高中物理競賽量子力學(xué)初步 PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計(jì)學(xué)1高中物理競賽高中物理競賽 量子力學(xué)初步量子力學(xué)初步 Contentschapter 23波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋wave function and its statistical explanation薛定諤方程薛定諤方程Schrodinger equation隧道效應(yīng)隧道效應(yīng)tunnel effect不確定關(guān)系不確定關(guān)系uncertainty relation第1頁/共43頁wave function and its statistical explanation2 3 - 1第2頁/共43頁 量子力學(xué)是描述微觀粒子運(yùn)動規(guī)律的學(xué)科。它是現(xiàn)代物理學(xué)的理論支柱之一，被廣泛地應(yīng)

2、用于化學(xué)、生物學(xué)、電子學(xué)及高新技術(shù)等許多領(lǐng)域。 本章主要介紹量子力學(xué)的基本概念及原理，并通過幾個具體事例的討論來說明量子力學(xué)處理問題的一般方法。第3頁/共43頁回顧：德布羅意關(guān)于物質(zhì)的波粒二象性假設(shè)速度為質(zhì)量為的自由粒子一方面可用 能量 和 動量 來描述它的粒子性另一方面可用 頻率 和 波長 來描述它的波動性 波函數(shù)是描述具有波粒二象性的微觀客體的量子狀態(tài)的函數(shù)，知道了某微觀客體的波函數(shù)后，原則上可得到該微觀客體的全部知識。下面從量子力學(xué)的基本觀點(diǎn)出發(fā)，建立自由粒子的波函數(shù)。第4頁/共43頁在量子力學(xué)中用復(fù)數(shù)表達(dá)式：應(yīng)用歐拉公式取實(shí)部 應(yīng)用德布羅意公式即即即的自由粒子的波函數(shù)為沿 X方向勻速直

3、線運(yùn)動 在波動學(xué)中，描述波動過程的數(shù)學(xué)函數(shù)都是空間、時間二元函數(shù)一列沿 X 軸正向傳播的平面單色簡諧波的波動方程沿 方向勻速直線運(yùn)動的自由粒子的波函數(shù)為第5頁/共43頁在量子力學(xué)中用復(fù)數(shù)表達(dá)式：應(yīng)用歐拉公式取實(shí)部 應(yīng)用德布羅意公式即即即沿 方向勻速直線運(yùn)動的自由粒子的波函數(shù)為的自由粒子的波函數(shù)為沿 X方向勻速直線運(yùn)動 在波動學(xué)中，描述波動過程的數(shù)學(xué)函數(shù)都是空間、時間二元函數(shù)一列沿 X 軸正向傳播的平面單色簡諧波的波動方程自由粒子的波函數(shù) 自由粒子的能量和動量為常量，其波函數(shù)所描述的德布羅意波是平面波。不是常量，其波函數(shù)所描述的德布羅意波就不是平面波。對于處在外場作用下運(yùn)動的非自由粒子，其能量和

4、動量外場不同，粒子的運(yùn)動狀態(tài)及描述運(yùn)動狀態(tài)的波函數(shù)也不相同。微觀客體的運(yùn)動狀態(tài)可用波函數(shù)來描述，這是量子力學(xué)的一個基本假設(shè)。第6頁/共43頁 設(shè)描述粒子運(yùn)動狀態(tài)的波函數(shù)為 ，則 空間某處波的強(qiáng)度與在該處發(fā)現(xiàn)粒子的概率成正比；在該處單位體積內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率（概率密度）與 的模的平方成正比。是的共軛復(fù)數(shù)德布羅意波又稱 概率波概率波波函數(shù)又稱 概率幅概率幅取比例系數(shù)為1，即1926 年提出了對 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋第7頁/共43頁因概率密度故在 矢端的體積元 內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率為 在波函數(shù)存在的全部空間 V 中必能找到粒子，即在全部空間 V 中 粒子出現(xiàn)的概率為1。此條件稱為 波函數(shù)的歸一化條件滿足歸一化

5、條件的波函數(shù)稱為 歸一化波函數(shù)波函數(shù)具有統(tǒng)計(jì)意義，其函數(shù)性質(zhì)應(yīng)具備三個標(biāo)準(zhǔn)條件：第8頁/共43頁德布羅意波（概率波）不同于 經(jīng)典波（如機(jī)械波、電磁波）德布羅意波經(jīng) 典 波是振動狀態(tài)的傳播不代表任何物理量的傳播波強(qiáng)（振幅的平方）代表通過某點(diǎn)的能流密度波強(qiáng)（振幅的平方）代表粒子在某處出現(xiàn)的概率密度概率密度分布取決于空間各點(diǎn)波強(qiáng)的比例，并非取決于波強(qiáng)的絕對值。能流密度分布取決于空間各點(diǎn)的波強(qiáng)的絕對值。 因此，將波函數(shù)在空間各點(diǎn)的振幅同時增大 C倍，不影響粒子的概率密度分布，即 和C 所描述德布羅意波的狀態(tài)相同。 因此，將波函數(shù)在空間各點(diǎn)的振幅同時增大 C倍，則個處的能流密度增大 C 倍，變?yōu)榱硪环N能

6、流密度分布狀態(tài)。波函數(shù)存在歸一化問題。波動方程無歸一化問題。波函數(shù)存在歸一化問題。第9頁/共43頁波函數(shù)的三個標(biāo)準(zhǔn)條件：連續(xù)因概率不會在某處發(fā)生突變，故波函數(shù)必須處處連續(xù)；單值因任一體積元內(nèi)出現(xiàn)的概率只有一種，故波函數(shù)一定是單值的；有限因概率不可能為無限大，故波函數(shù)必須是有限的；以一維波函數(shù)為例，在下述四種函數(shù)曲線中，只有一種符合標(biāo)準(zhǔn)條件符合不符合不符合不符合第10頁/共43頁某粒子的波函數(shù)為歸一化波函數(shù)概率密度概率密度最大的位置令求積分得積分得：得得 到到 歸歸 一一 化化 波波 函函 數(shù)數(shù) ：概率密度得得令求極大值的求極大值的 x 坐標(biāo)坐標(biāo)解得解得另外兩個解另外兩個解處題設(shè)處題設(shè)處處最大第

7、11頁/共43頁結(jié)束選擇結(jié)束選擇請?jiān)诜庞碃顟B(tài)下點(diǎn)擊你認(rèn)為是對的答案請?jiān)诜庞碃顟B(tài)下點(diǎn)擊你認(rèn)為是對的答案下列波函數(shù)中合理的是下列波函數(shù)中合理的是（1 1） ；（2 2） ；（3 3） ；（4 4）第12頁/共43頁結(jié)束選擇結(jié)束選擇請?jiān)诜庞碃顟B(tài)下點(diǎn)擊你認(rèn)為是對的答案請?jiān)诜庞碃顟B(tài)下點(diǎn)擊你認(rèn)為是對的答案下列波函數(shù)中合理的是下列波函數(shù)中合理的是（1 1） ；（2 2） ；（3 3） ；（4 4）第13頁/共43頁結(jié)束選擇結(jié)束選擇請?jiān)诜庞碃顟B(tài)下點(diǎn)擊你認(rèn)為是對的答案請?jiān)诜庞碃顟B(tài)下點(diǎn)擊你認(rèn)為是對的答案下列波函數(shù)中合理的是下列波函數(shù)中合理的是（1 1） ；（2 2） ；（3 3） ；（4 4）第14頁/共43頁結(jié)

8、束選擇結(jié)束選擇請?jiān)诜庞碃顟B(tài)下點(diǎn)擊你認(rèn)為是對的答案請?jiān)诜庞碃顟B(tài)下點(diǎn)擊你認(rèn)為是對的答案下列波函數(shù)中合理的是下列波函數(shù)中合理的是（1 1） ；（2 2） ；（3 3） ；（4 4）第15頁/共43頁結(jié)束選擇結(jié)束選擇請?jiān)诜庞碃顟B(tài)下點(diǎn)擊你認(rèn)為是對的答案請?jiān)诜庞碃顟B(tài)下點(diǎn)擊你認(rèn)為是對的答案下列波函數(shù)中合理的是下列波函數(shù)中合理的是（1 1） ；（2 2） ；（3 3） ；（4 4）第16頁/共43頁Schrodinger equation2 3 - 2第17頁/共43頁經(jīng)典力學(xué)牛頓力學(xué)方程根據(jù)初始條件可求出經(jīng)典質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動狀態(tài)經(jīng)典質(zhì)點(diǎn)有運(yùn)動軌道概念不考慮物質(zhì)的波粒二象性量子力學(xué) 針對物質(zhì)的波粒二象性微觀粒子無運(yùn)

9、動軌道概念運(yùn)動狀態(tài)波函數(shù)量子力學(xué)方程是否存在一個根據(jù)某種條件可求出微觀粒子的第18頁/共43頁 量子力學(xué)中的 算符是表示對某一函數(shù)進(jìn)行某種數(shù)學(xué)運(yùn)算的符號。在量子力學(xué)中，一切力學(xué)量都可用算符來表示。這是量子力學(xué)的一個很重要的特點(diǎn)。算 符劈形算符數(shù)學(xué)運(yùn)算符號拉普拉斯算符動量算符動能算符哈密頓算符含動、勢能位矢算符力 學(xué) 量 算 符 統(tǒng)稱 舉 例若 作用在某函數(shù) 上的效果和 與某一常量 的乘積相當(dāng)，即則稱為 的 本征值稱為 的 本征函數(shù)所描述的狀態(tài)稱為 本征態(tài)力學(xué)量的可能值是它的本征值力學(xué)量的平均值由下述積分求出第19頁/共43頁1925年德國物理學(xué)家薛定諤提出的非相對論性的量子力學(xué)基本方程獲193

10、3年諾貝爾物理學(xué)獎當(dāng)其運(yùn)動速度遠(yuǎn)小于光速時它的波函數(shù) 所滿足的方程為質(zhì)量為 的粒子在勢能函數(shù)為 的勢場中運(yùn)動 它反映微觀粒子運(yùn)動狀態(tài)隨時間變化的力學(xué)規(guī)律，又稱含時薛定諤方程。式中， 為哈密頓算符，第20頁/共43頁可分離變量，寫成解釋：若則積分解得將常量 歸入 中，得定態(tài)波函數(shù)此外，對得 定態(tài)薛定諤方程故常量時間的函數(shù)空間的函數(shù)由對應(yīng)一個可能態(tài)有一常量定態(tài)薛定諤方程勢場只是空間函數(shù)即若粒子所在的有一個能量定值含時薛定諤方程定態(tài)波函數(shù)對應(yīng)于一個可能態(tài)，則第21頁/共43頁其概率密度與時間無關(guān)所描述的狀態(tài)。它的重要特點(diǎn)是：所謂“定態(tài)”，就是波函數(shù)具有 形式定態(tài)波函數(shù)中的 稱為 振幅函數(shù)（有時直稱

11、為波函數(shù)）。的函數(shù)形式也應(yīng)滿足統(tǒng)計(jì)的條件連續(xù)、單值、有限的標(biāo)準(zhǔn)條件；歸一化條件；對坐標(biāo)的一階導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)（使定態(tài)薛定諤方程成立）。定態(tài)問題是量子力學(xué)最基本的問題，我們僅討論若干典型的定態(tài)問題。若已知勢能函數(shù) ，應(yīng)用定態(tài)薛定諤方程可求解出 ，并得到定態(tài)波函數(shù)第22頁/共43頁 為薛定諤方程的兩個解，分別代表體系的兩個可能狀態(tài)。設(shè)為它們的線性疊加即為復(fù)常數(shù)將上式兩邊對時間求偏導(dǎo)數(shù)并乘以因都滿足薛定諤方程即這表明：體系兩個可能狀態(tài)的疊加仍為體系的一個可能態(tài)。稱為 態(tài)疊加原理第23頁/共43頁粒子在某力場中運(yùn)動，若力場的勢函數(shù) U 具有下述形式該勢能函數(shù)稱作一維無限深勢阱。 應(yīng)用定態(tài)薛定諤方程可求出

12、運(yùn)動粒微觀系統(tǒng)中，有關(guān)概率密度、能量這是一個理想化的物理模型，子的波函數(shù)，有助于進(jìn)一步理解在量子化等概念。第24頁/共43頁阱內(nèi)阱外只有因及要連續(xù)、有限，薛定諤方程才成立，在阱外故粒子在無限深勢阱外出現(xiàn)的概率為零。 設(shè)質(zhì)量為 的微觀粒子，處在一維無限深勢阱中，該勢阱的勢能函數(shù)為阱外阱內(nèi)建立定態(tài)薛定諤方程一維問題第25頁/共43頁求定態(tài)薛定諤方程的通解阱內(nèi)即令得此微分方程的通解為其三角函數(shù)表達(dá)形式為式中 和 為待定常數(shù)根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)條件確定常數(shù)和并求能量 的可能取值以及在邊界 和處又因得的取值應(yīng)與阱外 連續(xù)，邊界處的故得及時阱內(nèi) 不合理 舍去的負(fù)值和正值概率密度相同。同一取得第26頁/共43頁求歸一化

13、定態(tài)波函數(shù)由上述結(jié)果阱外阱內(nèi)及得應(yīng)滿足歸一化條件得積分歸一化定態(tài)波函數(shù)概率密度第27頁/共43頁能量量子化極不明顯，可視為經(jīng)典連續(xù)。間距太小間距太小在微觀粒子可能取如，電子9.110 31 kg處在寬度 10 - - 10 m ( 原子線度)的勢阱中算得 37.7 eV能量量子化明顯處在寬度 10 2 m ( 宏觀尺度)的勢阱中算得 37.7 10 - -15 eV 能量量子化是微觀世界的固有現(xiàn)象從能級絕對間隔看，從能級相對間隔看，則的各種能態(tài)中，隨著 值增大，逐漸向經(jīng)典過渡。一維無限深勢阱中的微觀粒子 （小結(jié)）能量 量子化稱基態(tài)能或 零點(diǎn)能相鄰能級的能量間隔波函數(shù)好比駐波概率密度的 稱節(jié)點(diǎn)位

14、置節(jié)點(diǎn)位置極大的 稱最概然位置最概然位置增大, ,節(jié)點(diǎn)數(shù)增多,最概然位置間隔變小。 很大，概率 密度趨近經(jīng)典均勻分布。第28頁/共43頁粒子在某力場中運(yùn)動，若力場的勢函數(shù) U 具有下述形式該勢能函數(shù)稱作一維矩形勢壘。按經(jīng)典力學(xué)觀點(diǎn)，在量子力學(xué)中，能量 的粒子不可能穿越勢壘。后才能下結(jié)論。應(yīng)求解定態(tài)薛定諤方程23-3第29頁/共43頁區(qū)區(qū)區(qū) 式中 得上述微分方程的解為設(shè)：一矩形勢壘的勢能函數(shù) 在勢函數(shù)定義的全部空間粒子的波函數(shù)都應(yīng)滿足薛定諤方程一質(zhì)量為 、能量為的粒子由 區(qū)向勢壘運(yùn)動第30頁/共43頁區(qū)區(qū)區(qū)入射波反射波透射波區(qū)無反射，入入射波反反射波透透射波根據(jù)邊界條件 和 處和必須連續(xù)，可求方

15、程中各系數(shù)的關(guān)系。透射粒子數(shù)入射粒子數(shù)透射系數(shù)透入為描述粒子透過勢壘的概率引入為原設(shè)為勢壘寬度估算表明 可見，粒子能穿過比其能量更高的勢壘， 這種現(xiàn)象稱為 勢壘貫穿 亦稱 隧道效應(yīng)。這是微觀粒子波動性的表現(xiàn)。 隧道效應(yīng)已被許多實(shí)驗(yàn)所證實(shí)，并在半導(dǎo)體器件、超導(dǎo)器件、物質(zhì)表面探測等現(xiàn)代科技領(lǐng)域中有著重要的應(yīng)用。第31頁/共43頁兩金屬的平均逸出電勢壘高度金屬1金屬2逸出電勢壘高金屬1逸出電勢壘高金屬2 金屬中的電子由于隧道效應(yīng)有可能穿越比其能量更高的表面勢壘（逸出電勢壘）而逸出金屬表面，在金屬外表面附近形成電子云，電子云的分布形式與金屬晶體的結(jié)構(gòu)和表面性質(zhì)有關(guān)。 若兩塊金屬表面相距 很近，至使表面

16、的電子云發(fā)生相互重疊，此時若在兩金屬間加一微弱電壓 （操作電壓），則會有微弱的電流 （隧道電流） 從一金屬流向另一金屬，并可表示為實(shí)驗(yàn)表明， 只要改變 0.1 n m(原子直徑線度）， 就會引起 變化一千倍左右。掃描隧道顯微鏡利用隧道效應(yīng)中的這種靈敏特性，將一金屬做成極細(xì)的探針（針尖細(xì)到一個原子大?。?，在另一金屬樣品表面附近掃描，它能夠以原子級的空間分辨率去觀察物質(zhì)表面的原子結(jié)構(gòu)。若勢壘寬度 和勢壘平均高度 分別以 n m 和 eV 為單位時， 約為1。第32頁/共43頁電子云Si (111)表面 77 元胞的STM圖像亮點(diǎn)表示突起，暗部表示下凹電子測控及數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)電子測控及數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)計(jì)算

17、機(jī)顯示系統(tǒng)計(jì)算機(jī)顯示系統(tǒng)橫向分辨率達(dá) 0.1 n m縱向分辨率達(dá) 0.005 n m真空或介質(zhì)沿XY逐行掃描的同時，自控系統(tǒng)根據(jù)反饋信號調(diào)節(jié)針尖到樣品表層原子點(diǎn)陣的距離，使 保持不變。針尖的空間坐標(biāo)的變化反映了樣品表面原子陣列的幾何結(jié)構(gòu)及起伏情況。經(jīng)微機(jī)編碼可顯示表面結(jié)構(gòu)圖像。STM可用于金屬、半導(dǎo)體、絕緣體和有機(jī)物表面的研究。是材料科學(xué)、生命科學(xué)和納米科學(xué)與技術(shù)的有力武器。Atomic Resolution STM on Si (111) 第33頁/共43頁海森伯因創(chuàng)立用矩陣數(shù)學(xué)描述微觀粒子運(yùn)動規(guī)律的矩陣力學(xué)，獲1932年諾貝爾物理獎（注：不確定關(guān)系又稱測不準(zhǔn)關(guān)系，在上述表達(dá)式中的 和 都具

18、有統(tǒng)計(jì)含義，分別代表有關(guān)位置和動量的方均根偏差。）稱為海森伯位置和動量的不確定關(guān)系，它說明，同時精確測定微觀粒子的位置和動量是不可能的。微觀粒子不能同時具有確定的位置和動量，位 置 的 不 確 定 量 該方向動量的不確定量同一時刻的關(guān)系1927年，德國物理學(xué)家海森伯提出23-4第34頁/共43頁電子束縫寬衍射圖樣電子通過單縫時發(fā)生衍射，概略地用一級衍射角所對應(yīng)的動量變化分量 粗估其動量的不確定程度得即考慮到高于一級仍會有電子出現(xiàn)取從電子的單縫衍射現(xiàn)象不難理解位置和動量的不確定關(guān)系衍射圖樣單縫衍射一級暗紋條件德布羅意波長 縫寬 可用來粗估電子通過單縫時其位置 x 的不確定程度。 根據(jù)右圖可粗估

19、為了減小位置測量的不確定程度，可以減小縫寬 ，但與此同時，被測電子的動量的不確定量 卻變大了。與 的關(guān)系。同時為零，即微觀粒子的位置和動量不可能同時精確測定，這是微觀粒子具有波粒二象性的一種客觀反映。不確定關(guān)系可用來劃分經(jīng)典力學(xué)與量子力學(xué)的界限，如果在某一具體問題中，普朗克常數(shù)可以看成是一個小到被忽略的量，則不必考慮客體的波粒二象性，可用經(jīng)典力學(xué)處理。通常也作為不確定關(guān)系的一種簡明的表達(dá)形式，它表明和不可能第35頁/共43頁質(zhì)量速度速度不確定量某飛行中的子彈m = = 0.01 kgv = = 500 m / / sv = = 0.1 v 某原子中的電子m e = = 9.110 31 kgv

20、 e = = 210 6 m / / sv e = = 0.1 v e 試應(yīng)用不確定關(guān)系分別估算下述電子和子彈的位置不確定量根據(jù)位置和動量不確定關(guān)系 子 彈0.10.41.110 34(m) 電 子0.10.42.910 10(m)電子的位置不確定量大到與原子的線度數(shù)量級（10 10 m ）相同，因此，不可能精確測定電子處在原子中的位置。子彈的位置不確定量比原子的線度還要小許多個數(shù)量級，小到任何精密儀器都無法觀測。因此，對宏觀物體運(yùn)動的描述，不受位置和動量的不確定關(guān)系的限制。第36頁/共43頁 10 6 m s - -1若以氫原子的線度10 10 m 作為電子一氫原子中的電子速度 的數(shù)量級為電

21、子速度的不確定量電子的質(zhì)量 me為9.1110 - -31 kg的坐標(biāo)不確定量由不確定關(guān)系因該電子速度遠(yuǎn)小于光速，可不考慮相對論效應(yīng)，用 代入得5.7910 5 m s 1已大到與 的大小相當(dāng)。第37頁/共43頁（1 1）粒子的坐標(biāo)是不能）粒子的坐標(biāo)是不能精確確定的；精確確定的；（2 2）粒子的動量是不能）粒子的動量是不能精確測定的；精確測定的；（3 3）粒子的坐標(biāo)和動量都）粒子的坐標(biāo)和動量都是不能精確確定的；是不能精確確定的；（4 4）以上結(jié)論都不對。）以上結(jié)論都不對。不確定關(guān)系說明不確定關(guān)系說明結(jié)束選擇結(jié)束選擇請?jiān)诜庞碃顟B(tài)下點(diǎn)擊你認(rèn)為是對的答案請?jiān)诜庞碃顟B(tài)下點(diǎn)擊你認(rèn)為是對的答案第38頁/共43頁（1 1）粒子的坐標(biāo)是不能）粒子的坐標(biāo)是不能精確確定的；精確確定的；（2 2）粒子的動量是不能）粒子的動量是不能精確測定的；精確測定的；（3 3）粒子的坐標(biāo)和