初等數(shù)學說研究答案1

1、大學數(shù)學之初等數(shù)學研究，李長明，周煥山版，高等教育出版社習題一1答：原則：（1）ab （2）a的元素間所定義的一些運算或基本關系，在b中被重新定義。而且對于a 的元素來說，重新定義的運算和關系與a中原來的意義完全一致。 （3）在a中不是總能施行的某種運算，在b中總能施行。 (4) 在同構的意義下,b應當是a滿足上述三原則的最小擴展,而且由a唯一確定。 方式：（1）添加元素法；（2）構造法2證明:(1)設命題能成立的所有c組成集合m。a=b， 假設，則 由歸納公理知m=n，所以命題對任意自然數(shù)c成立。 （2）若ab，則 則acb，則 則acbc。3證明:(1)用反證法：若。當ab時，由乘法單調性

2、知acbc. 當ab時，由乘法單調性知acbc.這與ac=bc矛盾。則a=b。 （2）用反證法：若。當ab時，由乘法單調性知acbc. 當a=b時，由乘法單調性知ac=bc.這與acbc矛盾。則ab。 （3）用反證法：若。當ab時，由乘法單調性知acbc矛盾。則ab。4. 解：（1） （2） 5證明：當n=1時， 假設當n=k時則當n=k+1時 則對，是9的倍數(shù).6證明：當時，=，=；則當時成立。假設當時成立，即()()() ()=當時，()()() ()（）=（）=當時成立。7解：（1） （2） （3）當n=1時， 假設當n=k時則當n=k+1時 則對，是10的倍數(shù).8證明： 9證明：假設存

3、在b，使得由若若 因此10證明：則=11答:(1)加法,乘法,減法; 構成數(shù)環(huán) (2)乘法,除法; (3)加法,乘法; (4)加法,乘法; (5)加法,乘法,除法; (6)乘法; (7)加法,乘法,減法;構成數(shù)環(huán) (8)加法,乘法,減法;構成數(shù)環(huán)12 證明：方法一 即 即 方法二：設則由p=q得， ， ，；， ，；則1,則任何小于1的數(shù)都是的下界.11 證明: 由于是有界函數(shù),則而沒有上界,則對則對，則與的和在定義域上無上界.12 解: 則 13. (1)奇函數(shù) (2)偶函數(shù) (3)非奇非偶函數(shù) (4)非奇非偶函數(shù) (5)偶函數(shù) (6)偶函數(shù)14解: 則是偶函數(shù).15解: 則16解:(1) 則

4、的定義域為,它是奇函數(shù).（2）由 則 (3) (4) 對17解：當時，即又是奇函數(shù)，則則18解：=0 則19解：（1） 即。要比較2x，3y和6z的大小，只須比較的大小即可。而,即(2) 20解：由于當=0;當=-=-0;綜上可知.21解:令,則在-1,1上單調遞增.而則22 解: 由于則則則，故23證明： 則是周期。假設最小正周期是，且則即令,即.則這與不成立,即證.24證明:假設是以為周期的周期函數(shù). 即則令則令當令當矛盾。則不是周期函數(shù)。25解：（1）由得， 則（2）26. （1）=（2）27解：習題四1解：（1） 2解：方程和在有理數(shù)集，實數(shù)集上同解，在復數(shù)集上不同解。3（1）不同解。

5、定義域不相同. （2）不同解。定義域不相同. （3）同解(4)不同解(5)同解(6)同解(7)不同解。定義域不相同(8)同解(9)同解(10)不同解。定義域不相同4解：(1)方程兩邊同乘以得， 即或但或為增根，故原方程無解。（2）解：方程兩邊同乘以得， 即或但為增根，故原方程解為。（3）解：方程兩邊同乘以得， 即或但為增根，故原方程解為。（4）解：方程兩邊同乘以得， 即或故原方程解為或（5）解：令則方程兩邊同乘以得即 即或，故原方程解為或.（6）解：設則即則 當時得當時得或 即原方程的解為或5解：（1）方程兩邊同乘以得， 即或則(舍)，即原方程的解為 （2）利用合分比性質得，即 即或則即原方程

6、的解為 (2)解：方程兩邊同乘以得： 即 則+ 即 當時；當時也滿足。 即原方程的解為(3) 解：原方程變?yōu)?整理得,即運用差根變換,各根減去,可得缺二次項的三次方程一次項常數(shù)項 (1) (2)且 (3) 設是(1)的任意一個解,則的另外兩個解為其中是1的三次單位根由(3)得到與相對應的的三個解: 因此的三個根是，因此的三個根是，則原方程的根為 (4) 解：原方程變?yōu)榈? 整理得即原方程的解為6 解(1) 原方程變?yōu)榈脙蛇吰椒降眉醇丛匠痰慕鉃?2) 解:兩邊平方得:,則無解.(3) 解:先分子有理化當時: 再平方整理得: 利用待定系數(shù)法得令即即.當時也是解，則原方程的解為;.(4)解: 原方

7、程變?yōu)?即,即7解：(1) = =得或 （2） = =得(3) 得或(4) 得或8解：令則 = 即9解: 令,則先求以為根的方程為. 再求以為根的方程為 即 10解:由得和求以和為根的方程為.11解:由得 則先求以為根的方程為.再求以和為根的方程為12 解:若整除則即或13(1)解: 一次項常數(shù)項 (1) (2)且 (3) 設是(1)的任意一個解,則的另外兩個解為其中是1的三次單位根由(3)得到與相對應的的三個解: 因此的三個根是 其中（2）解: 運用差根變換,各根減去1,可得缺二次項的三次方程一次項常數(shù)項 (1) (2)且 (3) 設是(1)的任意一個解,則的另外兩個解為其中是1的三次單位根

8、由(3)得到與相對應的的三個解: 因此的三個根是 其中(3) 解: 則或(4) 解：則或14解(1)方程兩邊同除以, 令則；即當時，當時，或則方程的解為或(2) 解:方程兩邊同除以, 令則；即解得: 或當時, 當時,則方程的解為 (3) 解:顯然是一個根， =再求的根，方程兩邊同除以, 令則；即當時，當時，或則方程的解為，或(4) 解:方程兩邊同除以, 令則；即當時，當時，則方程的解為(5) 解: 方程兩邊同除以, 令則；即解得: 或當時, 當時,則方程的解為(6) 解:顯然是一個根， =再求的根，方程兩邊同除以, 令則；即則當時，當時，；當時，則方程的解為，15由題意得即16(1)解： 則，

9、(2)解： 則，(3) 解：令則即；則或.即則, 即則, .(4)解：令則即當時，即則當時，即則當時，即則或當時，即則或則方程的解為；17 證明：是方程的一個根， 而則方程的另外兩個根是和18(1) 解：方程兩端同乘以 得, 則當時,有;當時,有 (2) 解: 當時：1）若時，。2）當時3）若時，方程兩端同乘以得: 當時或 即.(3) 解:當時：1）若時，。2）若時， 當時：1）若時，2）若時， 設代入方程得 ,整理得; 即或 當時代入得即當時, 當時或當時代入得當時，當時，(4) 解: 當時，無解；當時，整理得:; 當時, . 當時，無解。(5)解:由方程本身可得兩端同除以得:,令得:則(舍

10、);當時則當無解；當19解：（1）由觀察得方程的一組整數(shù)解是，所以原方程的通解是 （為任意整數(shù)） （2）由觀察得方程的一組整數(shù)解是所以原方程的通解是 （為任意整數(shù)）（3）由觀察得方程的一組整數(shù)解是，所以原方程的通解是 （為任意整數(shù)）（4）由觀察得方程的一組整數(shù)解是所以原方程的通解是 （為任意整數(shù)） 20解：由題意得由觀察得方程的一組整數(shù)解是， 則 （為任意整數(shù)） 則為任意整數(shù).21（1）解： 令則即 當時， 即當時， 即（2）解：由得，即或 但當時故方程的解為.(3)解：兩邊取以10為底的對數(shù)，令，則，即則或(舍), 故方程的解為.（4） 解：兩邊取以為底的對數(shù)， 即則即或 （5）解：將方程整

11、理得即，則，即或（6） 解：令，則即或當時，即無解. 當時，即,則.22解：(1)原方程等價于，令則即則將代入得(2) 將方程整理得即或當時當時，即則原方程的解為(3) 解：即 則 (4) 將方程整理得 即或當時舍去。當(5) 解：將其整理得即或（舍） 當時，即(6) 將其整理為即. 則或當時舍去. 當時,(7) ,即則.(8)解: 即 解得或; 當時不合題意舍去，故原方程的解為.23解:將方程整理得即這里，；要使方程恒有解，則即.24. (1) 解：由原式得；令代入得解得 即 解得(舍) ; 則方程的解為 (2) 解: 將(1)代入(2)得,即 即則方程的解為 (3) 解：令代入得 將（2）

12、代入（1）得：解得 即 則方程的解為 ; (4) 解：令代入得 解得即則方程的解為 ; （5）解：將方程組整理得兩式相比得代入（1）式得 則方程的解為 （6） 將代入（1）得 （3）將（3）代入（2）得則方程的解為 （7）整理得 (1)-(2)得即 代入(1)得 即則 (舍); (舍); 則方程的解為 (8) 解：得 （3） 得 （4）化簡得即則則方程的解為 (9) (1)式兩邊平方得將(3)代入得則由(1)和(3)得; 則方程的解為 (10) (1)得 25 (1) 令則即或則或將其代入(2)得或即 （舍）； (2) :將方程整理得 解以上方程得; 則方程的解為; (3) 當同正時,將方程組

13、整理得 則得,將其代入(2)得;當同負時,整理得無解.方程的解為.(4) 解：由（1）得 即，當時 （3）由（1）（3）得 可得 (6)由（2）（6）可得令可得可得則解得；當時(1)（2）化為 無解則方程的解為；26.(1) 解:令則即(舍(舍)則方程的解為; （2）將方程組整理得 聯(lián)立（1）（2）得解得.即;（3）令則上述方程組變?yōu)?由（1）得或當時；當時 則方程的解為； (4) 由(1)(2)得即方程的解為;27. 解下列方程組：(1) 由(1)得,則而,則即. 即方程的解為; (2) 得即解:將其代入(1)得即方程的解為(3) 由(1)(2)得 或 則原方程組的解為;(4) 得: 即將其

14、代入(2)得解得或;當時當時則原方程組的解為;.；習題五1(1)條件不等式 (2) 條件不等式 (3)絕對不等式 (4) 矛盾不等式2 (1)不正確,如-1-2,-3-4,但38. (2)不正確,如但.(3)不正確,如但 (4)不正確,如但(5)不正確,如,但無意義.(6)正確, 要證即證顯然成立.3= 即: .4證明:假設命題成立,將兩邊平方,得 (1) 將(1)兩邊平方,得即 (2)將(2)兩邊平方,得末式顯然成立,又各步皆可逆,所以原命題成立. 正確的證法: 假設命題成立,將兩邊平方,得 即 (1)將(1)兩邊平方,得即 (2)將(2)兩邊平方,得末式顯然成立,又各步皆可逆,所以原命題成

15、立.5（1）證明：即（2）證明：6 證明：當時，左邊=1，右邊=1，即 假設命題當時成立，即 當時， =.7證明:（1）左邊平方得;左邊平方得; 而即. 則(2) 要證上式成立，即證：；等號當成立。8證明:(1) (2) +=9 證明：方法1: 先建立一個不等式，設對任一正整數(shù)有 整理后得不等式 以代入上式，由于 故有則該數(shù)列是一個單調遞增數(shù)列. 方法2:根據(jù)得: 即而等號不成立,則10證明：11 證明：當時,顯然成立.假設當時成立,即, 則當時, 即證.12 證明: 當時,顯然成立.假設當時成立,即, 則當時, 即證.13 證明: .14證明:令則 15 證明: 法1：令則 令則,即1. 法

16、2：，則16 證明: ,令，則， 則，解得.17 證明: .18(1) 證明: 由即證. (2) 證明: 由得: 19. (1)證明: 由于是凸函數(shù),則由詹森不等式得,即 (2) 證明: 由于是凸函數(shù),則由詹森不等式得,即 20證明: 用反證法，假設原式不成立，即 則當取. 這樣與矛盾，故 21 證明:由三角不等式得 , , 即. 等號成立當且僅當22證明:, 而,則函數(shù)為凹函數(shù).23.(1)不同解(2)不同解(3)同解(4)不同解(5)不同解(6).同解24.(1)同解 (2)不同解（3）不同解（4）同解25.（1）當時，無解；當時，當時當時 （2）解：原式等價于：；即，則則原不等式的解集為

17、（3）解：原式等價于：或則原不等式的解集為（4）解：原式等價于：則原不等式的解集為，即.(5) 解:原式等價于：或則原不等式的解集為.(6) 解: 原式等價于,則原不等式的解集為.(7) 解： 則原不等式的解集為(8) 解: 原式等價于：，則則，則原不等式的解集為（9）解：令，則原式變?yōu)楫敃r， 則，則當時， 則或，則則原不等式的解集為（10）解：原式等價于：則原不等式的解集為26.解：由題意，即，等價與解得27（1）解：原式等價于：則原不等式的解集為(2)解：令，則原式等價與解得，而，則.即又得即則原不等式的解集為（3）解：原式等價于：或解得（4）解：原式等價于：則原不等式的解集為28.（1）

18、；解：原式等價于即或則原不等式的解集為 (2) 解：原式等價于則原不等式的解集為（3）；解：原式等價于即則原不等式的解集為 （4）解：原式等價于即，則則原不等式的解集為29解：法1：則，由得，當時，當時，則當時，法2： ，則當時，30解:令則,31解：（1）由得，即等號當成立。（2）由是凹函數(shù)得 =等號當成立。32解:, 當時，當時，當時， 當時，當時，當時， 33解: 依題意, 令得則當時, 鐵盒具有最大體積習題六1解：2解：3解：4解：5解：（1） 即 （2） 即6 證明：（1）當時,顯然成立.假設當時成立,即, 則當時, 即證. （2）當時,左邊=1，右邊=1.顯然成立.假設當時成立,即, 則當時, 即證.7解：即，則或 則8解：9解：10解：（1）（2）11（1）法1：； 法2： 法3：（2）