第3篇第4講定積分的觀點(diǎn)與微積分基本定理.doc

1、第 4 講定積分的概念與微積分基本定理【2014 年高考會這樣考】1考查定積分的概念，定積分的幾何意義，微積分基本定理2利用定積分求曲邊形面積、變力做功、變速運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動路程.對應(yīng)學(xué)生47考點(diǎn)梳理1 定積分(1)定積分的定義及相關(guān)概念如果函數(shù) f(x)在區(qū)間 a，b 上連續(xù)，用分點(diǎn) ax0x1 xi 1xi xnb，將區(qū)間 a， b 等分成 n 個小區(qū)間，在每個小區(qū)間 xi1，xi 上任取一點(diǎn)nnbai(i 1,2， ，n)，作和式 i 1f(i)x i 1 nf(i)，當(dāng) n時，上述和式無b限接近某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間 a，b上的定積分，記作a f(x)dx.b在 af

2、(x)dx 中， a 與 b 分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間 a，b叫做積分區(qū)間， f(x)叫做被積函數(shù)， x 叫做積分變量， f(x)dx 叫做被積式(2)定積分的性質(zhì)bb a kf(x)dx ka f(x)dx(k 為常數(shù) )bbb a f1(x) f2(x)dx af1(x)dxaf2(x)dx.bcb a f(x)dx a f(x)dx c f(x)dx(其中 acb)2 微積分基本定理b如果 f(x)是區(qū)間 a，b上的連續(xù)函數(shù)，并且F(x)f(x)，那么 a f(x)dxF(b)F(a)，這個結(jié)論叫微積分基本定理，又叫牛頓萊布尼茲公式3 定積分的應(yīng)用(1)定積分與曲邊梯形的面積定積

3、分的概念是從曲邊梯形面積引入的，但是定積分并不一定就是曲邊梯形的面積這要結(jié)合具體圖形來定：設(shè)陰影部分面積為S.bS a f(x)dx；bS a f(x)dx；cbS a f(x)dx c f(x)dx；bbbS a f(x)dx a g(x)dx af(x) g(x)dx.(2)勻變速運(yùn)動的路程公式作變速直線運(yùn)動的物體所經(jīng)過的路程s，等于其速度函數(shù)vv(t)(v(t)0)在時間區(qū)間 a，b上的定積分，即bs av(t)dt.【助學(xué) 微博】一個公式由微積分基本定理可知求定積分的關(guān)鍵是求導(dǎo)函數(shù)的原函數(shù)，由此可知，求導(dǎo)與積分是互為逆運(yùn)算兩條結(jié)論(1)當(dāng)對應(yīng)的曲邊梯形位于x 軸上方時，定積分的值為正，

4、當(dāng)對應(yīng)的曲邊梯形位于 x 軸下方時，定積分的值為負(fù)，當(dāng)位于x 軸上方的曲邊梯形與位于x 軸下方的曲邊梯形面積相等時，定積分的值為零(2)當(dāng)定積分在物理中應(yīng)用時，要知道加速度對時間積分為速度，速度對時間積分是路程三條性質(zhì)(1)常數(shù)可提到積分號外；(2)和差的積分等于積分的和差；(3)積分可分段進(jìn)行考點(diǎn)自測1下列積分的值等于 1 的是 ()11 A. 0 xdxB. 0 (x1)dx111C.0 1 dx D. 02dx1解析0l dx xError! 1.答案C12 (2011 福建 )0 (ex 2x)dx 等于 ()A 1Be1CeDe11解析0(ex2x)dxError!10(e1) 1

5、e.答案C3 (2011 湖南 )由直線 x 3， x 3， y0 與曲線 y cosx 所圍成的封閉圖形的面積為 ()13A.2B1C. 2D. 3 解析S 33cos xdx 2 30cos xdxError! 30 3.答案D4 (人教 A 版教材習(xí)題改編 )汽車以 v(3t2)m/s 作變速直線運(yùn)動時，在第 1 s 至第 2 s 間的 1 s 內(nèi)經(jīng)過的路程是 _23327 13解析s 1(3t2)dtError! 21244(2) 102 2 (m)13答案2 m1 2sin x)dx _.5 (2012 江西 )計(jì)算定積分 1(x1x3 cos x解析(3)x2 sin x，122s

6、in x)dxError!1131(x.2答案3對應(yīng)學(xué)生48考向一定積分的計(jì)算【例 1】計(jì)算以下定積分211(1)1 (2x2 x)dx；(2) 0 x22xdx；121|32x|dx.(3)1(xcos x5sin x2)dx；(4)審題視點(diǎn) 求積分關(guān)鍵是求其原函數(shù)，當(dāng)原函數(shù)較難求時，可考慮由其幾何意義解得12解 (1)函數(shù) y 2x2 x的一個原函數(shù)是 y 3x3 ln x，212所以 1 (2x2 x)dx(3x3 ln x)|2116214 3 ln 23 3 ln 2.(2)y x2 2x 1 x1 2? Error!? Error! ? Error!1由圖形可知： 0x22x dx

7、4(3)因?yàn)?yxcos x 5sin x 為奇函數(shù)，1所以 1(xcos x5sin x2)dx Error! 114.22 32 333(4)2221(32x)dx21|32x|dx 1|32x|dx|3 2x|dx(2x3)dx(3xx2)Error! (x2 3x)Error!12.(1)根據(jù)積分的幾何意義可利用面積求積分a(2)若 y f(x)為奇函數(shù)，則 af(x)dx 0.b(3)被積函數(shù)是絕對值函數(shù)或分段函數(shù)，那么可以利用定積分的性質(zhì)a f(x)dxcba f(x)dx c f(x)dx，根據(jù)函數(shù)的定義域，將積分區(qū)間分解為若干部分，代入相應(yīng)的解析式，分別求出積分值，相加即可3【

8、訓(xùn)練 1】 計(jì)算 0 |x2 4|dx()21222325A. 3B. 3C. 3D. 3323解析0|x24|dx 0 (4 x2224)dx(x11234x x3x34xdx(3)Error! (3)Error! 3 .答案C考向二利用定積分求面積【例 2】 ? 求曲線 yx2，直線 yx，y3x 圍成的圖形的面積審題視點(diǎn) 畫出圖形，由圖象交點(diǎn)確定積分區(qū)間，由圖象中曲線間的位置關(guān)系確定被積函數(shù)，然后用積分求面積解 在同一直角坐標(biāo)系下作出曲線 y x2，直線 yx， y 3x 的圖象，所求面積為圖中陰影部分的面積解方程組 Error! 得交點(diǎn) (1,1)，1解方程組 Error! 得交點(diǎn) (

9、3,9)，因此所圍圖形的面積為：S 0 (3x x)3dx 1 (3xx2)dx13 0 2xdx 1(3xx2)dxx2|01 Error! 13(3 321 33) (3 121 13) 13123233.求由兩條曲線圍成的圖形的面積的解題步驟(1)畫出圖形，確定圖形的范圍，通過解方程組求出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)定出積分的上、下限； (2)確定被積函數(shù)，特別要注意分清被積函數(shù)的上、下位置； (3) 寫出平面圖形面積的定積分的表達(dá)式； (4)運(yùn)用微積分基本定理計(jì)算定積分，求出平面圖形的面積【訓(xùn)練 2】 (2013寧波五校聯(lián)考 )由曲線 y2x2，直線 y 4x2，直線 x1圍成的封閉圖形的面積為 _解

10、析聯(lián)立 Error! 解得直線與拋物線的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為x 1，由題意得，由曲線 y2x2，直線 y 4x2，直線 x1 圍成的封閉圖形的面積為：11(2x24x2)dxError! 112216322322 3 .16答案3考向三定積分的應(yīng)用1【例3】 ?一物體做變速直線運(yùn)動，其vt曲線如圖所示，則該物體在2s6s 間的運(yùn)動路程為_審題視點(diǎn) 從題圖上可以看出物體在0 t1 時做加速運(yùn)動，1t3 時做勻速運(yùn)動， 3t 6 時也做加速運(yùn)動，但加速度不同，也就是說一個分段函數(shù)，故應(yīng)分三段求積分才能求出曲邊梯形的面積解析 由題圖可知， v(t) Error!0t 6 時， v(t)為1因此該物體在 2s

11、6 s 間運(yùn)動的路程為：611 1361 t1s 2v(t)dt22tdt 12dt 3(3)dt49 t2Error! 2tError! Error! 36 4 (m) 49答案4 m物體作變速直線運(yùn)動的路程s，等于其速度函數(shù)vv(t)(v(t)0)在b時間區(qū)間 a，b 上的定積分av(t)dt.另外物體作變速直線運(yùn)動的速度v，等于加b速度函數(shù) aa(t)在時間區(qū)間 a，b上的定積分 a a(t)dt.【訓(xùn)練 3】列車以 72 km/h 的速度行駛，當(dāng)制動時列車獲得加速度a 0.4m/s2，則列車應(yīng)在進(jìn)站前多長時間，以及離車站多遠(yuǎn)處開始制動？解a 0.4 m/s2，v0 72 km/h20

12、m/s.設(shè) t s 后的速度為v，則v200.4t.令 v0，即20 0.4t0，得t50.設(shè)列車由開始制動到停止所走過的路程為s，則 s 50vdt 50(200.4t)dt (20t 0.2t2)Error! 2050 0.2 502 500(m)即列車應(yīng)在進(jìn)站前50s 和進(jìn)站前 500m 處制動對應(yīng)學(xué)生50熱點(diǎn)突破 8 定積分模型方法示例【命題研究】定積分及其應(yīng)用是新課標(biāo)的新增內(nèi)容，近三年在高考題中經(jīng)常出現(xiàn)，一般考查定積分的計(jì)算及其在幾何上的應(yīng)用，主要以填空題或選擇題的形式出現(xiàn)，難度較易一、求分段函數(shù) (帶絕對值的函數(shù) )的積分(1)分段函數(shù)在區(qū)間 a，b上的定積分可分成幾段定積分的和的

13、形式(2)分段的標(biāo)準(zhǔn)是使每一段上的函數(shù)表達(dá)式是確定的，一般按照原函數(shù)分段的情況分，無需分得過細(xì)【真題探究 1】 ?(2012上海 )已知函數(shù) yf(x)的圖象是折線段 ABC，其中1A(0,0)、B(2，5)、 C(1,0)函數(shù) yxf(x)(0x 1)的圖象與 x 軸圍成的圖形的面積為 _教你審題 求分段函數(shù)解析式，根據(jù)定積分的幾何意義求圖形面積解法 先求出 yf(x)，再用定積分求面積y f(x) Error! xf(x) Error!5答案 4反思 被積函數(shù)實(shí)際上就是曲邊梯形上邊界的函數(shù)減去下邊界函數(shù)，當(dāng)某一邊界是不同函數(shù)的圖象時要分段去求二、求奇偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的定積分(1)若 f(

14、x)為偶函數(shù)，且在區(qū)間 a，a上連續(xù)，則【真題探究 2】 ?(2012湖北 )已知二次函數(shù) yf(x)的圖象如圖所示，則它與x 軸所圍圖形的面積為 ()243A. 5B.3C.2D.2教你審題 根據(jù)圖形求二次函數(shù)f(x)的解析式，根據(jù)奇偶函數(shù)積分的性質(zhì)求圖形面積解法 根據(jù) f(x)的圖象可設(shè) f(x) a(x 1)(x1)(a0)，由 f(0) 0，得 c0.f (x) 2axb，因過點(diǎn) (1,0)與(0,2)，則有 Error! Error! f(x)x22x，則 f(x)0的圖象與 x軸所圍成的封閉圖形的面積為2Error!02S 2(x2x)dx143(2)3(2)23.答案Ba12x(

15、4若 1(x)dx3ln 2(a1)，則 a 的值是)A 2B3C4D6a2x1解析1(x)dx(x2 ln x)Error! a2 ln a13 ln 2，即 a 2.答案A二、填空題 (每小題 5 分，共 10 分)t5已知 t0，若 0 (2x1)dx 6，則 t_.t解析0(2x1)dx(x2 x)Error! t2t 6，解得 t3(t 2 舍去 )答案36(2012 山東 )設(shè) a0，若曲線 y x與直線 xa，y0 所圍成封閉圖形的面積為 a2，則 a _.a2 34解析S 0xdxError! 0a3a2a2， a9.4答案9三、解答題 (共 25 分)11217f x7(12

16、分)已知 f(x)是一次函數(shù)，且0 f(x)dx5， 0 xf(x)dx 6 ，求 1x dx 的值解 f(x)是一次函數(shù)，可設(shè) f(x) axb(a0)11 1ax2 bx1 0 f(x)dx 0 (axb)dx(2)Error! 2ab.12a b 5.11又 0xf(x)dx 0 x(axb)dx1111ax3 bx2(32)Error! 3a2b.11173a 2b 6 .解得 a4，b3， f(x) 4x3，222f x4x33 x dx 1x4 1dx 1(x)dx (4x3ln x)Error! 43ln 2.8 (13 分)如圖所示，直線ykx 分拋物線 yxx2與 x 軸所圍

17、圖形為面積相等的兩部分，求k 的值解拋物線 y xx2 與 x 軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x10，x21，所以，拋物線與 x 軸所圍圖形的面積11S 0(x x2)dx Error! 016.又拋物線 yxx2 與 ykx 兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x30，x41k，所以，S2 10k(xx2kx)dxError! 10k16(1k)3.11又知 S 6，所以 (1 k)32，3134于是 k 121 2 .B 級能力突破(時間： 30 分鐘滿分：45 分)一、選擇題(每小題5 分，共10 分)1由曲線yx2 2x 與直線yx 所圍成的封閉圖形的面積為()1152A. 6B.3C.6D.3解析在直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫

18、出曲線和直線圍成的封閉圖形，如圖所示，由x22xx，解得兩個交點(diǎn)坐標(biāo)為(1， 1)和 (0,0)，封閉圖形的面積為S01111x(x2 2x)dxError! 01 3 2 6.答案A2(2013 鄭州質(zhì)檢 )如圖所示，在一個邊長為 1 的正方形 AOBC 內(nèi)，曲線 yx2和曲線 y x圍成一個葉形圖 (陰影部分 )，向正方形 AOBC 內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn) (該點(diǎn)落在正方形 AOBC 內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的 )，則所投的點(diǎn)落在葉形圖內(nèi)部的概率是()1111A. 2B.6C.4D.3解析依題意知，題中的正方形區(qū)域的面積為121，陰影區(qū)域的面積等于1110 ( x x2)dx Error! 013，因此所

19、投的點(diǎn)落在葉形圖內(nèi)部的概率等于3，選 D.答案D二、填空題 (每小題 5 分，共 10 分 )3 403已知 f(x)Error! 若 k f(x)dx3 (k2)則 k _.323 40解析k f(x)dx k (2x 1)dx 2(1 x2)dx 3 ，所以得到 k2k0，即 k0或 k 1.答案0 或12mx1n12且 1 f(x)dxm，則 (4設(shè) f(x)x ax 的導(dǎo)函數(shù)為 f(x)2x 16) 展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和為 _2解析因?yàn)?f(x)xnax 的導(dǎo)函數(shù)為 f(x)2x1.故 n2，a1.所以 1 f(x)251mxdx2121(x x)dx Error! 216m 所以 (6) 展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和為51(66)