浙大寧波理工學(xué)院計量經(jīng)濟學(xué)第二章一元線性回歸分析

1、第二章第二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析第二章第二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.1 2.1 一元一元線性回歸模型線性回歸模型2.2 2.2 總體回歸參數(shù)的總體回歸參數(shù)的最小二乘估計最小二乘估計2.3 2.3 參數(shù)最小二乘估計的統(tǒng)計性質(zhì)參數(shù)最小二乘估計的統(tǒng)計性質(zhì)2.4 2.4 參數(shù)估計量的抽樣分布及參數(shù)估計量的抽樣分布及 的估計的估計量量2.5 2.5 回歸參數(shù)的回歸參數(shù)的顯著性檢驗顯著性檢驗和區(qū)間估計和區(qū)間估計2.6 2.6 回歸方程的顯著性檢驗和回歸方程的顯著性檢驗和擬合優(yōu)度擬合優(yōu)度2.7 2.7 無條件預(yù)測無條件預(yù)測2.8 2.8 一元回歸分析的一元回歸分析的EViewsE

2、Views應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例2第二章第二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.1 2.1 一元線性回歸模型一元線性回歸模型第二章第二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.1 2.1 一元線性回歸模型一元線性回歸模型確定性關(guān)系：函數(shù)關(guān)系不確定性關(guān)系：回歸分析第二章第二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.1 2.1 一元線性回歸模型一元線性回歸模型2.1.1 2.1.1 變量間的關(guān)系及種類變量間的關(guān)系及種類1、確定性關(guān)系與非確定性關(guān)系確定性關(guān)系函數(shù)關(guān)系，可以用精確的數(shù)學(xué)表達式表示。非確定性關(guān)系統(tǒng)計關(guān)系或相關(guān)關(guān)系，變量之間具有密切聯(lián)系但又不能用函數(shù)關(guān)系精確表達的關(guān)系。計量經(jīng)濟學(xué)的研究對象是非確

3、定性非確定性的關(guān)系。sabyabx第二章第二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.1 2.1 一元線性回歸模型一元線性回歸模型2、相關(guān)變量間的關(guān)系相關(guān)變量：存在相關(guān)關(guān)系的變量。相關(guān)變量間的關(guān)系一般有兩種：因果關(guān)系：一個變量的變化受另一個或幾個變量的影響。平行關(guān)系：它們互為因果或共同受到另外因素的影響。第二章第二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.1 2.1 一元線性回歸模型一元線性回歸模型3、回歸分析根據(jù)相關(guān)關(guān)系散點圖散點圖模擬直線建立函數(shù)方程描述具有因果關(guān)系變量間的數(shù)量聯(lián)系方法表示原因的變量稱為解釋變量、獨立變量、自變量或回歸變量。表示結(jié)果的變量稱為被解釋變量、相依變量、因變量或響應(yīng)變

4、量。tttyabx第二章第二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.1 2.1 一元線性回歸模型一元線性回歸模型4、一元線性回歸模型的重要意義（1）現(xiàn)實經(jīng)濟的普遍性。（2）原理和方法的基礎(chǔ)性。第二章第二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.1 2.1 一元線性回歸模型一元線性回歸模型2.1.2 2.1.2 一元線性回歸模型的定義一元線性回歸模型的定義模型定義：一元線性回歸模型直線回歸的數(shù)學(xué)模型它是變量y關(guān)于變量x的一元線性回歸模型。模型解釋: y稱作被解釋變量（或相依變量、因變量、響應(yīng)變量）。x稱作解釋變量（或獨立變量、自變量、回歸變量），是影響y變化的重要變量。 tttuxy10非隨機部分

5、隨機部分第二章第二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.1 2.1 一元線性回歸模型一元線性回歸模型Ut稱作隨機誤差項隨機誤差項。包括除了xt以外的影響yt變化的眾多微小因素：未在模型中專門列出的影響yt變化的非重要解釋變量人的隨機行為數(shù)學(xué)模型形式欠妥歸并誤差測量誤差u ut t的變化是不可控的變化是不可控的。第二章第二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.1 2.1 一元線性回歸模型一元線性回歸模型0為常數(shù)項（或截距項）。1為斜率系數(shù)影響程度大小大小反映了x影響y的程度，表示x改變一個單位，y平均平均改變的數(shù)量。影響方向正負正負性則反映了x影響y的性質(zhì)。0和1稱作回歸系數(shù)。第二章第二章

6、一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.1 2.1 一元線性回歸模型一元線性回歸模型t表示序數(shù)時間序列當t表示時間序數(shù)時，xt和yt成為時間序列數(shù)據(jù)。非時間序列當t表示非時間序數(shù)時，xt和yt稱為截面數(shù)據(jù)。第二章第二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.1 2.1 一元線性回歸模型一元線性回歸模型模型形式可分為兩部分：非隨機部分由x變化引起y線性變化的部分，即0+1xt部分。隨機部分由其他一切隨機因素引起y發(fā)生改變的部分，即ut部分。第二章第二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.1 2.1 一元線性回歸模型一元線性回歸模型2.1.3 2.1.3 總體回歸函數(shù)與樣本回歸函數(shù)總體回歸函數(shù)與樣本回

7、歸函數(shù)1、總體回歸函數(shù)定義：在社會經(jīng)濟總體現(xiàn)象中，用來說明被解釋變量的平均狀態(tài)隨解釋變量變化的數(shù)量關(guān)系的函數(shù)。表示形式：E（yt）=0+1xt，稱作（雙變量）總體回歸函數(shù)，或線性總體回歸函數(shù)。其表明的直線被稱為總體回歸直線。確定方法：經(jīng)驗第二章第二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.1 2.1 一元線性回歸模型一元線性回歸模型2、樣本回歸函數(shù)定義：根據(jù)樣本資料所做的、用以估計總體回歸方程的函數(shù)。 表示方式 函數(shù)解釋： 是樣本回歸直線上 相應(yīng)的 的估計值，可視為總體條件均值 E（ / ）的估計值。 是樣本回歸函數(shù)的截距系數(shù) 是樣本回歸函數(shù)的斜率系數(shù)0tytx1ty txtyty01第二章第二

8、章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.1 2.1 一元線性回歸模型一元線性回歸模型2.1.4 2.1.4 一元線性回歸模型的一元線性回歸模型的基本假定基本假定一元回歸模型確定分析成功估計參數(shù)值，取決于隨機變量隨機變量u和解釋變量解釋變量x的性質(zhì)。tttuxy10待估參數(shù)無法確定可觀察得到第二章第二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.1 2.1 一元線性回歸模型一元線性回歸模型222( )( )( )ttttVar uE uE uE u模型的基本假定（經(jīng)典假定經(jīng)典假定或高斯（Gauss）假設(shè)）（1）每個 （t=1，2，n），均為服從正態(tài)分布的實隨機變量。（2）每個 （t=1，2，n）的期望

9、值都為0，即E（ ）=0。（3）所有的 方差均為同一個常數(shù)等方差假定。即 ，否則，稱 具有異方差性。 tututututu第二章第二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.1 2.1 一元線性回歸模型一元線性回歸模型（4）非自相關(guān)假定。與解釋變量x不同觀測值 相對應(yīng)的隨機項 （t=1，2，n）之間彼此獨立，即Cov（ ， ）=0，tj。（5）隨機項 與解釋變量x的任一觀測值xj不相關(guān)，即Cov（ ，xj）=0滿足該假設(shè)的線性回歸模型，也稱為經(jīng)典線性回歸模型（classical linear regression model，CLAM）在上述假定成立條件下，有E（ ）=E（0+1xt+ ）=0+

10、1xt，即為前述的總體回歸函數(shù)。 txtutujutututytu第二章第二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.1 2.1 一元線性回歸模型一元線性回歸模型一元回歸模型 的特點：（1）對經(jīng)濟過程的不可再現(xiàn)性回歸函數(shù) E（ ）=0+1xt 不能100%的再現(xiàn)所研究的經(jīng)濟過程。（2）對經(jīng)濟問題的高度抽象性更深刻地揭示經(jīng)濟問題的內(nèi)在規(guī)律。tytttuxy10第二章第二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.1 2.1 一元線性回歸模型一元線性回歸模型例題2-1 令kids表示一名婦女生育孩子的數(shù)目，educ表示該婦女接受過過教育的年數(shù)，生育率對教育年數(shù)的簡單回歸模型為kids=0+1educ+u

11、。（1）隨機擾動項u包含什么樣的因素？它們可能與教育水平相關(guān)嗎？（2）上述簡單回歸分析能夠揭示教育對生育率在其他條件不變下的影響嗎？第二章第二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.1 2.1 一元線性回歸模型一元線性回歸模型解：（1）隨機擾動項包含了收入、年齡、家庭狀況、政府的相關(guān)政策等等影響生育率的重要因素。有些影響因素可能與教育水平相關(guān)。（2）上述回歸模型不能夠揭示教育對生育率在其它條件不變下的影響。因為歸結(jié)在隨機擾動項中的重要影響因素與模型中的教育水平educ相關(guān)時，即出現(xiàn)解釋變量與隨機擾動項相關(guān)的情形。第二章第二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.2 2.2 回歸參數(shù)的普通最小二

12、乘估計（回歸參數(shù)的普通最小二乘估計（OLSOLS）總體回歸線與樣本回歸線的基本關(guān)系由于總體狀況難以獲得，需要根據(jù)樣本對總體推斷。但當采用樣本推斷總體時，存在著誤差。第二章第二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.2 2.2 回歸參數(shù)的普通最小二乘估計（回歸參數(shù)的普通最小二乘估計（OLSOLS）2.2.1 2.2.1 回歸參數(shù)的估計思想回歸參數(shù)的估計思想總體回歸直線 E（yt）=0 + 1xt樣本回歸直線 和 分別是0和1的估計值， 稱作yt的擬合值，yt與 的差，即 稱作回歸殘差，是對隨機誤差ut的估計。于是，可有ttxy1001ty ty tttyy第二章第二章 一元線性回歸分析一元線性回

13、歸分析2.2 2.2 回歸參數(shù)的普通最小二乘估計（回歸參數(shù)的普通最小二乘估計（OLSOLS）最小二乘估計（ordinary least squares，OLS）準則一組樣本觀測值（xt，yt）（t=1，2，n），要想最好地描述y與x關(guān)系的直線，t要盡可能地小，從而得到最優(yōu)的擬合直線。最優(yōu)的擬合直線標準 “殘差和最小”標準“殘差絕對值的和最小”標準“殘差平方和最小”標準第二章第二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.2 2.2 回歸參數(shù)的普通最小二乘估計（回歸參數(shù)的普通最小二乘估計（OLSOLS）2.2.2 2.2.2 最小二乘估計（最小二乘估計（OLSOLS）的原理與計算）的原理與計算觀察數(shù)

14、據(jù)散點圖：第二章第二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.2 2.2 回歸參數(shù)的普通最小二乘估計（回歸參數(shù)的普通最小二乘估計（OLSOLS）最小二乘法的原理：設(shè)殘差平方和用Q表示，所謂最小二乘法，即為 和 滿足：按照該式求出的 和 ，就稱為0和1的最小二乘估計值。ntnttttttntxyyyQ11210221)()(01ntttttxyxyQ1210,210)(min)(1001第二章第二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.2 2.2 回歸參數(shù)的普通最小二乘估計（回歸參數(shù)的普通最小二乘估計（OLSOLS）二元函數(shù)求極值，得到方程組： 該方程組常稱作正規(guī)方程組，整理得：ntttxyQ11

15、000) 1)(2nttttxxyQ11010)(2nttnttyxn1110)(ntttnttnttyxxx112110)(第二章第二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.2 2.2 回歸參數(shù)的普通最小二乘估計（回歸參數(shù)的普通最小二乘估計（OLSOLS）解之得 ，即nyynxxnxxnxyxyxxyttttttttt ，為樣本容量，其中，)(2221010和22221)()/()/()(xnxyxnyxxxnyxyxnttttttttt 第二章第二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.2 2.2 回歸參數(shù)的普通最小二乘估計（回歸參數(shù)的普通最小二乘估計（OLSOLS）2110)()(xxy

16、yxxxyttt寫成離差形式即為：由此可得樣本回歸方程：ttxy10下圖的殘差和擬合值是哪一部分?第二章第二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.2 2.2 回歸參數(shù)的普通最小二乘估計（回歸參數(shù)的普通最小二乘估計（OLSOLS）舉例假如有某一社區(qū)家庭組成的總體，根據(jù)抽出的10戶家庭的樣本資料，據(jù)此觀察總體的可支配收入消費支出關(guān)系。收入收入xt消費消費yt 1800594211006383140011224170011555200014086230015957260019698290020789320025851035002530單位：百元單位：百元某社區(qū)居民收入某社區(qū)居民收入消費表消費表第二

17、章第二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.2 2.2 回歸參數(shù)的普通最小二乘估計（回歸參數(shù)的普通最小二乘估計（OLSOLS）xtyt 1800594-1350-9731314090182250094750864000035283621100638-1050-92997587011025008637841210000407044314001122-750-44533405056250019838119600001258884417001155-450-41218558020250017007428900001334025520001408-150-1592391022500254084000

18、000198246462300159515028414022500762529000025440257260019694504021807202025001612836760000387696182900207875051138295056250026071284100004318084932002585105010181068480110250010355101024000066822251035002530135096312995101822500926599122500006400900求和21500156745769300742500045900205365000029157448平均

19、21501567xxtyyt)()(yyxxtt2)(xxt2)(yyt2tx2ty普通最小二乘法計算表普通最小二乘法計算表第二章第二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.2 2.2 回歸參數(shù)的普通最小二乘估計（回歸參數(shù)的普通最小二乘估計（OLSOLS）由此，可計算出：所以，樣本回歸方程為：777. 074250005769300)()(21xxyyxxttt172.1032150777. 0156710 xyttxy777. 0172.103第二章第二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.2 2.2 回歸參數(shù)的普通最小二乘估計（回歸參數(shù)的普通最小二乘估計（OLSOLS）yx5588908

20、011812014513514517580100120140160180200220240260課堂習(xí)題：若某一總體的隨機樣本如下，試根據(jù)該樣本資料估計總體回歸方程。第二章第二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.3 2.3 參數(shù)最小二乘估計的統(tǒng)計性質(zhì)參數(shù)最小二乘估計的統(tǒng)計性質(zhì)考察參數(shù)估計量的統(tǒng)計性質(zhì)，是對據(jù)由模型估計的參數(shù)估計值的精度，能否代表總體參數(shù)的真值所做的說明?？疾炜傮w的估計量優(yōu)劣性的條件：（1 1）線性性：）線性性：即它是否是另一隨機變量的線性函數(shù)該性質(zhì)的實際意義是，參數(shù)估計量與另一隨機變量具有相同的分布。第二章第二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.3 2.3 參數(shù)最小二乘

21、估計的統(tǒng)計性質(zhì)參數(shù)最小二乘估計的統(tǒng)計性質(zhì)（2 2）無偏性）無偏性：即它的均值或期望值是否等于總體的真實值。該性質(zhì)的實際意義是，參數(shù)估計量是以參數(shù)真實值為分布中心的隨機變量，反復(fù)抽樣估計可得真實值。（3 3）有效性）有效性：即它是否在所有線性無偏估計量中具有最小方差。該性質(zhì)的實際意義是，與其他線性無偏估計量相比，最小二乘估計法得到的估計量有更大的可能性離真值最近。擁有這類性質(zhì)的估計量稱為最佳線性無偏估計量最佳線性無偏估計量（best liner unbiased best liner unbiased estimator, BLUEestimator, BLUE）第二章第二章 一元線性回歸分析一

22、元線性回歸分析2.3 2.3 參數(shù)最小二乘估計的統(tǒng)計性質(zhì)參數(shù)最小二乘估計的統(tǒng)計性質(zhì)對用OLS法得到的估計量 和 的考察1、線性即 和 均為隨機變量y或u的線性函數(shù)。2、無偏性指參數(shù)估計量 和 的均值（期望值）分別等于總體參 數(shù)值 和 ，即E（ ）= ， E（ ）= 。010101010011第二章第二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.3 2.3 參數(shù)最小二乘估計的統(tǒng)計性質(zhì)參數(shù)最小二乘估計的統(tǒng)計性質(zhì)3、最小方差性（有效性或最佳性）與其它的一切線性、無偏估計量比較，OLS估計量 和 的方差最小。高斯-馬爾可夫定理（Gauss-Markov theorem）:若 滿足E（ ）=0 ，Var（

23、）= ，那么用OLS法得到的估計量一定為最佳線性無偏估計量。 01tututu2第二章第二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.3 2.3 參數(shù)最小二乘估計的統(tǒng)計性質(zhì)參數(shù)最小二乘估計的統(tǒng)計性質(zhì)舉例：若研究某公司員工的受教育水平與薪金的關(guān)系，設(shè)E為某類公司員工的薪金（元），N為所受教育水平（年），建立回歸模型E=+N+，式中隨機擾動項的分布未知，其他所有假定都滿足。要求：（1）從直觀及經(jīng)濟角度解釋和。（2）OLS估計量滿足線性、無偏性、及有效性嗎？簡單陳述理由。第二章第二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.3 2.3 參數(shù)最小二乘估計的統(tǒng)計性質(zhì)參數(shù)最小二乘估計的統(tǒng)計性質(zhì)解：（1）+N為接受

24、過N年教育的員工的總體平均薪金。當N為0時，平均薪金為。表示沒有接受過教育員工的平均起始薪金。是每單位N變化所引起的E的變化，即表示多接受一年教育所對應(yīng)的薪金增加值。（2）OLS估計量仍滿足線性、無偏性及有效性，因為這些性質(zhì)的成立勿需隨機擾動項的正態(tài)分布假設(shè)（答案有問題嗎？）。第二章第二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.3 2.3 參數(shù)最小二乘估計的統(tǒng)計性參數(shù)最小二乘估計的統(tǒng)計性質(zhì)質(zhì)計量單位變化對模型參數(shù)估計量的影響舉例：在上例中，若被解釋變量員工薪金的計量單位由元改為百元，估計的截距項與斜率項有無變化？如果解釋變量所受教育水平的度量單位由年改為月，估計的截距項與斜率項有無變化？第二章第

25、二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.3 2.3 參數(shù)最小二乘估計的統(tǒng)計性質(zhì)參數(shù)最小二乘估計的統(tǒng)計性質(zhì)解：（1）若被解釋變量度量單位變化以E*表示以百元為度量單位的薪金，則 E*100=E=+N+，可得如下新模型：E*=(/100)+ (/100)N+(/100)或其中， ， 。新的回歸系數(shù)為原始模型回歸系數(shù)的1/100。（2）若解釋變量度量單位變化設(shè)N*為用月份表示的新員工受教育的時間長度，則N*=12N，模型為估計的截距項不變，而斜率項將為原回歸系數(shù)的1/12。*NE100/*100/*第二章第二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.3 2.3 參數(shù)最小二乘估計的統(tǒng)計性質(zhì)參數(shù)最小二乘

26、估計的統(tǒng)計性質(zhì)思考題：在上例中，如果被解釋變量新員工起始薪金的計量單位由百元改為元，估計的截距項與斜率項有無變化？如果解釋變量所受教育水平的度量單位由月改為年，估計的截距項與斜率項有無變化？第二章第二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.4 2.4 參數(shù)估計量的抽樣分布及參數(shù)估計量的抽樣分布及 的估計量的估計量221)()(xxVt參數(shù)估計量 、 的抽樣分布： 、 服從正態(tài)分布由于 和 均為yt的線性函數(shù)，而每個yt都服從正態(tài)分布。 和 的期望值分別為 ，方差分別為：故 和 的抽樣分布為： N N20101010110和2220)(1)(xxxnVt0101)(1(,2220 xxxnt22

27、1)(,xxt第二章第二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.4 2.4 參數(shù)估計量的抽樣分布及參數(shù)估計量的抽樣分布及 的估計量的估計量 的估計量：由于 是未知的，為了得出 和 的方差，必須先給出 的估計量。設(shè) 為 的估計，則 = 其中，n表示樣本容量，2表示回歸方程中被估計參數(shù)（即 和 ）的個數(shù)。因為 是殘差，所以 又稱做誤差均方?？梢宰C明 是 的無偏估計量，它可用來考察觀測值對回歸直線的離散程度。22012222nttn12201t2222第二章第二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.4 2.4 參數(shù)估計量的抽樣分布及參數(shù)估計量的抽樣分布及 的估計量的估計量用 代替 ，就得到了 和

28、的估計的方差，即22012222220)(2)()(xxnxnxxnxVttttt22221)(12)(1)(xxnxxVttt2第二章第二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.5 2.5 回歸參數(shù)的顯著性檢驗和區(qū)間估計回歸參數(shù)的顯著性檢驗和區(qū)間估計回歸模型的正確性驗證模型的函數(shù)形式變量選擇參數(shù)估計的正確性2.5.1 2.5.1 回歸參數(shù)的回歸參數(shù)的t t檢驗檢驗t分布：已知 和 都服從正態(tài)分布，且 ， ，其中010)(,00VN1)(,11VN2220)(1)(xxxnVt)()(21xxVt，第二章第二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.5 2.5 回歸參數(shù)的顯著性檢驗和區(qū)間估計回歸

29、參數(shù)的顯著性檢驗和區(qū)間估計則統(tǒng)計量 和 皆服從標準正態(tài)分布。 若用無偏估計量 代替 ，有無偏估計量 ，t統(tǒng)計量在小樣本（一般n30）情況下，用無偏估計量 和 代替 和 ，可得t統(tǒng)計量： t（n-2）， t(n-2)(000V)(111V222220)(1)(xxxnVt)()(21xxVt)(0V)(1V)(0V)(1V)(000V)(111V第二章第二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.5 2.5 回歸參數(shù)的顯著性檢驗和區(qū)間估計回歸參數(shù)的顯著性檢驗和區(qū)間估計大樣本（n30）情況，則為Z（正態(tài)分布）統(tǒng)計量000()ZV111()ZVN（0，1）N（0，1）第二章第二章 一元線性回歸分析一元

30、線性回歸分析2.5 2.5 回歸參數(shù)的顯著性檢驗和區(qū)間估計回歸參數(shù)的顯著性檢驗和區(qū)間估計t檢驗：在一元回歸模型中，x是否可以解釋y的變化，即解釋變量對被解釋變量是否有顯著影響?？赏ㄟ^對1=0是否成立進行檢驗。原假設(shè)H0：1=0；備擇假設(shè)H1：10在H0成立時，有 = t(n-2)T)(111V)(11V第二章第二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.5 2.5 回歸參數(shù)的顯著性檢驗和區(qū)間估計回歸參數(shù)的顯著性檢驗和區(qū)間估計檢驗判斷對于給定的顯著性水平，查自由度為n-2的t分布表，得臨界值 。若T ，則拒絕H0：1=0，接受備擇假設(shè)H1：10，表明回歸模型中因變量與自變量之間確實存在線性關(guān)系。若

31、T ，則接受H0：1=0，解釋變量對因變量沒有顯著影響。)2(2nt)2(2nt)2(2nt第二章第二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.5 2.5 回歸參數(shù)的顯著性檢驗和區(qū)間估計回歸參數(shù)的顯著性檢驗和區(qū)間估計顯著性水平的取值通常取0.01或0.05。當其取0.05時，且n-213時，臨界值 = 大體保持在2附近。若T的絕對值遠大于2，則在0.05的顯著性水平下，可認為1顯著地異于0。2t025. 0t第二章第二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.5 2.5 回歸參數(shù)的顯著性檢驗和區(qū)間估計回歸參數(shù)的顯著性檢驗和區(qū)間估計舉例：前述某一社區(qū)家庭組成的總體的樣本資料，據(jù)此觀察總體的可支配收入

32、-消費支出關(guān)系，對回歸參數(shù)的檢驗為： = = = =134022nttn1222)()(2212nxxyytt2107425000777. 045900202第二章第二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.5 2.5 回歸參數(shù)的顯著性檢驗和區(qū)間估計回歸參數(shù)的顯著性檢驗和區(qū)間估計于是 和 的標準差的估計值分別是 ： = = =98.41 = = =0.0425 012220)(1)(xxxnVt222)(xxnxtt7425000105365000013402221)()(xxVt7425000134020018. 0第二章第二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.5 2.5 回歸參數(shù)的顯著

33、性檢驗和區(qū)間估計回歸參數(shù)的顯著性檢驗和區(qū)間估計T統(tǒng)計量的計算結(jié)果分別為t1= = =18.29t0= = =-1.048給定一個顯著性水平=0.05，當n-2=8時， ，說明解釋變量家庭可支配收入在95%的置信度下顯著，即通過了變量顯著性檢驗；但 ，表明在95%的置信度下，無法拒絕截距項為零的假設(shè)。)(11V0425. 0777. 0)(00V41.9817.10312,306. 2)8(tt)2(2nt0t)2(2nt第二章第二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.5 2.5 回歸參數(shù)的顯著性檢驗和區(qū)間估計回歸參數(shù)的顯著性檢驗和區(qū)間估計2.5.2 2.5.2 回歸參數(shù)的區(qū)間估計回歸參數(shù)的區(qū)

34、間估計置信區(qū)間：由t1= ，在顯著型水平下，可得 ， 即 。該范圍被稱為 的置信區(qū)間。對 參數(shù)的區(qū)間估計有類似的結(jié)果： 。置信區(qū)間是原假設(shè)的接受域，置信區(qū)間以外的區(qū)域稱作拒絕域或臨界域，置信區(qū)間的端點稱作臨界點。)(111V1)2()2(212nttntP)()2(, )()2(121121VntVnt0)()2(020Vnt1第二章第二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.5 2.5 回歸參數(shù)的顯著性檢驗和區(qū)間估計回歸參數(shù)的顯著性檢驗和區(qū)間估計置信度：1-稱為置信度。置信度和置信區(qū)間的理解給定置信系數(shù)為95%，從長遠看，每100個某種置信區(qū)間中，將有95個包含著真實的1值，不可以說，某個特

35、定的區(qū)間有95%的概率包含著真實的1，因為這個區(qū)間已經(jīng)固定而不再是隨機的了，那么，1要么落入其中，要么落在其外。因此，這個給定的固定區(qū)間包含著真實的1的概率不是1就是0。第二章第二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.6 2.6 回歸方程的顯著性檢驗和擬合優(yōu)度回歸方程的顯著性檢驗和擬合優(yōu)度檢驗回歸方程是為了驗證樣本回歸方程 是否真正反映了變量y與變量x之間的統(tǒng)計規(guī)律性。 2.6.1 2.6.1 相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗1、相關(guān)系數(shù)的定義與性質(zhì)設(shè)（xt，yt）（t=1，2，n）是（x，y）的n組樣本觀測值，則 為x與y樣本相關(guān)系數(shù)。 其中，ttxy10yyxxxyLLLr nt

36、ntnttttyyynyyyL112122)(1)(ntntnttttxnxxx112122)(1)(ntntnttnttttttxyyxnyxyyxxL1111)(1)(xxL第二章第二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.6 2.6 回歸方程的顯著性檢驗和擬合優(yōu)度回歸方程的顯著性檢驗和擬合優(yōu)度相關(guān)系數(shù)相關(guān)性質(zhì)r=-1完全負相關(guān)（線性）r=0不存在線性相關(guān)r=1完全正相關(guān)（線性）0|r|1存在線性相關(guān)關(guān)系r反映了x與y之間線性相關(guān)程度大小。r絕對值的取值范圍在0與1之間，即0|r|1。相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：第二章第二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.6 2.6 回歸方程的顯著性檢驗和擬合優(yōu)

37、度回歸方程的顯著性檢驗和擬合優(yōu)度2、相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗樣本相關(guān)系數(shù)是隨機得到的，是對總體相關(guān)系數(shù)的估計，因此要進行顯著性檢驗。相關(guān)系數(shù)顯著性檢驗的步驟：（1）計算樣本相關(guān)系數(shù)r值。（2）給定顯著性水平，查相關(guān)系數(shù)表的臨界值 。（3）判定：若|r| ，則x與y有顯著的線性關(guān)系；若|r| ，則意味著x與y的線性關(guān)系在統(tǒng)計上不顯著。提醒：這里僅僅判斷的是提醒：這里僅僅判斷的是x x與與y y之間有無線性關(guān)系，即之間有無線性關(guān)系，即使兩者沒有線性關(guān)系，不意味著兩者之間也沒有非線使兩者沒有線性關(guān)系，不意味著兩者之間也沒有非線性關(guān)系。性關(guān)系。rrr第二章第二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.6 2

38、.6 回歸方程的顯著性檢驗和擬合優(yōu)度回歸方程的顯著性檢驗和擬合優(yōu)度相關(guān)系數(shù) r 與回歸系數(shù) 的關(guān)系)()()()()()()()()(222221xVyVrnxxnyyyyxxyyxxxxyyxxttttttttt1 對于同一樣本，檢驗相關(guān)系數(shù)r與回歸系數(shù) 是否顯著是等價的，都可以用于判斷x與y之間有無線性關(guān)系。 1第二章第二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.6 2.6 回歸方程的顯著性檢驗和擬合優(yōu)度回歸方程的顯著性檢驗和擬合優(yōu)度2R2.6.2 2.6.2 擬合優(yōu)度檢驗擬合優(yōu)度檢驗擬合優(yōu)度回歸直線與樣本數(shù)據(jù)趨勢的吻合程度。現(xiàn)實中沒有一條樣本回歸直線可以完全擬合樣本數(shù)據(jù)。對于同一組數(shù)據(jù)，可

39、以擬合出不同的回歸直線。樣本決定系數(shù)或可決系數(shù)擬合優(yōu)度的高低表明了觀測點離回歸直線的遠近，常采用樣本決定系數(shù) 來衡量。第二章第二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.6 2.6 回歸方程的顯著性檢驗和擬合優(yōu)度回歸方程的顯著性檢驗和擬合優(yōu)度1、總離差平方和的分解設(shè)由樣本觀測值（xt，yt）得到的樣本回歸直線為： ，因變量的觀測值可分解成 和 之和： = + ，即： - = - + 對于全部觀測值求平方和，有： +2 因為 =0，所以有：ttxy10ty ttyty ttyyty ytntntntttttyyyyyy111222)()()(ntt12ntttyy1)(ntttyy1)(2211(

40、)()nnttttyyyy21ntt第二章第二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.6 2.6 回歸方程的顯著性檢驗和擬合優(yōu)度回歸方程的顯著性檢驗和擬合優(yōu)度上式可表示為：TSS=ESS+RSS總離差平方和TSS= ，是因變量的觀測值與其均值的離差平方和，成為，反映了因變量波動的大小。回歸平方和ESS= ，是因變量的估計值與其均值的離差平方和，反映了解釋變量的變化所引起的y的波動，是總離差中被y對x的回歸解釋的那部分。殘差平方和 RSS= = ，是因變量的觀測值與估計值之差的平方和，反映了y的變化中不能由解釋變量x所解釋的那部分變差。ntttyy12)(nttyy12)(ntttyy12)(n

41、tt12第二章第二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.6 2.6 回歸方程的顯著性檢驗和擬合優(yōu)度回歸方程的顯著性檢驗和擬合優(yōu)度2、樣本決定系數(shù)的計算樣本決定系數(shù)是ESS與TSS之比，用來反映樣本回歸直線與全部觀測值之間的擬合優(yōu)度。 或 =1- =1-在總離差平方和TSS中，回歸平方和ESS所占比重越大，線性回歸效果越好，即回歸直線與樣本觀測值的擬合優(yōu)度越高。 2R22)()(yyyyTSSESStt2RTSSRSS22)(yytt=第二章第二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.6 2.6 回歸方程的顯著性檢驗和擬合優(yōu)度回歸方程的顯著性檢驗和擬合優(yōu)度樣本決定系數(shù) 的意義它計量了y的總變差

42、中可以歸因于x和y之間關(guān)系的比例，或者說y的變動中可以由x的變動來解釋的比例。它測度了回歸直線對各觀察點擬合緊密程度，說明了樣本回歸直線的解釋能力。 的取值范圍 0 ， 1 2R2R擬合優(yōu)度高擬合優(yōu)度高擬合優(yōu)度低擬合優(yōu)度低第二章第二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.6 2.6 回歸方程的顯著性檢驗和擬合優(yōu)度回歸方程的顯著性檢驗和擬合優(yōu)度 樣本決定系數(shù)和相關(guān)系數(shù)的關(guān)系由 可得又知 、 、 可得因此有 yyxxxyLLLr 22222 ()()()()xyxxyyLxxyyrL Lxxyy222()()ttyyRyyttxy100112()()()tttxxyyyxxx、1()yyxx222

43、22212222()()()()()()()()()tttttttttyyxxxxyyxxRyyyyxxyy22rR第二章第二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.6 2.6 回歸方程的顯著性檢驗和擬合優(yōu)度回歸方程的顯著性檢驗和擬合優(yōu)度舉例：以前面的可支配收入-消費支出為例， = = = =它表明模型的擬合優(yōu)度較高。因為該模型中，家庭可支配收入的離差的部分，解釋了家庭消費支出總離差的97.66%， 2R22)()(yyyyTSSESStt221010)()()(yyxxtt2122)()(yyxxttt9766. 045900207425000777. 02第二章第二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.6 2.6 回歸方程的顯著性檢驗和擬合優(yōu)度回歸方程的顯著性檢驗和擬合優(yōu)度3、F檢驗已知一元線性回歸方程的總變差分解式：TSS=ESS+RSS，即 = + 定義F統(tǒng)計量： F= 當1=0時，F(xiàn)= F（1，n-2）nttyy12)(nttyy12)(ntttyy12)()2(1nRSSESS)2(1nRSSESS第二章第二章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析2.6 2.6 回歸方程的顯著性檢驗和擬合優(yōu)度回歸方程的顯著性檢驗和擬合優(yōu)度變差來源 平方和自由度均方統(tǒng)計量回歸ESS1ESS/1F=殘差R