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文檔簡介
1、第十六講棋盤中的數(shù)學(xué)丈腦體操作業(yè)完成情況知識械理1 棋盤中的圖形與面積;2棋盤中的覆蓋問題:(1)概念:用某種形狀的卡片,按一定要求將棋盤覆蓋住,就是棋盤的覆蓋 問題。實(shí)際上,這里并不要求一定是某種棋盤,只要是有關(guān)覆蓋若干行、若干列 的方格網(wǎng)的問題,就是棋盤的覆蓋問題。(2)分類:棋盤的覆蓋問題可以分為三類,二是能不能覆蓋的問題,二是最 多能用多少種圖形覆蓋的問題,三是有多少種不同的覆蓋方法問題。(3)重要結(jié)論:* * *口個格 mx n棋盤能被2X 1骨牌覆蓋的條件是 m n 中至少有一個是偶數(shù). 2 x n的方格棋盤能用形骨牌覆蓋的條件是3 |n.3、棋盤中的象棋問題:所謂棋盤,常見的有中
2、國象棋棋盤(下圖(1),圍棋盤(下圖(2),還有國際象棋棋盤(下圖(3).以這些棋盤為背景而提出的問題統(tǒng)稱為棋盤問題。這里面 與數(shù)學(xué)推理、計(jì)算相關(guān)的棋盤問題,就叫做棋盤中的數(shù)學(xué)問題。解決棋盤中的數(shù)學(xué) 問題所使用的數(shù)學(xué)知識,統(tǒng)稱棋盤中的數(shù)學(xué)。%!%LL0LjLr1ri廠rLJLLjLdrrClL1rK/1rz(2)教學(xué)重-堆點(diǎn)1禾U用卡片覆蓋已知圖形,掌握一是能不能覆蓋的問題,二是最多能用多少種圖形覆蓋的 問題,三是有多少種不同的覆蓋方法問題;2、利用象棋知識尋找路線;趣味引入例1 一種骨牌是由形如 的一黑一白兩個正方形組成,則下圖中哪個棋盤不能用這種骨 牌不重復(fù)地完全覆蓋?(A)3X 4( B
3、)3X 5( C)4 X 4(D)4X 5( E)6X 3i/k%Wr%答案:通過試驗(yàn),很容易看到,應(yīng)選擇答案( B).分析:這類問題,容易更加一般化,即用2X 1的方格骨牌去覆蓋一個 mx n的方格棋盤的問 題.定理1: mx n棋盤能被2 x1骨牌覆蓋的充分且必要的條件是m n中至少有一個是偶數(shù).例2下圖中的8X 8棋盤被剪去左上角與右下角的兩個小方格,問能否用31個2X 1的骨牌將這個剪殘了的棋盤蓋住?!/%協(xié)協(xié)m2X1答案: 我們將殘角棋盤黑、 白相間染色(如圖),62個格中有黑格32個,白格30個另 外,如果用2 X 1骨牌31張恰能蓋住這個殘角棋盤,我們發(fā)現(xiàn),每個骨牌必定蓋住一個黑
4、 格,一個白格,31個骨牌將蓋住31個黑格及31個白格.這與32個黑格數(shù),30個白格數(shù)的 事實(shí)相矛盾所以,無論如何用這31張2X 1的骨牌蓋不住這個殘角棋盤.分析 剛一想,31個2X 1骨牌恰有62個小方格,棋盤去掉兩個角后也是62個格,好像很有可能蓋住但只要簡單一試,便發(fā)現(xiàn)不可能仔細(xì)分析,發(fā)現(xiàn)如果把棋盤格黑、白相間染 色后,2X 1骨牌一次只能蓋住一個黑格與一個白格只要發(fā)現(xiàn)這個基本事實(shí)立即可以找到解答.例3在下圖(1 )、(2)、( 3)、(4)四個圖形中:C1)可以用若干塊工口和壬拼成的圖形是第幾號圖形?答案:圖形(1 )和(2)中各有11個方格,11不是3的倍數(shù),因此不能用這兩種圖形拼成
5、.圖形(s)的右上角只能用Eb來拼.剩下的圖形顯就不能用這兩種圖形來拼.只有圖形(4)可以用這兩種三個方格的圖形來拼,具體拼法有多種,下圖僅舉出一種為例.分析:這道類型題用排除法,排除圖(1)與(2)的方法是很重要的.因?yàn)橐粋€圖形可以用 若干塊匚工I和出蓋住,這個圖形的小方格數(shù)一定是3的倍數(shù).因此, 小方格數(shù)不縣3的倍數(shù)的圖形一定不能用 m 號FH形的血骨牌蓋住, 這是“必要條件排除法”但要注意,一個圖形小方格數(shù)是3的倍數(shù),但是呢也不能保證一定自綁匚匚口與出蓋住.這耒明這個條件并不充分.圖形(3) 表明的就是這種情況.例4 2Xn的方格棋盤能用 出 形骨牌覆蓋的充分且必要的條件3|n答案:證明
6、:充分性;即己知* I求證2 x 11棋盤可被FH骨牌覆蓋.! 1個當(dāng)3 | n時(shí),設(shè)n= 3k,貝U 2 x n = 2X 3k = k (2 x 3)由于兩個1可拼成一個2 X 3小棋盤,這時(shí)2 X 口恰為k個2 X 3組成,所以,蛍3 | n時(shí)2 X n棋盤可以被若干個日二|形蓋住*必要性:即已2Xn棋盤可被日二骨牌覆蓋,求證=3 I nT設(shè)2 X 口棋盤被x個出形覆住.則2x n= 3 x x則 3 | 2門,但(2, 3)= 1 , 3 | n.分析 :Z;,吐茁”十二芯匚一和思考方法.比如,若3 | n且2 | m時(shí),m x n棋盤可分成若干個 2 x n棋盤,而毎個棋盤都能被出形
7、蓋住,因此,m Xn棋盤可被日口形蓋住.例5、這是一個中國象棋盤,(下圖中小方格都是相等的正方形,“界河”的寬等于小正方形邊長).黑方有一個“象”,它只能在1,2, 3, 4, 5, 6, 7位置中的一個,紅方有兩個“相”, 它們只能在8, 9 , 10,11 ,12 ,13 ,14中的兩個位置.i10問:這三個棋子(一個黑“象”和兩個紅“相”)各在什么位置時(shí),以這三個棋子為頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積最大?答案:黑“象”在2或3的位置,兩個紅“相”分別在 10, 12的位置時(shí),以這三個棋子為頂點(diǎn)的三角形(2,10,12)或(3,10,12)的面積最大,如下圖所示.10412分析:我們設(shè)每個小方格的
8、邊長為 1單位.則小方格正方形面積為 1平方單位.由于三個頂 點(diǎn)都在長方形邊上的三角形面積至多為這個長方形面積的一半.所以要比較三角形面積的大小,只要比較三角形的三個頂點(diǎn)所在邊的外接長方形面積的大小就可見端倪.直觀可見,只須比較(3,10,12)或(2,10,12)與(3,10,13)或(2,12,14)這兩類三角形面積 就可以了.頂點(diǎn)為(3, 10, 12)或(2, 10, 12)的三角形面積為1-XSX7=2S.頂點(diǎn)為(3,10,13)或(2,12,14)的三角形面積等于:2 X Z 6=27所以頂點(diǎn)在(2,10,12)或(3,10,12)時(shí)三角形面積最大.“相”例6、如下圖是半張棋盤,請
9、你用兩個車、兩個馬、兩個炮、一個相和一個兵這八個子放在 這半個棋盤上,使得其余未被占據(jù)的點(diǎn)都在這八個點(diǎn)的控制之下(要符合象棋規(guī)則,走田字,只能放在“相”所能到的位置,同樣“兵”也只能放在“兵”所能到的位置馬走 “日”字,“車”走直線,“炮”隔子控制等)LLLLL1廠1r11F/r答案:這仍是一個占位問題, 只需要把指出的幾個子排布成所要求的陣勢即可,如下圖所示.分析:主要考查棋盤中的覆蓋問題:完全覆蓋問題。只要把每個棋的走法掌握該類型題應(yīng)該沒有太大問題。當(dāng)堂練習(xí)A檔1、在4 X 4的正方形中,至少要放多少個形如所示的卡片,才能使得在不重疊的情形下,不能再在正方形中多放一個這樣的卡片?(要求卡片
10、的邊 緣與格線重合)答案與提示:3個。提示:右圖是一種放法。2、能否用9個形如的卡片覆蓋 6 X 6的棋盤?答案與提示:不能。右圖中黑、白格各 18個,每張卡片蓋住的 黑格數(shù)是奇數(shù),9張卡片蓋住的黑格數(shù)之和仍是奇數(shù),不可能 蓋住18個黑格。3、有若干個邊長為1、邊長為2、邊長為3的小正方形,從中選出一些拼成一個邊長為 4的 大正方形,共有多少種不同拼法?(只要選擇的各種小正方形的數(shù)目相同就算相同的拼法) 答案與提示:6種。用小正方形拼成邊長為 4的大正方形有6種情形:(1) 1 個 3X 3, 7 個 1X 1; (2) 1 個 2 X 2, 12 個 1X 1;(3) 2 個 2X 2, 8
11、 個 1X 1; (4) 3 個 2 X 2, 4 個 1 X 1;(5) 4 個 2X 2; (6) 16 個 1X 1。B檔4、要不重疊地剛好覆蓋住一個正方形,最少要用多少個右圖所示的圖形?答案與提示:因?yàn)閳D形由3個小方格構(gòu)成,所以要拼成的正方形內(nèi)所含 的小方格數(shù)應(yīng)是3的倍數(shù),從而正方形的邊長應(yīng)是3的倍數(shù)。經(jīng)試驗(yàn),不可能拼成邊長為 3的正方形。所以拼成的正方形的邊長最少是6 (見右圖),需要用題目所示的圖形36 - 3= 12 (個)。5、下圖的七種圖形都是由 4個相同的小方格組成的。 現(xiàn)在要用這些圖形拼成一個 4X 7的長方形(可以重復(fù)使用某些圖形),那么,最多可以用上幾種不同的圖形?F
12、R rFh rrFI FPnFh rFP rrmE (3)(&)答案與提示:先從簡單的情形開始考慮。顯然,只用1種圖形是可以的,例如用7個(7);用2種圖形也沒問題,例如用 1個(7), 6個(1)。經(jīng)試 驗(yàn),用6種圖形也可以拼成 4 X 7的長方形(見下圖)。能否將7種圖形都用上呢? 7個圖形共有4 X 7=28 (個)小方格,從小 方格的數(shù)量看,如果每種圖形用 1個,那么有可能拼成 4X7的長方形。但 事實(shí)上卻拼不成。為了說明,我們將 4X7的長方形黑、白相間染色(見右圖),圖中黑、白格各有14個。在7種圖形中,除第(2)種外,每種圖形都覆蓋黑、白格各2個,共覆蓋黑、白格各 12個,還剩下
13、黑、白格各2個。第(2)種圖形只能覆蓋3個黑格1個白格或3個白格1個黑格,因此不可能覆蓋住另6種圖形覆蓋后剩下的 2個黑格2個白格。綜上所述,要拼成 4 X 7的長方形,最多能用上 6種圖形。6、用1 X 1 , 2X 2, 3 X 3的小正方形拼成一個 11 X 11的大正方形,最少要用 1 X 1的正方形 多少個?答案與提示:用3個2 X 2正方形和2個3X 3正方形可以拼成 1個5X 6的長方形(見左下 圖)。用4個5X 6的長方形和1個1 X 1的正方形可以拼成 1個11 X 11的大正形(見右下圖)。上面說明用1個1X 1的正方形和若干 2 X 2,3 X 3的正方形可以拼成 11
14、X 11的大正方形。 那么,不用1 X 1的正方形,只用 2 X 2, 3X 3的正方形可以拼成 11X 11的正方形嗎?將11X 11的方格網(wǎng)每隔兩行染黑一行 (見下頁右上圖)。將2X 2或3 X 3的正方形沿格 線放置在任何位置,都將覆蓋住偶數(shù)個白格,所以無論放置多少個2X 2或3X 3的正方形,覆蓋住的白格數(shù)量總是偶數(shù)個。但是,右圖中的白格有11X 7=77 (個),是奇數(shù),矛盾。由此得到,不用1 X 1的正方形不可能拼成 11 X 11的正方形。綜上所述,要拼成11 X 11的正方形,至少要用 1個1X 1的小正方形。7、用七個1X 2的小長方形覆蓋下圖,共有多少種不同的覆蓋方法?答案
15、與提示:盲目無章的試驗(yàn),很難搞清楚。我們采用分類討論的方法。如下圖所示,蓋住A所在的小格只有兩種情況,其中左下圖中兩個小長方形只能如 圖覆蓋,其余部分有4種覆蓋方法:右下圖中三個小長方形只能如圖覆蓋,其余部分有3種覆蓋方法。所以,共有 7種不同覆蓋方法。8、有許多邊長為1厘米、2厘米、3厘米的正方形硬紙片。用這些硬紙片拼成一個長5厘米、寬3厘米的長方形的紙板, 共有多少種不同的拼法?(通過旋轉(zhuǎn)及翻轉(zhuǎn)能相互得到的拼法認(rèn)為是相同的拼法)有兩個邊長2厘米紙片的有如下 4種拼法:有一個邊長2厘米及11個邊長1厘米紙片的有2種拼法,邊長全是 1厘米紙片的有1 種拼法。答:共有10種不同的拼法。C檔9、小
16、明有8張連在一起的電影票(如右圖),他自己要留下4張連在一起的票, 其余的送給別人。他留下的四張票可以有多少種不同情況?答案與提示:25種。4I7IZH形如圖(A) ( B) ( C) ( D)的依次有3,10, 6, 6種。10、有若干個邊長為1、邊長為2、邊長為3的小正方形,從中選出一些拼成一個邊長為4的大正方形,共有多少種不同拼法?(只要選擇的各種小正方形的數(shù)目相同就算相同的拼法) 答案與提示:6種。用小正方形拼成邊長為 4的大正方形有6種情形:(1) 1 個 3X 3, 7 個 1 X 1 ; (2) 1 個 2X 2, 12 個 1X 1 ;(3) 2 個 2X 2, 8 個 1X
17、1 ; ( 4) 3 個 2X 2, 4 個 1 X 1 ;rr24rr2I 23412334ri23441la3411234122341,23(5) 4 個 2X 2; (6) 16 個 1 X 1。11、能不能用9個1X 4的長方形卡片拼成一個 6 X 6的正方形? 答案與提示:不能。用1, 2, 3, 4對6X 6棋盤中的小方格編號(見 右圖)。一個1X 4的矩形一次只能覆蓋 1, 2, 3, 4號各一個,而1 2, 3, 4號數(shù)目不等,分別有 9, 10, 9, 8個。12、一種游戲機(jī)的“方塊”游戲中共有如下頁圖所示的七種圖形,每種圖形都由4個面積為1的小方格組成.現(xiàn)用7個這樣的圖形拼
18、成一個 7X 4的長方形(可以重復(fù)使用某些圖形)那 么,最多可以用上面七種圖形中的幾種?田 cii Eifl答案:要拼成4 X 7的方格,最多能用上七種“方塊”中的 6種圖形13、 由1X 1、2 X 2、3 X 3的小正方形拼成一個 23 X 23的大正方形,在所有可能的拼法中, 利用1X 1的正方形最少個數(shù)是多少?試證明你的結(jié)論.答案:至少要用一個1X 1的小正方形。14、 如下左圖是一個國際象棋棋盤,A處有只螞蟻,螞蟻只能由黑格進(jìn)入白格再由白格進(jìn)入黑格這樣黑白交替地行走,已經(jīng)走過的格子不能第二次進(jìn)入.請問,螞蟻能否從 A出發(fā),經(jīng)過每個格子最后返回到 A處?若能,請你設(shè)計(jì)一種路線,若不能,
19、請你說明理由.%解:這種爬行路線是存在的具體的設(shè)計(jì)一條,如右圖所示.15、下圖是一個圍棋盤, 另有一堆圍棋子,將這堆棋子往棋盤上放,當(dāng)按格點(diǎn)擺成某個正方 陣時(shí),尚多余12枚棋子,如果要將這個正方陣改擺成每邊各加一枚棋子的正方陣,則差9枚棋子才能擺滿.問:這堆棋子原有多少枚?解:第一次排方陣剩余12枚,加上第二次排方陣所不足的9枚,恰是原正方陣擴(kuò)大后“貼邊”的部分(如下圖所示),共21枚,它恰是原正方陣每邊棋子數(shù)與“擴(kuò)陣”每邊棋子數(shù)之 和.恰是兩個相鄰自然數(shù)之和,所以原正方陣每邊10枚棋子,新正方陣每邊11枚棋子.這堆棋子總數(shù)是210 + 12= 112 枚.答:這堆棋子原有112枚.當(dāng)堂檢測1
20、、如下左圖是一個國際象棋棋盤,A處有只螞蟻,螞蟻只能由黑格進(jìn)入白格再由白格進(jìn)入黑格這樣黑白交替地行走,已經(jīng)走過的格子不能第二次進(jìn)入.請問,螞蟻能否從 A出發(fā),經(jīng)過每個格子最后返回到 A處?若能,請你設(shè)計(jì)一種路線,若不能,請你說明理由.A%f/iW1nAi亠見!1 *J L11Aa .1 r;|1答案:這種爬行路線是存在的具體的設(shè)計(jì)一條,如右圖所示。2、在8X 8的方格棋盤中,如下圖所示,填上了一些數(shù)字1, 2, 3, 4.試將這個棋盤分成大小和形狀都相同的四塊,并且每塊中都恰有1、2、3、4四個數(shù)字.21112T433.334422答案:將兩個并列在一起的 “4”分開,先畫出這段劃分線, 并將
21、它分別繞中心旋轉(zhuǎn) 90, 180和270,得到另外三段劃分線,如下圖(1)所示.2111214433334422(1)211121443334422仿照上述方法,畫出所有這樣的劃分線,如上圖(2)所示.(3)XV1243鄉(xiāng)3*/472fA么3),這個分塊中要從最里層開始,沿著畫出的劃分線作設(shè)想分塊,如上圖( 含1,2,3,4各一個,且恰為16塊小方格.將上面的陰影部分繞中心旋轉(zhuǎn)180。,可以得到符合條件的另一塊,空白部分的兩塊也符合條件,所求的劃分如上頁圖(4)所示3、要不重疊地剛好覆蓋住一個正方形,最少要用多少個右圖所示的圖形?答案:84、一種游戲機(jī)的“方塊”游戲中共有如下頁圖所示的七種圖形,每種圖形都由4個面積為1的小方格組成.現(xiàn)用7個這樣的圖形拼成
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