隨機信號分析基礎(chǔ)PPT精品文檔

1、1第一章第一章 隨機變量基礎(chǔ)隨機變量基礎(chǔ) 本章要點：本章要點： 1 . 隨機變量的概率分布及其概率密度隨機變量的概率分布及其概率密度)()(xXPxFXdxxdFxp)()(,),(221121nnnxXxXxXPxxxF對于離散隨機變量，其概率密度函數(shù)為對于離散隨機變量，其概率密度函數(shù)為:iiixxpdxxdFxp)()()(22.隨機變量的數(shù)字特征隨機變量的數(shù)字特征均值均值XEmX方差方差)(22XEXEXDXn階原點矩階原點矩, 2 , 1nXEmnnn階中心矩階中心矩, 2 , 1)(nXEXEnnX和和Y的的n+k階聯(lián)合原點矩階聯(lián)合原點矩knnkYXEmX和和Y的的n+k階聯(lián)合中心矩

2、階聯(lián)合中心矩)()(knnkYEYXEXE3隨機變量數(shù)字特征的性質(zhì)隨機變量數(shù)字特征的性質(zhì)若若X、Y是二個相互獨立的隨機變量，則有是二個相互獨立的隨機變量，則有YEXEXYE22XEXEXDYEXEYXE統(tǒng)計獨立統(tǒng)計獨立)()(),(ypxpyxpYXXY不相關(guān)不相關(guān)YEXERXY互相正交互相正交0XYR43 隨機變量的函數(shù)隨機變量的函數(shù)一維隨機變量單調(diào)函數(shù)一維隨機變量單調(diào)函數(shù)Y=g(X)的分布的分布dydxxpJxpypXXY)()()(多維隨機變量函數(shù)的分布多維隨機變量函數(shù)的分布JxxxpyyypNXNY),(),(2121其中其中NNNNyfyfyfyfJ111154 隨機變量的特征函數(shù)及

3、其性質(zhì)隨機變量的特征函數(shù)及其性質(zhì)dxxpeeEjuCjuxjuX)()(隨機變量的特征函數(shù)與概率密度是一對傅立葉變換。隨機變量的特征函數(shù)與概率密度是一對傅立葉變換。重要性質(zhì)：重要性質(zhì)：1. 兩兩相互獨立的隨機變量之和的特征函數(shù)等于兩兩相互獨立的隨機變量之和的特征函數(shù)等于各個隨機變量的特征函數(shù)之積。各個隨機變量的特征函數(shù)之積。即：兩兩相互獨立隨機變量之和的概率密度等于即：兩兩相互獨立隨機變量之和的概率密度等于兩隨機變量的概率密度的卷積。兩隨機變量的概率密度的卷積。2.2. 隨機變量隨機變量X的的n階原點矩，可由其特征函數(shù)的階原點矩，可由其特征函數(shù)的n次次導(dǎo)數(shù)求得。導(dǎo)數(shù)求得。 0)()()(unX

4、nnnduuCdjXE61.4解解: (1) : (1) 直接由方差的性質(zhì)可知直接由方差的性質(zhì)可知22 D xE xEx由題可得：由題可得：1 ( )02E xxp x dxxdx22221( )32E xx p x dxx dx所以所以23D X7(2)由特征函數(shù)的定義可知由特征函數(shù)的定義可知: :1()( )211221sin*2 sin2juxjuxjuxjujuC jup x edxedxdeeejujuujujuu81.7 解解:(1)由量化器特性圖可知：由量化器特性圖可知：其中：其中：且有且有 不完整解：不完整解：010;nxxiixxiYdxxpyyp1)()(11)()()(n

5、iiiYyyyPypiixxidxxpyP1)()(9(2)因為它們是獨立的，所以有：因為它們是獨立的，所以有：由由(1)(1)可知：可知：所以：所以： 12ZYY12( )( )( );ZYYpzpzpz111( )( ) ()nYiiipzP zzy211( )( ) ()nYjjjpzP zzy1111( )( ) ()( ) ()nnZiijjijpzP zzyP zzy10 因此：因此：其中：其中：jjjjxxxxxjeedxezP11)(iiiixxxxxieedxezP11)(1111( )( )( ) ()nnZijijijpzP zP zzyy111.8111111 nnni

6、iiiiiE XExE xnnn2112221111()()()11( )nniiiinniiiiD XDxDxnnD xnn(1)解解:12(2) 解法一：解法一：根據(jù)題意：令根據(jù)題意：令0,i22.i由于獨立同分布的高斯變量的線性組合由于獨立同分布的高斯變量的線性組合仍為高斯變量，所以仍為高斯變量，所以 為高斯變量。為高斯變量。X 0;iE XE x22iiD xD Xnnn所以所以2(0,)XNnX的概率密度為的概率密度為22exp()22nnx13(2)解法二：從特征函數(shù)的角度來證明它是高斯隨機解法二：從特征函數(shù)的角度來證明它是高斯隨機變量。變量。因為因為2(0,)ixN所以它的特征函

7、數(shù)為所以它的特征函數(shù)為2 22( )iuxC ue由性質(zhì)可知：由性質(zhì)可知：2 222( )iunxnCue根據(jù)兩兩相互獨立的隨機變量之和的特征函數(shù)等根據(jù)兩兩相互獨立的隨機變量之和的特征函數(shù)等于各個隨機變量的特征函數(shù)之積這一性質(zhì)可得：于各個隨機變量的特征函數(shù)之積這一性質(zhì)可得：141.82 221( )( )iunnxXniC uCue這樣就可通過傅立葉反變換求它的密度函數(shù)這樣就可通過傅立葉反變換求它的密度函數(shù)22 22221( )( )2122juxXXxujuxnnp xC u eduneedue從表達式可看出，這是高斯隨機變量的概率密度函數(shù)。從表達式可看出，這是高斯隨機變量的概率密度函數(shù)。1

8、5X解方法二解方法二: 可采用可采用(2)的方法的方法,先求特征函數(shù)先求特征函數(shù),再求概再求概率密度率密度,由于計算復(fù)雜這里不累述由于計算復(fù)雜這里不累述.（3）解法一：）解法一： 根據(jù)中心極限定理，無數(shù)個獨立同分根據(jù)中心極限定理，無數(shù)個獨立同分布的隨機變量之和為高斯分布。所以布的隨機變量之和為高斯分布。所以 為為近似高斯分布近似高斯分布,而不是指數(shù)分布了。而不是指數(shù)分布了。161.10解解：設(shè)設(shè)12;ZY ZXY則反函數(shù)為：則反函數(shù)為：21;ZYZ XY則雅可比式為：則雅可比式為：121210110YYZZJXXYYZZ所以所以2121111(,)( , )(,)Zzpz zp x ypzyz

9、y求邊緣概求邊緣概率密度得率密度得:21,21111( )()()11(,)(, )ZZZpzpzpz z dzzzpz dzpy dyzyyy171.111.11又因有又因有cos ;sinXRYR所以雅可比式為：所以雅可比式為：RRRYXRYRXJcossinsincos解：解： 由于由于 x, y是統(tǒng)計獨立的，有是統(tǒng)計獨立的，有( , )( ) ( )p x yp x p y22(0,);(0,)XNYN所以所以 x, y的聯(lián)合概率密度函數(shù)為：的聯(lián)合概率密度函數(shù)為：222221( , )2xyp x ye18邊緣概率密度函數(shù)為：邊緣概率密度函數(shù)為：222220( )( , )rRRrpr

10、prde2222001( )( , )22rRrpprdredr2222( , )( , )2rRXYrprpx y Je因此因此r, 聯(lián)合密度函數(shù)：聯(lián)合密度函數(shù)：19表述問題：表述問題：22222),(ReRRP2222)(ReRRP21)(PderrprR22222)(drerpr22222)(不完整解：不完整解：22222220222)(rrRerderrp212)(02222drerpr正確解答：正確解答：201.13 解：由解：由221;1;0;E YE ZE YZ可得三個方程：可得三個方程：2222222(1)1;(2)21;(3)0;ab ac abcabac聯(lián)解以上三個方程可得

11、：聯(lián)解以上三個方程可得：42421;abc 21補充題補充題設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X的均值為的均值為3,方差為方差為2.定義新隨機變量定義新隨機變量Y=-6X+22,試問隨機變量試問隨機變量X與與Y是否正交是否正交?是否不相關(guān)是否不相關(guān)?解解:2222( 622)6 22 3 116 1122 30 xxE XYE XXE XE XE XE XmE XY 其中故故X X與與Y Y是正交的是正交的. . 6226 3224 3 4120 12E YEXE X E YE XYE X E Y 又有故故X與與Y是相關(guān)的是相關(guān)的.2223補充題補充題2 2隨機變量隨機變量X X是拉普拉斯的是拉普拉斯的, ,其概率密度函數(shù)和特征函數(shù)其概率密度函數(shù)和