(完整版)高中數(shù)學(xué)必修4平面向量知識(shí)點(diǎn)與典型例題總結(jié)(師)

1、1數(shù)學(xué)必會(huì)基礎(chǔ)題型一一平面向量【基本概念與公式】【任何時(shí)候?qū)懴蛄繒r(shí)都要帶箭頭】uuu r1. 向量：既有大小又有方向的量。記作：AB或a。、uuu r2. 向量的模：向量的大?。ɑ蜷L(zhǎng)度），記作：|AB|或| a |。3. 單位向量：長(zhǎng)度為 1 的向量。若e是單位向量，則| e| 104.零向量：長(zhǎng)度為 0 的向量。記作：0?！?方向是任意的，且與任意向量平行】5.平行向量（共線向量）：方向相同或相反的向量6.相等向量：長(zhǎng)度和方向都相同的向量uur uuu7.相反向量：長(zhǎng)度相等，方向相反的向量。AB BA8.三角形法則：uuu uuruuur uuuuuu uuuuuur uuuABBCAC;A

2、BBCCDDEAE；9.平行四邊形法則：以a,b為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線分別為a b，a br r r rrrrr10. 共線定理：a b a/b。當(dāng) 0 時(shí)，a與b同向；當(dāng) 0 時(shí)，a與b反向11. 基底：任意不共線的兩個(gè)向量稱為一組基底。rrrr r12. 向量的模：若a（x, y），則 | a |. x2y2, a|a |2, |ar r13. 數(shù)量積與夾角公式：a b | a | | b | cos； cosra br|a| |b|14.平行與垂直：a/b a b xy2x2y1； a b a b 0 %x2yy0題型 1.基本概念判斷正誤：（1）共線向量就是在同一條直線上的向量

3、。（2）若兩個(gè)向量不相等，貝U它們的終點(diǎn)不可能是同一點(diǎn)。（3）與已知向量共線的單位向量是唯一的。uuu UULT（4）四邊形 ABCD 是平行四邊形的條件是AB CD。uuu uuruuu uuur uuuAB AC CB（指向被減數(shù)）Fa2（5） 若AB CD，則 A、B、C、D 四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形。（6）因?yàn)橄蛄烤褪怯邢蚓€段，所以數(shù)軸是向量。（7）若a與b共線，b與c共線，則a與C共線。r r r r（8）若ma mb，貝U a b。3(9) 若ma na，貝U m n。(10) 若a與b不共線，則a與b都不是零向量。r r r r r r(11)若a b |a | | b|，則a/b。(

4、若|a b| |a b|，則：b。題型 2.向量的加減運(yùn)算rrr r1. 設(shè)a表示“向東走 8km” ,b表示“向北走 6km” ,則| a b | _uuu uuiruuur uuu uuuu2. 化簡(jiǎn)(AB MB) (BO BC) OM _。uuu uuuuuu3. 已知|OA| 5,|OB| 3,則| AB|的最大值和最小值分別為 _LULT UUU UULTLUJLT4. 已知AC為AB與AD的和向量，且ACuuur 3 uuu5. 已知點(diǎn) C 在線段 AB 上，且AC3AB5題型 3.向量的數(shù)乘運(yùn)算1. 計(jì)算：(1)3(a b) 2(a b)2. 已知a (1, 4),b( 3,8)

5、，則3a -b2題型 4.作圖法球向量的和已知向量a,b，如下圖，請(qǐng)做出向量3a題型 5.根據(jù)圖形由已知向量求未知向量1.已知在 ABC 中，D 是 BC 的中點(diǎn)，請(qǐng)用向量AB,AC表示AD,uuurruuu r ” uuu十uuur2.在平行四邊形 ABCD 中，已知AC a,BD b，求AB和AD。題型 6.向量的坐標(biāo)運(yùn)算1. 已知AB (4,5),A(2,3)，則點(diǎn) B 的坐標(biāo)是_ 。uurr uuurruuuUULTa, BDb，貝9 AB，AD。uuuuuiuuuuuuu則ACBC，ABBC。r rrr rr(2)2(2a5b 3C)3( 2a 3b2C)1 r r 3 r-b和2a

6、 b2242. 已知PQ ( 3, 5)，P(3,7)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是_ 。3. 若物體受三個(gè)力 F (1,2) , F ( 2,3) , F ( 1, 4),則合力的坐標(biāo)為_54.已知a ( 3,4),b (5,2)，求a b,5 b,3 21buuuuuuuuuruuu6.已知AB (2,3),BC (m, n),CD ( 1,4)，則DAuuu uuuA(2, 1),B( 4,8), 且AB 3BC題型 7.判斷兩個(gè)向量能否作為一組基底u(yù) in1.已知,e是平面內(nèi)的一組基底，判斷下列每組向量是否能構(gòu)成一組基底:uuu Luuu2.已知 O 是原點(diǎn)，點(diǎn) A 在第一象限，| OA| 4、3，

7、xOA 60，求OA的坐標(biāo)題型 9.求數(shù)量積rrrr1.已知|5| 3,|b |4，且 a 與b的夾角為60， 求(1)a b，(2)a (a b)，r 1r rrrrr(3)(a丄b) b，(4)(2a b) (a 3b)o2.rrtr rr rr r r2.已知a (2, 6),b( 8,10)，求(1)心|小|，(2)a b，(3)a (2 a b)，rr(4)(2a b) (a 3b)o題型 10.求向量的夾角rrr5.已知A(1,2), B(3,2),向量5(x 2,xuuu3y 2)與AB相等，求 x,y 的值7.已知 O 是坐標(biāo)原點(diǎn),r uuur0，求OC的坐標(biāo)uuuiriuur

8、iuiuirA. e e,和 e e2B. 3 2e2和 4e, 62.已知5(3,4)， 能與 5 構(gòu)成基底的是(ur uu uu ur uu ur urC. e3e2和 e3e1D.e2和 e2e)A.(3,4)B.(4,3)C.(3,4)D.( 1,4)5 55 5553題型 8.結(jié)合三角函數(shù)求向量坐標(biāo)uuu1.已知 0 是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) A 在第二象限，|OA| 2，uuuxOA150，求OA的坐標(biāo)61.已知a I 8,|b I 3，a b 12，求 a 與b的夾角2.已知a (、3,1),5 ( 2.3,2)，求 a 與b的夾角73.已知A(1,0),B(0,1),C(2,5)，求 c

9、os BAC。題型 11.求向量的模1.已知心|3,|b| 4，且 a 與b的夾角為60。，求(1)|a b |, (2)|2a 3b |rrr Tr Tr12. 已知a (2, 6),b( 8,10)，求(1)|a|,|b|, (5)|a b|, (6)|a -b|2rrr3. 已知|a | 1,| b | 2，|3a 2b | 3，求|3a b |。題型 12.求單位向量【與a平行的單位向量：e 臣】|a|1. 與a (12,5)平行的單位向量是_ 。2. 與mn ( 1,1)平行的單位向量是。2題型 13.向量的平行與垂直1.已知a (6,2)，b( 3,m)，當(dāng)n為何值時(shí)，(1)a/I

10、D？( 2)a b？rr(3,2)，( 1) k 為何值時(shí)，向量ka b與a 3b垂直?(2)k 為何值時(shí)，向量ka b與a 3b平行?3.已知 a 是非零向量，a b a c，且b c，求證：a題型 14.三點(diǎn)共線問(wèn)題1.已知A(0, 2)，B(2, 2)，C(3,4)，求證:A, B,C三點(diǎn)共線2.已知舌(1,2)，b(b C)。84.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),uuuuuuUULTOA ( 1,8),OB( 4,1),OC題型 16.平面向量的綜合應(yīng)用rrr1. 已知a (1,0)，b (2,1)，當(dāng) k 為何值時(shí)，向量ka b與a 3b平行？2. 已知a c, 3, , 5)，且a b，|b|

11、 2，求b的坐標(biāo)。3. 已知a與b同向，b (1,2)，則a b 10，求a的坐標(biāo)。rr3. 已知a (1,2)，b (3,1)，c (5,4)，則 c _a _b。rr4. 已知a (5,10)，b ( 3, 4)，c (5,0)，請(qǐng)將用向量a,b表示向量 c。rr5. 已知a (m,3),b (2, 1), (1)若 a 與b的夾角為鈍角，求m的范圍；uuu J2rr uuu2.設(shè)AB (a 5b), BC2r r uuu r r2a 8b,CD 3(a b)，求證：A B、D 三點(diǎn)共線。uuu r r uuu3.已知AB a 2b, BCr r uuu r r5a 6b,CD 7a 2b

12、，則一定共線的三點(diǎn)是4.已知A(1, 3),B(8, 1)，若點(diǎn)C(2a 1,a2)在直線 AB 上，求a的值5.已知四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)0(0,0)，A(3, 4)，uuu uuuB( 1,2)，C(1,1)，是否存在常數(shù) t，使OA tOBuuurOC成立？題型 15.判斷多邊形的形狀uuu r uuu r uuur uuu1.若AB 3e，CD 5e，且|AD|BC|,則四邊形的形狀是 _2.已知A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)，證明四邊形 ABCD 是梯形。3.已知A( 2,1)，B(6, 3)，C(0,5)，求證：ABC 是直角三角形(1,3),求證:ABC 是等腰直角

13、三角形9(2)若 a 與b的夾角為銳角，求m的范圍。6. 已知a (6,2),b ( 3,m)，當(dāng)m為何值時(shí)，(1) a 與b的夾角為鈍角？( 2) a 與5的夾角 為銳角？7. 已知梯形 ABCD 的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A( 1,2)，B(3,4)，D(2,1)，且 AB/DC，AB 2CD， 求點(diǎn) C 的坐標(biāo)。8. 已知平行四邊形 ABCD 的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2,1)，B( 1,3) ,C(3,4)，求第四個(gè)頂點(diǎn) D 的坐標(biāo)。9. 一航船以 5km/h 的速度向垂直于對(duì)岸方向行駛，航船實(shí)際航行方向與水流方向成30角，求水流速度與船的實(shí)際速度。10. 已知 ABC 三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(

14、3,4)，B(0,0)，C(c,0)，uuu uuur(1)若AB AC 0，求c的值；(2)若 c 5，求 sinA 的值?！緜溆谩縭1. 已知|a| 3,|b| 4,|a b| 5,求|a b|和向量a,b的夾角。rrrurr r r r r r u2. 已知x a b，y 2a b，且|a|b|1，a b，求x, y的夾角的余弦。1.已知a (1,3),b( 2, 1)，則(3：2b) (2a 5b)65。4. 已知兩向量a (3,4),b (2, 1)，求當(dāng)a xb與a b垂直時(shí)的 x 的值。rrr r5. 已知兩向量a (1,3),b (2, )，a與b的夾角 為銳角，求 的范圍。變式：若a (,2),b (3,5)，a與b的夾角為鈍角，求的取值范圍。選擇、填空題的特殊方法：1.特例法例：全品P27: 4。因?yàn)?M,N 在 AB,AC 上的任意位置都成立，所以取特殊情況，即 M,N 與 B,C 重合時(shí)，可以得到 m n 1， m n 2。102.代入驗(yàn)證法例：已知向量a (1,1),b (1, 1),C ( 1, 2)，則C( D )4x5，y3.排除法uuuruuur uuuruuuu uuur uuuA.AMMB BCB.3AMACC.ABuuu解：觀察前三個(gè)選項(xiàng)都不與AB共線，所以選Do“ 1r3rc1r3