理學(xué)21數(shù)列極限PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1理學(xué)理學(xué)21數(shù)列極限數(shù)列極限一、數(shù)列的極限一、數(shù)列的極限1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：利用圓利用圓內(nèi)接正多邊形內(nèi)接正多邊形來推算圓的來推算圓的面積面積“割之彌細(xì)，所失彌少，割之割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣圓周合體而無所失矣”劉徽劉徽概念的引入概念的引入播放播放第1頁/共57頁正六邊形的面積正六邊形的面積1A正十二邊形的面積正十二邊形的面積2A正正 形的面積形的面積126 nnA,321nAAAASR第2頁/共57頁2 2、截丈問題：、截丈問題：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭一尺之棰，日截其半，萬世不竭”11;2X 第第一一天天剩

2、剩下下的的杖杖長長為為221;2X 第第二二天天剩剩下下的的杖杖長長為為1;2nnnX 第第 天天剩剩下下的的杖杖長長為為12nnX 0出自出自莊子莊子 天下篇天下篇第3頁/共57頁(1) 數(shù)數(shù)列列概概念念一一串串?dāng)?shù)數(shù)按按照照一一定定的的順順序序排排成成一一列列，叫叫做做一一個個數(shù)數(shù)列列。一一般般地地，一一個個數(shù)數(shù)列列排排成成如如下下形形式式的的一一串串?dāng)?shù)數(shù)123,.nxxxx nnnxx每每一一個個數(shù)數(shù)稱稱為為數(shù)數(shù)列列的的。第第項項稱稱為為，通通項項數(shù)數(shù)列列簡簡記記為為項項。一、數(shù)列的極限一、數(shù)列的極限無窮個無窮個第4頁/共57頁xn0242nx1x2 x 例例( ) , , , , , n

3、12 4 82: . nnx 2通項通項以下都是數(shù)列，說出其通項和變化趨勢：以下都是數(shù)列，說出其通項和變化趨勢： ,(1) 2nn由由圖圖可可知知 當(dāng)當(dāng) 無無限限增增大大時時 數(shù)數(shù)列列 的的點點無無限限增增大大, ,即即數(shù)數(shù)列列無無限限增增大大; ; 2n第5頁/共57頁( ) , , , , , n111122482: .nnx 12通項通項102, , ,nnx 由由圖圖可可知知 當(dāng)當(dāng) 無無限限增增大大時時 數(shù)數(shù)列列( (2 2) )的的點點逐逐漸漸密密集集在在的的右右側(cè)側(cè) 即即數(shù)數(shù)列列無無限限接接近近于于0 0; ;12nxnx2x1n21x0 x3181412第6頁/共57頁011nx

4、212nxx1311 111( ) , , , , , (),n 11: ().nnx 通通項項11, .nn 由由圖圖可可知知 當(dāng)當(dāng) 為為奇奇數(shù)數(shù)時時，數(shù)數(shù)列列(3)(3)始始終終為為 當(dāng)當(dāng) 為為偶偶數(shù)數(shù)時時，數(shù)數(shù)列列(3)(3)始始終終為為 11()n 第7頁/共57頁xn1211M3x1xnx2x4x212 nx 0()( ) , , , , , , , ,11114010023nn 11nnxn () .通項：通項：0110, , () ,nnnxn 由由圖圖可可知知 當(dāng)當(dāng) 為為奇奇數(shù)數(shù)時時，數(shù)數(shù)列列(4)(4)為為始始終終為為當(dāng)當(dāng) 是是偶偶數(shù)數(shù)時時，數(shù)數(shù)列列(4)(4)的的點點逐逐漸

5、漸密密集集在在的的右右側(cè)側(cè) 即即數(shù)數(shù)列列無無限限接接近近于于0;0;11()nn 第8頁/共57頁1xnx3x2x1x02132431nn12352341nn ( ) , , , , , 1nnxn : .通項通項51,( ) nnxn 由由圖圖可可知知 當(dāng)當(dāng) 無無限限增增大大時時 表表示示數(shù)數(shù)列列的的點點逐逐漸漸密密集集+ +1 1在在的的右右側(cè)側(cè), ,即即數(shù)數(shù)列列無無限限接接近近1 1; ;1nn 第9頁/共57頁( ) , , , , , n12 4 822n 無無限限接接近近; ;( ) , , , , , n11112248212n無無限限接接近近于于0;0;( ) , , , ,

6、, (),n 131111111,.nn 為為奇奇數(shù)數(shù)，始始終終為為 為為偶偶數(shù)數(shù)，始始終終為為()( ) , , , , , , , ,nn 1111401002311()nn 無無限限接接近近于于0;0;( ),nn1235 2341nn 無無限限+ +1 1接接近近1 1; ;總結(jié)一下以上數(shù)列的變化趨勢：總結(jié)一下以上數(shù)列的變化趨勢： ()11n 第10頁/共57頁122 ,nnxxxx、數(shù)數(shù)列列對對應(yīng)應(yīng)著著數(shù)數(shù)軸軸上上的的一一個個點點列列，可可以以看看作作 一一動動點點在在數(shù)數(shù)軸軸上上依依次次取取。1、數(shù)數(shù)列列是是正正整整數(shù)數(shù)的的函函數(shù)數(shù)nxf nnZ ( )()觀察上述數(shù)列會發(fā)現(xiàn)觀察上

7、述數(shù)列會發(fā)現(xiàn)3 n、隨隨著著 的的無無限限增增大大，數(shù)數(shù)列列的的變變化化趨趨勢勢可可大大致致分分為為： 一一類類， 另另一一類類，兩兩類類無無限限接接近近某某個個常常數(shù)數(shù)不不趨趨近近某某個個常常數(shù)數(shù)。 n當(dāng)當(dāng)?shù)牡臒o無限限增增大大時時，數(shù)數(shù)列列無無限限接接近近于于某某一一確確定定的的 數(shù)數(shù)值值，如如果果是是，如如問問題題 否否 是是何何描描述述之之？第11頁/共57頁, lim nnnnnnnnxxxaaaxaxa nxn 當(dāng)當(dāng) 無無限限增增大大時時 數(shù)數(shù)列列的的通通項項無無限限趨趨于于一一個個確確定定的的, ,則則稱稱數(shù)數(shù)列列，或或稱稱為為數(shù)數(shù)列列常常數(shù)數(shù)收收斂斂于于極極限限 或或 當(dāng)當(dāng)時時的

8、的，記記作作 ( ( 時時) ),nax如如不不存存在在這這樣樣的的常常數(shù)數(shù)則則稱稱數(shù)數(shù)列列發(fā)發(fā)散散不不收收，或或斂斂，也也可可limnnx以以說說極極限限不不存存在在。數(shù)列極限的定義：數(shù)列極限的定義：第12頁/共57頁( ) , , , , , n12 4 82n2 無無限限增增大大; ;( ) , , , , , n11112248212n數(shù)列無限接近于0;數(shù)列無限接近于0;( ) , , , , , (),n 131111111nn , .為奇數(shù),始終為為偶數(shù),始終為為奇數(shù),始終為為偶數(shù),始終為()( ) , , , , , , , ,nn 1111401002311nn ()數(shù)列無限接

9、近于0;數(shù)列無限接近于0;( ),nn1235 2341nn + +1 1數(shù)數(shù)列列無無限限接接近近1 1; ;求以下數(shù)列的極限：求以下數(shù)列的極限：lim2nn 記記為為 limnn2 不存在，不存在，nn 1lim02n nlim( 1)沒有明確的趨勢，即不存在沒有明確的趨勢，即不存在11nn n()lim=0=0nn nlim+ +1 1= =1 1 例例第13頁/共57頁,1001給定給定,10011 n由由,100時時只要只要 n,10011 nx有有,10001給定給定,1000時時只要只要 n,100011 nx有有,100001給定給定,10000時時只要只要 n,1000011

10、nx有有, 0 給定給定,)1(時時只要只要 Nn.1成立成立有有 nx 1nxnnn11)1(1 . 1)1(1,1無限接近于無限接近于無限增大時無限增大時當(dāng)當(dāng)nxnnn 第14頁/共57頁,0若若,0N時時, ,使當(dāng)使當(dāng) Nn |axn記為記為lim, nnxa 或或. )( naxn , ,時的極限當(dāng)為數(shù)列則稱數(shù)成立nxan數(shù)列極限嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義：數(shù)列極限嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義： N語言語言0,N 幾幾何何意意義義：使得使得 N 項以后的所有項項以后的所有項,321 NNNxxx都落在都落在a 點的點的鄰域鄰域內(nèi)內(nèi)),( aa因而在這個鄰域之外至多能有數(shù)列中的因而在這個鄰域之外至多能有數(shù)列中的有

11、限個有限個點點第15頁/共57頁1 Nxx a aa 22 Nx1x2x3x這就表明數(shù)列這就表明數(shù)列xn中的項到一定程度時變化就很微小，中的項到一定程度時變化就很微小，呈現(xiàn)出一種呈現(xiàn)出一種穩(wěn)定穩(wěn)定的狀態(tài)，這種穩(wěn)定的狀態(tài)就是人們所的狀態(tài)，這種穩(wěn)定的狀態(tài)就是人們所稱謂的稱謂的“收斂收斂”。注意：注意： 數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.0,N 幾幾何何意意義義：使得使得 N 項以后的所有項項以后的所有項,321 NNNxxx都落在都落在a 點的點的 鄰域鄰域內(nèi)內(nèi)),( aa因而在這個鄰域之外至多能有數(shù)列中的因而在這個鄰域之外至多能有數(shù)列中的有限個有限個點點第16頁/

12、共57頁觀察下列的通項變化趨勢，寫出它們的極限觀察下列的通項變化趨勢，寫出它們的極限2111(1) 2 1( 1) nnxxxxnnnnnn; (2) (3) (4)=-3 -3-3-3-302-114321n1(1) nxn212 xnn(2)11 ( 1) nxnn(3) xn(4)=-312124112131291131412161140213 四四個個數(shù)數(shù)列列的的變變化化的的趨趨勢勢 例例第17頁/共57頁由表中各個數(shù)列的變化趨勢，根據(jù)數(shù)列極限的定義可知由表中各個數(shù)列的變化趨勢，根據(jù)數(shù)列極限的定義可知：211(1) limlim0; limlim 22;1(3) limlim 1( 1

13、)1; limlim( 3)3.nnnnnnnnnnnnnxxnnxxn (2) (4)通過以上例題，可以推得以下結(jié)論通過以上例題，可以推得以下結(jié)論：1(1) lim0,(0);nan(2) lim0,(1);nnqq(3) lim,().ncc c為常數(shù)第18頁/共57頁 lim limnnnnnnxxayby設(shè)設(shè)有有數(shù)數(shù)列列和和, ,且且 = ,= ,= , ,則則(1) limlimlimnnnnnnnxyxyab ()=(2) lim()lim,();nnnncxcxca c為常數(shù)(3) lim()lim lim ;nnnnnnnx yxyablim(4) lim,().li0mnnn

14、nnnnbxxayyb可以推廣到有限項！二、數(shù)列極限的四則運算二、數(shù)列極限的四則運算無限項？ 不能不能!第19頁/共57頁lim5,lim2, lim3; lim; lim 3;22已已知知求求: :( (1 1) ) ( (2 2) ) ( (3 3) )nnnnnnnnnnnxyyyxx解解(1) lim3nnx(2) lim2nny(3) lim 32nnnyx 例例3limnnx15;lim2nny1;lim3lim2nnnnyx14.第20頁/共57頁求下列各極限求下列各極限. .2221331(1) lim1; lim.2nnnnnnn (2)解解13(1)lim12 nnn2li

15、m( 1)limlimnnnnn1321 03lim nn1=-1;2231(2) lim2nnnn=22113lim21nnnn2211lim3limlim2lim1 limnnnnnnnn 例例3001 03.2n分子分母同除第21頁/共57頁:求求下下列列數(shù)數(shù)列列的的極極限限110110(2) lim,(0,1, ;kkkkijllnlla nanak la b ikb nbnb 其其中中為為正正整整數(shù)數(shù)0,1, ),0,0.kljlab都都是是常常數(shù)數(shù) 且且111(3) lim();1 22 3(1)nn n 例例111(4) lim(1).242nn23253(1)lim;25nnn

16、nn 第22頁/共57頁若數(shù)列若數(shù)列 xn 收斂收斂, 則其極限值必唯一則其極限值必唯一.lim,lim,nnnnnxxaxb 即即若若數(shù)數(shù)列列收收斂斂，且且和和則則 ab 第23頁/共57頁 P2929性性質(zhì)質(zhì)2.12.1課課本本 、2.22.2 lim nnxa nx的任何一個子數(shù)列都收斂的任何一個子數(shù)列都收斂, 且均以且均以 a 為極限為極限 . 充分必要條件充分必要條件 在數(shù)列在數(shù)列 xn: x1 , x2 , , xn , 中中, , 保持各保持各項原來的先后次序不變項原來的先后次序不變, ,自左往右任意選取無窮自左往右任意選取無窮多項所構(gòu)成的新的數(shù)列多項所構(gòu)成的新的數(shù)列, ,稱為原

17、數(shù)列的一個子數(shù)稱為原數(shù)列的一個子數(shù)列，記為列，記為 .knx第24頁/共57頁 例例.) 1(lim 1nn求解解 ,) 1(1nnx. ,) 1( , , 1 , 1 , 1 , 1 :1nnx取子數(shù)列：取子數(shù)列： ,) 1( , 1, 1, 1, :1)1(212nnx ,) 1( , 1, 1, 1, :122nnx , 1) 1(limlim , 11limlim 212nnnnnnxx而 . ) 1(lim 1不存在故nn唯一性定理的推論往往用來唯一性定理的推論往往用來證明證明或或判斷判斷數(shù)列極數(shù)列極限限不存在不存在發(fā)散的數(shù)列也可能有收斂的子列發(fā)散的數(shù)列也可能有收斂的子列第25頁/共

18、57頁 例例 . 8sin 的斂散性判別nxn解解利用函數(shù)的周期性, 在 xn 中取兩個子數(shù)列: ,sin , ,2sin ,sin :sin 8sin kkn . 00limsinlim , , 0sin nnkNkk所以由于),22sin(,25sin : )2sin(2 8sin kkn . 11lim)22sin(lim nnk此時 . )( 8sin :即極限不存在是發(fā)散的故由推論可知n第26頁/共57頁 若數(shù)列若數(shù)列 xn 收斂收斂, 則則 xn 必有界必有界. 該定理的逆命題不真該定理的逆命題不真, 即即有界數(shù)列不一定收斂有界數(shù)列不一定收斂. 例如例如, (1) n .即即 無界

19、數(shù)列的極限不存在無界數(shù)列的極限不存在 .無界數(shù)列必發(fā)散無界數(shù)列必發(fā)散. .第27頁/共57頁 例例 ,2 , , 8 , 4 , 2:2nn , 8 , 0 , 4 , 0 :) 1(1(nn無極限發(fā)散無界,無極限發(fā)散無界,發(fā)散的數(shù)列不一定都無界 . 例如, (1) n .第28頁/共57頁 收斂的數(shù)列必有界收斂的數(shù)列必有界. 有界的數(shù)列不一定收斂有界的數(shù)列不一定收斂. 無界的數(shù)列必發(fā)散無界的數(shù)列必發(fā)散 . 發(fā)散的數(shù)列不一定無界發(fā)散的數(shù)列不一定無界.1: () . nnx 反反例例第29頁/共57頁 lim, (0), 0,0 nnxaaNa若則若則 , (0 . 0) nnxnNx當(dāng)時 有當(dāng)

20、時 有 (0 0 ) ,nnxx 若若 , lim 存在且axnn0 (0) . aa則則這里為嚴(yán)格不等號時這里為嚴(yán)格不等號時此處仍是不嚴(yán)格不等號此處仍是不嚴(yán)格不等號第30頁/共57頁00 () ( 0, ) , nnnnxynNNxnNy若或當(dāng)時若或當(dāng)時則存在且 , lim ,lim byaxnnnn (limlim) .limlim nnnnnnnnaxybaxyb在極限存在的前提下在極限存在的前提下, 對不等式兩邊可以同對不等式兩邊可以同 時取極限時取極限, 不等號的不等號的方向不變方向不變, 但但嚴(yán)格不等號嚴(yán)格不等號也也 要改為要改為不嚴(yán)格不等號不嚴(yán)格不等號.第31頁/共57頁1. 夾

21、逼定理夾逼定理( (兩邊夾定理兩邊夾定理) )設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列 xn, yn, zn 滿足下列關(guān)系滿足下列關(guān)系: :(2),limlimazynnnn則axnnlim(1) yn xn zn , n Z+( (或或從某一項從某一項開始開始) ;四、數(shù)列極限收斂準(zhǔn)則四、數(shù)列極限收斂準(zhǔn)則第32頁/共57頁解解222111lim . 12nnnnn求求22211112nnnn 2 lim1 , nnnn 而而2lim11nnn 由于由由夾夾逼逼定定理理 例例想得通吧？想得通吧？21nn 2 nnn 222111 lim 112nnnnn22211112,nnnnn 顯顯然然時時 各各項項, , ,極極限

22、限都都為為0 0, ,但但卻卻不不是是個個項項的的和和, ,不不能能使使用用有有限限運運算算法法則則! !第33頁/共57頁解解. ,! lim Znnnnn求 !1 2 31 0 nnnnnn n nnn 由由于于 1. 1,3,2均小于nnnn , 00lim , 01lim nnn而 . 0! lim nnnn故 例例1, n第34頁/共57頁22212lim.nnnnn 求求解解22212,nnnnn 顯顯然然時時 各各項項, , ,極極限限都都為為0 0, ,但但卻卻不不是是有有限限個個項項的的和和, ,不不能能使使用用運運算算法法則則. .2(1)122n nnnn22212lim

23、nnnnn所所以以 例例1lim2nnn1211lim22nn2222121 2 3nnnnnn 第35頁/共57頁 單調(diào)減少單調(diào)減少有有下界下界的數(shù)列必有極限的數(shù)列必有極限 . 單調(diào)增加單調(diào)增加有有上界上界的數(shù)列必有極限的數(shù)列必有極限 .單調(diào)有界的數(shù)列必有極限單調(diào)有界的數(shù)列必有極限.12 , nnxxxx若若滿滿足足則則稱稱 , . nnxx 單單調(diào)調(diào)增增加加記記為為12 , nnxxxx若若滿滿足足則則稱稱 , . nnxx 單單調(diào)調(diào)減減少少記記為為第36頁/共57頁11(1, 2,),nnxnn證明數(shù)列證明數(shù)列nx極限存在極限存在 .證證: 利用利用牛頓二項式牛頓二項式公式公式 , 有有

24、nnnx)1 (11nn 1! 121!2) 1(nnn31!3)2)(1(nnnnnnnnnnn1!) 1() 1(11) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n 例例第37頁/共57頁11nx) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n111nx)1(11!21n)1)(1(1211!31nn)1()1)(1(11211! ) 1(1nnnnn大大 大大 正正),2, 1(1nxxnn11)1 (1nnnx!21!31!1n又又比較可知比較可知 .nx即即是是單單調(diào)調(diào)增增加加的的每個括號小于 1 .第38

25、頁/共57頁nx通常將它記為通常將它記為 e, ,即即ennn)1 (lim1e 稱為歐拉常數(shù)稱為歐拉常數(shù), , 其值為其值為590457182818284. 2e有極限有極限 .11)1 (1nnnx!21!31!1n1121221121n又又32121111n1213n 放大不等式 等比數(shù)列求和 . 有界從而nx .ln : , , xye記為稱為自然對數(shù)為底的對數(shù)以第39頁/共57頁2, 22, 222 ,證證明明數(shù)數(shù)列列的的極極限限存存在在。 例例11 2 (,)nnnxxxn 顯顯然然是是單單調(diào)調(diào)增增加加的的，即即 0 0解解12x ，21222,xx12nnxx 2nx22 nnx

26、x得得220nnxx12nx 22nx根據(jù)準(zhǔn)則根據(jù)準(zhǔn)則 2 2 可知數(shù)列可知數(shù)列有極限，有極限， 12lim,nnnnxaxx 設(shè)設(shè)則則由由得得122limlimnnnnaxxa 21aa 或或（舍舍）第40頁/共57頁假假設(shè)設(shè)limlimnnnnab 則則。11nnnnaabbn(1)(1)對對一一切切 成成立立；lim()0,nnnba(2)(2) 例例解解11nnnnaabb1na 1nb 1a 1b nnaa數(shù)數(shù)列列單單調(diào)調(diào)增增加加，且且有有界界有有極極限限 nnbb數(shù)數(shù)列列單單調(diào)調(diào)減減少少，且且有有界界有有極極限限lim()limlim0nnnnnnnbaba則則 limlimnnn

27、nab 因因此此 第41頁/共57頁數(shù)數(shù)列列極極限限的的概概念念數(shù)數(shù)列列極極限限的的四四則則運運算算“不不等等式式放放大大法法”內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)數(shù)數(shù)列列極極限限的的性性質(zhì)質(zhì)數(shù)數(shù)列列極極限限的的收收斂斂準(zhǔn)準(zhǔn)則則。唯唯一一性性（子子數(shù)數(shù)列列）；有有界界性性；保保號號性性夾夾逼逼定定理理；單單調(diào)調(diào)增增加加( (減減少少) )有有上上( (下下) )界界必必有有極極限限第42頁/共57頁 歐拉一身經(jīng)歷坎坷。他于歐拉一身經(jīng)歷坎坷。他于1707年生于瑞士年生于瑞士巴塞爾，巴塞爾，20年后卻永遠(yuǎn)離開了祖國。在他年后卻永遠(yuǎn)離開了祖國。在他76年年的生命歷程中，還有的生命歷程中，還有25年住在德國柏林（年住在德

28、國柏林（17411766年），其余時間則留在俄國彼得堡。年），其余時間則留在俄國彼得堡。 歐拉歐拉31歲時右眼失明，歲時右眼失明，59歲時雙目失明。歲時雙目失明。他的寓所和財產(chǎn)曾被烈火燒盡（他的寓所和財產(chǎn)曾被烈火燒盡（1771年），與年），與他共同生活他共同生活40年的結(jié)發(fā)之妻先他年的結(jié)發(fā)之妻先他10年去世。年去世。 歐拉聲譽顯赫。歐拉聲譽顯赫。1212次獲巴黎科學(xué)院大獎（次獲巴黎科學(xué)院大獎（1738173817721772年）年）曾任彼得堡科學(xué)院、柏林科學(xué)院、倫敦皇家學(xué)會、巴塞爾物理曾任彼得堡科學(xué)院、柏林科學(xué)院、倫敦皇家學(xué)會、巴塞爾物理數(shù)學(xué)會、巴黎科學(xué)院等科學(xué)團體的成員。數(shù)學(xué)會、巴黎科學(xué)院等

29、科學(xué)團體的成員。第43頁/共57頁 歐拉成就卓著。生前就出版了歐拉成就卓著。生前就出版了560種論著，另有更多未種論著，另有更多未出版的論著。僅僅雙目失明后的出版的論著。僅僅雙目失明后的 17 年間，還口述了幾本書年間，還口述了幾本書和約和約400篇論文。歐拉是目前已知成果最多的數(shù)學(xué)家。篇論文。歐拉是目前已知成果最多的數(shù)學(xué)家。 歐拉聰明早慧，歐拉聰明早慧，13歲入巴塞爾大學(xué)學(xué)文科，兩年后獲學(xué)歲入巴塞爾大學(xué)學(xué)文科，兩年后獲學(xué)士學(xué)位。第二年又獲碩士學(xué)位。后為了滿足父親的愿望，學(xué)士學(xué)位。第二年又獲碩士學(xué)位。后為了滿足父親的愿望，學(xué)了一段時期的神學(xué)和語言學(xué)。從了一段時期的神學(xué)和語言學(xué)。從18歲開始就一直從事數(shù)學(xué)研歲開始就一直從事數(shù)學(xué)研究工作。究工作。 歐拉具有超人的計算能力。法國天文學(xué)家、物理