材料力學(xué) 平面圖形幾何性質(zhì)

1、 在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，計(jì)算構(gòu)件在外力作用下的應(yīng)力和變形在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，計(jì)算構(gòu)件在外力作用下的應(yīng)力和變形時(shí)經(jīng)常會(huì)遇到一些只與構(gòu)件橫截面的形狀、尺寸有關(guān)的幾時(shí)經(jīng)常會(huì)遇到一些只與構(gòu)件橫截面的形狀、尺寸有關(guān)的幾何量。何量。 在計(jì)算拉伸（壓縮）桿件時(shí)用到的橫截面面積在計(jì)算拉伸（壓縮）桿件時(shí)用到的橫截面面積A A，計(jì)，計(jì)算受扭桿件時(shí)用到的橫截面極慣性矩算受扭桿件時(shí)用到的橫截面極慣性矩I IP P和抗扭截面模量和抗扭截面模量W Wt t。它們都是只與橫截面平面圖形的形狀、尺寸有關(guān)的幾何量。它們都是只與橫截面平面圖形的形狀、尺寸有關(guān)的幾何量。統(tǒng)稱為統(tǒng)稱為平面圖形的幾何性質(zhì)平面圖形的幾何性質(zhì)。 由上面公式可以看出，橫截

2、面上的極慣性矩由上面公式可以看出，橫截面上的極慣性矩IP和抗扭截面和抗扭截面模量模量Wt直接影響橫截面上的切應(yīng)力直接影響橫截面上的切應(yīng)力和和max以及單位長(zhǎng)度相對(duì)以及單位長(zhǎng)度相對(duì)扭轉(zhuǎn)角扭轉(zhuǎn)角 的數(shù)值，實(shí)際上也是就是從強(qiáng)度和剛度兩個(gè)方面影響的數(shù)值，實(shí)際上也是就是從強(qiáng)度和剛度兩個(gè)方面影響受扭轉(zhuǎn)圓軸的承載能力，因此要研究和計(jì)算根據(jù)的應(yīng)力、變受扭轉(zhuǎn)圓軸的承載能力，因此要研究和計(jì)算根據(jù)的應(yīng)力、變形或承載能力，就必須掌握構(gòu)件橫截面平面圖形幾何量（如形或承載能力，就必須掌握構(gòu)件橫截面平面圖形幾何量（如IP、Wt）的計(jì)算。）的計(jì)算。 ptpGITWTIT；max 工程實(shí)踐和力學(xué)理論都已證明構(gòu)件橫截面平面圖形的

3、幾何工程實(shí)踐和力學(xué)理論都已證明構(gòu)件橫截面平面圖形的幾何性質(zhì)是影響構(gòu)件承載能力的重要因素。例如在圓軸扭轉(zhuǎn)計(jì)算性質(zhì)是影響構(gòu)件承載能力的重要因素。例如在圓軸扭轉(zhuǎn)計(jì)算中我們已知中我們已知 研究平面圖形幾何性質(zhì)的另一個(gè)重要意義在研究平面圖形幾何性質(zhì)的另一個(gè)重要意義在于掌握平面圖形幾何性質(zhì)的變化規(guī)律后能夠于掌握平面圖形幾何性質(zhì)的變化規(guī)律后能夠主動(dòng)主動(dòng)地為各種構(gòu)件選擇合理的截面形狀和尺寸地為各種構(gòu)件選擇合理的截面形狀和尺寸，使構(gòu)，使構(gòu)件的各部分材料能夠比較充分地發(fā)揮作用。件的各部分材料能夠比較充分地發(fā)揮作用。 具體的說(shuō)在采用相同材料用量的情況下具體的說(shuō)在采用相同材料用量的情況下,設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)出橫截面平面圖形能到

4、得最大的或最有利的有關(guān)出橫截面平面圖形能到得最大的或最有利的有關(guān)幾何量幾何量。 1.靜矩靜矩Cx ydAxCx yC yOAyAxxdASydAS.1.1靜矩和形心靜矩和形心2.形心形心AAxxAAyyACACdd3.形心與靜形心與靜矩的關(guān)系矩的關(guān)系A(chǔ)xSAySASxASyCyCxyCxC或 圖形對(duì)某軸的靜矩圖形對(duì)某軸的靜矩為零，則該軸一定過(guò)圖為零，則該軸一定過(guò)圖形的形心；形的形心； 某軸過(guò)圖形的形心，某軸過(guò)圖形的形心，則圖形對(duì)該軸的靜矩為則圖形對(duì)該軸的靜矩為零。零。 例例1 求圖示半徑為求圖示半徑為r的半圓形對(duì)其直徑軸的半圓形對(duì)其直徑軸x的靜矩及其形心坐標(biāo)的靜矩及其形心坐標(biāo)yC。 OCrxy

5、dAyCydy解：過(guò)圓心解：過(guò)圓心O作與作與x軸垂直的軸垂直的y軸，軸，在距在距x任意高度任意高度y處取一個(gè)與處取一個(gè)與x軸平軸平行的窄條，行的窄條，yyrAd2d22 所以所以 3022322ryd)yr( yAdySrAx3423223r/r/rASyxC4、組合圖形的形心與靜矩（一次軸距）、組合圖形的形心與靜矩（一次軸距）（1）組合圖形的靜矩）組合圖形的靜矩CiiyiyCiixixxASSyASS（2）組合圖形的形心）組合圖形的形心iCiiiyCiCiiixCAxAASxAyAASy 解：將此圖形分別為解：將此圖形分別為I、II、III三三部分，以圖形的鉛垂對(duì)稱軸為部分，以圖形的鉛垂對(duì)稱

6、軸為y軸，軸，過(guò)過(guò)II、III的形心且與的形心且與y軸垂直的軸線軸垂直的軸線取為取為x軸，則軸，則例例2 求圖示圖形的形心。求圖示圖形的形心。150yCxOx1y120010yC300IIIIII10mm8 .38)30010(2102000)30010(2)1505()10200(iiiAyAyCC由于對(duì)稱知：由于對(duì)稱知： xC=01.極慣性矩：極慣性矩：2.慣性矩：慣性矩：AyAxdAxIdAyI22ApdAI2為圖形對(duì)一點(diǎn)的為圖形對(duì)一點(diǎn)的極慣性矩極慣性矩；xydAxy O3.慣性積：慣性積： 為圖形對(duì)為圖形對(duì)x、y一對(duì)正交軸的一對(duì)正交軸的慣性積；慣性積；AxyxydAI分別為圖形對(duì)分別為

7、圖形對(duì)x、y軸軸的的慣性矩；慣性矩；4.慣性矩與極慣性矩的關(guān)系：慣性矩與極慣性矩的關(guān)系：xyAApIIdAyxdAI)(222 平面圖形對(duì)過(guò)一點(diǎn)的任意一對(duì)正交軸的慣性矩之和為常數(shù)，平面圖形對(duì)過(guò)一點(diǎn)的任意一對(duì)正交軸的慣性矩之和為常數(shù)，等于圖形對(duì)該點(diǎn)的極慣性矩。等于圖形對(duì)該點(diǎn)的極慣性矩。.2 2 二次軸距二次軸距極慣性矩極慣性矩 慣性矩慣性積慣性矩慣性積 解：平行解：平行x軸取一窄長(zhǎng)條，軸取一窄長(zhǎng)條， 其面積為其面積為dA=bdy，則，則 慣性矩、極慣性矩恒為正值，慣性積有正負(fù)，單位：慣性矩、極慣性矩恒為正值，慣性積有正負(fù)，單位：m4、cm4、mm4； 若圖形有一個(gè)對(duì)稱軸，則圖形對(duì)包含此對(duì)稱軸的一

8、對(duì)正若圖形有一個(gè)對(duì)稱軸，則圖形對(duì)包含此對(duì)稱軸的一對(duì)正交軸的慣性積為交軸的慣性積為零零； 慣性矩、慣性積和極慣性矩均為慣性矩、慣性積和極慣性矩均為面積的二次矩面積的二次矩 如將如將dA看成質(zhì)量看成質(zhì)量dm，則，則Ix、Iy、Ip分別為平面體對(duì)分別為平面體對(duì)x、y、原點(diǎn)的、原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。例例3 求圖示矩形對(duì)通過(guò)其形心且與邊求圖示矩形對(duì)通過(guò)其形心且與邊平行的平行的x、y軸的慣性矩軸的慣性矩Ix、Iy和慣性積和慣性積Ixy。dyb/2b/2xyyh/2h/2CdA1232222bh)ydb(yAdyI/h/hAx123hbIy又因?yàn)橛忠驗(yàn)閤、y軸皆為對(duì)稱軸，故軸皆為對(duì)稱軸，故Ixy=0。同理

9、可得同理可得 由于圓形對(duì)任意直徑軸都是對(duì)稱的，故由于圓形對(duì)任意直徑軸都是對(duì)稱的，故Ix=Iy注意到注意到It=Ix+Iy，得到，得到例例4 求圖示直徑為求圖示直徑為d的圓對(duì)過(guò)圓心的任意直徑軸的圓對(duì)過(guò)圓心的任意直徑軸的慣性矩的慣性矩Ix、Iy及對(duì)圓心的極慣性矩及對(duì)圓心的極慣性矩Ip。dCxyd 解：解：首先求對(duì)圓心的極慣性矩。首先求對(duì)圓心的極慣性矩。在離圓心在離圓心O為為 處作寬度為處作寬度為d 的薄圓環(huán)，其面的薄圓環(huán)，其面積積dA=2d ，則，則32)d2(d42/022dAIdAp64214dIIIpyx一、平行移軸公式一、平行移軸公式1.公式推導(dǎo)公式推導(dǎo)2.平行移軸公式平行移軸公式abAI

10、IAbIIAaIICCCCyxxyyyxx22 b和和a是圖形的形心是圖形的形心C在在Oxy坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，所以它們是坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，所以它們是有正負(fù)的。有正負(fù)的。3.注意注意： xC、yC軸是形心軸，在所有的平行軸中，圖形對(duì)形心軸軸是形心軸，在所有的平行軸中，圖形對(duì)形心軸的慣性矩最??；的慣性矩最小；.3 3 組合截面的二次軸矩組合截面的二次軸矩 慣性矩和慣性積的慣性矩和慣性積的平行移軸公式平行移軸公式n1iin1iin1iixyxyyyxxIIIIII，二、組合圖形的慣性矩：二、組合圖形的慣性矩：OxyCdAxCyCabyxxCyC已知：已知： 、 、 ，形心在，形心在xOy坐標(biāo)系下的坐標(biāo)坐

11、標(biāo)系下的坐標(biāo)(a，b)，求，求Ix、Iy、IxyCxICyICCyxI A2xdAyI A2CC2A2CdA)yay2a(dA)ya( A2CACA2dAydAya2dAaAaII2xxC AbII2yyC 同同理理：CxA2CACAIdAy0dAyAdA ， AxyxydAI ACCCCACCdA)yxbyaxab(dA)ya)(xb( ACCACACAdAyxdAybdAxadAabCCyxACCACACAIdAyx0dAy0dAxAdA ，abAIICCyxxy OxyCdAxCyCabyxxCyC已知：已知： 、 、 ，形心在，形心在xOy坐標(biāo)系下的坐標(biāo)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)(a，b)，求，求

12、Ix、Iy、IxyCxICyICCyxI A2xdAyI A2CC2A2CdA)yay2a(dA)ya( A2CACA2dAydAya2dAaAaII2xxC AbII2yyC 同同理理：CxA2CACAIdAy0dAyAdA ， AxyxydAI ACCCCACCdA)yxbyaxab(dA)ya)(xb( ACCACACAdAyxdAybdAxadAabCCyxACCACACAIdAyx0dAy0dAxAdA ，abAIICCyxxy 例例5 已知三角形對(duì)底邊已知三角形對(duì)底邊(x1軸軸)的慣性矩的慣性矩為為bh3/12，求其對(duì)過(guò)頂點(diǎn)的與底邊平行，求其對(duì)過(guò)頂點(diǎn)的與底邊平行的的x2軸的慣性矩。

13、軸的慣性矩。bx1hx2xCh/3 解：由于解：由于x1、x2軸均非形心軸，所以軸均非形心軸，所以不能直接使用平行移軸公式，需先求出三不能直接使用平行移軸公式，需先求出三角形對(duì)形心軸角形對(duì)形心軸xC的慣性矩，再求對(duì)的慣性矩，再求對(duì)x2軸的軸的慣性矩，即進(jìn)行兩次平行移軸：慣性矩，即進(jìn)行兩次平行移軸：362312323211bhbhhbhAaIIxxC423236323222bhbhhbhAaIICxx303055CC2C1y221y1zC1zC21、先求形心的位置：、先求形心的位置：取參考坐標(biāo)系如圖，則：取參考坐標(biāo)系如圖，則： iiiCCAyAy0zmm75.23AAyAyA212211 即截面

14、的形心軸。即截面的形心軸。、CCzy2、再求截面對(duì)形心軸的慣性矩：、再求截面對(duì)形心軸的慣性矩：433ymm115601230512530IC 4222Cz121Cz222z121zzmm34530A)yy(I A)yy(I )AaI ()AaI (I2C1C2C1CC 由平行移軸定理得：由平行移軸定理得：yCzyCzC例例6 求圖示求圖示T型截面對(duì)形心軸的慣性矩。型截面對(duì)形心軸的慣性矩。解：解：一、慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式一、慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式1.公式推導(dǎo)：公式推導(dǎo)：2.轉(zhuǎn)軸公式轉(zhuǎn)軸公式：2222222221111cosIsinIIIsinIcosIIIIIsinIcosIIIIIxyy

15、xyxxyyxyxyxyyxyxx3.注意：注意： 是是x軸與軸與x1軸的夾角，由軸的夾角，由x軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)到軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)到x1軸軸時(shí)的時(shí)的 為正。為正。 .4 4 截面的主慣性軸和主慣性矩截面的主慣性軸和主慣性矩 慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式y(tǒng)1=|AC|dAy1x1y1x1 yx DEBACOxy已知：已知：Ix、Iy、Ixy、 ，求，求 、 、 。1xI1yI11yxI A21xdAyI1 A2xdA)sinxcosy(I1=|AD| |EB| =ycosxsin 22sincossin2cosyxyxIII A2222dA)sinxcossinxy2cosy(利用三角變

16、換，得到利用三角變換，得到2sin2cos221xyyxyxxIIIIII同理，利用：同理，利用： 2cosI2sin2IIIasinI2cos2II2IIIxyyxyxxyyxyxy111得到得到x1=|OC|=|OE|+|BD|=xcosa+ysina形心主慣性矩形心主慣性矩：圖形對(duì)形心主軸的慣性矩：圖形對(duì)形心主軸的慣性矩；2.主軸方位：主軸方位：利用主軸的定義利用主軸的定義慣性積等于零進(jìn)行求解；慣性積等于零進(jìn)行求解；主軸與主軸與x軸的夾角軸的夾角:yxxyIII22ant0 由上式可求出相差由上式可求出相差90o的的 0， 0+90o，分別對(duì)應(yīng)于一對(duì)相垂，分別對(duì)應(yīng)于一對(duì)相垂直的主軸直的主

17、軸x0、y0；二、主慣性軸、主慣性矩二、主慣性軸、主慣性矩1.主軸的相關(guān)概念：主軸的相關(guān)概念：主軸主軸(主慣性軸主慣性軸)：慣性積等于零的一對(duì)正交軸；慣性積等于零的一對(duì)正交軸； 形心主軸形心主軸：過(guò)圖形形心的主軸，圖形的對(duì)稱軸就是形：過(guò)圖形形心的主軸，圖形的對(duì)稱軸就是形心主軸心主軸 與主軸方位的對(duì)應(yīng)關(guān)系：與主軸方位的對(duì)應(yīng)關(guān)系：求求 0時(shí)只取主值時(shí)只取主值|2 0| /2)，若若IxIy，則由，則由x軸轉(zhuǎn)過(guò)軸轉(zhuǎn)過(guò) 0到達(dá)到達(dá)x0軸時(shí)，有軸時(shí)，有 ；若；若IxIy，則則 。注意，。注意， 0為正值時(shí)應(yīng)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。為正值時(shí)應(yīng)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。maxxII0minxII0 任何具有三個(gè)或三個(gè)以上對(duì)稱軸的平面

18、圖形，所有形心任何具有三個(gè)或三個(gè)以上對(duì)稱軸的平面圖形，所有形心軸都是主軸，如正三角形、正方形、正多邊形。軸都是主軸，如正三角形、正方形、正多邊形。 求慣性矩的極值所在方位，得到與上式相同結(jié)果。所以：求慣性矩的極值所在方位，得到與上式相同結(jié)果。所以：圖形對(duì)過(guò)某點(diǎn)所有軸的慣性矩中的極大值和極小值，就是對(duì)過(guò)圖形對(duì)過(guò)某點(diǎn)所有軸的慣性矩中的極大值和極小值，就是對(duì)過(guò)該點(diǎn)主軸的兩個(gè)主慣性矩。該點(diǎn)主軸的兩個(gè)主慣性矩。3.主慣性矩大小：主慣性矩大?。?22minmax22xyyxyxIIIIIII12010101070例例7 計(jì)算圖示截面的形心主軸和形心主慣性矩計(jì)算圖示截面的形心主軸和形心主慣性矩IIIIIIICxyy0 x0 0圖形的對(duì)稱中心圖形的對(duì)稱中心C為形心，在為形心，在C點(diǎn)建立坐標(biāo)點(diǎn)建立坐標(biāo)系系xCy如圖如圖將整個(gè)圖形分成將整個(gè)圖形分成I、II、III三個(gè)矩形，如圖三個(gè)矩形，如圖整個(gè)圖形對(duì)整個(gè)圖形對(duì)x、y軸的慣性矩和慣性積分別軸的慣性矩和慣性積分別為為IIIxIIxIxxIIII 2)1060()560(12106023 46mm1008. 5 12120103 46IIIyIIyIyymm1084. 1IIII 46IIIxyIIxyIx