材料力學 平面圖形幾何性質(zhì)

1、 在結(jié)構(gòu)設(shè)計中，計算構(gòu)件在外力作用下的應力和變形在結(jié)構(gòu)設(shè)計中，計算構(gòu)件在外力作用下的應力和變形時經(jīng)常會遇到一些只與構(gòu)件橫截面的形狀、尺寸有關(guān)的幾時經(jīng)常會遇到一些只與構(gòu)件橫截面的形狀、尺寸有關(guān)的幾何量。何量。 在計算拉伸（壓縮）桿件時用到的橫截面面積在計算拉伸（壓縮）桿件時用到的橫截面面積A A，計，計算受扭桿件時用到的橫截面極慣性矩算受扭桿件時用到的橫截面極慣性矩I IP P和抗扭截面模量和抗扭截面模量W Wt t。它們都是只與橫截面平面圖形的形狀、尺寸有關(guān)的幾何量。它們都是只與橫截面平面圖形的形狀、尺寸有關(guān)的幾何量。統(tǒng)稱為統(tǒng)稱為平面圖形的幾何性質(zhì)平面圖形的幾何性質(zhì)。 由上面公式可以看出，橫截

2、面上的極慣性矩由上面公式可以看出，橫截面上的極慣性矩IP和抗扭截面和抗扭截面模量模量Wt直接影響橫截面上的切應力直接影響橫截面上的切應力和和max以及單位長度相對以及單位長度相對扭轉(zhuǎn)角扭轉(zhuǎn)角 的數(shù)值，實際上也是就是從強度和剛度兩個方面影響的數(shù)值，實際上也是就是從強度和剛度兩個方面影響受扭轉(zhuǎn)圓軸的承載能力，因此要研究和計算根據(jù)的應力、變受扭轉(zhuǎn)圓軸的承載能力，因此要研究和計算根據(jù)的應力、變形或承載能力，就必須掌握構(gòu)件橫截面平面圖形幾何量（如形或承載能力，就必須掌握構(gòu)件橫截面平面圖形幾何量（如IP、Wt）的計算。）的計算。 ptpGITWTIT；max 工程實踐和力學理論都已證明構(gòu)件橫截面平面圖形的

3、幾何工程實踐和力學理論都已證明構(gòu)件橫截面平面圖形的幾何性質(zhì)是影響構(gòu)件承載能力的重要因素。例如在圓軸扭轉(zhuǎn)計算性質(zhì)是影響構(gòu)件承載能力的重要因素。例如在圓軸扭轉(zhuǎn)計算中我們已知中我們已知 研究平面圖形幾何性質(zhì)的另一個重要意義在研究平面圖形幾何性質(zhì)的另一個重要意義在于掌握平面圖形幾何性質(zhì)的變化規(guī)律后能夠于掌握平面圖形幾何性質(zhì)的變化規(guī)律后能夠主動主動地為各種構(gòu)件選擇合理的截面形狀和尺寸地為各種構(gòu)件選擇合理的截面形狀和尺寸，使構(gòu)，使構(gòu)件的各部分材料能夠比較充分地發(fā)揮作用。件的各部分材料能夠比較充分地發(fā)揮作用。 具體的說在采用相同材料用量的情況下具體的說在采用相同材料用量的情況下,設(shè)計設(shè)計出橫截面平面圖形能到

4、得最大的或最有利的有關(guān)出橫截面平面圖形能到得最大的或最有利的有關(guān)幾何量幾何量。 1.靜矩靜矩Cx ydAxCx yC yOAyAxxdASydAS.1.1靜矩和形心靜矩和形心2.形心形心AAxxAAyyACACdd3.形心與靜形心與靜矩的關(guān)系矩的關(guān)系A(chǔ)xSAySASxASyCyCxyCxC或 圖形對某軸的靜矩圖形對某軸的靜矩為零，則該軸一定過圖為零，則該軸一定過圖形的形心；形的形心； 某軸過圖形的形心，某軸過圖形的形心，則圖形對該軸的靜矩為則圖形對該軸的靜矩為零。零。 例例1 求圖示半徑為求圖示半徑為r的半圓形對其直徑軸的半圓形對其直徑軸x的靜矩及其形心坐標的靜矩及其形心坐標yC。 OCrxy

5、dAyCydy解：過圓心解：過圓心O作與作與x軸垂直的軸垂直的y軸，軸，在距在距x任意高度任意高度y處取一個與處取一個與x軸平軸平行的窄條，行的窄條，yyrAd2d22 所以所以 3022322ryd)yr( yAdySrAx3423223r/r/rASyxC4、組合圖形的形心與靜矩（一次軸距）、組合圖形的形心與靜矩（一次軸距）（1）組合圖形的靜矩）組合圖形的靜矩CiiyiyCiixixxASSyASS（2）組合圖形的形心）組合圖形的形心iCiiiyCiCiiixCAxAASxAyAASy 解：將此圖形分別為解：將此圖形分別為I、II、III三三部分，以圖形的鉛垂對稱軸為部分，以圖形的鉛垂對稱

6、軸為y軸，軸，過過II、III的形心且與的形心且與y軸垂直的軸線軸垂直的軸線取為取為x軸，則軸，則例例2 求圖示圖形的形心。求圖示圖形的形心。150yCxOx1y120010yC300IIIIII10mm8 .38)30010(2102000)30010(2)1505()10200(iiiAyAyCC由于對稱知：由于對稱知： xC=01.極慣性矩：極慣性矩：2.慣性矩：慣性矩：AyAxdAxIdAyI22ApdAI2為圖形對一點的為圖形對一點的極慣性矩極慣性矩；xydAxy O3.慣性積：慣性積： 為圖形對為圖形對x、y一對正交軸的一對正交軸的慣性積；慣性積；AxyxydAI分別為圖形對分別為

7、圖形對x、y軸軸的的慣性矩；慣性矩；4.慣性矩與極慣性矩的關(guān)系：慣性矩與極慣性矩的關(guān)系：xyAApIIdAyxdAI)(222 平面圖形對過一點的任意一對正交軸的慣性矩之和為常數(shù)，平面圖形對過一點的任意一對正交軸的慣性矩之和為常數(shù)，等于圖形對該點的極慣性矩。等于圖形對該點的極慣性矩。.2 2 二次軸距二次軸距極慣性矩極慣性矩 慣性矩慣性積慣性矩慣性積 解：平行解：平行x軸取一窄長條，軸取一窄長條， 其面積為其面積為dA=bdy，則，則 慣性矩、極慣性矩恒為正值，慣性積有正負，單位：慣性矩、極慣性矩恒為正值，慣性積有正負，單位：m4、cm4、mm4； 若圖形有一個對稱軸，則圖形對包含此對稱軸的一

8、對正若圖形有一個對稱軸，則圖形對包含此對稱軸的一對正交軸的慣性積為交軸的慣性積為零零； 慣性矩、慣性積和極慣性矩均為慣性矩、慣性積和極慣性矩均為面積的二次矩面積的二次矩 如將如將dA看成質(zhì)量看成質(zhì)量dm，則，則Ix、Iy、Ip分別為平面體對分別為平面體對x、y、原點的、原點的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量。例例3 求圖示矩形對通過其形心且與邊求圖示矩形對通過其形心且與邊平行的平行的x、y軸的慣性矩軸的慣性矩Ix、Iy和慣性積和慣性積Ixy。dyb/2b/2xyyh/2h/2CdA1232222bh)ydb(yAdyI/h/hAx123hbIy又因為又因為x、y軸皆為對稱軸，故軸皆為對稱軸，故Ixy=0。同理

9、可得同理可得 由于圓形對任意直徑軸都是對稱的，故由于圓形對任意直徑軸都是對稱的，故Ix=Iy注意到注意到It=Ix+Iy，得到，得到例例4 求圖示直徑為求圖示直徑為d的圓對過圓心的任意直徑軸的圓對過圓心的任意直徑軸的慣性矩的慣性矩Ix、Iy及對圓心的極慣性矩及對圓心的極慣性矩Ip。dCxyd 解：解：首先求對圓心的極慣性矩。首先求對圓心的極慣性矩。在離圓心在離圓心O為為 處作寬度為處作寬度為d 的薄圓環(huán)，其面的薄圓環(huán)，其面積積dA=2d ，則，則32)d2(d42/022dAIdAp64214dIIIpyx一、平行移軸公式一、平行移軸公式1.公式推導公式推導2.平行移軸公式平行移軸公式abAI

10、IAbIIAaIICCCCyxxyyyxx22 b和和a是圖形的形心是圖形的形心C在在Oxy坐標系中的坐標，所以它們是坐標系中的坐標，所以它們是有正負的。有正負的。3.注意注意： xC、yC軸是形心軸，在所有的平行軸中，圖形對形心軸軸是形心軸，在所有的平行軸中，圖形對形心軸的慣性矩最?。坏膽T性矩最??；.3 3 組合截面的二次軸矩組合截面的二次軸矩 慣性矩和慣性積的慣性矩和慣性積的平行移軸公式平行移軸公式n1iin1iin1iixyxyyyxxIIIIII，二、組合圖形的慣性矩：二、組合圖形的慣性矩：OxyCdAxCyCabyxxCyC已知：已知： 、 、 ，形心在，形心在xOy坐標系下的坐標坐

11、標系下的坐標(a，b)，求，求Ix、Iy、IxyCxICyICCyxI A2xdAyI A2CC2A2CdA)yay2a(dA)ya( A2CACA2dAydAya2dAaAaII2xxC AbII2yyC 同同理理：CxA2CACAIdAy0dAyAdA ， AxyxydAI ACCCCACCdA)yxbyaxab(dA)ya)(xb( ACCACACAdAyxdAybdAxadAabCCyxACCACACAIdAyx0dAy0dAxAdA ，abAIICCyxxy OxyCdAxCyCabyxxCyC已知：已知： 、 、 ，形心在，形心在xOy坐標系下的坐標坐標系下的坐標(a，b)，求，求

12、Ix、Iy、IxyCxICyICCyxI A2xdAyI A2CC2A2CdA)yay2a(dA)ya( A2CACA2dAydAya2dAaAaII2xxC AbII2yyC 同同理理：CxA2CACAIdAy0dAyAdA ， AxyxydAI ACCCCACCdA)yxbyaxab(dA)ya)(xb( ACCACACAdAyxdAybdAxadAabCCyxACCACACAIdAyx0dAy0dAxAdA ，abAIICCyxxy 例例5 已知三角形對底邊已知三角形對底邊(x1軸軸)的慣性矩的慣性矩為為bh3/12，求其對過頂點的與底邊平行，求其對過頂點的與底邊平行的的x2軸的慣性矩。

13、軸的慣性矩。bx1hx2xCh/3 解：由于解：由于x1、x2軸均非形心軸，所以軸均非形心軸，所以不能直接使用平行移軸公式，需先求出三不能直接使用平行移軸公式，需先求出三角形對形心軸角形對形心軸xC的慣性矩，再求對的慣性矩，再求對x2軸的軸的慣性矩，即進行兩次平行移軸：慣性矩，即進行兩次平行移軸：362312323211bhbhhbhAaIIxxC423236323222bhbhhbhAaIICxx303055CC2C1y221y1zC1zC21、先求形心的位置：、先求形心的位置：取參考坐標系如圖，則：取參考坐標系如圖，則： iiiCCAyAy0zmm75.23AAyAyA212211 即截面

14、的形心軸。即截面的形心軸。、CCzy2、再求截面對形心軸的慣性矩：、再求截面對形心軸的慣性矩：433ymm115601230512530IC 4222Cz121Cz222z121zzmm34530A)yy(I A)yy(I )AaI ()AaI (I2C1C2C1CC 由平行移軸定理得：由平行移軸定理得：yCzyCzC例例6 求圖示求圖示T型截面對形心軸的慣性矩。型截面對形心軸的慣性矩。解：解：一、慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式一、慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式1.公式推導：公式推導：2.轉(zhuǎn)軸公式轉(zhuǎn)軸公式：2222222221111cosIsinIIIsinIcosIIIIIsinIcosIIIIIxyy

15、xyxxyyxyxyxyyxyxx3.注意：注意： 是是x軸與軸與x1軸的夾角，由軸的夾角，由x軸逆時針轉(zhuǎn)到軸逆時針轉(zhuǎn)到x1軸軸時的時的 為正。為正。 .4 4 截面的主慣性軸和主慣性矩截面的主慣性軸和主慣性矩 慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式y(tǒng)1=|AC|dAy1x1y1x1 yx DEBACOxy已知：已知：Ix、Iy、Ixy、 ，求，求 、 、 。1xI1yI11yxI A21xdAyI1 A2xdA)sinxcosy(I1=|AD| |EB| =ycosxsin 22sincossin2cosyxyxIII A2222dA)sinxcossinxy2cosy(利用三角變

16、換，得到利用三角變換，得到2sin2cos221xyyxyxxIIIIII同理，利用：同理，利用： 2cosI2sin2IIIasinI2cos2II2IIIxyyxyxxyyxyxy111得到得到x1=|OC|=|OE|+|BD|=xcosa+ysina形心主慣性矩形心主慣性矩：圖形對形心主軸的慣性矩：圖形對形心主軸的慣性矩；2.主軸方位：主軸方位：利用主軸的定義利用主軸的定義慣性積等于零進行求解；慣性積等于零進行求解；主軸與主軸與x軸的夾角軸的夾角:yxxyIII22ant0 由上式可求出相差由上式可求出相差90o的的 0， 0+90o，分別對應于一對相垂，分別對應于一對相垂直的主軸直的主

17、軸x0、y0；二、主慣性軸、主慣性矩二、主慣性軸、主慣性矩1.主軸的相關(guān)概念：主軸的相關(guān)概念：主軸主軸(主慣性軸主慣性軸)：慣性積等于零的一對正交軸；慣性積等于零的一對正交軸； 形心主軸形心主軸：過圖形形心的主軸，圖形的對稱軸就是形：過圖形形心的主軸，圖形的對稱軸就是形心主軸心主軸 與主軸方位的對應關(guān)系：與主軸方位的對應關(guān)系：求求 0時只取主值時只取主值|2 0| /2)，若若IxIy，則由，則由x軸轉(zhuǎn)過軸轉(zhuǎn)過 0到達到達x0軸時，有軸時，有 ；若；若IxIy，則則 。注意，。注意， 0為正值時應逆時針旋轉(zhuǎn)。為正值時應逆時針旋轉(zhuǎn)。maxxII0minxII0 任何具有三個或三個以上對稱軸的平面

18、圖形，所有形心任何具有三個或三個以上對稱軸的平面圖形，所有形心軸都是主軸，如正三角形、正方形、正多邊形。軸都是主軸，如正三角形、正方形、正多邊形。 求慣性矩的極值所在方位，得到與上式相同結(jié)果。所以：求慣性矩的極值所在方位，得到與上式相同結(jié)果。所以：圖形對過某點所有軸的慣性矩中的極大值和極小值，就是對過圖形對過某點所有軸的慣性矩中的極大值和極小值，就是對過該點主軸的兩個主慣性矩。該點主軸的兩個主慣性矩。3.主慣性矩大?。褐鲬T性矩大?。?22minmax22xyyxyxIIIIIII12010101070例例7 計算圖示截面的形心主軸和形心主慣性矩計算圖示截面的形心主軸和形心主慣性矩IIIIIIICxyy0 x0 0圖形的對稱中心圖形的對稱中心C為形心，在為形心，在C點建立坐標點建立坐標系系xCy如圖如圖將整個圖形分成將整個圖形分成I、II、III三個矩形，如圖三個矩形，如圖整個圖形對整個圖形對x、y軸的慣性矩和慣性積分別軸的慣性矩和慣性積分別為為IIIxIIxIxxIIII 2)1060()560(12106023 46mm1008. 5 12120103 46IIIyIIyIyymm1084. 1IIII 46IIIxyIIxyIx