數(shù)的整除知識點總結(jié)

1、數(shù)的整除知識點總結(jié)韋恩圖.數(shù)的分類第一種分法：樹狀圖4 / 4整數(shù)正奇數(shù)正偶數(shù)第二種分法正整數(shù)整數(shù)素數(shù)合數(shù)第三種分法:些關(guān)于數(shù)的結(jié)論1.0是最小的自然數(shù),-1是最大的負整數(shù),1是最小的正整數(shù)2沒有最大的整數(shù)，沒有最小的負整數(shù)，沒有最大的正整數(shù)3正整數(shù)、負整數(shù)、整數(shù)的個數(shù)都是無限的二.整除1整除定義（概念）：整數(shù)a除以整數(shù)b,如果除得的商是整數(shù)而余數(shù)為零，我們就說a能被b整除；或者說b能整除a注意點：一定要看清楚誰被誰整除或誰整除誰，這里的a相當(dāng)于被除數(shù)，b相當(dāng)于除數(shù)2整除的條件：1除數(shù)、被除數(shù)都是整數(shù)2被除數(shù)除以除數(shù)，商是整數(shù)而且余數(shù)為零注意點：區(qū)分整除與除盡：整除是特殊的除盡（如正方形是特殊

2、的長方形一樣），即a能被b整除，則a一定能被b除盡，反之則不一定（即 a能被b除盡，則a不一定能被b 整除）。如4十2=2, 4既能被2除盡，也能被2整除；4十5=0.8, 4能被5除盡，去卩不能說 4 能被 5 整除三因數(shù)與倍數(shù)1因數(shù)與倍數(shù)的定義：整數(shù) a能被整數(shù)b整除，a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的因數(shù)（約 數(shù)）。注意點：1因數(shù)和倍數(shù)是相互依存的，不能簡單的說某個數(shù)是因數(shù)，某個數(shù)是倍數(shù)。如：6十3=2,不能說6是倍數(shù)，3是因數(shù)；要說6是3的倍數(shù)，3是6的因數(shù)。2因數(shù)與倍數(shù)是建立在整除的基礎(chǔ)上的，所以如4十0.2=20 , 一般是不說 4是0.2的倍數(shù)，0.2是4的因數(shù)。2因數(shù)與倍數(shù)的特點：

3、一個整數(shù)的因數(shù)中最小的因數(shù)是1,最大的因數(shù)是它本身。一個數(shù)的倍數(shù)中最小的倍數(shù)是這個數(shù)本身,沒有最大的倍數(shù)。 因數(shù)的個數(shù)是有限的,都能一一列舉出來,倍數(shù)的個數(shù)是無限的。3. 求一個數(shù)因數(shù)的方法： 利用積與因數(shù)的關(guān)系一對一對找, 找出哪兩個數(shù)的乘積等于這個數(shù),那么這兩個數(shù)就是這個數(shù)的因數(shù)。如16=1 X 16=2 X 8=4 X 4,那么16的因數(shù)就有 1、2、4、8、16,計算時一定不要忘了 1 和這個數(shù)本 身都是它的因數(shù),注意按照一定的順序以防遺漏。4. 求一個數(shù)倍數(shù)的方法：這個數(shù)本身分別乘以1、2、3、4、5（即正整數(shù)）得到的積就是這個數(shù)的倍數(shù)。若用 n表示所有的正整數(shù)，則 2的倍數(shù)可表示為

4、 2n, 5的倍數(shù)可表示為 5n四能被 2、 5、 3 整除的數(shù)的特點1. 能被 2整除的數(shù)（即 2的倍數(shù)）個位上的數(shù)字是 0、 2、 4、 6、 8,反之,個位上的數(shù)字是0、 2、 4、 6、 8 的數(shù)也能被 2 整除2. 能被 5 整除的數(shù)（即 5 的倍數(shù)）個位上的數(shù)字是 0、 5,反之,個位上的數(shù)字是 0、 5 的數(shù) 都能被 5 整除3. 能被 3整除的數(shù)（即 3的倍數(shù)）各個位數(shù)上的數(shù)字之和是 3的倍數(shù),反之,各個位數(shù)上的 數(shù)字之和是 3的倍數(shù)的數(shù)都能被 3整除4. 能被 2、 5 同時整除的數(shù)的個位數(shù)字都是0,個位數(shù)字為 0 的數(shù)也能被 10 整除,能被 10整除的數(shù)一定能被 2或 5

5、其中的一個或兩個同時整除。五奇數(shù)、偶數(shù)1. 奇數(shù)與偶數(shù)的定義：能被 2 整除的整數(shù)叫做偶數(shù),不能被 2 整除的整數(shù)叫做奇數(shù)。 （按照 能否被 2 整除來劃分奇數(shù)與偶數(shù)）2. 奇數(shù)個位數(shù)上的數(shù)的特點：1、 3、 5、 7、 9偶數(shù)個位數(shù)上的數(shù)的特點：0、 2、 4、 6、 83. 在連續(xù)的正整數(shù)中（除 1 外）,與奇數(shù)相鄰的兩個數(shù)是偶數(shù),與偶數(shù)相鄰的兩個數(shù)是奇數(shù)4. 相鄰的奇數(shù)或偶數(shù)數(shù)字相差 2,奇數(shù)可用2n-1或2n+1表示，偶數(shù)可用2n表示。5. 奇數(shù)與偶數(shù)加法和乘法的運算特點奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)奇數(shù)X奇數(shù)=奇數(shù)偶數(shù)X偶數(shù)=偶數(shù) 奇數(shù)X偶數(shù)=偶數(shù)利用此結(jié)論可檢驗一

6、些運算是否正確,同時也要注意結(jié)論的逆向運用,如偶數(shù)（奇數(shù)） 可拆成哪些奇數(shù)或偶數(shù)的和、積六 . 素數(shù)、合數(shù)1. 素數(shù)與合數(shù)定義：一個正整數(shù)如果只有1 和它本身兩個因數(shù),這樣的數(shù)叫做素數(shù)（質(zhì)數(shù)） ,如果除了 1 和它本身以外還有別的因數(shù),這樣的數(shù)叫做合數(shù)。注意點： 1.素數(shù)與合數(shù)的分類方法是根據(jù)它們因數(shù)的個數(shù)來分的，素數(shù)只有2 個因數(shù)（ 1 和本身），合數(shù)至少有三個因數(shù)；任何一個數(shù)（除1 外）都有 1 和它本身兩個因數(shù)。2. 1既不是素數(shù)也不是合數(shù)。3最小的素數(shù)是 2，最小的合數(shù)是 42. 素數(shù)與奇數(shù)的聯(lián)系和區(qū)別奇數(shù)不一定都是素數(shù)?！埃?既不是素數(shù)也不是合數(shù)， 9、15等是奇數(shù)但是合數(shù)）所有素數(shù)

7、都是奇數(shù)。X（ 2是素數(shù)，但2是偶數(shù)）3. 合數(shù)與偶數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別合數(shù)不一定都是偶數(shù)。2（9、15等都是合數(shù)，但它們是奇數(shù)）偶數(shù)都是合數(shù)。X（ 2是偶數(shù)但2是素數(shù)）注意 :判斷題對的要說明原因，錯的要舉出反例。七素因數(shù)與分解素因數(shù)1. 素因數(shù)與分解素因數(shù)的定義：每個合數(shù)都可以寫成幾個素數(shù)相乘的形式，其中每個素數(shù)都 是這個合數(shù)的因數(shù)，叫做這個合數(shù)的素因數(shù)。把一個合數(shù)用素因數(shù)相乘的形式表示出來， 叫做分解素因數(shù)。注意： 1.求一個數(shù)的素因數(shù)時，先把這個數(shù)分解素因數(shù)，有幾個素因數(shù)就寫幾個。如24=2 X 2X 2X 3，則素因數(shù)是 2、2、2、3，而不是2、32. 因數(shù)與素因數(shù)的區(qū)別：因數(shù)可以是素數(shù)

8、或合數(shù)，素因數(shù)一定是素數(shù)。一個數(shù)的素因 數(shù)一定是這個數(shù)的因數(shù)，因數(shù)的個數(shù)一定比素因數(shù)的個數(shù)多。2. 分解素因數(shù)的方法樹枝分解法：過程中注意不要漏寫乘號，分解要徹底，直到?jīng)]有合數(shù)出現(xiàn)，也不能出現(xiàn)1.要分解的合數(shù)寫在等號左邊， 把它的素因數(shù)用相乘的形式寫在等號右邊， 再把 這幾個素因數(shù)按從小到大的順序排列。短除法： 1.先用一個能整除這個合數(shù)的素數(shù)去除（通常從最小的開始，偶數(shù)肯定先用2除，奇數(shù)一般從 3 開始一個個帶入驗算）2. 得出的商如果是合數(shù)， 再按照上面的方法繼續(xù)除下去， 直到得出的商是素數(shù)為止。3. 然后把各個除數(shù)和最后的商按從小到大的順序?qū)懗蛇B乘的形式。3. 由一個數(shù)分解素因數(shù)求這個數(shù)

9、的因數(shù)12=2X 2X 3，素因數(shù)是 2、 2、 3，除 1 外由單個的素因數(shù)組成因數(shù)有 2、 3，由兩個素因數(shù) 組成的因數(shù)有2X 2=4,2 X 3=6，由三個素因數(shù)組成的因數(shù)有 2 X 2X 3=12，所以12的因數(shù)有 1 、 2、 3、 4、 6、 12.4. 由一個數(shù)分解素因數(shù)求這個數(shù)因數(shù) 的個數(shù)（1）所有素因數(shù)都相同時，因數(shù)的個數(shù)是它素因數(shù)的個數(shù) +1,如8=2X2X2,素 因數(shù)是 2、2、2，則 8 的因數(shù)的個數(shù)是它素因數(shù)的個數(shù) +1，即 4 個（2）素因數(shù)不完全相同時， 因數(shù)的個數(shù)是每個素因數(shù)個數(shù) +1 后相乘的積，如 12=2 X 2X 3,素因數(shù)2的個數(shù)是2,素因數(shù)3的個數(shù)是

10、1,則12的因數(shù)的個數(shù)是（2+1） X（1+1）=6八.公因數(shù)與最大公因數(shù)1. 公因數(shù)與最大公因數(shù)定義 : 幾個數(shù)公有的因數(shù),叫做這幾個數(shù)的公因數(shù),其 中最大的一個叫做這幾個數(shù)的最大公因數(shù) .2. 互素定義：如果兩個整數(shù)只有公因數(shù) 1,那么稱這兩個數(shù)互素。如 8和 9注意：互素是兩個數(shù)之間,素數(shù)是指一個數(shù),互素的兩個數(shù)的最大公因數(shù)就是1.兩個互素的數(shù)未必都是素數(shù)。v（ 8和9互素，但8和9都是合數(shù)）兩個不同的素數(shù)一定互素2（若缺少“不同的”，則錯，因為3和3都是素數(shù)但不互素）3. 求兩個數(shù)最大公因數(shù)的方法：（1）一般方法：寫出兩個數(shù)所有的因數(shù)，再找出它們共同的最大的因數(shù)（2）分解素因數(shù)的方法：

11、把這兩個數(shù)分解素因數(shù)，再找出相同的素因數(shù)，把它們所有的公有 的素因數(shù)相乘，所得的積就是它們的最大公因數(shù)。（3）短除法：先用這兩個數(shù)公有的素因數(shù)去除（一般從最小的素因數(shù)開始），得出的商如果是合數(shù)， 再按照上面的方法繼續(xù)除下去， 直到兩個數(shù)互素為止， 這兩個數(shù)的最大公因數(shù)就是 左側(cè)的除數(shù)的乘積 .（ 類比用短除法分解素因數(shù)的方法 ）4. 兩個整數(shù)中，如果某個數(shù)是另一個數(shù)的因數(shù)，那么這個數(shù)就是這兩個數(shù)的最大公因數(shù)。 如果這兩個數(shù)互素，那么它們的最大公因數(shù)就是 1.九.公倍數(shù)和最小公倍數(shù)1. 公倍數(shù)與最小公倍數(shù)定義 :幾個整數(shù)公有的倍數(shù)叫做它們的公倍數(shù),其中最小的一個叫做它們的最小公倍數(shù) .2. 求兩

12、個數(shù)最小公倍數(shù)的方法 :（1）一般方法 :從小到大分別依次寫出幾個這兩個數(shù)的倍數(shù),再找出它們共同的最小的倍數(shù)（2）分解素因數(shù)的方法 : 把這兩個數(shù)分解素因數(shù)， 再找出相同的素因數(shù)， 再取各自剩余的素因 數(shù),將這些數(shù)連乘所得的積 ,就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù) .（3）短除法 : 先用這兩個數(shù)公有的素因數(shù)去除（一般從最小的素因數(shù)開始），得出的商如果是合數(shù)， 再按照上面的方法繼續(xù)除下去， 直到兩個數(shù)互素為止， 這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)就是左 側(cè)的除數(shù)與底部商的乘積 .注意點 :1.用短除法求兩個數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)時,過程都相同 ,只是最后寫結(jié)論時注意需要乘哪些數(shù) .2. 求兩個數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù),先判斷這兩個數(shù)是否存在因數(shù) （倍數(shù)）關(guān)系或互素關(guān)系 ,存在因數(shù) （倍數(shù)）關(guān)系時 ,最大公因數(shù)就是較小的那個數(shù),最小公倍數(shù)就是較大的那個數(shù) ;兩數(shù)互素時 ,最大公因數(shù)就是 1,最小公倍數(shù)就是它們的乘積 .3. 兩個整數(shù)的公倍數(shù)一定能被這兩個數(shù)整除.十.求三個整數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)（拓展 ）（1）求三個整數(shù)的最大公因數(shù) :同樣也是三種方法 ,只需找出三個數(shù)共同的因數(shù),最大的因數(shù)就是最大公因數(shù) .（注意與三個數(shù)的最小公倍數(shù)區(qū)分