學(xué)年論文一階常微分方程初等解法

1、題目：一階常微分方程的初等解法摘 要一階常微分方程是數(shù)學(xué)分析或基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的一個(gè)組成部分，在整個(gè)數(shù)學(xué)中占有重要的地位。主要從三個(gè)方面講述：一、微分方程的基本概念，二、一階常微分方程的初等解法（其中包括變量分離微分方程、伯努利微分方程、恰當(dāng)微分方程與積分因子、一階隱式微分方程），三、一階常微分方程初等解法的應(yīng)用舉例。一階常微分方程的求解因其方法靈活，技巧性強(qiáng)，歷來是學(xué)生學(xué)習(xí)中的一大難點(diǎn)，因此，針對(duì)不同的題型，應(yīng)采取不同的方法。關(guān)鍵詞：變量分離方程 伯努利方程 恰當(dāng)微分方程 積分因子 應(yīng)用舉例Abstract First order ordinary differential equation is

2、a mathematical analysis or a part of basic math, occupies an important position in the mathematics. Mainly from three aspects: first, the basic concept of differential equation; Second ,the elementary solution of first order ordinary differential equations (including differential equation of separat

3、ion of variables, differential equation of Bernoulli, exact differential equation and integral factor, first-order hidden decay equation);Third,the application of elementary first-order ordinary differential equation solution.Because solution of the first-order ordinary differential equation is flex

4、ible and technique, it has always been a big difficulty in students learning. Therefore, according to different types, different methods should be taken.Keywords: Variable separable equation Bernoulli equation Appropriate differential equation Integrating factor Applications 引言 數(shù)學(xué)分析中研究了變量的各種函數(shù)及函數(shù)的微分

5、與積分。如函數(shù)未知，但已知變量與函數(shù)的代數(shù)關(guān)系，便組成代數(shù)方程，通過求解代數(shù)方程就可解出未知函數(shù)。一階常微分方程的初等解法是把微分方程的求解問題轉(zhuǎn)化為積分問題，其解的表達(dá)式由初等函數(shù)或超越函數(shù)表示，他們?cè)趯?shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用，值得我們好好學(xué)習(xí)和1.微分的基本概念1.1常微分方程微分方程：一般地，表示未知函數(shù)以及未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）與自變量之間的關(guān)系的方程。常微分方程：自變量只有一個(gè)的微分方程。微分方程的階數(shù)：微分方程中出現(xiàn)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)。 一般的階微分方程具有的形式 這里是的已知函數(shù)，而且一定含有；是未知函數(shù)，是自變量。1.2線性和非線性方程 如果微分方程對(duì)于未知函數(shù)以及它的各階導(dǎo)

6、數(shù)的有理整式而言是一次的，稱為線性微分方程，否則是非線性微分方程。如是非線性微分方程。一般的階線性微分方程形式 這里是的已知函數(shù)。 1.3解和隱式解微分方程的解：滿足微分方程的函數(shù)稱為微分方程的解。即若函數(shù)代入式中，使其成為恒等式，稱為方程的解。如果關(guān)系式?jīng)Q定的隱函數(shù)為方程的解，稱是方程的隱式解。1.4通解和特解通解：含有個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)的解稱為階方程的通解。特解：方程滿足初值條件的解。定解問題：求方程滿足定解條件的求解問題，定解條件分為初始條件和邊界條件，相應(yīng)的定解問題分為初值問題和邊值問題。2.一階微分方程的初等解法 微分方程的一個(gè)主要的問題就是“求解”，即把微分方程的解通過初等函數(shù)或它們

7、的積分表達(dá)出來。但一般的微分方程無法求解，只能是對(duì)某些類型通過相應(yīng)的方法求解。這里詳細(xì)介紹幾種方法。2.1變量分離微分方程形如 （1）的方程，稱為變量分離方程，分別是，的連續(xù)函數(shù)，這是一類最簡(jiǎn)單的一階函數(shù)。如果，我們可將（1）改寫成，這樣，變量就“分離”開來了。兩邊積分，得到 （2）這里我們把積分常數(shù)明確寫出來，而把，分別理解為，的原函數(shù)。常數(shù)的取值必須保證（2）有意義。 例1 求解方程 解 將變量分離，得到 兩邊積分，即得 因而，通解為 這里是任意正常數(shù)，或者解出，寫出顯函數(shù)形式的解 2.1.1可化為變量分離方程的類型： 一階線性微分方程 ， （1）其中，在考慮的區(qū)間上是的連續(xù)函數(shù)，若，（1

8、）變?yōu)?， （2）稱為一階齊次線性微分方程。若，（1）稱為一階非齊次線性微分方程。變量分離方程，易求得它的通解為，這里是任意常數(shù)。 齊次微分方程 ，令，方程可化為分離變量的方程，。分式線性方程 下面分三種情形來討論：），這時(shí) 為齊次方程。）及，這時(shí)可作變換，其中是線性代數(shù)方程的唯一解，可將方程化為齊次方程 。）及，這時(shí)可設(shè) ，方程可化為 ，再令，則方程可進(jìn)一步化為 ，這是一個(gè)變量可分離方程。其它類型的方程利用整體代換的思想，可將其他類型的方程化為變量可分離方程。例如，令；，令；，令；，令。 例2 求方程的通解。 解 方程可化為，令，將代入上式， 可得， 易知是上式的一個(gè)解， 從而為原方程的一個(gè)

9、解。當(dāng)時(shí)，分離變量得， 兩邊積分得， 故可得原方程的通解為 例3 求方程的通解。 解 令，則有，代入所求方程 ， 整理可得， 由變量分離得， 故所求方程的通解為2.2伯努利微分方程形如的方程，稱為伯努利微分方程，這里，為的連續(xù)函數(shù)，是常數(shù)。利用變量變換可將伯努利微分方程化為線性微分方程。事實(shí)上，對(duì)于，用乘兩邊，得到，引入變量變換，從而將代入得到，這是線性微分方程，可按常數(shù)變易法求得它的通解，然后代回原來的變量，便得到的通解。此外，當(dāng)時(shí)，方程還有解。 例4 求微分方程的通解。 解 這是一個(gè)伯努利微分方程,兩邊同乘以，得 ， 令，則有 ， 上式是一個(gè)一階非齊次線形微分方程， 由常數(shù)變易法可求得上式

10、的解為， 從而原方程的通解為 2.3恰當(dāng)微分方程與積分因子2.3.1恰當(dāng)微分方程 我們可以將一階方程寫成微分的形式，或把，平等看待，寫成下面具有對(duì)稱形式的一階微分方程 ， （1）這里假設(shè)，在某矩形域內(nèi)是，的連續(xù)函數(shù)，且具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)。這樣的形式有時(shí)候便于探求方程的通解。如果方程的左端恰好是某個(gè)二元函數(shù)的全微分，即，則稱（1）為恰當(dāng)微分方程。 例5 求微分方程的通解。 解 這里，從而，可知所求的微分方程為 恰當(dāng)微分方程，則有， 對(duì)積分得， 再對(duì)求導(dǎo)，則得， 又有， 則可得， 將代入得， 所以原方程的通解為2.3.2積分因子的定義與充要條件恰當(dāng)微分方程可以通過積分求出它的通解。因此能否將一個(gè)

11、非恰當(dāng)微分方程化為恰當(dāng)微分方程就有很大的意義。積分因子就是為了解決這個(gè)問題引進(jìn)的概念。如果存在連續(xù)可微函數(shù)，使得 ，為一恰當(dāng)微分方程，即存在函數(shù)，使，則稱為方程的積分因子。函數(shù)為積分因子的充要條件是，即 假設(shè)原方程存在只與有關(guān)的積分因子，則，則為原方程的積分因子的充要條件是，即僅是關(guān)于的函數(shù)。此時(shí)可求得原方程的一個(gè)積分因子為 同樣有只與有關(guān)的積分因子的充要條件是是僅為的函數(shù)，此時(shí)可求得方程的一個(gè)積分因子為例6 求方程的通解。解 在此式中，因, 所以該方程不是恰當(dāng)方程，因 不是的函數(shù)，但 是的函數(shù)，所以為方程的積分因子， 方程乘以積分因子，得， 該式為恰當(dāng)微分方程，通過以上介紹的求恰當(dāng)微分方程的

12、方法得原方程的通解 為2.4一階隱式微分方程2.4.1可以解出或的方程一階隱方程的一般形式為（1）形如的方程的解法，這里假設(shè)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。引進(jìn)參數(shù)，則變?yōu)閷蛇厡?duì)求導(dǎo)數(shù)，并以代入，得到方程是關(guān)于，的一階微分方程，但它的導(dǎo)數(shù)已解出，于是可按前面介紹的方法求出它的解。若已求得的通解的形式為將它代入，得到這就是得通解。若求得的通解的形式為，則得到的參數(shù)形式的通解為其中是參數(shù)，使任意常數(shù)。若求得的通解的形式為，則得到的參數(shù)形式的通解其中是參數(shù)，為任意常數(shù)。（2）形如的方程，假定函數(shù)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。引進(jìn)參數(shù)，則變?yōu)?，將兩邊?duì)求導(dǎo)數(shù)，然后以代入，得到方程是關(guān)于，的一階微分方程，但它的導(dǎo)數(shù)已解出，于是可按

13、前面介紹的方法求解，設(shè)求得通解為，則得的通解為 例7 求方程的通解. 解 令，得到， 兩邊對(duì)求導(dǎo)數(shù)，得到 即 當(dāng)時(shí)，上式乘以得到 積分得， 解出，得到 把它代入，即得 因此，得到方程的參數(shù)形式的通解 當(dāng)時(shí)，由直接推出也是方程的解.2.4.2不顯含或的方程 （1）形如的方程的解法。記，令，這里為參數(shù)，因?yàn)?，以代入上式得兩邊積分，得到于是，得到方程的參數(shù)形式的通解為這里為任意常數(shù)。（2）形如的方程，其解法同方程的求解方法類似。 記，引入?yún)?shù)，將方程表示為適當(dāng)?shù)臄?shù)形式由關(guān)系式，得，由此得，于是為方程的參數(shù)形式的通解，其中為任意常數(shù)。例8 求微分方程的通解。解 令，則， 將上式兩邊對(duì)求導(dǎo)， 整理并積分

14、可得， 所以方程的通解為3.一階微分方程解法的應(yīng)用舉例 常微分方程的產(chǎn)生和發(fā)展源于實(shí)際問題的需要，同時(shí)它也成為解決實(shí)際問題的有力工具。我們有能力用常微分方程去解決某些實(shí)際問題。一般來說，分三個(gè)步驟：建立方程、求解方程和分析問題。通過已求得的解的性質(zhì)，分析實(shí)際問題。實(shí)際問題的信息數(shù)學(xué)模型抽象、簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)模型解答答求解實(shí)際問題驗(yàn)證解釋3.1等角軌線我們求曲線或曲線族，使得它與某已知曲線族的每一條曲線相交成給定的角度。這樣的曲線稱為已知曲線的等角軌線。當(dāng)所給定的角為直角時(shí)，等角軌線就稱為正交軌線。等角軌線在很多學(xué)科中都有應(yīng)用。例1 求直線束的等角軌線和正交軌線。解 首先求直線族的微分方程。 將對(duì)求導(dǎo)，

15、得，由 消去，就得到的微分方程 當(dāng)時(shí)，等角軌線的微分方程為 或 及 即 積分后得到 或 如果寫成極坐標(biāo)形式，不難看出等角軌線為對(duì)數(shù)螺線， 如圖: 如果，可知正交軌線的微分方程為 即或 故正交軌線為同心圓族，如圖:3.2動(dòng)力學(xué)問題動(dòng)力學(xué)是微分方程最早期的源泉之一，動(dòng)力學(xué)的基本定律是牛頓第二定律，這也是用微分方程來解決動(dòng)力學(xué)的基本關(guān)系式。它的右端明顯地含有加速度，是位移對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。列出微分方程的關(guān)鍵在于找到外力和位移及其對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)速度的關(guān)系。只要找到這個(gè)關(guān)系，就可以由列出微分方程了。例2 物體由高空下落，除受重力作用外，還受到空氣阻力的作用，在速度不太大的情況下（低于音速的4/5），空氣阻

16、力可看做與速度的平方成正比。試證明在這種情況下，落體存在極限速度。解 設(shè)物體質(zhì)量為，空氣阻力系數(shù)為，又設(shè)在時(shí)刻物體的下落速度為，于是在時(shí)刻物體所受的合外力為，這里建立的坐標(biāo)系，使得重力方向向下，與運(yùn)動(dòng)方向一致，空氣阻力向上，與運(yùn)動(dòng)方向相反。從而，根據(jù)牛頓第二定律可列出微分方程因?yàn)槭亲杂陕潴w，所以有得積分后得或解出，得當(dāng)時(shí)，有據(jù)測(cè)定，其中為與物體形狀有關(guān)的常數(shù)，為介質(zhì)密度，為物體在地面上的投影面積。人們正是根據(jù)，來為跳傘者設(shè)計(jì)安全的降落傘的直徑大小。3.3電學(xué)問題與力學(xué)問題相仿，在有些電路中電荷和電流也會(huì)有變化，此問題主要出現(xiàn)在電學(xué)中的振蕩現(xiàn)象，應(yīng)用微分方程也能類似的實(shí)際問題。例3 設(shè)有如圖的電

17、路，其中為交流電源的電動(dòng)勢(shì)；為電阻，當(dāng)電流為時(shí)，它產(chǎn)生的電壓降為；為電感，它產(chǎn)生電壓降，為一常數(shù)。今設(shè)時(shí)刻時(shí)，電路的電流為，求電流與時(shí)間的關(guān)系。解 根據(jù)基爾霍夫定律，有如下關(guān)系 整理后，得到關(guān)于的線性方程式 即要求解初值問題 由線性微分方程求解公式有 積分后得到因?yàn)?，故?dāng)時(shí)間充分大時(shí)，第一項(xiàng)趨于零，只剩下第二項(xiàng)。第二項(xiàng)經(jīng)化簡(jiǎn)后，成為 其中3.4 光學(xué)問題光線微分方程是現(xiàn)代幾何光學(xué)中的一個(gè)重要方程式。一般來說，只要給出初始條件，就可根據(jù)光線微分方程求出光在媒質(zhì)中傳播的實(shí)際路徑。例4 拋物線的光學(xué)性質(zhì)解 由于對(duì)稱性，考慮在過旋轉(zhuǎn)軸的一個(gè)平面上的輪廓線，如圖。以旋轉(zhuǎn)軸為軸，光源放在原點(diǎn)。設(shè)的方程為。

18、由點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)鏡面發(fā)射后平行于軸。設(shè)為上任一點(diǎn)，光線經(jīng)反射后為。為在點(diǎn)的切線，為在點(diǎn)的法線，根據(jù)光線的反射定律，有從而，因?yàn)榈男甭蕿?，的斜率為。所以由正切公式，有，從而即得到微分方程由這方程中解出，得到齊次方程令，即，有代入上式得到分離變量后得令上式變?yōu)?。積分后得或。兩端平方得化簡(jiǎn)后得以代入，得。這是一族以原點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線。3.5 流體混合問題某容器中裝有濃度為的含某種物質(zhì)的液體升，從其中取出升后，加入濃度為的液體升，要求混合后的液體的濃度以及物質(zhì)的含量。這類問題用初等代數(shù)就可以解決了。例5 如圖，容器內(nèi)裝有含物質(zhì)的流體。設(shè)時(shí)刻時(shí)，流體的體積為，物質(zhì)的質(zhì)量為，以速度放出流體，而同時(shí)又以速度注入濃度為的流體。試求時(shí)刻時(shí)容器中物質(zhì)的質(zhì)量及流體的濃度。解 用微元法來列方程，設(shè)在時(shí)刻，容器內(nèi)物質(zhì)的質(zhì)量為，濃度為，經(jīng)過時(shí)間后，容器內(nèi)物質(zhì)的質(zhì)量增加了。于是有關(guān)系式因?yàn)榇肷鲜接谢蜻@是一個(gè)線性方程。求物質(zhì)在時(shí)刻的質(zhì)量的問題就歸結(jié)為求方程滿足初值條件的解的問題。4.總 結(jié)一階常微分方程的初等解法是把微分方程的求解問題轉(zhuǎn)化為積分問題，其解的表達(dá)式由初等函數(shù)或超越函數(shù)表示，是常微分方程發(fā)展初期數(shù)學(xué)家的辛勤成果。對(duì)于一個(gè)給定的常微分方程,不僅要準(zhǔn)確判斷它屬于何種類型,還要注意學(xué)習(xí)的解題技巧,從中總