淺談數(shù)列極限與函數(shù)極限在解題中的區(qū)別和聯(lián)系

1、淺談數(shù)列極限與函數(shù)極限在解題中的區(qū)別和聯(lián)系 摘 要 在數(shù)學(xué)分析中，極限的知識(shí)體系包括數(shù)列極限和函數(shù)極限。在求解數(shù)列極限的方法中，我們從極限的定義出發(fā)，根據(jù)極限的性質(zhì)以及相關(guān)的定理法則，例如單調(diào)有界收斂來(lái)論證極限；在求解函數(shù)極限時(shí)，其方法與數(shù)列極限有著相同之處，同時(shí)又有所區(qū)別。本文重點(diǎn)在于分析數(shù)列極限與函數(shù)極限在解題中的相似之處與不同之處，同時(shí)研究數(shù)列極限與函數(shù)極限的關(guān)系。 關(guān)鍵詞：數(shù)列極限；函數(shù)極限；區(qū)別；聯(lián)系推薦精選目 錄1 數(shù)列極限與函數(shù)極限在解題中的相似之處21.1 定義法在極限解題中的應(yīng)用21.1.1 定義法概述21.1.2 定義法解題實(shí)例分析31.2 迫斂性在極限解題中的應(yīng)用31.2

2、.1 迫斂性概述31.2.2 迫斂性解題實(shí)例分析41.3 積分中值定理在極限解題中的應(yīng)用41.3.1 積分中值定理概述41.3.2 積分中值定理實(shí)例分析51.4 本章小結(jié)62 數(shù)列極限與函數(shù)極限在解題中的不同之處72.1 存在條件不同72.1.1 數(shù)列極限存在條件72.1.2 函數(shù)極限存在條件92.2 特殊形式的極限92.2.1 數(shù)列極限的特殊解法研究92.2.3 兩個(gè)重要形式的函數(shù)極限解法研究123數(shù)列極限與函數(shù)極限的關(guān)系133.1海涅定理133.2海涅定理的應(yīng)用144 結(jié)論15推薦精選1 數(shù)列極限與函數(shù)極限在解題中的相似之處數(shù)列極限與函數(shù)極限在解題過(guò)程中，存在著很多的相似之處。主要表現(xiàn)在數(shù)

3、列極限與函數(shù)極限的解題過(guò)程中，其方法的運(yùn)用方面存在著很多的共同點(diǎn)。下面將重點(diǎn)分析進(jìn)行數(shù)列極限與函數(shù)極限的解題過(guò)程中，定義法以及利用數(shù)列迫斂性在數(shù)列極限與函數(shù)極限中的運(yùn)用。1.1 定義法在極限解題中的應(yīng)用1.1.1 定義法概述 數(shù)列極限的：設(shè)為數(shù)列，為定數(shù)，若對(duì)任給的正數(shù)，總存在正數(shù)N，使得當(dāng)時(shí)，有，則稱數(shù)列收斂于。記作：。否則稱為發(fā)散數(shù)列。函數(shù)極限定義：設(shè)是一個(gè)數(shù)列，是實(shí)數(shù)，如果對(duì)任意給定的，總存在一個(gè)正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，都有，我們就稱是數(shù)列的極限。記為。1.1.2 定義法解題實(shí)例分析例. 求證數(shù)列極限其中。 證：當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立。 當(dāng)時(shí)，記，則，由 得，任給，則當(dāng)時(shí)，就有，即即 當(dāng) 綜上，推薦精

4、選例. 按函數(shù)極限定義證明。解: 令，則讓即可，存在，當(dāng)時(shí)，不等式: 成立，所以。1.2 迫斂性在極限解題中的應(yīng)用1.2.1 迫斂性概述數(shù)列極限迫斂性：設(shè)數(shù)列都以為極限，數(shù)列滿足：存在正數(shù)N，當(dāng)nN時(shí)，有，則數(shù)列收斂，且。函數(shù)極限迫斂性：設(shè)，且在某內(nèi)有，則1.2.2 迫斂性解題實(shí)例分析例.求數(shù)列極限解：記，則 由迫斂性得=。注：迫斂性在求數(shù)列極限中應(yīng)用廣泛，常與其他各種方法綜合使用，起著基礎(chǔ)性的作用。推薦精選例：求函數(shù)極限的極限解： 且 由迫斂性知 注：做此類型題目的關(guān)鍵在于找出大于已知函數(shù)的函數(shù)和小于已知函數(shù)的函數(shù)，并且所找出的兩個(gè)函數(shù)必須要收斂于同一個(gè)極限。1.3 積分中值定理在極限解題中

5、的應(yīng)用1.3.1 積分中值定理概述數(shù)列極限中值定理如下：定理一（費(fèi)馬定理）：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義并且在處可導(dǎo)，如果對(duì)任意的，有（或），那么。定理二（羅爾定理）：如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且,那么在至少存在一點(diǎn),使得。定理三（拉格朗日中值定理）：如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),那么至少存在一點(diǎn)，使得。結(jié)論也可寫成：。 定理四（柯西中值定理）：如果函數(shù)及在閉區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且在內(nèi)每一點(diǎn)處均不為零，那末在內(nèi)至少有一點(diǎn)，使等式成立。函數(shù)極限中值定理：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，將區(qū)間分成個(gè)子區(qū)間在每個(gè)子區(qū)任取一點(diǎn)推薦精選，作和式，當(dāng)時(shí)，(屬于最大的區(qū)間長(zhǎng)度)該和式無(wú)限接

6、近于某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)f(x) 在區(qū)間的定積分。1.3.2 積分中值定理實(shí)例分析例. 求， 解：設(shè)，在應(yīng)用拉格朗日中值定理，得 ，故當(dāng)時(shí)，可知 原式=。例. 求解: 設(shè)，則在內(nèi)連續(xù)，所以， 所以原式1.4 本章小結(jié)以上方法是在高等數(shù)學(xué)里求解極限的重要方法。在做求解極限的題目時(shí)，僅僅掌握以上方法的而不能夠透徹清晰地明白以上各方法所需的條件也是不夠的，必須要細(xì)心分析仔細(xì)甄選，選擇出適當(dāng)?shù)姆椒?。這樣不僅準(zhǔn)確率更高，而且會(huì)省去許多不必要的麻煩，起到事半功倍的效果。這就要求學(xué)習(xí)者要吃透其精髓，明了其道理，體會(huì)出做題的竅門。達(dá)到這樣的境界非一日之功，必須要多做題善于總結(jié)，日積月累，定會(huì)熟能生巧，在

7、做題時(shí)得心應(yīng)手。推薦精選 從上述的介紹中可以看出求極限的方法不拘一格，我們應(yīng)具體問(wèn)題具體分析，不能機(jī)械地用某種方法，對(duì)具體題目要注意觀察，有時(shí)解題可多種方法混合使用，要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用。2 數(shù)列極限與函數(shù)極限在解題中的不同之處 數(shù)列極限與函數(shù)極限在解題過(guò)程中雖然存在有很多相似之處，但也有著很多的不同之處，下面本章主要針對(duì)數(shù)列極限與函數(shù)極限的存在條件不同以及一些特殊的極限解題方式的不同進(jìn)行分析與研究。2.1 存在條件不同2.1.1 數(shù)列極限存在條件定理一（單調(diào)有界定理）：在實(shí)數(shù)系中，有界且單調(diào)數(shù)列必有極限。推薦精選證明：不妨設(shè)單調(diào)遞增有上界，由確界原理有上確界，下面證明。， 一方面，由上確界定義，使

8、得，又由的遞增性得，當(dāng)時(shí)；另一方面，由于是的一個(gè)上界，故對(duì)一切，都有；所以當(dāng)時(shí)有，即，這就證得。同理可證單調(diào)遞減有下界的數(shù)列必有極限，且為它的下確界。例 設(shè)其中，證明數(shù)列收斂。證明：顯然數(shù)列是單調(diào)遞增的，以下證明它有上界。事實(shí)上， 于是由單調(diào)有界定理便知數(shù)列收斂。定量二（柯西收斂準(zhǔn)則）： 單調(diào)有界定理只是數(shù)列收斂的充分條件，下面給出在實(shí)數(shù)集中數(shù)列收斂的充分必要條件柯西收斂準(zhǔn)則。 Cauchy收斂準(zhǔn)則：數(shù)列收斂的充分必要條件是：對(duì)任給的，存在正整數(shù)N，使得當(dāng)時(shí)有；或?qū)θ谓o的，存在正整數(shù)，使得當(dāng)，及任一，有。 說(shuō)明： (1)Cauchy收斂準(zhǔn)則從理論上完全解決了數(shù)列極限的存在性問(wèn)題。 (2)Cau

9、chy收斂準(zhǔn)則的條件稱為Cauchy條件，它反映這樣的事實(shí)：收斂數(shù)列各項(xiàng)的值愈到后面，彼此愈接近，以至于充分后面的任何兩項(xiàng)之差的絕對(duì)值可以小于預(yù)先給定的任意小正數(shù)?；蛘?，形象地說(shuō)，收斂數(shù)列的各項(xiàng)越到后面越是推薦精選“擠”在一起。 (3)Cauchy準(zhǔn)則把定義中與a的之差換成與之差。其好處在于無(wú)需借助數(shù)列以外的數(shù)a，只要根據(jù)數(shù)列本身的特征就可以鑒別其（收）斂（發(fā)）散性。 (4) 數(shù)列發(fā)散的充分必要條件是：存在，對(duì)任意的，都可以找到，使得；存在，對(duì)任意的，都可以找到，及，使得。例 設(shè)，證明數(shù)列收斂。證明：不妨設(shè)，則 對(duì)任給的，存在，對(duì)一切有，由柯西收斂準(zhǔn)則知數(shù)列收斂。2.1.2 函數(shù)極限存在條件

10、定理一（單調(diào)有界定理）：相應(yīng)于數(shù)列極限的單調(diào)有界定理，關(guān)于上述四類單側(cè)極限也有相應(yīng)的定理?，F(xiàn)以這種類型為例敘述如下：設(shè)為定義在上的單調(diào)有界函數(shù)，則右極限存在。注：(1)設(shè)為定義在上的有界函數(shù)。若遞增，則;若遞減，則。(2) 設(shè)為定義在上的遞增函數(shù)，則， 。 定理二（函數(shù)極限的柯西收斂準(zhǔn)則）：設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義。存在的充要條件是：任給，存在正數(shù)，使得對(duì)任何推薦精選有。 注：可以利用柯西準(zhǔn)則證明函數(shù)極限的不存在:設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義。 不存在的充要條件是：存在 ，對(duì)任意正數(shù)，存在， 有。2.2 特殊形式的極限2.2.1 數(shù)列極限的特殊解法研究（1）利用矩陣求解一類數(shù)列的極限 若數(shù)列的遞推公式形如且已知，

11、（為常數(shù)且，）解法：將遞推公式寫成矩陣形式，則有，從而可利用線性代數(shù)知識(shí)求出的表達(dá)式，并進(jìn)一步求出. 若數(shù)列的遞推公式形如且已知，（且，）解法1.令，則， ，從而有 ，整理得，再由（1）可以求解.解法2.設(shè)與關(guān)系式對(duì)應(yīng)的矩陣為，由關(guān)系式逐次遞推，有，其對(duì)應(yīng)的矩陣為，利用數(shù)學(xué)歸納法易證得推薦精選，通過(guò)計(jì)算可求出的表達(dá)式，并進(jìn)一步求出.例.已知斐波那契數(shù)列定義如下： 若令，則且，證明極限存在并求此極限. 解：顯然，相應(yīng)矩陣的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為.令 ，則有.于是 從而，由于，上式右端分子、分母同時(shí)除以，再令，則有.注：求由常系數(shù)線性遞推公式所確定的數(shù)列的極限有很多種方法，矩陣解法只是其一，

12、但與之相關(guān)的論述很少，但卻簡(jiǎn)單實(shí)用。（2）巧用無(wú)窮小數(shù)列求數(shù)列極限引理：數(shù)列收斂于的充要條件是：數(shù)列為無(wú)窮小數(shù)列。注：上述引理說(shuō)明，若，則可作“變量”替換：令，其中是一無(wú)窮小數(shù)列。定理1：若數(shù)列為無(wú)窮小數(shù)列，則數(shù)列也為無(wú)窮小數(shù)列，反之亦成立推薦精選。定理2：若數(shù)列為無(wú)窮小數(shù)列，則數(shù)列也為無(wú)窮小數(shù)列。推論1：設(shè)數(shù)列為無(wú)窮小數(shù)列，則數(shù)列也為無(wú)窮小數(shù)列。例.設(shè)，求極限. 解：由，作“變量”代換，令，其中，是一無(wú)窮小數(shù)列，故=因?yàn)椋允怯薪鐢?shù)列，即，從而結(jié)合上述推論1有， 再根據(jù)定理1，便有又由定理2可知，=.注：利用無(wú)窮小數(shù)列求數(shù)列極限通常在高等數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)分析教材中介紹甚少，但卻是一種很實(shí)用有效的

13、方法用這種方法求某類數(shù)列的極限是極為方便的2.2.3 兩個(gè)重要形式的函數(shù)極限解法研究1. 極限 極限是一個(gè)重要形式函數(shù)極限，其有很多變形方式，對(duì)于一次函數(shù)而言，是上述重要極限的一個(gè)推廣。其推廣方式還有很多，如二次函數(shù)的推廣方式為推薦精選。其推廣的方式雖然很多，但是萬(wàn)變不離其中，對(duì)于這類題型的解答有著自身的規(guī)律。具體見(jiàn)下面的例題。例. 計(jì)算解 2極限 這一函數(shù)極限的推廣方式與上述函數(shù)極限的推廣方式相同。具體例題如下。例. 計(jì)算解 3數(shù)列極限與函數(shù)極限的關(guān)系3.1海涅定理數(shù)列極限與函數(shù)極限是分別獨(dú)立定義的，但是兩者是有聯(lián)系的。海涅定理深刻地揭示了變量變化的整體與部分、連續(xù)與離散之間的關(guān)系。數(shù)列極限

14、與函數(shù)極限其變量不管是離散地變化還是連續(xù)地變化，只要它們的變化趨勢(shì)相同，從極限的意義來(lái)說(shuō)，效果都是一樣的。因此，數(shù)列極限與函數(shù)極限在一定的條件下能相互轉(zhuǎn)化。能夠建立這種聯(lián)系的就是海涅定理。定理一（歸結(jié)原則）：設(shè)在內(nèi)有定義。 存在的充要條件是: 對(duì)任何含于且以為極限的數(shù)列， 極限都存在且相等推薦精選。充分性的證法：只須證明，若對(duì)任意數(shù)列，且，有，則。因?yàn)樵谝阎獥l件中，具有這種性質(zhì)的數(shù)列是任意的(當(dāng)然有無(wú)限多個(gè))，所以從已知條件出發(fā)直接證明其結(jié)論是困難的。這時(shí)可以考慮應(yīng)用反證法。也就是否定結(jié)論，假設(shè)，根據(jù)極限定義的否定敘述，只要能構(gòu)造某一個(gè)數(shù)列，但是，與已知條件相矛盾。于是充分性得到證明。注1 歸

15、結(jié)原則也可簡(jiǎn)述為 對(duì)任何有注2 雖然數(shù)列極限與函數(shù)極限是分別獨(dú)立定義的，但是兩者是有聯(lián)系的。海涅定理深刻地揭示了變量變化的整體與部分、連續(xù)與離散之間的關(guān)系， 從而給數(shù)列極限與函數(shù)極限之間架起了一座可以互相溝通的橋梁。它指出函數(shù)極限可化為數(shù)列極限，反之亦然。在極限論中海涅定理處于重要地位。有了海涅定理之后，有關(guān)函數(shù)極限的定理都可借助已知相應(yīng)的數(shù)列極限的定理予以證明。例如若， 則。證 已知，根據(jù)海涅定理的必要性，對(duì)任意數(shù)列，且，有，。由數(shù)列極限的四則運(yùn)算，對(duì)任意數(shù)列，且，有。再根據(jù)海涅定理的充分性，由。注3 歸結(jié)原則除上述重要的理論意義外， 它還為證明某些函數(shù)極限不存在提供了行之有效的方法:若可找

16、到一個(gè)以為極限的數(shù)列，使不存在，或找到兩個(gè)都以為極限的數(shù)列與，使與都存在而不相等推薦精選，則不存在。3.2海涅定理的應(yīng)用 （1）利用函數(shù)性質(zhì)及海涅定理求數(shù)列的極限求數(shù)列極限時(shí)，有時(shí)，可先求對(duì)應(yīng)的函數(shù)極限，再利用函數(shù)性質(zhì)及海涅定理求出數(shù)列極限。例. 求極限因?yàn)樵谔庍B續(xù)，當(dāng)時(shí)， 由海涅定理知，（2） 判斷函數(shù)在某點(diǎn)的可導(dǎo)性應(yīng)用海涅定理，可求得函數(shù)差、商的極限，從而可判斷函數(shù)在某點(diǎn)的可導(dǎo)性。例 證明函數(shù)（其中為Dirichlet函數(shù)）在原點(diǎn)可導(dǎo)，而在其他點(diǎn)處不可導(dǎo)。證明 因?yàn)?所以f(x)在x=0處可導(dǎo)且. 當(dāng)時(shí)，設(shè)數(shù)列xn是大于且趨于x0的有理數(shù)列 數(shù)列是大于且趨于x0的無(wú)理數(shù)列 當(dāng)x0為無(wú)理數(shù)時(shí)

17、， 因?yàn)?而推薦精選 故由海涅定理可知，f(x)在無(wú)理點(diǎn)x0處不可導(dǎo)，當(dāng)x0為非零有理數(shù)時(shí) 因?yàn)?而 故由海涅定理可知，f(x)在有理點(diǎn)x0處不可導(dǎo)，所以只在原點(diǎn)可導(dǎo)，而在其他點(diǎn)處不可導(dǎo)。4 結(jié)論（1）數(shù)列極限與函數(shù)極限在解題過(guò)程中，存在著很多的相似之處。主要表現(xiàn)在數(shù)列極限與函數(shù)極限的解題過(guò)程中，其方法的運(yùn)用方面存在著很多的共同點(diǎn)。其中定義法、迫斂性以及積分中值定理的應(yīng)用在數(shù)列極限以及函數(shù)極限的解題過(guò)程中存在很多的相似性。（2）數(shù)列極限與函數(shù)極限在解題過(guò)程中，存在著很多的不同之處，如函數(shù)的存在條件存在不同、一些特殊函數(shù)的解法也存在不同。（3）數(shù)列極限與函數(shù)極限其變量不管是離散地變化還是連續(xù)地變化，只要它們的變化趨勢(shì)相同，從極限的意義來(lái)說(shuō)，效果都是一樣的。因此，數(shù)列極限與函數(shù)極限在一定的條件下能相互轉(zhuǎn)化。能夠建立這種聯(lián)系的就是海涅定理。參考文獻(xiàn)1華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編. 數(shù)學(xué)分析