小學(xué)五年級(jí)第16講：棋盤中的數(shù)學(xué)(教師版)

1、第十六講棋盤中的數(shù)學(xué)丈腦體操作業(yè)完成情況知識(shí)械理1 棋盤中的圖形與面積;2棋盤中的覆蓋問題:（1）概念：用某種形狀的卡片，按一定要求將棋盤覆蓋住，就是棋盤的覆蓋 問題。實(shí)際上，這里并不要求一定是某種棋盤，只要是有關(guān)覆蓋若干行、若干列 的方格網(wǎng)的問題，就是棋盤的覆蓋問題。（2）分類：棋盤的覆蓋問題可以分為三類，二是能不能覆蓋的問題，二是最 多能用多少種圖形覆蓋的問題，三是有多少種不同的覆蓋方法問題。（3）重要結(jié)論：* * *口個(gè)格 mx n棋盤能被2X 1骨牌覆蓋的條件是 m n 中至少有一個(gè)是偶數(shù). 2 x n的方格棋盤能用形骨牌覆蓋的條件是3 |n.3、棋盤中的象棋問題：所謂棋盤，常見的有中

2、國象棋棋盤（下圖（1）,圍棋盤（下圖（2）,還有國際象棋棋盤（下圖（3）.以這些棋盤為背景而提出的問題統(tǒng)稱為棋盤問題。這里面 與數(shù)學(xué)推理、計(jì)算相關(guān)的棋盤問題，就叫做棋盤中的數(shù)學(xué)問題。解決棋盤中的數(shù)學(xué) 問題所使用的數(shù)學(xué)知識(shí)，統(tǒng)稱棋盤中的數(shù)學(xué)。%!%LL0LjLr1ri廠rLJLLjLdrrClL1rK/1rz(2)教學(xué)重-堆點(diǎn)1禾U用卡片覆蓋已知圖形，掌握一是能不能覆蓋的問題，二是最多能用多少種圖形覆蓋的 問題，三是有多少種不同的覆蓋方法問題；2、利用象棋知識(shí)尋找路線；趣味引入例1 一種骨牌是由形如 的一黑一白兩個(gè)正方形組成，則下圖中哪個(gè)棋盤不能用這種骨 牌不重復(fù)地完全覆蓋？(A)3X 4( B

3、)3X 5( C)4 X 4(D)4X 5( E)6X 3i/k%Wr%答案：通過試驗(yàn)，很容易看到，應(yīng)選擇答案（ B）.分析：這類問題，容易更加一般化，即用2X 1的方格骨牌去覆蓋一個(gè) mx n的方格棋盤的問 題.定理1: mx n棋盤能被2 x1骨牌覆蓋的充分且必要的條件是m n中至少有一個(gè)是偶數(shù).例2下圖中的8X 8棋盤被剪去左上角與右下角的兩個(gè)小方格，問能否用31個(gè)2X 1的骨牌將這個(gè)剪殘了的棋盤蓋??？!/%協(xié)協(xié)m2X1答案： 我們將殘角棋盤黑、 白相間染色（如圖），62個(gè)格中有黑格32個(gè)，白格30個(gè)另 外，如果用2 X 1骨牌31張恰能蓋住這個(gè)殘角棋盤，我們發(fā)現(xiàn)，每個(gè)骨牌必定蓋住一個(gè)黑

4、 格，一個(gè)白格，31個(gè)骨牌將蓋住31個(gè)黑格及31個(gè)白格.這與32個(gè)黑格數(shù)，30個(gè)白格數(shù)的 事實(shí)相矛盾所以，無論如何用這31張2X 1的骨牌蓋不住這個(gè)殘角棋盤.分析 剛一想，31個(gè)2X 1骨牌恰有62個(gè)小方格，棋盤去掉兩個(gè)角后也是62個(gè)格，好像很有可能蓋住但只要簡單一試，便發(fā)現(xiàn)不可能仔細(xì)分析，發(fā)現(xiàn)如果把棋盤格黑、白相間染 色后，2X 1骨牌一次只能蓋住一個(gè)黑格與一個(gè)白格只要發(fā)現(xiàn)這個(gè)基本事實(shí)立即可以找到解答.例3在下圖（1 ）、（2）、（ 3）、（4）四個(gè)圖形中:C1)可以用若干塊工口和壬拼成的圖形是第幾號(hào)圖形?答案：圖形（1 ）和（2）中各有11個(gè)方格，11不是3的倍數(shù)，因此不能用這兩種圖形拼成

5、.圖形（s）的右上角只能用Eb來拼.剩下的圖形顯就不能用這兩種圖形來拼.只有圖形（4）可以用這兩種三個(gè)方格的圖形來拼，具體拼法有多種，下圖僅舉出一種為例.分析：這道類型題用排除法，排除圖（1）與（2）的方法是很重要的.因?yàn)橐粋€(gè)圖形可以用 若干塊匚工I和出蓋住，這個(gè)圖形的小方格數(shù)一定是3的倍數(shù).因此， 小方格數(shù)不縣3的倍數(shù)的圖形一定不能用 m 號(hào)FH形的血骨牌蓋住, 這是“必要條件排除法”但要注意，一個(gè)圖形小方格數(shù)是3的倍數(shù)，但是呢也不能保證一定自綁匚匚口與出蓋住.這耒明這個(gè)條件并不充分.圖形（3） 表明的就是這種情況.例4 2Xn的方格棋盤能用 出 形骨牌覆蓋的充分且必要的條件3|n答案:證明

6、：充分性；即己知* I求證2 x 11棋盤可被FH骨牌覆蓋.! 1個(gè)當(dāng)3 | n時(shí)，設(shè)n= 3k,貝U 2 x n = 2X 3k = k （2 x 3）由于兩個(gè)1可拼成一個(gè)2 X 3小棋盤，這時(shí)2 X 口恰為k個(gè)2 X 3組成，所以，蛍3 | n時(shí)2 X n棋盤可以被若干個(gè)日二|形蓋住*必要性：即已2Xn棋盤可被日二骨牌覆蓋，求證=3 I nT設(shè)2 X 口棋盤被x個(gè)出形覆住.則2x n= 3 x x則 3 | 2門，但（2, 3）= 1 , 3 | n.分析 ：Z；,吐茁”十二芯匚一和思考方法.比如，若3 | n且2 | m時(shí)，m x n棋盤可分成若干個(gè) 2 x n棋盤，而毎個(gè)棋盤都能被出形

7、蓋住，因此，m Xn棋盤可被日口形蓋住.例5、這是一個(gè)中國象棋盤，（下圖中小方格都是相等的正方形，“界河”的寬等于小正方形邊長）.黑方有一個(gè)“象”,它只能在1,2, 3, 4, 5, 6, 7位置中的一個(gè)，紅方有兩個(gè)“相”, 它們只能在8, 9 , 10,11 ,12 ,13 ,14中的兩個(gè)位置.i10問：這三個(gè)棋子（一個(gè)黑“象”和兩個(gè)紅“相”）各在什么位置時(shí)，以這三個(gè)棋子為頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積最大?答案：黑“象”在2或3的位置，兩個(gè)紅“相”分別在 10, 12的位置時(shí)，以這三個(gè)棋子為頂點(diǎn)的三角形（2，10，12）或（3，10，12）的面積最大，如下圖所示.10412分析：我們?cè)O(shè)每個(gè)小方格的

8、邊長為 1單位.則小方格正方形面積為 1平方單位.由于三個(gè)頂 點(diǎn)都在長方形邊上的三角形面積至多為這個(gè)長方形面積的一半.所以要比較三角形面積的大小，只要比較三角形的三個(gè)頂點(diǎn)所在邊的外接長方形面積的大小就可見端倪.直觀可見，只須比較（3，10，12）或（2，10，12）與（3，10，13）或（2，12，14）這兩類三角形面積 就可以了.頂點(diǎn)為（3, 10, 12）或（2, 10, 12）的三角形面積為1-XSX7=2S.頂點(diǎn)為（3，10，13）或（2，12，14）的三角形面積等于:2 X Z 6=27所以頂點(diǎn)在（2，10，12）或（3，10，12）時(shí)三角形面積最大.“相”例6、如下圖是半張棋盤，請(qǐng)

9、你用兩個(gè)車、兩個(gè)馬、兩個(gè)炮、一個(gè)相和一個(gè)兵這八個(gè)子放在 這半個(gè)棋盤上，使得其余未被占據(jù)的點(diǎn)都在這八個(gè)點(diǎn)的控制之下(要符合象棋規(guī)則，走田字，只能放在“相”所能到的位置，同樣“兵”也只能放在“兵”所能到的位置馬走 “日”字，“車”走直線，“炮”隔子控制等)LLLLL1廠1r11F/r答案：這仍是一個(gè)占位問題， 只需要把指出的幾個(gè)子排布成所要求的陣勢即可，如下圖所示.分析：主要考查棋盤中的覆蓋問題：完全覆蓋問題。只要把每個(gè)棋的走法掌握該類型題應(yīng)該沒有太大問題。當(dāng)堂練習(xí)A檔1、在4 X 4的正方形中，至少要放多少個(gè)形如所示的卡片，才能使得在不重疊的情形下，不能再在正方形中多放一個(gè)這樣的卡片？(要求卡片

10、的邊 緣與格線重合)答案與提示：3個(gè)。提示：右圖是一種放法。2、能否用9個(gè)形如的卡片覆蓋 6 X 6的棋盤？答案與提示：不能。右圖中黑、白格各 18個(gè)，每張卡片蓋住的 黑格數(shù)是奇數(shù)，9張卡片蓋住的黑格數(shù)之和仍是奇數(shù)，不可能 蓋住18個(gè)黑格。3、有若干個(gè)邊長為1、邊長為2、邊長為3的小正方形，從中選出一些拼成一個(gè)邊長為 4的 大正方形，共有多少種不同拼法？(只要選擇的各種小正方形的數(shù)目相同就算相同的拼法) 答案與提示：6種。用小正方形拼成邊長為 4的大正方形有6種情形：(1) 1 個(gè) 3X 3, 7 個(gè) 1X 1； (2) 1 個(gè) 2 X 2, 12 個(gè) 1X 1；(3) 2 個(gè) 2X 2, 8

11、 個(gè) 1X 1； (4) 3 個(gè) 2 X 2, 4 個(gè) 1 X 1；(5) 4 個(gè) 2X 2； (6) 16 個(gè) 1X 1。B檔4、要不重疊地剛好覆蓋住一個(gè)正方形，最少要用多少個(gè)右圖所示的圖形?答案與提示：因?yàn)閳D形由3個(gè)小方格構(gòu)成，所以要拼成的正方形內(nèi)所含 的小方格數(shù)應(yīng)是3的倍數(shù)，從而正方形的邊長應(yīng)是3的倍數(shù)。經(jīng)試驗(yàn)，不可能拼成邊長為 3的正方形。所以拼成的正方形的邊長最少是6 （見右圖），需要用題目所示的圖形36 - 3= 12 （個(gè)）。5、下圖的七種圖形都是由 4個(gè)相同的小方格組成的。 現(xiàn)在要用這些圖形拼成一個(gè) 4X 7的長方形（可以重復(fù)使用某些圖形），那么，最多可以用上幾種不同的圖形？F

12、R rFh rrFI FPnFh rFP rrmE （3）（&）答案與提示：先從簡單的情形開始考慮。顯然，只用1種圖形是可以的，例如用7個(gè)（7）;用2種圖形也沒問題，例如用 1個(gè)（7）, 6個(gè)（1）。經(jīng)試 驗(yàn)，用6種圖形也可以拼成 4 X 7的長方形（見下圖）。能否將7種圖形都用上呢？ 7個(gè)圖形共有4 X 7=28 （個(gè)）小方格，從小 方格的數(shù)量看，如果每種圖形用 1個(gè)，那么有可能拼成 4X7的長方形。但 事實(shí)上卻拼不成。為了說明，我們將 4X7的長方形黑、白相間染色（見右圖），圖中黑、白格各有14個(gè)。在7種圖形中，除第（2）種外，每種圖形都覆蓋黑、白格各2個(gè)，共覆蓋黑、白格各 12個(gè)，還剩下

13、黑、白格各2個(gè)。第（2）種圖形只能覆蓋3個(gè)黑格1個(gè)白格或3個(gè)白格1個(gè)黑格，因此不可能覆蓋住另6種圖形覆蓋后剩下的 2個(gè)黑格2個(gè)白格。綜上所述，要拼成 4 X 7的長方形，最多能用上 6種圖形。6、用1 X 1 , 2X 2, 3 X 3的小正方形拼成一個(gè) 11 X 11的大正方形，最少要用 1 X 1的正方形 多少個(gè)？答案與提示：用3個(gè)2 X 2正方形和2個(gè)3X 3正方形可以拼成 1個(gè)5X 6的長方形（見左下 圖）。用4個(gè)5X 6的長方形和1個(gè)1 X 1的正方形可以拼成 1個(gè)11 X 11的大正形（見右下圖）。上面說明用1個(gè)1X 1的正方形和若干 2 X 2,3 X 3的正方形可以拼成 11

14、X 11的大正方形。 那么，不用1 X 1的正方形，只用 2 X 2, 3X 3的正方形可以拼成 11X 11的正方形嗎？將11X 11的方格網(wǎng)每隔兩行染黑一行 （見下頁右上圖）。將2X 2或3 X 3的正方形沿格 線放置在任何位置，都將覆蓋住偶數(shù)個(gè)白格，所以無論放置多少個(gè)2X 2或3X 3的正方形,覆蓋住的白格數(shù)量總是偶數(shù)個(gè)。但是，右圖中的白格有11X 7=77 （個(gè)），是奇數(shù)，矛盾。由此得到，不用1 X 1的正方形不可能拼成 11 X 11的正方形。綜上所述，要拼成11 X 11的正方形，至少要用 1個(gè)1X 1的小正方形。7、用七個(gè)1X 2的小長方形覆蓋下圖，共有多少種不同的覆蓋方法？答案

15、與提示：盲目無章的試驗(yàn)，很難搞清楚。我們采用分類討論的方法。如下圖所示，蓋住A所在的小格只有兩種情況，其中左下圖中兩個(gè)小長方形只能如 圖覆蓋，其余部分有4種覆蓋方法：右下圖中三個(gè)小長方形只能如圖覆蓋，其余部分有3種覆蓋方法。所以，共有 7種不同覆蓋方法。8、有許多邊長為1厘米、2厘米、3厘米的正方形硬紙片。用這些硬紙片拼成一個(gè)長5厘米、寬3厘米的長方形的紙板， 共有多少種不同的拼法？（通過旋轉(zhuǎn)及翻轉(zhuǎn)能相互得到的拼法認(rèn)為是相同的拼法）有兩個(gè)邊長2厘米紙片的有如下 4種拼法:有一個(gè)邊長2厘米及11個(gè)邊長1厘米紙片的有2種拼法，邊長全是 1厘米紙片的有1 種拼法。答：共有10種不同的拼法。C檔9、小

16、明有8張連在一起的電影票（如右圖），他自己要留下4張連在一起的票, 其余的送給別人。他留下的四張票可以有多少種不同情況？答案與提示：25種。4I7IZH形如圖(A) ( B) ( C) ( D)的依次有3,10, 6, 6種。10、有若干個(gè)邊長為1、邊長為2、邊長為3的小正方形，從中選出一些拼成一個(gè)邊長為4的大正方形，共有多少種不同拼法？(只要選擇的各種小正方形的數(shù)目相同就算相同的拼法) 答案與提示：6種。用小正方形拼成邊長為 4的大正方形有6種情形：(1) 1 個(gè) 3X 3, 7 個(gè) 1 X 1 ； (2) 1 個(gè) 2X 2, 12 個(gè) 1X 1 ；(3) 2 個(gè) 2X 2, 8 個(gè) 1X

17、1 ； ( 4) 3 個(gè) 2X 2, 4 個(gè) 1 X 1 ；rr24rr2I 23412334ri23441la3411234122341,23(5) 4 個(gè) 2X 2; (6) 16 個(gè) 1 X 1。11、能不能用9個(gè)1X 4的長方形卡片拼成一個(gè) 6 X 6的正方形？ 答案與提示：不能。用1, 2, 3, 4對(duì)6X 6棋盤中的小方格編號(hào)(見 右圖)。一個(gè)1X 4的矩形一次只能覆蓋 1, 2, 3, 4號(hào)各一個(gè)，而1 2, 3, 4號(hào)數(shù)目不等，分別有 9, 10, 9, 8個(gè)。12、一種游戲機(jī)的“方塊”游戲中共有如下頁圖所示的七種圖形，每種圖形都由4個(gè)面積為1的小方格組成.現(xiàn)用7個(gè)這樣的圖形拼

18、成一個(gè) 7X 4的長方形(可以重復(fù)使用某些圖形)那 么，最多可以用上面七種圖形中的幾種？田 cii Eifl答案：要拼成4 X 7的方格，最多能用上七種“方塊”中的 6種圖形13、 由1X 1、2 X 2、3 X 3的小正方形拼成一個(gè) 23 X 23的大正方形，在所有可能的拼法中， 利用1X 1的正方形最少個(gè)數(shù)是多少？試證明你的結(jié)論.答案：至少要用一個(gè)1X 1的小正方形。14、 如下左圖是一個(gè)國際象棋棋盤，A處有只螞蟻，螞蟻只能由黑格進(jìn)入白格再由白格進(jìn)入黑格這樣黑白交替地行走，已經(jīng)走過的格子不能第二次進(jìn)入.請(qǐng)問，螞蟻能否從 A出發(fā)，經(jīng)過每個(gè)格子最后返回到 A處？若能，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種路線，若不能，

19、請(qǐng)你說明理由.%解：這種爬行路線是存在的具體的設(shè)計(jì)一條，如右圖所示.15、下圖是一個(gè)圍棋盤， 另有一堆圍棋子，將這堆棋子往棋盤上放，當(dāng)按格點(diǎn)擺成某個(gè)正方 陣時(shí)，尚多余12枚棋子，如果要將這個(gè)正方陣改擺成每邊各加一枚棋子的正方陣，則差9枚棋子才能擺滿.問：這堆棋子原有多少枚?解:第一次排方陣剩余12枚，加上第二次排方陣所不足的9枚，恰是原正方陣擴(kuò)大后“貼邊”的部分（如下圖所示），共21枚，它恰是原正方陣每邊棋子數(shù)與“擴(kuò)陣”每邊棋子數(shù)之 和.恰是兩個(gè)相鄰自然數(shù)之和，所以原正方陣每邊10枚棋子，新正方陣每邊11枚棋子.這堆棋子總數(shù)是210 + 12= 112 枚.答：這堆棋子原有112枚.當(dāng)堂檢測1

20、、如下左圖是一個(gè)國際象棋棋盤，A處有只螞蟻，螞蟻只能由黑格進(jìn)入白格再由白格進(jìn)入黑格這樣黑白交替地行走，已經(jīng)走過的格子不能第二次進(jìn)入.請(qǐng)問，螞蟻能否從 A出發(fā)，經(jīng)過每個(gè)格子最后返回到 A處？若能，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種路線，若不能，請(qǐng)你說明理由.A%f/iW1nAi亠見！1 *J L11Aa .1 r;|1答案：這種爬行路線是存在的具體的設(shè)計(jì)一條，如右圖所示。2、在8X 8的方格棋盤中，如下圖所示，填上了一些數(shù)字1, 2, 3, 4.試將這個(gè)棋盤分成大小和形狀都相同的四塊，并且每塊中都恰有1、2、3、4四個(gè)數(shù)字.21112T433.334422答案：將兩個(gè)并列在一起的 “4”分開，先畫出這段劃分線， 并將

21、它分別繞中心旋轉(zhuǎn) 90, 180和270,得到另外三段劃分線，如下圖（1）所示.2111214433334422(1)211121443334422仿照上述方法，畫出所有這樣的劃分線，如上圖（2）所示.(3)XV1243鄉(xiāng)3*/472fA么3）,這個(gè)分塊中要從最里層開始，沿著畫出的劃分線作設(shè)想分塊，如上圖（ 含1，2，3，4各一個(gè)，且恰為16塊小方格.將上面的陰影部分繞中心旋轉(zhuǎn)180。，可以得到符合條件的另一塊，空白部分的兩塊也符合條件，所求的劃分如上頁圖（4）所示3、要不重疊地剛好覆蓋住一個(gè)正方形，最少要用多少個(gè)右圖所示的圖形？答案：84、一種游戲機(jī)的“方塊”游戲中共有如下頁圖所示的七種圖形，每種圖形都由4個(gè)面積為1的小方格組成.現(xiàn)用7個(gè)這樣的圖形拼成