理學(xué)21數(shù)列極限PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1理學(xué)理學(xué)21數(shù)列極限數(shù)列極限一、數(shù)列的極限一、數(shù)列的極限1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：利用圓利用圓內(nèi)接正多邊形內(nèi)接正多邊形來(lái)推算圓的來(lái)推算圓的面積面積“割之彌細(xì)，所失彌少，割之割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣圓周合體而無(wú)所失矣”劉徽劉徽概念的引入概念的引入播放播放第1頁(yè)/共57頁(yè)正六邊形的面積正六邊形的面積1A正十二邊形的面積正十二邊形的面積2A正正 形的面積形的面積126 nnA,321nAAAASR第2頁(yè)/共57頁(yè)2 2、截丈問(wèn)題：、截丈問(wèn)題：“一尺之棰，日截其半，萬(wàn)世不竭一尺之棰，日截其半，萬(wàn)世不竭”11;2X 第第一一天天剩

2、剩下下的的杖杖長(zhǎng)長(zhǎng)為為221;2X 第第二二天天剩剩下下的的杖杖長(zhǎng)長(zhǎng)為為1;2nnnX 第第 天天剩剩下下的的杖杖長(zhǎng)長(zhǎng)為為12nnX 0出自出自莊子莊子 天下篇天下篇第3頁(yè)/共57頁(yè)(1) 數(shù)數(shù)列列概概念念一一串串?dāng)?shù)數(shù)按按照照一一定定的的順順序序排排成成一一列列，叫叫做做一一個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)列列。一一般般地地，一一個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)列列排排成成如如下下形形式式的的一一串串?dāng)?shù)數(shù)123,.nxxxx nnnxx每每一一個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)稱稱為為數(shù)數(shù)列列的的。第第項(xiàng)項(xiàng)稱稱為為，通通項(xiàng)項(xiàng)數(shù)數(shù)列列簡(jiǎn)簡(jiǎn)記記為為項(xiàng)項(xiàng)。一、數(shù)列的極限一、數(shù)列的極限無(wú)窮個(gè)無(wú)窮個(gè)第4頁(yè)/共57頁(yè)xn0242nx1x2 x 例例( ) , , , , , n

3、12 4 82: . nnx 2通項(xiàng)通項(xiàng)以下都是數(shù)列，說(shuō)出其通項(xiàng)和變化趨勢(shì)：以下都是數(shù)列，說(shuō)出其通項(xiàng)和變化趨勢(shì)： ,(1) 2nn由由圖圖可可知知 當(dāng)當(dāng) 無(wú)無(wú)限限增增大大時(shí)時(shí) 數(shù)數(shù)列列 的的點(diǎn)點(diǎn)無(wú)無(wú)限限增增大大, ,即即數(shù)數(shù)列列無(wú)無(wú)限限增增大大; ; 2n第5頁(yè)/共57頁(yè)( ) , , , , , n111122482: .nnx 12通項(xiàng)通項(xiàng)102, , ,nnx 由由圖圖可可知知 當(dāng)當(dāng) 無(wú)無(wú)限限增增大大時(shí)時(shí) 數(shù)數(shù)列列( (2 2) )的的點(diǎn)點(diǎn)逐逐漸漸密密集集在在的的右右側(cè)側(cè) 即即數(shù)數(shù)列列無(wú)無(wú)限限接接近近于于0 0; ;12nxnx2x1n21x0 x3181412第6頁(yè)/共57頁(yè)011nx

4、212nxx1311 111( ) , , , , , (),n 11: ().nnx 通通項(xiàng)項(xiàng)11, .nn 由由圖圖可可知知 當(dāng)當(dāng) 為為奇奇數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)，數(shù)數(shù)列列(3)(3)始始終終為為 當(dāng)當(dāng) 為為偶偶數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)，數(shù)數(shù)列列(3)(3)始始終終為為 11()n 第7頁(yè)/共57頁(yè)xn1211M3x1xnx2x4x212 nx 0()( ) , , , , , , , ,11114010023nn 11nnxn () .通項(xiàng)：通項(xiàng)：0110, , () ,nnnxn 由由圖圖可可知知 當(dāng)當(dāng) 為為奇奇數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)，數(shù)數(shù)列列(4)(4)為為始始終終為為當(dāng)當(dāng) 是是偶偶數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)，數(shù)數(shù)列列(4)(4)的的點(diǎn)點(diǎn)逐逐漸

5、漸密密集集在在的的右右側(cè)側(cè) 即即數(shù)數(shù)列列無(wú)無(wú)限限接接近近于于0;0;11()nn 第8頁(yè)/共57頁(yè)1xnx3x2x1x02132431nn12352341nn ( ) , , , , , 1nnxn : .通項(xiàng)通項(xiàng)51,( ) nnxn 由由圖圖可可知知 當(dāng)當(dāng) 無(wú)無(wú)限限增增大大時(shí)時(shí) 表表示示數(shù)數(shù)列列的的點(diǎn)點(diǎn)逐逐漸漸密密集集+ +1 1在在的的右右側(cè)側(cè), ,即即數(shù)數(shù)列列無(wú)無(wú)限限接接近近1 1; ;1nn 第9頁(yè)/共57頁(yè)( ) , , , , , n12 4 822n 無(wú)無(wú)限限接接近近; ;( ) , , , , , n11112248212n無(wú)無(wú)限限接接近近于于0;0;( ) , , , ,

6、, (),n 131111111,.nn 為為奇奇數(shù)數(shù)，始始終終為為 為為偶偶數(shù)數(shù)，始始終終為為()( ) , , , , , , , ,nn 1111401002311()nn 無(wú)無(wú)限限接接近近于于0;0;( ),nn1235 2341nn 無(wú)無(wú)限限+ +1 1接接近近1 1; ;總結(jié)一下以上數(shù)列的變化趨勢(shì)：總結(jié)一下以上數(shù)列的變化趨勢(shì)： ()11n 第10頁(yè)/共57頁(yè)122 ,nnxxxx、數(shù)數(shù)列列對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)著著數(shù)數(shù)軸軸上上的的一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)列列，可可以以看看作作 一一動(dòng)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)在在數(shù)數(shù)軸軸上上依依次次取取。1、數(shù)數(shù)列列是是正正整整數(shù)數(shù)的的函函數(shù)數(shù)nxf nnZ ( )()觀察上述數(shù)列會(huì)發(fā)現(xiàn)觀察上

7、述數(shù)列會(huì)發(fā)現(xiàn)3 n、隨隨著著 的的無(wú)無(wú)限限增增大大，數(shù)數(shù)列列的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)可可大大致致分分為為： 一一類類， 另另一一類類，兩兩類類無(wú)無(wú)限限接接近近某某個(gè)個(gè)常常數(shù)數(shù)不不趨趨近近某某個(gè)個(gè)常常數(shù)數(shù)。 n當(dāng)當(dāng)?shù)牡臒o(wú)無(wú)限限增增大大時(shí)時(shí)，數(shù)數(shù)列列無(wú)無(wú)限限接接近近于于某某一一確確定定的的 數(shù)數(shù)值值，如如果果是是，如如問(wèn)問(wèn)題題 否否 是是何何描描述述之之？第11頁(yè)/共57頁(yè), lim nnnnnnnnxxxaaaxaxa nxn 當(dāng)當(dāng) 無(wú)無(wú)限限增增大大時(shí)時(shí) 數(shù)數(shù)列列的的通通項(xiàng)項(xiàng)無(wú)無(wú)限限趨趨于于一一個(gè)個(gè)確確定定的的, ,則則稱稱數(shù)數(shù)列列，或或稱稱為為數(shù)數(shù)列列常常數(shù)數(shù)收收斂斂于于極極限限 或或 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)的

8、的，記記作作 ( ( 時(shí)時(shí)) ),nax如如不不存存在在這這樣樣的的常常數(shù)數(shù)則則稱稱數(shù)數(shù)列列發(fā)發(fā)散散不不收收，或或斂斂，也也可可limnnx以以說(shuō)說(shuō)極極限限不不存存在在。數(shù)列極限的定義：數(shù)列極限的定義：第12頁(yè)/共57頁(yè)( ) , , , , , n12 4 82n2 無(wú)無(wú)限限增增大大; ;( ) , , , , , n11112248212n數(shù)列無(wú)限接近于0;數(shù)列無(wú)限接近于0;( ) , , , , , (),n 131111111nn , .為奇數(shù),始終為為偶數(shù),始終為為奇數(shù),始終為為偶數(shù),始終為()( ) , , , , , , , ,nn 1111401002311nn ()數(shù)列無(wú)限接

9、近于0;數(shù)列無(wú)限接近于0;( ),nn1235 2341nn + +1 1數(shù)數(shù)列列無(wú)無(wú)限限接接近近1 1; ;求以下數(shù)列的極限：求以下數(shù)列的極限：lim2nn 記記為為 limnn2 不存在，不存在，nn 1lim02n nlim( 1)沒(méi)有明確的趨勢(shì)，即不存在沒(méi)有明確的趨勢(shì)，即不存在11nn n()lim=0=0nn nlim+ +1 1= =1 1 例例第13頁(yè)/共57頁(yè),1001給定給定,10011 n由由,100時(shí)時(shí)只要只要 n,10011 nx有有,10001給定給定,1000時(shí)時(shí)只要只要 n,100011 nx有有,100001給定給定,10000時(shí)時(shí)只要只要 n,1000011

10、nx有有, 0 給定給定,)1(時(shí)時(shí)只要只要 Nn.1成立成立有有 nx 1nxnnn11)1(1 . 1)1(1,1無(wú)限接近于無(wú)限接近于無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí)當(dāng)當(dāng)nxnnn 第14頁(yè)/共57頁(yè),0若若,0N時(shí)時(shí), ,使當(dāng)使當(dāng) Nn |axn記為記為lim, nnxa 或或. )( naxn , ,時(shí)的極限當(dāng)為數(shù)列則稱數(shù)成立nxan數(shù)列極限嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義：數(shù)列極限嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義： N語(yǔ)言語(yǔ)言0,N 幾幾何何意意義義：使得使得 N 項(xiàng)以后的所有項(xiàng)項(xiàng)以后的所有項(xiàng),321 NNNxxx都落在都落在a 點(diǎn)的點(diǎn)的鄰域鄰域內(nèi)內(nèi)),( aa因而在這個(gè)鄰域之外至多能有數(shù)列中的因而在這個(gè)鄰域之外至多能有數(shù)列中的有

11、限個(gè)有限個(gè)點(diǎn)點(diǎn)第15頁(yè)/共57頁(yè)1 Nxx a aa 22 Nx1x2x3x這就表明數(shù)列這就表明數(shù)列xn中的項(xiàng)到一定程度時(shí)變化就很微小，中的項(xiàng)到一定程度時(shí)變化就很微小，呈現(xiàn)出一種呈現(xiàn)出一種穩(wěn)定穩(wěn)定的狀態(tài)，這種穩(wěn)定的狀態(tài)就是人們所的狀態(tài)，這種穩(wěn)定的狀態(tài)就是人們所稱謂的稱謂的“收斂收斂”。注意：注意： 數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.0,N 幾幾何何意意義義：使得使得 N 項(xiàng)以后的所有項(xiàng)項(xiàng)以后的所有項(xiàng),321 NNNxxx都落在都落在a 點(diǎn)的點(diǎn)的 鄰域鄰域內(nèi)內(nèi)),( aa因而在這個(gè)鄰域之外至多能有數(shù)列中的因而在這個(gè)鄰域之外至多能有數(shù)列中的有限個(gè)有限個(gè)點(diǎn)點(diǎn)第16頁(yè)/

12、共57頁(yè)觀察下列的通項(xiàng)變化趨勢(shì)，寫出它們的極限觀察下列的通項(xiàng)變化趨勢(shì)，寫出它們的極限2111(1) 2 1( 1) nnxxxxnnnnnn; (2) (3) (4)=-3 -3-3-3-302-114321n1(1) nxn212 xnn(2)11 ( 1) nxnn(3) xn(4)=-312124112131291131412161140213 四四個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)列列的的變變化化的的趨趨勢(shì)勢(shì) 例例第17頁(yè)/共57頁(yè)由表中各個(gè)數(shù)列的變化趨勢(shì)，根據(jù)數(shù)列極限的定義可知由表中各個(gè)數(shù)列的變化趨勢(shì)，根據(jù)數(shù)列極限的定義可知：211(1) limlim0; limlim 22;1(3) limlim 1( 1

13、)1; limlim( 3)3.nnnnnnnnnnnnnxxnnxxn (2) (4)通過(guò)以上例題，可以推得以下結(jié)論通過(guò)以上例題，可以推得以下結(jié)論：1(1) lim0,(0);nan(2) lim0,(1);nnqq(3) lim,().ncc c為常數(shù)第18頁(yè)/共57頁(yè) lim limnnnnnnxxayby設(shè)設(shè)有有數(shù)數(shù)列列和和, ,且且 = ,= ,= , ,則則(1) limlimlimnnnnnnnxyxyab ()=(2) lim()lim,();nnnncxcxca c為常數(shù)(3) lim()lim lim ;nnnnnnnx yxyablim(4) lim,().li0mnnn

14、nnnnbxxayyb可以推廣到有限項(xiàng)！二、數(shù)列極限的四則運(yùn)算二、數(shù)列極限的四則運(yùn)算無(wú)限項(xiàng)？ 不能不能!第19頁(yè)/共57頁(yè)lim5,lim2, lim3; lim; lim 3;22已已知知求求: :( (1 1) ) ( (2 2) ) ( (3 3) )nnnnnnnnnnnxyyyxx解解(1) lim3nnx(2) lim2nny(3) lim 32nnnyx 例例3limnnx15;lim2nny1;lim3lim2nnnnyx14.第20頁(yè)/共57頁(yè)求下列各極限求下列各極限. .2221331(1) lim1; lim.2nnnnnnn (2)解解13(1)lim12 nnn2li

15、m( 1)limlimnnnnn1321 03lim nn1=-1;2231(2) lim2nnnn=22113lim21nnnn2211lim3limlim2lim1 limnnnnnnnn 例例3001 03.2n分子分母同除第21頁(yè)/共57頁(yè):求求下下列列數(shù)數(shù)列列的的極極限限110110(2) lim,(0,1, ;kkkkijllnlla nanak la b ikb nbnb 其其中中為為正正整整數(shù)數(shù)0,1, ),0,0.kljlab都都是是常常數(shù)數(shù) 且且111(3) lim();1 22 3(1)nn n 例例111(4) lim(1).242nn23253(1)lim;25nnn

16、nn 第22頁(yè)/共57頁(yè)若數(shù)列若數(shù)列 xn 收斂收斂, 則其極限值必唯一則其極限值必唯一.lim,lim,nnnnnxxaxb 即即若若數(shù)數(shù)列列收收斂斂，且且和和則則 ab 第23頁(yè)/共57頁(yè) P2929性性質(zhì)質(zhì)2.12.1課課本本 、2.22.2 lim nnxa nx的任何一個(gè)子數(shù)列都收斂的任何一個(gè)子數(shù)列都收斂, 且均以且均以 a 為極限為極限 . 充分必要條件充分必要條件 在數(shù)列在數(shù)列 xn: x1 , x2 , , xn , 中中, , 保持各保持各項(xiàng)原來(lái)的先后次序不變項(xiàng)原來(lái)的先后次序不變, ,自左往右任意選取無(wú)窮自左往右任意選取無(wú)窮多項(xiàng)所構(gòu)成的新的數(shù)列多項(xiàng)所構(gòu)成的新的數(shù)列, ,稱為原

17、數(shù)列的一個(gè)子數(shù)稱為原數(shù)列的一個(gè)子數(shù)列，記為列，記為 .knx第24頁(yè)/共57頁(yè) 例例.) 1(lim 1nn求解解 ,) 1(1nnx. ,) 1( , , 1 , 1 , 1 , 1 :1nnx取子數(shù)列：取子數(shù)列： ,) 1( , 1, 1, 1, :1)1(212nnx ,) 1( , 1, 1, 1, :122nnx , 1) 1(limlim , 11limlim 212nnnnnnxx而 . ) 1(lim 1不存在故nn唯一性定理的推論往往用來(lái)唯一性定理的推論往往用來(lái)證明證明或或判斷判斷數(shù)列極數(shù)列極限限不存在不存在發(fā)散的數(shù)列也可能有收斂的子列發(fā)散的數(shù)列也可能有收斂的子列第25頁(yè)/共

18、57頁(yè) 例例 . 8sin 的斂散性判別nxn解解利用函數(shù)的周期性, 在 xn 中取兩個(gè)子數(shù)列: ,sin , ,2sin ,sin :sin 8sin kkn . 00limsinlim , , 0sin nnkNkk所以由于),22sin(,25sin : )2sin(2 8sin kkn . 11lim)22sin(lim nnk此時(shí) . )( 8sin :即極限不存在是發(fā)散的故由推論可知n第26頁(yè)/共57頁(yè) 若數(shù)列若數(shù)列 xn 收斂收斂, 則則 xn 必有界必有界. 該定理的逆命題不真該定理的逆命題不真, 即即有界數(shù)列不一定收斂有界數(shù)列不一定收斂. 例如例如, (1) n .即即 無(wú)界

19、數(shù)列的極限不存在無(wú)界數(shù)列的極限不存在 .無(wú)界數(shù)列必發(fā)散無(wú)界數(shù)列必發(fā)散. .第27頁(yè)/共57頁(yè) 例例 ,2 , , 8 , 4 , 2:2nn , 8 , 0 , 4 , 0 :) 1(1(nn無(wú)極限發(fā)散無(wú)界,無(wú)極限發(fā)散無(wú)界,發(fā)散的數(shù)列不一定都無(wú)界 . 例如, (1) n .第28頁(yè)/共57頁(yè) 收斂的數(shù)列必有界收斂的數(shù)列必有界. 有界的數(shù)列不一定收斂有界的數(shù)列不一定收斂. 無(wú)界的數(shù)列必發(fā)散無(wú)界的數(shù)列必發(fā)散 . 發(fā)散的數(shù)列不一定無(wú)界發(fā)散的數(shù)列不一定無(wú)界.1: () . nnx 反反例例第29頁(yè)/共57頁(yè) lim, (0), 0,0 nnxaaNa若則若則 , (0 . 0) nnxnNx當(dāng)時(shí) 有當(dāng)

20、時(shí) 有 (0 0 ) ,nnxx 若若 , lim 存在且axnn0 (0) . aa則則這里為嚴(yán)格不等號(hào)時(shí)這里為嚴(yán)格不等號(hào)時(shí)此處仍是不嚴(yán)格不等號(hào)此處仍是不嚴(yán)格不等號(hào)第30頁(yè)/共57頁(yè)00 () ( 0, ) , nnnnxynNNxnNy若或當(dāng)時(shí)若或當(dāng)時(shí)則存在且 , lim ,lim byaxnnnn (limlim) .limlim nnnnnnnnaxybaxyb在極限存在的前提下在極限存在的前提下, 對(duì)不等式兩邊可以同對(duì)不等式兩邊可以同 時(shí)取極限時(shí)取極限, 不等號(hào)的不等號(hào)的方向不變方向不變, 但但嚴(yán)格不等號(hào)嚴(yán)格不等號(hào)也也 要改為要改為不嚴(yán)格不等號(hào)不嚴(yán)格不等號(hào).第31頁(yè)/共57頁(yè)1. 夾

21、逼定理夾逼定理( (兩邊夾定理兩邊夾定理) )設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列 xn, yn, zn 滿足下列關(guān)系滿足下列關(guān)系: :(2),limlimazynnnn則axnnlim(1) yn xn zn , n Z+( (或或從某一項(xiàng)從某一項(xiàng)開(kāi)始開(kāi)始) ;四、數(shù)列極限收斂準(zhǔn)則四、數(shù)列極限收斂準(zhǔn)則第32頁(yè)/共57頁(yè)解解222111lim . 12nnnnn求求22211112nnnn 2 lim1 , nnnn 而而2lim11nnn 由于由由夾夾逼逼定定理理 例例想得通吧？想得通吧？21nn 2 nnn 222111 lim 112nnnnn22211112,nnnnn 顯顯然然時(shí)時(shí) 各各項(xiàng)項(xiàng), , ,極極限

22、限都都為為0 0, ,但但卻卻不不是是個(gè)個(gè)項(xiàng)項(xiàng)的的和和, ,不不能能使使用用有有限限運(yùn)運(yùn)算算法法則則! !第33頁(yè)/共57頁(yè)解解. ,! lim Znnnnn求 !1 2 31 0 nnnnnn n nnn 由由于于 1. 1,3,2均小于nnnn , 00lim , 01lim nnn而 . 0! lim nnnn故 例例1, n第34頁(yè)/共57頁(yè)22212lim.nnnnn 求求解解22212,nnnnn 顯顯然然時(shí)時(shí) 各各項(xiàng)項(xiàng), , ,極極限限都都為為0 0, ,但但卻卻不不是是有有限限個(gè)個(gè)項(xiàng)項(xiàng)的的和和, ,不不能能使使用用運(yùn)運(yùn)算算法法則則. .2(1)122n nnnn22212lim

23、nnnnn所所以以 例例1lim2nnn1211lim22nn2222121 2 3nnnnnn 第35頁(yè)/共57頁(yè) 單調(diào)減少單調(diào)減少有有下界下界的數(shù)列必有極限的數(shù)列必有極限 . 單調(diào)增加單調(diào)增加有有上界上界的數(shù)列必有極限的數(shù)列必有極限 .單調(diào)有界的數(shù)列必有極限單調(diào)有界的數(shù)列必有極限.12 , nnxxxx若若滿滿足足則則稱稱 , . nnxx 單單調(diào)調(diào)增增加加記記為為12 , nnxxxx若若滿滿足足則則稱稱 , . nnxx 單單調(diào)調(diào)減減少少記記為為第36頁(yè)/共57頁(yè)11(1, 2,),nnxnn證明數(shù)列證明數(shù)列nx極限存在極限存在 .證證: 利用利用牛頓二項(xiàng)式牛頓二項(xiàng)式公式公式 , 有有

24、nnnx)1 (11nn 1! 121!2) 1(nnn31!3)2)(1(nnnnnnnnnnn1!) 1() 1(11) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n 例例第37頁(yè)/共57頁(yè)11nx) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n111nx)1(11!21n)1)(1(1211!31nn)1()1)(1(11211! ) 1(1nnnnn大大 大大 正正),2, 1(1nxxnn11)1 (1nnnx!21!31!1n又又比較可知比較可知 .nx即即是是單單調(diào)調(diào)增增加加的的每個(gè)括號(hào)小于 1 .第38

25、頁(yè)/共57頁(yè)nx通常將它記為通常將它記為 e, ,即即ennn)1 (lim1e 稱為歐拉常數(shù)稱為歐拉常數(shù), , 其值為其值為590457182818284. 2e有極限有極限 .11)1 (1nnnx!21!31!1n1121221121n又又32121111n1213n 放大不等式 等比數(shù)列求和 . 有界從而nx .ln : , , xye記為稱為自然對(duì)數(shù)為底的對(duì)數(shù)以第39頁(yè)/共57頁(yè)2, 22, 222 ,證證明明數(shù)數(shù)列列的的極極限限存存在在。 例例11 2 (,)nnnxxxn 顯顯然然是是單單調(diào)調(diào)增增加加的的，即即 0 0解解12x ，21222,xx12nnxx 2nx22 nnx

26、x得得220nnxx12nx 22nx根據(jù)準(zhǔn)則根據(jù)準(zhǔn)則 2 2 可知數(shù)列可知數(shù)列有極限，有極限， 12lim,nnnnxaxx 設(shè)設(shè)則則由由得得122limlimnnnnaxxa 21aa 或或（舍舍）第40頁(yè)/共57頁(yè)假假設(shè)設(shè)limlimnnnnab 則則。11nnnnaabbn(1)(1)對(duì)對(duì)一一切切 成成立立；lim()0,nnnba(2)(2) 例例解解11nnnnaabb1na 1nb 1a 1b nnaa數(shù)數(shù)列列單單調(diào)調(diào)增增加加，且且有有界界有有極極限限 nnbb數(shù)數(shù)列列單單調(diào)調(diào)減減少少，且且有有界界有有極極限限lim()limlim0nnnnnnnbaba則則 limlimnnn

27、nab 因因此此 第41頁(yè)/共57頁(yè)數(shù)數(shù)列列極極限限的的概概念念數(shù)數(shù)列列極極限限的的四四則則運(yùn)運(yùn)算算“不不等等式式放放大大法法”內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)數(shù)數(shù)列列極極限限的的性性質(zhì)質(zhì)數(shù)數(shù)列列極極限限的的收收斂斂準(zhǔn)準(zhǔn)則則。唯唯一一性性（子子數(shù)數(shù)列列）；有有界界性性；保保號(hào)號(hào)性性?shī)A夾逼逼定定理理；單單調(diào)調(diào)增增加加( (減減少少) )有有上上( (下下) )界界必必有有極極限限第42頁(yè)/共57頁(yè) 歐拉一身經(jīng)歷坎坷。他于歐拉一身經(jīng)歷坎坷。他于1707年生于瑞士年生于瑞士巴塞爾，巴塞爾，20年后卻永遠(yuǎn)離開(kāi)了祖國(guó)。在他年后卻永遠(yuǎn)離開(kāi)了祖國(guó)。在他76年年的生命歷程中，還有的生命歷程中，還有25年住在德國(guó)柏林（年住在德

28、國(guó)柏林（17411766年），其余時(shí)間則留在俄國(guó)彼得堡。年），其余時(shí)間則留在俄國(guó)彼得堡。 歐拉歐拉31歲時(shí)右眼失明，歲時(shí)右眼失明，59歲時(shí)雙目失明。歲時(shí)雙目失明。他的寓所和財(cái)產(chǎn)曾被烈火燒盡（他的寓所和財(cái)產(chǎn)曾被烈火燒盡（1771年），與年），與他共同生活他共同生活40年的結(jié)發(fā)之妻先他年的結(jié)發(fā)之妻先他10年去世。年去世。 歐拉聲譽(yù)顯赫。歐拉聲譽(yù)顯赫。1212次獲巴黎科學(xué)院大獎(jiǎng)（次獲巴黎科學(xué)院大獎(jiǎng)（1738173817721772年）年）曾任彼得堡科學(xué)院、柏林科學(xué)院、倫敦皇家學(xué)會(huì)、巴塞爾物理曾任彼得堡科學(xué)院、柏林科學(xué)院、倫敦皇家學(xué)會(huì)、巴塞爾物理數(shù)學(xué)會(huì)、巴黎科學(xué)院等科學(xué)團(tuán)體的成員。數(shù)學(xué)會(huì)、巴黎科學(xué)院等

29、科學(xué)團(tuán)體的成員。第43頁(yè)/共57頁(yè) 歐拉成就卓著。生前就出版了歐拉成就卓著。生前就出版了560種論著，另有更多未種論著，另有更多未出版的論著。僅僅雙目失明后的出版的論著。僅僅雙目失明后的 17 年間，還口述了幾本書(shū)年間，還口述了幾本書(shū)和約和約400篇論文。歐拉是目前已知成果最多的數(shù)學(xué)家。篇論文。歐拉是目前已知成果最多的數(shù)學(xué)家。 歐拉聰明早慧，歐拉聰明早慧，13歲入巴塞爾大學(xué)學(xué)文科，兩年后獲學(xué)歲入巴塞爾大學(xué)學(xué)文科，兩年后獲學(xué)士學(xué)位。第二年又獲碩士學(xué)位。后為了滿足父親的愿望，學(xué)士學(xué)位。第二年又獲碩士學(xué)位。后為了滿足父親的愿望，學(xué)了一段時(shí)期的神學(xué)和語(yǔ)言學(xué)。從了一段時(shí)期的神學(xué)和語(yǔ)言學(xué)。從18歲開(kāi)始就一直從事數(shù)學(xué)研歲開(kāi)始就一直從事數(shù)學(xué)研究工作。究工作。 歐拉具有超人的計(jì)算能力。法國(guó)天文學(xué)家、物理