三重積分的變量代換

1、首頁上頁返回下頁結(jié)束三重積分的變量代換三重積分的變量代換 柱面坐標代換柱面坐標代換 球面坐標代換球面坐標代換三重積分的對稱性三重積分的對稱性首頁上頁返回下頁結(jié)束.),(),(),(),(:)3(; 0),(),(),()2(),(),(),()1(),(),(),(:),(3dwdudvJwvuzwvuywvuxfdxdydzzyxfTwvuzyxwvuJwvuzwvuywvuxxyzuvwwvuzzwvuyywvuxxTRzyxf 是一對一的，則有是一對一的，則有變換變換上雅可比式上雅可比式在在；上具有一階連續(xù)偏導數(shù)上具有一階連續(xù)偏導數(shù)在在，且滿足，且滿足空間中的空間中的變?yōu)樽優(yōu)殚]區(qū)域閉區(qū)域

2、空間中的空間中的將將上連續(xù)，變換上連續(xù)，變換中的有界閉區(qū)域中的有界閉區(qū)域在在設(shè)設(shè)定理定理 一、三重積分的換元法一、三重積分的換元法首頁上頁返回下頁結(jié)束例例1. 求由下面方程表示的曲面所圍立體的體積求由下面方程表示的曲面所圍立體的體積:其中其中,)()()(2233322222111hzcybxazcybxazcybxa . 0:333222111 cbacbacba解解: 令令,333222111zcybxawzcybxavzcybxau 則則 ),(),(wvuzyxJ. 01 2222|1hwvududvdwV.|343h 首頁上頁返回下頁結(jié)束oxyz1. 利用柱坐標計算三重積分利用柱坐標

3、計算三重積分 ,R),(3zyxM設(shè),代替代替用極坐標用極坐標將將 ryx),zr （則則就稱為點M 的柱坐標. zr 200 sinry zz cosrx 直角坐標與柱面坐標的關(guān)系:常數(shù)常數(shù) r坐標面分別為圓柱面常數(shù)半平面常數(shù)z平面oz),(zyxMr)0 ,(yx首頁上頁返回下頁結(jié)束zrrvdddd 因此 zyxzyxfddd),(.ddd),sin,cos( zrrzrrf 適用范圍適用范圍:1) 積分域積分域是圓柱或它在某坐標面上的投影為圓(或一部分) ;2) 被積函數(shù)被積函數(shù)中含有x2+y2(相應(yīng)地, y2+z2, x2+z2)形式. ,1000cossin0sincos,rrrzr

4、J 首頁上頁返回下頁結(jié)束其中為由例例2. 計算三重積分zyxyxzddd22xyx2220),0(, 0yaazz所圍解解: 在柱面坐標系下: cos202drrdcos342032a cos20 r20az 0及平面2axyzozrrvdddd 20d azz0dzrrzddd2 原原式式398a柱面 cos2 r成半圓柱體.首頁上頁返回下頁結(jié)束o oxyz例例3. 計算三重積分解解: 在柱面坐標系下h: hrz42d hrdrhrr2022)4(12 4)41ln()41(4hhhhz hr20 20 hrrr202d120d,1ddd22yxzyxzyx422)0( hhz所圍成 .與平

5、面其中由拋物面42r原式 =zrrvdddd 首頁上頁返回下頁結(jié)束2. 利用球坐標計算三重積分利用球坐標計算三重積分 ,R),(3zyxM設(shè)),(z其柱坐標為就稱為點M 的球坐標.直角坐標與球面坐標的關(guān)系,ZOMMoxyzzr),(r則0200rcossinrx sinsinry cosrz 坐標面分別為常數(shù)r球面常數(shù)半平面常數(shù)錐面, rOM 令),(rMsinrcosrz 首頁上頁返回下頁結(jié)束 dddsind2rrv 因此有 zyxzyxfddd),(.dddsin)cos,sinsin,cossin(2 rrrrrf適用范圍適用范圍:1) 積分域積分域表面是球面或頂點在原點的圓錐面;2)

6、被積函數(shù)被積函數(shù)含 x2+y2+z2 一類式子 . . 0sincoscossinsincossinsinsinsinsincoscossin, rrrrrrJ ,sin2 r 首頁上頁返回下頁結(jié)束例例4. 計算三重積分,)(222zdydxdzyx22yxz為錐面2222Rzyx解解: 在球面坐標系下:zyxzyxddd)(222所圍立體.40Rr 020其中 與球面dddsind2rrv Rrr04d)22(515R40dsin20dxyzo4Rr 首頁上頁返回下頁結(jié)束3. 廣義球坐標變換廣義球坐標變換 直角坐標與廣義球坐標的關(guān)系0200r cossinrax sinsinrby cosr

7、cz , rJ sin2rabc例例13.3.9. 橢球橢球 的體積的體積 .34sin102020abcdrrddabcV 1222222czbyax首頁上頁返回下頁結(jié)束內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)zyxdddzrrddd dddsin2rr積分區(qū)域多由坐標面被積函數(shù)形式簡潔, 或坐標系 體積元素 適用情況直角坐標系柱面坐標系球面坐標系* * 說明說明:三重積分也有類似二重積分的換元積分公式換元積分公式:),(),(wvuzyxJ對應(yīng)雅可比行列式為*ddd),(ddd),(wvuJwvuFzyxzyxf變量可分離.圍成 ;首頁上頁返回下頁結(jié)束二、利用對稱性化簡三重積分計算二、利用對稱性化簡三重積分計算使

8、用對稱性時應(yīng)注意：使用對稱性時應(yīng)注意：.積分區(qū)域關(guān)于坐標面的對稱性；.被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于三個坐標軸的奇偶性.,0),(相應(yīng)地）面對稱相應(yīng)地）面對稱或或（或（或則曲面所圍立體關(guān)于則曲面所圍立體關(guān)于）以偶次方形式出現(xiàn)，）以偶次方形式出現(xiàn)，或或（或（或中中若曲面若曲面xyxzyzzyxzyxF 首頁上頁返回下頁結(jié)束例例利利用用對對稱稱性性簡簡化化計計算算 dxdydzzyxzyxz1)1ln(222222其其中中積積分分區(qū)區(qū)域域1| ),(222 zyxzyx.解解積分域關(guān)于三個坐標面都對稱，積分域關(guān)于三個坐標面都對稱，被積函數(shù)是被積函數(shù)是 的的奇函數(shù)奇函數(shù),z. 01)1ln(222222

9、 dxdydzzyxzyxz首頁上頁返回下頁結(jié)束解解2)(zyx )(2222zxyzxyzyx 其其中中yzxy 是是關(guān)關(guān)于于y的的奇奇函函數(shù)數(shù), 且且 關(guān)關(guān)于于zox面面對對稱稱, 0)(dvyzxy,首頁上頁返回下頁結(jié)束同同理理 zx是是關(guān)關(guān)于于x的的奇奇函函數(shù)數(shù), 且且 關(guān)關(guān)于于yoz面面對對稱稱, 0 xzdv由由對對稱稱性性知知 dvydvx22,則則 dxdydzzyxI2)(,)2(22 dxdydzzx首頁上頁返回下頁結(jié)束在在柱柱面面坐坐標標下下：,20 , 10 r,222rzr , 122 yx投投影影區(qū)區(qū)域域 xyD： 2222222010)cos2(rrdzzrrdr

10、dI).89290(60 首頁上頁返回下頁結(jié)束例例7.求曲面)0()(32222azazyx所圍立體體積.解解: 由曲面方程可知, 立體位于xoy面上部,cos0:3ar 利用對稱性, 所求立體體積為vVdrrad3cos02dcossin32203a331a3cosar ,202020dsin20d4yoz面對稱, 并與xoy面相切, 故在球坐標系下所圍立體為且關(guān)于 xoz dddsind2rrv yzxar首頁上頁返回下頁結(jié)束輪換對稱性輪換對稱性：若積分區(qū)域若積分區(qū)域的表達式中將的表達式中將 x, y, z 依次輪換依次輪換,表達式表達式不變不變,則稱則稱關(guān)于關(guān)于 x, y, z 輪換對稱

11、輪換對稱. 此時有此時有 dvzyxf),( dvxzyf),(.),( dvyxzf例例8. 設(shè)是由平面 x+y+z=1和三個坐標面所圍成的 區(qū)域, 求.)( dvzyxI解解: 由輪換對稱性由輪換對稱性, xdvI3 yxxdzdyxdx1010103首頁上頁返回下頁結(jié)束說明說明：二重積分也有輪換對稱性：二重積分也有輪換對稱性.若積分區(qū)域若積分區(qū)域 D 的表達式中將的表達式中將 x, y 依次輪換依次輪換,表達式不表達式不變變,則稱則稱 D 關(guān)于關(guān)于 x, y 輪換對稱輪換對稱. 此時有此時有.),(),( DDdxyfdyxf 例例9. 設(shè).)()()(, 02abdxdyyfxfbab

12、aDfD 則則連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)證證: 由輪換對稱性由輪換對稱性, Ddxdyyfxf)()( Ddxdyxfyfyfxf)()()()(21.)(2abdxdyD 首頁上頁返回下頁結(jié)束2,zxz1. 將. )(),(Czyxf用三次積分表示,2,0 xx,42, 1yxyvzyxfId),(其中由所提示提示:20 xxy21212 zxI2d),(xzzyxf xy2121d20d x綜合例子綜合例子六個平面圍成 ,:首頁上頁返回下頁結(jié)束zoxy22. 設(shè)由錐面22yxz和球面4222zyx所圍成 , 計算.d)(2vzyxI提示提示:4利用對稱性vzyxd)(222vzxzyyxzyxId)

13、222(222用球坐標 rr d420dsin4020d221564首頁上頁返回下頁結(jié)束3. 計算,ddd12zyxxyI所圍成. 其中 由1,1,12222 yzxzxy分析：分析：若用“先二后一”, 則有zxxyyIyDdd1d201zxxyyyDdd1d210計算較繁! 采用“先一后二”較好.1zxy1o1首頁上頁返回下頁結(jié)束:4528 1122yzx2211xzx11x1zxy1o1xxId1211zxxd2211yyzxd11221, 1,1222yzxzxy由所圍, 故可 表為 解解:首頁上頁返回下頁結(jié)束4. 計算,ddd)sin5(2222zyxyxxyxI其中.4, 1),(2

14、122圍成由zzyxz解解:zyxxIddd2利用對稱性zyxyxddd)(2122yxyxzzDdd)(d212241zrrz2032041ddd21214zxoy1zDzyxyxyxdddsin52220首頁上頁返回下頁結(jié)束思考題思考題則則上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù)為為面對稱的有界閉區(qū)域，面對稱的有界閉區(qū)域，中關(guān)于中關(guān)于為為若若,),(3 zyxfxyR ; 0),(,_),(dvzyxfzyxf為為奇奇函函數(shù)數(shù)時時關(guān)關(guān)于于當當 1),(_),(,_),(dvzyxfdvzyxfzyxf為偶函數(shù)時為偶函數(shù)時關(guān)于關(guān)于當當.1面面上上方方的的部部分分在在為為其其中中xy zz2首頁上頁返回下頁結(jié)

15、束一、一、 填空題填空題: :1 1、 若若 由曲面由曲面和和)(3222yxz 16222 zyx所所圍圍, ,則三重積分則三重積分 dvzyxf),(表示成直角坐標下表示成直角坐標下的三次積分是的三次積分是_; ;在柱面坐標下在柱面坐標下的三次積分是的三次積分是_; ;在球面坐標下在球面坐標下的三次積分是的三次積分是_. .2 2、 若若 由曲面由曲面及及222yxz 22yxz 所圍所圍, ,將將 zdv表為柱面坐標下的三次積分表為柱面坐標下的三次積分_, ,其值為其值為_. .練練 習習 題題首頁上頁返回下頁結(jié)束 3 3、若空間區(qū)域、若空間區(qū)域 為二曲面為二曲面azyx 22及及 22

16、2yxaz 所圍所圍, ,則其體積可表為三重積分則其體積可表為三重積分_; ;或二重積分或二重積分_; ;或柱面坐標下的三次積分或柱面坐標下的三次積分_. . 4 4、若由不等式、若由不等式2222)(aazyx , ,222zyx 所確定所確定, ,將將 zdv表為球面坐標下的三次積分為表為球面坐標下的三次積分為_；其值為；其值為_. .二、計算下列三重積分二、計算下列三重積分: : 1 1、 dvyx)(22, ,其中其中 是由曲面是由曲面 24z)(2522yx 及平面及平面5 z所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域. .首頁上頁返回下頁結(jié)束 2 2、 dvyx)(22, ,其中其中 由不等式由

17、不等式 0,0222 zAzyxa所確定所確定. . 3 3、 dxdydzczbyax)(222222, , 其中其中 1),(222222czbyaxzyx. .三、求曲面三、求曲面225yxz 及及zyx422 所圍成的立所圍成的立體的體積體的體積. .四、曲面四、曲面2224aazyx 將球體將球體azzyx4222 分分成兩部分成兩部分, ,試求兩部分的體積之比試求兩部分的體積之比. .五五、求求由由曲曲面面, 0,22 xayxyxz0, 0 zy 所所圍圍成成立立體體的的重重心心( (設(shè)設(shè)密密度度1 ) ). .首頁上頁返回下頁結(jié)束六、求半徑為六、求半徑為a, ,高為高為h的均勻

18、圓柱體對于過中心而垂的均勻圓柱體對于過中心而垂 直于母線的軸的轉(zhuǎn)動慣量直于母線的軸的轉(zhuǎn)動慣量 ( (設(shè)密度設(shè)密度)1 . .首頁上頁返回下頁結(jié)束一、一、1 1、 22222216)(34422),(yxyxxxdzzyxfdydx )(3164422222222),(yxyxxxdzzyxfdydx, , 21632020),sin,cos(rrdzzrrfrdrd rrdzzrrfrdrd31620202),sin,cos(, , 406020,cossin(rfdd drrrr sin)cos,sinsin2 406520,cossin(rfdd drrrr sin)cos,sinsin2；練習題答案練習題答案首頁上頁返回下頁結(jié)束 2 2、 2221020rrzdzrdrd, ,127