí),由于,故只要取,則當(dāng)時(shí),就有.(ii)和時(shí),則對任何正整數(shù),都有,.(iii) 當(dāng)時(shí),則有,(iv) 當(dāng)時(shí),對應(yīng)的數(shù)列為,它顯然是發(fā)散的. 這就證得在上收斂,且有(3)式所表示的極限函數(shù).所以函數(shù)列在區(qū)間外都是發(fā)散的.例2 定義在上的函數(shù)列,由于對任何實(shí)數(shù),都有 ,故對任給的,只要,就有.所以函數(shù)列的收斂域?yàn)闊o限區(qū)間,函數(shù)極限.定義1 設(shè)函數(shù)列與函數(shù)定義在同一數(shù)集D上,若對任給的正數(shù),總存在某一正整數(shù),使得當(dāng)時(shí),對一切的,都有則稱函數(shù)列在上一致收斂于,記作：.注：一致收斂一定收斂，反之不一定成立例 在上收斂但是不一致收斂，取，但是在上一致收斂.其中定理13.1（函數(shù)列一

4、致收斂的柯西準(zhǔn)則） 函數(shù)列在數(shù)集上一致收斂的充要條件是：對任給的正數(shù),總存在正數(shù),使得當(dāng)時(shí),對一切,都有 . （4）證明 必要性 設(shè),即對任給,存在正數(shù),使得當(dāng)時(shí),對一切,都有 . （5）于是當(dāng),由（5）就有 . 充分性 若條件（4）成立,由數(shù)列收斂的柯西準(zhǔn)則,在上任一點(diǎn)都收斂,記其極限函數(shù)為,.現(xiàn)固定（4）式中的,讓,于是當(dāng)時(shí),對一切都有.由定義1, ,.定理13.2 函數(shù)列在區(qū)間上一致收斂于的充要條件是： . （6）證明 必要性 若,.則對任給的正數(shù),存在不依賴與的正整數(shù),當(dāng)時(shí),有, .由上確界的定義,亦有，則有 . 充分性 由假設(shè),對任給的,存在正整數(shù),使得當(dāng),有 . （7）因?yàn)閷σ磺?

5、總有.故由(7)式得 .于是在上一致收斂于.（第四版）推論 函數(shù)列在區(qū)間上不一致收斂于的充要條件是：存在,使得.例3定義在上的函數(shù)列 （8）由于,故.當(dāng)時(shí),只要,就有,故在上有.于是函數(shù)列(8)在上的極限函數(shù),又由于 ,所以函數(shù)列(8)在上不一致收斂.(第四版課本上例題)設(shè),判別在上的一致收斂性.解： 求出駐點(diǎn)為在區(qū)間,；在,所以極大值點(diǎn)為因此,所以不一致收斂同樣也可取,還可取,也可以證明函數(shù)列不一致收斂.二 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)及其一致收斂性設(shè)是定義在數(shù)集上的一個(gè)函數(shù)列,表達(dá)式 , （9）稱為定義在上的函數(shù)項(xiàng)級數(shù),簡記為或.稱 , , （10）為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)(9)的部分和函數(shù)列. 若,數(shù)項(xiàng)級數(shù) （11）

6、收斂,既部分和當(dāng)時(shí)極限存在,則稱級數(shù)（9）在點(diǎn)收斂,稱為級數(shù)(9)的收斂點(diǎn),若級數(shù)(11)發(fā)散,則稱級數(shù)(9)在點(diǎn)處發(fā)散.若級數(shù)(9)在某個(gè)子集上每個(gè)點(diǎn)都收斂,則稱級數(shù)(9)在點(diǎn)上收斂,若為級數(shù)(9)全體收斂點(diǎn)的集合,這時(shí)則稱為級數(shù)(9)的收斂域.級數(shù)(9)在上每一點(diǎn)與其所對應(yīng)的數(shù)項(xiàng)級數(shù)(11)的和構(gòu)成一個(gè)定義在上的函數(shù),稱為級數(shù)(9)的和函數(shù),并寫作,即 ,.也就是說,函數(shù)項(xiàng)級數(shù)(9)的收斂性就是指它的部分和函數(shù)列(10)的收斂性.例4 定義在上的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)（幾何級數(shù)） （12）的部分和函數(shù)為.故當(dāng)時(shí),.所以幾何級數(shù)(12)在內(nèi)收斂于和函數(shù)；當(dāng)時(shí),發(fā)散；當(dāng)時(shí),發(fā)散當(dāng)時(shí),幾何級數(shù)是發(fā)散的.定義

7、2（函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂性定義） 設(shè)是函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的部分和函數(shù)列.若在數(shù)集上一致收斂于函數(shù),則稱函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在上一致收斂于函數(shù),或稱在上一致收斂.(第四版)若在任意的閉區(qū)間上一致收斂,則稱級數(shù)在區(qū)間上內(nèi)閉一致收斂.由于函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一致收斂性是由它的部分和函數(shù)列來決定的,因此有定理13.3（函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂的柯西準(zhǔn)則）函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在上一致收斂的充要條件是：對于任給的,使得當(dāng)時(shí),對一切和一切正整數(shù),都有 即 .特別地,當(dāng)時(shí),得到函數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂的必要條件：推論 若函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在上一致收斂,則函數(shù)列在上一致收斂于0.設(shè),稱為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的余項(xiàng).定理13.4 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在上一致收斂于充要條件是 .例：若在上討論，

8、則若在上，則三 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一致收斂性判別法1.用定義；2.柯西收斂準(zhǔn)則（定理3）；3.函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂的充要條件（必須已知和函數(shù)才可用此判別法）；4.魏爾斯特拉斯判別法定理13.5（魏爾斯特拉斯判別法,也稱判別法或優(yōu)級數(shù)判別法）設(shè)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)定義在數(shù)集上,為收斂的正項(xiàng)級數(shù),若對于一切的,有,則函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在上一致收斂.證明：要想證明函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在上一致收斂,只需要根據(jù)柯西收斂準(zhǔn)則,即證明對于任給的,使得當(dāng)時(shí),對一切和一切正整數(shù),都有 .而而已知為收斂的正項(xiàng)級數(shù),則對于任給的,使得當(dāng)時(shí),對于一切正整數(shù),都有注:(i)應(yīng)用此判別法的關(guān)鍵是：從出發(fā)找到所需的.(ii)由此判別法所得結(jié)果是絕對一致收斂的

9、.例5 判斷函數(shù)項(xiàng)級數(shù)和在上的一致收斂性.解：；,而數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂定理13.6 (阿貝爾判別法) 設(shè) (i) 在區(qū)間上一致收斂；(ii)對于每一個(gè),是單調(diào)的；(iii)在區(qū)間上一致有界,即對一切和正整數(shù),存在正數(shù),使得 ,則級數(shù)在區(qū)間上一致收斂.定理13.7 (狄利克雷判別法)設(shè) (i)的部分和函數(shù)列 在區(qū)間上一致有界；(ii)對于每一個(gè),是單調(diào)的；(iii)在區(qū)間上,則級數(shù)在區(qū)間上一致收斂.例6 證明函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在上一致收斂.證明：令；顯然收斂,對于中,設(shè),因此函數(shù)列單調(diào)遞增,并且,所以一致有界,根據(jù)阿貝爾判別法可知級數(shù)收斂 例7 若數(shù)列單調(diào)且收斂于零,則級數(shù)在上一致收斂.解:部分和數(shù)列一致有界

10、,數(shù)列單調(diào)且收斂于零,則根據(jù)狄利克雷判別法可知函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂第二節(jié) 一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的性質(zhì)主要討論由函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)所確定的函數(shù)的連續(xù)性、可積性、可微性.定理13.8 設(shè)函數(shù)列在上一致收斂于,且對,則、均存在,且相等.即.（即在一致收斂的條件下兩種極限可換序）證明：首先證明存在,由于函數(shù)列在上一致收斂于,則對于任意的,總存在正整數(shù),當(dāng)及任意的正整數(shù),對于一切,有左右同時(shí)令,有,根據(jù)數(shù)列收斂的柯西收斂準(zhǔn)則可知,存在.令下面證明只需要證明對于,存在,當(dāng)時(shí),有 又因?yàn)?則對于,存在正整數(shù),當(dāng)時(shí),有因此因?yàn)?則由極限定義可知,存在,當(dāng)時(shí),有,從而,則對于,存在正整數(shù),當(dāng)時(shí),有,從而證明

11、成立定理13.9（連續(xù)性） 若函數(shù)列在區(qū)間上一致收斂于,且對,在上連續(xù),則在上也連續(xù).證明：要想證明在上也連續(xù),則只需要證明對于,有即證明 對于,存在,當(dāng)時(shí),有而 因?yàn)?則對于,存在正整數(shù),對于任意的,當(dāng)時(shí),有因此； 又因?yàn)?則對于,存在,對于任意的,當(dāng)時(shí),有說明：若各項(xiàng)為連續(xù)函數(shù)的函數(shù)列在區(qū)間上其極限函數(shù)不連續(xù),則此函數(shù)列在區(qū)間上不一致收斂.如：在上.因?yàn)?顯然函數(shù)在處不連續(xù)定理13.10（可積性） 若函數(shù)列在上一致收斂,且每一項(xiàng)都連續(xù),則 .證明:要證明,只需要證明對于,存在正整數(shù),對于任意的,當(dāng)時(shí),有因?yàn)楹瘮?shù)列在上一致收斂,不妨假設(shè)則對于,存在正整數(shù),對于任意的,當(dāng)時(shí),有而 注1 該定理

12、指出：在一致收斂的條件下,極限運(yùn)算與積分運(yùn)算可以交換順序；注2 一致收斂只是這兩種運(yùn)算換序的充分條件,而并非必要條件.如下面的：例1 設(shè)函數(shù) , .解：先驗(yàn)證函數(shù)在上的連續(xù)性 ； 所以函數(shù)列在處連續(xù)；所以函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)綜合以上可知函數(shù)列在連續(xù)然后求函數(shù)列的極限(1)當(dāng)時(shí),；(2)當(dāng)時(shí),(3)當(dāng),則取,當(dāng)時(shí),因?yàn)?所以要讓函數(shù)列一致收斂于充要條件是 ,要讓充要條件是當(dāng)時(shí),顯然函數(shù)列不一致收斂于；當(dāng)時(shí),函數(shù)列不一致收斂于且定理13.11（可微性） 設(shè)為定義在上的函數(shù)列,若為的收斂點(diǎn),的每一項(xiàng)在上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),且在上一致收斂,則.證明:首先證明存在,假設(shè)；因?yàn)榈拿恳豁?xiàng)在上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),則即令,則上式

13、為 右式第一項(xiàng)為常數(shù),第二項(xiàng)為關(guān)于的函數(shù),因此存在,令下面證明,左右可以求導(dǎo),則注1 在該定理的條件下可以證明在區(qū)間上一致收斂；注2 該定理指出：在一致收斂的條件下,求導(dǎo)運(yùn)算與極限運(yùn)算可以交換順序；注3 一致收斂只是這兩種運(yùn)算換序的充分條件,而并非必要條件.推論 設(shè)函數(shù)列定義在區(qū)間上,若為的收斂點(diǎn),且在區(qū)間上內(nèi)閉一致收斂,則在上可導(dǎo),且例2 設(shè)函數(shù)列 ,. 解： 所以函數(shù)列在上不一致收斂,但是對于任意的所以函數(shù)列在上內(nèi)閉一致收斂,由推論可知在上下面討論函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的連續(xù)性,逐項(xiàng)求積與逐項(xiàng)求導(dǎo)的性質(zhì),它們都可由函數(shù)列的相應(yīng)性質(zhì)推出.定理13.12（連續(xù)性） 若函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在區(qū)間上一致收斂,且每一項(xiàng)都連續(xù),則其和函數(shù)也在區(qū)間上連續(xù).注：在一致收斂的條件下,求和運(yùn)算與求極限運(yùn)算可以交換順序,即 .定理13.13（逐項(xiàng)求積）若函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在區(qū)間上一致收斂,且每一項(xiàng)都連