排列組合知識點與方法歸納0001

1、排列組合一、知識網絡二、高考考點1、兩個計數原理的掌握與應用；2、關于排列與組合的定義的理解；關于排列與組合數公式的掌握；關于組合數兩個性質的掌握；3、運用排列與組合的意義與公式解決簡單的應用問題（多為排列與組合的混合問題）三、知識要點一分類計數原理與分步計算原理1分類計算原理（加法原理）：完成一件事，有 n類辦法，在第一類辦法中有m種不同的方法，在第二類辦法中有m種不同的方法， ，在第 n類辦法中有 m種不同的方法，那么完成這件事共有N= mi+ m?+ mn種不同的方法。2分步計數原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成 n個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第 2步有m種不同的方 法， ，

2、做第 n步有m種不同的方法，那么完成這件事共有N= mix m2X x m n種不同的方法。3、認知：上述兩個原理都是研究完成一件事有多少種不同方法的計數依據，它們的區(qū)別在于，加法原理的要害是分類：將完成一件事的方法分成若干類，并且各類辦法以及各類辦法中的各種方法相互獨立，運用 任何一類辦法的任何一種方法均可獨立完成這件事；乘法原理的要害是分步：將完成一件事分為若干步驟進行，各個步驟不可缺少，只有當各個步驟依次完成后這件事才告完成（在這里，完成某一步的任何一種方法只能完成這一個步驟，而不能獨立完成這件事）。二排列1定義（1） 從n個不同元素中取岀）個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同

3、元素中取出m個元素的一排列。（2）從n個不同元素中取岀 m（）個元素的所有排列的個數，叫做從 n個不同元素中取岀m個元素的排列數，記為!.2排列數的公式與性質（1） 排列數的公式：=n （ n-1 ） （ n-2 ）（n-m+1） =：；，特例：當 m=n 時，.=n=n （n-1 ）（ n-2 ）-x 3X 2X1規(guī)定：0! =1（2）排列數的性質：護泌忖O衛(wèi)扛、屠（I）3 = :.（排列數上標、下標同時減1 （或加1）后與原排列數的聯系）1或下標減1后與原排列數的聯系）（皿）（分解或合并的依據）三.組合1定義（1）從n個不同元素中取岀 -個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取岀個元素的一個

4、組合（2）從n個不同元素中取岀-個元素的所有組合的個數，叫做從n個不同元素中取岀rrM個元素的組合數，用符號表示。2組合數的公式與性質（1）組合數公式:4 _ 用(刃-1)( 2)(“ 一耀+1)4： =（乘積表示）（階乘表示）特例:（2）組合數的主要性質：rrM _ rrM-M（I）： 一（上標變換公式）(n)（楊輝恒等式）認知：上述恒等式左邊兩組合數的下標相同，而上標為相鄰自然數；合二為一后的右邊組合數下 標等于左邊組合數下標加 1而上標取左邊兩組合數上標的較大者。3比較與鑒別由排列與組合的定義知，獲得一個排列需要“取出元素”和“對取出元素按一定順序排成一列” 兩個過程，而獲得一個組合只需

5、要“取岀元素”，不管怎樣的順序并成一組這一個步驟。（1）排列與組合的區(qū)別在于組合僅與選取的元素有關，而排列不僅與選取的元素有關，而且還與 取出元素的順序有關。因此，所給問題是否與取出元素的順序有關，是判斷這一問題是排列問題還是組合 問題的理論依據。（2）注意到獲得（一個）排列歷經“獲得（一個）組合”和“對取岀元素作全排列”兩個步驟,故得排列數與組合數之間的關系:四、經典例題例1、某人計劃使用不超過500元的資金購買單價分別為軟件至少買3片，磁盤至少買 2盒，則不同的選購方式是（60、70元的單片軟件和盒裝磁盤，要求）A .5種B.6種C. 7種D. 8 種分析：依題意“軟件至少買3片，磁盤至少

6、買 2盒”，而購得3片軟件和2盒磁盤花去320元，所以，只需討論剩下的180元如何使用的問題。解：注意到購買 3片軟件和2盒磁盤花去320元，所以，這里只討論剩下的180元如何使用，可從購買軟件的情形入手分類討論：第一類，再買3片軟件，不買磁盤，只有1種方法；第二類，再買2片軟件，不買磁盤，只有1種方法；第三類，再買1片軟件，再買1盒磁盤或不買磁盤，有 2種方法； 第四類，不買軟件，再買 2盒磁盤、 1盒磁盤或不買磁盤，有 3種方法；于是由分類計數原理可知，共有 N=1+1+2+3=7種不同購買方法，應選C。例 2、已知集合 M=-1，0，1，N=2，3，4，5，映射丄，當 x M時,斜血+亦

7、）為奇數，則這樣的映射/的個數是（）A.20B.18C.32D.24分析：由映射定義知，當x M時， 伽N當x M時，這里的x可以是奇數也可以是偶數，但必須為奇數，因此，對M中x的對應情況逐一分析，分步考察:第一步，考察 x=-1的象，當x=-1時，此時丿.匚 可取N中任一數值，即 M中的元素-1與N中的元素有4種對應方法;第二步，考察 x=0的象，當x=0時，為奇數，故 /(0) 只有2種取法(7(0) =3或 /(0) =5)，即M中的元素0與N中的元素有2種對應方法；第三步，考察 x=1的象，當x=1時， x+/W+x/(z)=l + 2/(l) 為奇數，故 /ffl 可為奇數也可為偶數

8、，.-1可取N中任一數值，即 M中的元素1與N中的元素有4種對應方法，于是由分步計數原理可例3、在中有4個編號為知，映射共有4X 2X 4=32個。1，2，3，4的小三角形，要在每一個小三角形中涂上紅、藍、黃、白、黑五種顏色中的一種，使有相鄰邊的小三角形顏色不同，共有多少種不同的涂法?解：根據題意，有相鄰邊的小三角形顏色不同，但“對角”的兩個小三角形可以是相同顏色，于 是考慮以對角的小三角形 1、4同色與不同色為標準分為兩類，進而在每一類中分步計算。第一類：1與4同色，則1與4有5種涂法，2有4種涂法，3有4種涂法，故此時有Ni=5X 4X 4=80種不同涂法。第二類：1與4不同色，則1有5種

9、涂法，4有4種涂法，2有3種涂法，3有3種涂法，故此時有 N2=5X 4X 3X 3=180種不同涂法。綜上可知，不同的涂法共有80+180=260種。點評：欲不重不漏地分類，需要選定一個適當的分類標準，一般地，根據所給問題的具體情況， 或是從某一位置的特定要求入手分類，或是從某一元素的特定要求入手分類，或是從問題中某一事物符合 條件的情形入手分類，或是從問題中有關事物的相對關系入手分類等等。例4、將字1、2、3、4填入標號為1、2、3、4的四個方格里，每格填一個數，則每個方格的標號 與所填數字均不相同的填法有()A.6種B.9種C.11種D.23種解法一(采用“分步”方法)：完成這件事分三個

10、步驟。第一步：任取一個數字，按規(guī)定填入方格，有3種不同填法；第二步：取與填入數字的格子編號相同的數字，按規(guī)定填入方格，仍有3種不同填法；第三步：將剩下的兩個數字按規(guī)定填入兩個格子，只有1種填法；于是，由分步計數原理得，共有N=3X 3X 1=9種不同填法。第一類：編號為1的方格內填數字 2,共有3種不同填法:241321432341第二類：編號1的方格內填數字 3,也有3種不冋填法：3 1423412342 1第三類：編號為1的方格內填數字 4，仍有3種不同填法：412343124321于是由分類計數原理得共有N=3+3+3=9種不同填法，應選B解法三(間接法)：將上述 4個數字填入4個方格，

11、每格填一個數，共有N=4X 3X 2X仁24種不同填法，其中不合條件的是(1)4個數字與4個格子的編號均相同的填法有1種；(2)恰有兩個數字與格子編號相同的填法有 6種；(3) 恰有1個數字與格子編號相同的填法有8種； 因此，有數字與格子編號相同的填法共有2=1+6+8=15 種于是可知，符合條件的填法為24-15=9種。點評：解題步驟的設計原則上任意，但不同的設計招致計算的繁簡程度不同，一般地，人們總是 優(yōu)先考慮特殊元素的安置或特殊位置的安排，以減少問題的頭緒或懸念。當正面考慮頭緒較多時，可考慮運用間接法計算：不考慮限制條件的方法種數一不符合條件的方 法種數=符合條件的方法種數。在這里，直接

12、法中的“分析”與間接法主體的“分類”，恰恰向人們展示了 “分步”與“分類”相互依存、相互聯系的辯證關系。例5、用數字0, 1, 2，3，4，5組成無重復數字 4位數，其中，必含數字2和3，并且2和3不相鄰的四位數有多少個？解：注意到這里“0”的特殊性，故分兩類來討論。第一類：不含“ 0”的符合條件的四位數，首先從1, 4，5這三個數字中任選兩個作排列有.種；進而將2和3分別插入前面排好的兩個數字中間或首尾位置，又有打 種排法，于是由分步計數原理可知，不含0且符合條件的四位數共有-=36個。第二類：含有“ 0”的符合條件的四位數，注意到正面考慮頭緒較多，故考慮運用“間接法”：首 先從1，4，5這

13、三個數字中任選一個，而后與 0，2，3進行全排列，這樣的排列共有丄6 個。其中，有如下三種情況不合題意，應當排險:(1) 0在首位的，有(2) 0在百位或十位，但2與3相鄰的，有(3) 0在個位的，但2與3相鄰的，有-個因此，含有0的符合條件的四位數共有財H駆)=30個于是可知，符合條件的四位數共有36+30=66個點評：解決元素不相鄰的排列問題，一般采用“插空法”，即先將符合已知條件的部分元素排 好，再將有“不相鄰”要求的元素插空放入；解決元素相鄰的排列問題，一般采用“捆綁法”，即先將要求相鄰的元素“捆綁在一起，作為一個大元素與其它元素進行排列， 問題。例6、某人在打靶時射擊 8槍，命中4槍

14、，若命中的 擊的8槍，按“命中”與“不命中”報告結果，不同的結果有(種C.24種4槍進行排列，它們形成進而再考慮大元素內部之間的排列A.720 種B.480分析：首先，對未命中的故只有一種排法，其次，將連中的3槍視為一個元素，與命中的另一槍從前面4槍有且只有3槍是連續(xù)命中的，那么該人射)D.20 種5個空擋，注意到未命中的4槍“地位平等”，5個空格中選2個排進去，有.種排法，于是由乘法原理知，不同的報告結果菜有點評：這里的情形與前面不同，按照問題的實際情況理解，未命中的4槍“地位平等”，連續(xù)命中的3槍亦“地位平等”。因此，第一步排法只有一種，第二步的排法種數也不再乘以解決此類“相同元素”的排列

15、問題，切忌照搬計算相同元素的排列種數的方法，請讀者引起注意。例7、(1)(2)(3)2C： + 9謁+ 12。： + =(4)1 1 2, U若二.匸：二：，則n的取值集合為(5)方程的解集為解:(1) 注意到 n 滿足的條件一:、-一 J ，所求n=4。(2) 運用楊輝恒等式，已知等式：.7_ :一一Ee 丄(3) 根據楊輝恒等式4-1-亠:原式二=二(+ 2)(Ja+1)( -1)24(4)注意到這里 n滿足的條件n5且n N*0 -在之下，原不等式.： I 工門 .:J-72-3 仇-3)(月-4)由、得原不等式的解集為5 , 6, 7,，11(5)由： 1 ： 、二-： -注意到當y=

16、0時，無意義，原方程組可化為工=3tr-3經檢驗知171二 如 1) 2 2念+ 1)由此解得程組的解。A、B、C D E字母的卡片各一例8、用紅、黃、綠3種顏色的紙做了 3套卡片，每套卡片有寫上張，若從這15張卡片中，每次取岀 5張，則字母不同，且 3種顏色齊全的取法有多少種?解：符合條件的取法可分為6類第一類:取岀的5張卡片中，1張紅色，1張黃色，3張綠色，有種取法;第二類:取岀的5張卡片中，1張紅色，2張黃色，2張綠色，有種取法;第三類:取岀的5張卡片中，1張紅色，3張黃色，1張綠色，有種取法;第四類:取岀的5張卡片中，2張紅色，1張黃色，2張綠色，有種取法;第五類:取岀的5張卡片中，2

17、張紅色，2張黃色，1張綠色，有種取法;第六類：取岀的5張卡片中，3張紅色，1張黃色，1張綠色，有種取法;于是由分類計數原理知，符合條件的取法共有N = Cjg + QC雋 + 礙C；C + C擁 + 礎牛 CjC = 150種點評：解決本題的關鍵在于分類，分類討論必須選擇適當的分類標準，在這里，以紅色卡片選出 的數量進行主分類，以黃色卡片選出的數量進行次分類，主次結合，確保分類的不重不漏，這一思路值得 學習和借鑒。例9、(1)從5雙不同的襪子中任取 4只，則至少有 2只襪子配成一雙的可能取法種數是多少？(2) 設有編號為1，2，3，4，5的五個小球和編號為 1，2，3，4，5的五個盒子，將五個

18、小球放 入五個盒子中(每個盒子中放一個小球)，則至少有兩個小球和盒子編號相同的放法有多少種？(3) 將四個不同的小球放入編號為1，2，3，4的四個盒子中，則恰有一個空盒的放法共多少種？(4) 某產品共有 4只次品和6只正品，每只產品均不相同，現在每次取岀一只產品測試，直到4 只次品全部測岀為止，則最后一只次品恰好在第五次測試時被發(fā)現的不同情況有多少種？解：(1)滿足要求的取法有兩類，一類是取岀的4只襪子中恰有 2只配對，這只要從 5雙襪子中任取31雙，再從其余4雙中任取2雙，并從每雙中取岀 1只，共有1二二；匚:；種選法；另一類是 4只襪子恰好配成兩雙，共有種選法，于是由加法原理知，符合要求的

19、取法為f 二二種符合條件的放法分為三類:（2）第一類：恰有 2個小球與盒子編號相同，這只需先從5個中任取兩個放入編號相同的盒子中，有種放法，再從剩下的 3個小球中取岀1個放入與其編號不同的盒子中，有種方法，則最后剩下的兩個小球放入編號不同的盒中只有1種放法，故此類共有一 一 I種不同方法;第二類：恰有 3個小球與盒子編號相同，這只需先從5個中任取三個放入編號相同的盒子中，有種放法，則最后剩下的兩個小球放入編號不同的盒中只有1種放法，故此類共有 . 川種不同方法;第三類：恰有5個小球與盒子編號相同，這只有N=20+10+1=31種不同方法。（3）設計分三步完成：1種方法；于是由分類計數原理得，共

20、有第一步，取定三個空盒（或取走一個空盒），有種取法;種不同方法。丄種方法;于是由分布計數原理可知，共有-1!一二種測試方法。點評：為了出現題設條件中的“巧合” 是這種“有意設計”的典型代表，而這里的（五、高考真題（一）選擇題1、過三棱柱任意兩個頂點的直線共A、18 對B、24 對，我們需要考慮對特殊情形的“有意設計”，本例（3），則是先“分堆”后“分配”的典型范例。15條，其中異面直線有（）C、30 對D、36 對1）則第二步，將4個小球分為3堆，一堆2個，另外兩堆各一個，有 I 種分法;第三步，將分好的 3堆小球放入取定的3個空盒中，有于是由乘法原理得共有：（4）分兩步完成:第一步，安排第五

21、次測試，由于第五次測試測岀的是次品，故有 第二步，安排前4次測試，則在前四次測試中測岀3只次品和1只正品的方法種數為山q定上述以單直線可構成的四面體個數。由上述分析：注意到任一四面體中異面直線的對數是確定的，所以，這里欲求異面直線的對數，首先確15條直線可構成 亠 個四面體，而每一四面體有3對異面直線，故共有 36對異面直線，應選Do的距離都相等，這樣的平面共有（2、不共面的四個定點到平面 aA、3個B、4個C、6個D、7個分析：不共面的四點可構成一個四面體，取四面體各棱中點，分別過有公共頂點的三棱中點可得 到與相應底面平行的 4個截面，這4個截面到四個定點距離相等；又與三組對棱分別平行且等距

22、的平面有 個，故符合條件的平面共 7個，應選Do3、北京財富全球論壇期間，某高校有 14名志愿者參加接待工作，若每天排早、中、晚三班, 每班4人，每人每天最多值一班，則開幕式當天不同的排班種數為（A、C、分析：排班工作分三步完成:第一步，從14人中選出12人，有種選法；第二步，將第一步選出的12人平均分成三組，有丄：種分法;第三步，對第二步分出的3組人員在三個位置上安排，有種排法;廣42廠4廠+匕14;3 _ 14 128于是由乘法原理得不同的排班種數為4、從6人中選每人只游覽一個城市，且這A、 300 種分析：注意到甲、，應選A4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個城市游覽，要求每個城市各一

23、人游覽,6人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有（）B、 240 種乙兩人不去巴黎，C、114 種 D、96 種故選人分三類情況（1 ）不選甲、乙，不同方案有/二丄 廠種；（2 ）甲、乙中選 1人，不同方方案有（空併）.（3卜144種;（3 ）甲、乙均入選，不同方案有:- 種；于是由加法原理得不同的方案總數為24+144+72=240,應選 B。90分，答錯得-90分，若4位同學的總分為 0,則D、185、4位同學參加某種形式的競賽，競賽規(guī)則規(guī)定：每位同學必須從甲、乙兩道題中任選一題作 答，選甲題答對得 100分，答錯得-100分；選乙題答對得 這四位同學不同的得分情況的種數是（）A

24、、48B、36C、24分析：注意到情況的復雜，故考慮從分類”切入第一類：四人全選甲題，2人答對，2人答錯，有戶2 盧2S匕種情況;第二類：2人選甲題一對一錯， 2人選乙題一對一錯，有種情況;第三類：四人全選乙題，2對2錯，有 4 7種情況。于是由加法原理得不同得分情況共有種，應選Bo6、四棱錐的8條棱代表8種不同的化工產品，有公共點的兩條棱代表的化工產品放在同一倉庫是危險的，沒有公共頂點的兩條棱代表的化工產品放在同一倉庫是安全的，現打算用編號為、的4個倉庫存放這8種化工產品，那么安全存放的不同方法種數為（）A、96B、48C、24D、0S-ABCD點），每現）出現）分析：本題的關鍵是找“異面直

25、線對”的個數，設四棱錐為 沒有公共頂點的棱只能分成 4組，每組兩條棱（否則三條棱必有公共8條棱分成4組，每組兩條無公共點的棱僅有下面兩種情況：（1） SA CD SB AD; SC-AB; SD BC（本組中同一棱不重復岀（2） SA BC; SB CD SC-AD SD AB（本組中同一條棱不重復c于是問題可轉化為：四種不同產品放入4個不同倉庫的排列問題，故不同的安排分法是=4，! 種，應選Bo（二）填空題1、在由數字 0，1，2，3，4，5所組成的沒有重復數字的四位數中，不能被5整 除的數共有（）個。分析：考慮直接解法：這樣四位數的個位數為1，2，3, 4中的一個，有種法，千位從余下的4個

26、非零數當中任取一個是種排法；中間兩位是種排法，于是由分步計數原理知,種不同排法，應填1922、用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒有重復數字的八位數，要求1與2相鄰，3與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰，這樣的八位數共有（）個（用數字作答）。分析： 第一步，將1與2，3與4，5與6組成3個大元素進行排列，是 種排法;第二步，將7與8插入上述3個大元素隊列的間隙或兩端，是S種方法；第三步，對3個大元素內部進行全排列，各是 種方法；于是由分步計數原理得共有丄冷 1 七 7 個，應填576 o3、從集合0、P、QR、S與0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中各任取2個元素排成一排（字母與數字均

27、不能重復）。每排中字母O Q和數字0至多只岀現一個的不同排法種數是（）分析：考慮分類計算第一類：字母Q和數字0均不岀現，是 八；“心一 V 種排法;第二類：字母Q岀現一個，數字 0不岀現，是?.種排法;第三類：字母Q不岀現，數字 0岀現，是:小; Z 種排法;于是分類計數原理知共是2592+5184+648=8424種不同排法，應填 8424。點評：以受限制的字母O Q和數字0岀現的情況為主線進行分類，在每一類中又合理地設計步驟，是分解題的關鍵所在，以某些特殊元素為主線進行分類是解決復雜的排列組合問題的基本策略。方法歸納1重復排列“住店法”重復排列問題要區(qū)分兩類元素：一類可以重復，另一類不能重

28、復。把不能重復的元素看作“客”，能 重復的元素看作“店”，則通過“住店法”可順利解題。例1 8名同學爭奪3項冠軍，獲得冠軍的可能性有（）A83 B38 CAg DC；解析冠軍不能重復，但同一個學生可獲得多項冠軍。把8名學生看作8家“店”，3項冠軍看作3個“客”，他們都可住進任意一家“店”，每個客有8種可能，因此共有 83種不同的結果。選（A）。評述類似問題較多。如：將 8封信放入3個郵筒中，有多少種不同的結果？這時8封信是“客”，3個郵筒是“店”，故共有 38種結果。要注意這兩個問題的區(qū)別。2特色元素“優(yōu)先法”某個（或幾個）元素要排在指定位置，可優(yōu)先將它（們）安排好，后再安排其它元素。例2乒乓

29、球隊的10名隊員中有3名主力隊員，派 5名參加比賽，3名主力隊員要安排在第一、三、五位 置，其余7名隊員選2名安排在第二、四位置，那么不同的岀場安排共有 種（用數字作答）。解析3名主力的位置確定在一、三、五位中選擇，將他們優(yōu)先安排，有A種可能；然后從其余 7名隊員選2名安排在第二、四位置，有A種排法。因此結果為 AfAy =252種。例3 5個“1”與2個“2”可以組成多少個不同的數列？解析按一定次序排列的一列數叫做數列。由于7個位置不同，故只要優(yōu)先選兩個位置安排好“2”，剩下的位置填“ 1 ” （也可先填“ 1”再填“ 2”）。因此，一共可以組成 C；C；=21個不同的數列。3相鄰問題“捆綁

30、法”把相鄰的若干特殊元素“捆綁”為一個“大元素”，與其余普通元素全排列，是為“捆綁法”，又稱 為“大元素法”。不過要注意“大元素”內部還需要進行排列。例4有8本不同的書，其中數學書 3本，外文書2本，其他書3本，若將這些書排成一列放在書架上， 則數學書恰好排在一起，外文書也恰好排在一起的排法共有種（結果用數字表示）。解析將數學書與外文書分別捆在一起與其它3本書一起排，有 A/種排法，再將3本數學書之間交換有A3種，2本外文書之間交換有 A種，故共有 A5 A3 A2 =1440種排法。評述這里需要說明的是，有一類問題是兩個已知元素之間有固定間隔時，也用“捆綁法”解決。 如：7個人排成一排，要求

31、其中甲乙兩人之間有且只有一人，問有多少種不同的排法？可將甲乙兩人和中間 所插一人“捆綁”在一起做“大元素”，但甲乙兩人位置可對調，而且中間一人可從其余5人中任取，故共有C5A；A? =1200種排法。4相間問題“插空法”元素不相鄰問題，先安排好其他元素，然后將不相鄰的元素按要求插入排好的元素之間的空位和兩端 即可。例5某班新年聯歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目。如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數為（）A 6 B 12 C 15 D 306個位置解析原來的5個節(jié)目中間和兩端可看作分岀6個空位。將兩個新節(jié)目不相鄰插入，相當于從中選2個讓它

32、們按順序排列，故有A =30種排法，選（D）。評述本題中的原有5個節(jié)目不需要再排列，這一點要注意。請練習以下這道題：馬路上有編號為1、2、3、 10的十盞路燈，為節(jié)約用電又能照明，現準備把其中的三盞燈，但不能關掉相鄰的兩盞或三3盞，兩端的燈也不許關掉，求不同的關燈方式有多少種？可得結果為C6 =20種。你能很快求解嗎？5多元問題“分類法”對于多個元素問題，有時有多種情況需要進行分類討論，然后根據分類計數原理將各種可能性相加即得。需要注意的是，分類時要不重復不遺漏。例6在一塊并排10壟的田地中，選擇 2壟分別種植A、B兩種作物，每種作物種植一壟。為有利于作物生長，要求A、B兩種作物的間隔不小于

33、6壟，則不同的選壟方法共有 種（用數字作答）。解析先考慮A種在左邊的情況，有三類： A種植在最左邊第一壟上時， B有三種不同的種植方法； A 種植在左邊第二壟上時， B有兩種不同的種植方法； A種植在左邊第三壟上時， B只有一種種植方法。又 B 在左邊種植的情況與 A在左邊時相同。故共有 2（321） =12種不同的選壟方法。例7有11名翻譯人員，其中 5名英語翻譯員，4名日語翻譯員，另 2人英語、日語都精通。從中找岀8人，使他們組成兩個翻譯小組，其中4人翻譯英文，另 4人翻譯日文，這兩個小組能同時工作。問這樣的分配名單共可開出多少張？解析假設先安排英文翻譯，后安排日文翻譯。第一類，從5名只能

34、翻譯英文的人員中選 4人任英文翻譯，其余6人中選4人任日文翻譯（若“多面手”被選中也翻譯日文），則有C；C：;第二類，從5名只能翻譯英文的人員中選 3人任英文翻譯，另從“多面手”中選 1人任英文翻譯，其余剩下 5人中選4人任日文 翻譯，有C；C2C；;第三類，從5名只能翻譯英文的人員中選 2人任英文翻譯，另外安排 2名“多面手”224也任英文翻譯，其余剩下 4人全部任日文翻譯，有 C5C2C4 o三種情形相加即得結果 185 （張）。評述本題當然也可以先安排日文翻譯再安排英文翻譯，請大家自己列式看看。6分球問題“隔板法”計數問題中有一類“分球問題”，說的是將相同的球分到不同的盒中。如：將10個相同的球放入編號為1、2、3、4的四個盒子中，要求每個盒中至少一個球，問有多少種不同的放法？這時可以用“隔板法”解題。即將10個相同的球排成一排，中間看作有9個空，從中選岀 3個不同的空插入 3個“隔板”，則每3一種插法對應一種球的放法，因此共有C9 =84種不同的放法