第七章參數(shù)估計(jì)習(xí)題課

1、第七章 參數(shù)估計(jì)習(xí) 題 課一、重點(diǎn)與難點(diǎn)一、重點(diǎn)與難點(diǎn)三、典型例題三、典型例題二、主要內(nèi)容二、主要內(nèi)容一、重點(diǎn)與難點(diǎn)1.重點(diǎn)重點(diǎn)最大似然估計(jì)最大似然估計(jì).一個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)一個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì).2.難點(diǎn)難點(diǎn)顯著性水平顯著性水平 與置信區(qū)間與置信區(qū)間. 矩估計(jì)量矩估計(jì)量估計(jì)量的評(píng)估計(jì)量的評(píng)選選截尾樣本的最截尾樣本的最大似然估計(jì)大似然估計(jì)截尾壽命截尾壽命試驗(yàn)試驗(yàn)二、主要內(nèi)容最大似然估最大似然估計(jì)量計(jì)量最大似然估計(jì)的性質(zhì)最大似然估計(jì)的性質(zhì)似然函數(shù)似然函數(shù)無(wú)偏性無(wú)偏性正態(tài)總正態(tài)總體均值體均值方差的方差的置信區(qū)置信區(qū)間與上間與上下限下限有效性有效性置信區(qū)間和上下限置信區(qū)間和上下限求置信區(qū)間

2、的求置信區(qū)間的步驟步驟相合性相合性矩估計(jì)量 用樣本矩來(lái)估計(jì)總體矩用樣本矩來(lái)估計(jì)總體矩, ,用樣本矩的連續(xù)用樣本矩的連續(xù)函數(shù)來(lái)估計(jì)總體矩的連續(xù)函數(shù)函數(shù)來(lái)估計(jì)總體矩的連續(xù)函數(shù), ,這種估計(jì)法稱(chēng)這種估計(jì)法稱(chēng)為為矩估計(jì)法矩估計(jì)法.矩估計(jì)法的具體做法矩估計(jì)法的具體做法:, 2, 1,klall 令令,21的方程組的方程組個(gè)未知參數(shù)個(gè)未知參數(shù)這是一個(gè)包含這是一個(gè)包含kk .,21k 解出其中解出其中.,2121量量這個(gè)估計(jì)量稱(chēng)為矩估計(jì)這個(gè)估計(jì)量稱(chēng)為矩估計(jì)估計(jì)量估計(jì)量的的分別作為分別作為用方程組的解用方程組的解kk 最大似然估計(jì)量)(,21 lxxxn選取使似然函數(shù)選取使似然函數(shù)時(shí)時(shí)得到樣本值得到樣本值,的

3、估計(jì)值的估計(jì)值作為未知參數(shù)作為未知參數(shù)取得最大值的取得最大值的 ).;,(max);,(2121 nnxxxlxxxl 即即)(可能的取值范圍可能的取值范圍是是其中其中 ),(,2121nnxxxxxx 記為記為有關(guān)有關(guān)與樣本值與樣本值這樣得到的這樣得到的),(21nxxx , 的最大似然估計(jì)值的最大似然估計(jì)值參數(shù)參數(shù) . 的最大似然估計(jì)量的最大似然估計(jì)量參數(shù)參數(shù) 最大似然估計(jì)的性質(zhì).)()(,)();(, )(, )(的最大似然估計(jì)的最大似然估計(jì)是是則則計(jì)計(jì)的最大似然估的最大似然估中的參數(shù)中的參數(shù)形式已知形式已知的概率密度函數(shù)的概率密度函數(shù)是是又設(shè)又設(shè)數(shù)數(shù)具有單值反函具有單值反函的函數(shù)的函數(shù)

4、設(shè)設(shè) uuufxfxuuuuu 似然函數(shù)屬離散型屬離散型設(shè)總體設(shè)總體 x. 1 ),;();,()(121niinxpxxxll.)(稱(chēng)為樣本似然函數(shù)稱(chēng)為樣本似然函數(shù) l屬連續(xù)型屬連續(xù)型設(shè)總體設(shè)總體 x. 2),;();,()(121 niinxfxxxll.)(稱(chēng)為樣本的似然函數(shù)稱(chēng)為樣本的似然函數(shù) l正態(tài)總體均值方差的置信區(qū)間與上下限 . 1的置信區(qū)間的置信區(qū)間均值均值 單個(gè)正態(tài)總體單個(gè)正態(tài)總體 ,)1(2為已知為已知 1 的置信區(qū)間的置信區(qū)間的一個(gè)置信水平為的一個(gè)置信水平為 .2/ znx ,)2(2為未知為未知 1 的置信區(qū)間的置信區(qū)間的置信水平為的置信水平為 .)1(2/ ntnsx

5、12的置信區(qū)間的置信區(qū)間的置信水平為的置信水平為方差方差 .)1()1(,)1()1(22/1222/2 nsnnsn . 22的置信區(qū)間的置信區(qū)間方差方差 , 未知未知 1的置信區(qū)間的置信區(qū)間的一個(gè)置信水平為的一個(gè)置信水平為標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差 .)1(1,)1(122/122/ nsnnsn . 121的置信區(qū)間的置信區(qū)間兩個(gè)總體均值差兩個(gè)總體均值差 ,)1(2221均為已知均為已知和和 1 21的置信區(qū)間的置信區(qū)間的一個(gè)置信水平為的一個(gè)置信水平為 .2221212/ nnzyx 兩個(gè)正態(tài)總體兩個(gè)正態(tài)總體 ,)2(2221均為未知均為未知和和 1 21的近似置信區(qū)間的近似置信區(qū)間的一個(gè)置信水平為的

6、一個(gè)置信水平為 .2221212/ nsnszyx ,)3(222221為未知為未知但但 1 21的置信區(qū)間的置信區(qū)間的一個(gè)置信水平為的一個(gè)置信水平為 .11)2(21212/ nnsnntyxw .,2)1()1( 2212222112wwwssnnsnsns 其中其中 . 22221的置信區(qū)間的置信區(qū)間兩個(gè)總體方差比兩個(gè)總體方差比 . , 21為未知的情況為未知的情況僅討論總體均值僅討論總體均值 12221的置信區(qū)間的置信區(qū)間的一個(gè)置信水平為的一個(gè)置信水平為 .)1, 1(1,)1, 1(1212/12221212/2221 nnfssnnfss正態(tài)總體均值與方差的單側(cè)置信區(qū)間正態(tài)總體均值

7、與方差的單側(cè)置信區(qū)間,),1( ntnsx 1的置信下限的置信下限的置信水平為的置信水平為 ).1( ntnsx 1的單側(cè)置信區(qū)間的單側(cè)置信區(qū)間的一個(gè)置信水平為的一個(gè)置信水平為 , )( , 2均為未知均為未知方差是方差是的均值是的均值是設(shè)正態(tài)總體設(shè)正態(tài)總體 x 12的單側(cè)置信區(qū)間的單側(cè)置信區(qū)間的一個(gè)置信水平為的一個(gè)置信水平為 ,)1()1(, 0212 nsn 12的單側(cè)置信上限的單側(cè)置信上限的置信水平為的置信水平為 .)1()1(2122 nsn 的置信區(qū)間是的置信區(qū)間是的置信水平為的置信水平為則則為未知參數(shù)為未知參數(shù)其中其中的分布律為的分布律為布的總體布的總體分分它來(lái)自它來(lái)自的大樣本的大

8、樣本設(shè)有一容量設(shè)有一容量 1 , 1, 0,)1();( ,)10(,501ppxpppxfxxnxx,24,2422 aacbbaacbb, 22/ zna 其中其中),2(22/ zxnb .2xnc 分布的置信區(qū)間分布的置信區(qū)間)10( 無(wú)偏性的一個(gè)樣本，的一個(gè)樣本，為總體為總體若若xxxxn,21 ,的分布中的待估參數(shù)的分布中的待估參數(shù)是包含在總體是包含在總體 x )(的取值范圍的取值范圍是是 . ,)( ,)(),(21的無(wú)偏估計(jì)量的無(wú)偏估計(jì)量是是則稱(chēng)則稱(chēng)有有且對(duì)于任意且對(duì)于任意存在存在的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望若估計(jì)量若估計(jì)量 eexxxn有效性 . , ,212121有效有效較較則認(rèn)為

9、則認(rèn)為更密集更密集的附近較的附近較的觀察值在真值的觀察值在真值相同的情況下相同的情況下在樣本容量在樣本容量如果如果和和的兩個(gè)無(wú)偏估計(jì)量的兩個(gè)無(wú)偏估計(jì)量比較參數(shù)比較參數(shù) n 由于方差是隨機(jī)變量取值與其數(shù)學(xué)期望的由于方差是隨機(jī)變量取值與其數(shù)學(xué)期望的偏離程度偏離程度, 所以無(wú)偏估計(jì)以方差小者為好所以無(wú)偏估計(jì)以方差小者為好.),()( ,),(),(212121222111有效有效較較則稱(chēng)則稱(chēng)若有若有的無(wú)偏估計(jì)量的無(wú)偏估計(jì)量都是都是與與設(shè)設(shè) ddxxxxxxnn 相合性. ,),(,),(2121的相合估計(jì)量的相合估計(jì)量為為則稱(chēng)則稱(chēng)依概率收斂于依概率收斂于時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)若對(duì)于任意若對(duì)于任意的估計(jì)量的估計(jì)量為

10、參數(shù)為參數(shù)若若 nnxxxnxxx 置信區(qū)間和置信上限、置信下限,1),(),( ),(),(, 1),(0 ,);(2121212121 nnnnnxxxxxxpxxxxxxxxxxfx滿(mǎn)足滿(mǎn)足和和確定的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量確定的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量若由樣本若由樣本對(duì)于給定值對(duì)于給定值數(shù)數(shù)含有一個(gè)未知參含有一個(gè)未知參的分布函數(shù)的分布函數(shù)設(shè)總體設(shè)總體.1 ,1 ,1),(為置信水平為置信水平上限上限區(qū)間的置信下限和置信區(qū)間的置信下限和置信的雙側(cè)置信的雙側(cè)置信分別稱(chēng)為置信水平為分別稱(chēng)為置信水平為和和區(qū)間區(qū)間的置信的置信的置信水平為的置信水平為是是則稱(chēng)隨機(jī)區(qū)間則稱(chēng)隨機(jī)區(qū)間 單側(cè)置信區(qū)間的定義單側(cè)置信區(qū)間的定義,1,

11、),(, ,1)(0 2121 pxxxxxxnn滿(mǎn)足滿(mǎn)足對(duì)于任意對(duì)于任意確定的統(tǒng)計(jì)量確定的統(tǒng)計(jì)量若由樣本若由樣本對(duì)于給定值對(duì)于給定值.1 ,1) ,(信下限信下限的單側(cè)置的單側(cè)置的置信水平為的置信水平為稱(chēng)為稱(chēng)為側(cè)置信區(qū)間側(cè)置信區(qū)間的單的單的置信水平為的置信水平為是是則稱(chēng)隨機(jī)區(qū)間則稱(chēng)隨機(jī)區(qū)間 ,1 ),( 21 pxxxn滿(mǎn)足滿(mǎn)足意意對(duì)于任對(duì)于任又如果統(tǒng)計(jì)量又如果統(tǒng)計(jì)量.1 , 1 ), (信上限信上限的單側(cè)置的單側(cè)置的置信水平為的置信水平為稱(chēng)為稱(chēng)為側(cè)置信區(qū)間側(cè)置信區(qū)間的單的單的置信水平為的置信水平為是是則稱(chēng)隨機(jī)區(qū)間則稱(chēng)隨機(jī)區(qū)間 求置信區(qū)間的一般步驟. )( ,);,(:, )1(2121 包

12、括包括數(shù)數(shù)且不依賴(lài)于任何未知參且不依賴(lài)于任何未知參的分布已知的分布已知并且并且其中僅包含待估參數(shù)其中僅包含待估參數(shù)的函數(shù)的函數(shù)尋求一個(gè)樣本尋求一個(gè)樣本zxxxzzxxxnn .1);,( ,1 )2(21 bxxxzapban使使定出兩個(gè)常數(shù)定出兩個(gè)常數(shù)對(duì)于給定的置信水平對(duì)于給定的置信水平.1),( ,),(, ),( , );,( )3(212121的置信區(qū)間的置信區(qū)間的一個(gè)置信水平為的一個(gè)置信水平為就是就是那么那么都是統(tǒng)計(jì)量都是統(tǒng)計(jì)量其中其中的不等式的不等式得到等價(jià)得到等價(jià)若能從若能從 nnnxxxxxxbxxxza截尾壽命試驗(yàn)1.定時(shí)截尾壽命試驗(yàn)定時(shí)截尾壽命試驗(yàn). , , , , ,0

13、, , , 0 210210稱(chēng)為定時(shí)截尾樣本稱(chēng)為定時(shí)截尾樣本所得的樣本所得的樣本是一個(gè)隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)變量此時(shí)此時(shí)它們的失效時(shí)間分別為它們的失效時(shí)間分別為個(gè)產(chǎn)品失效個(gè)產(chǎn)品失效如試驗(yàn)截止時(shí)共有如試驗(yàn)截止時(shí)共有停止停止間間截尾時(shí)截尾時(shí)試驗(yàn)進(jìn)行到事先規(guī)定的試驗(yàn)進(jìn)行到事先規(guī)定的同時(shí)投入試驗(yàn)同時(shí)投入試驗(yàn)時(shí)時(shí)個(gè)產(chǎn)品在時(shí)間個(gè)產(chǎn)品在時(shí)間假設(shè)將隨機(jī)抽取的假設(shè)將隨機(jī)抽取的mmtttmttttmttn 2.定數(shù)截尾壽命試驗(yàn)定數(shù)截尾壽命試驗(yàn). , , , , ,0 , ) , ( , 0 2121為定數(shù)截尾樣本為定數(shù)截尾樣本稱(chēng)稱(chēng)所得的樣本所得的樣本個(gè)產(chǎn)品的失效時(shí)間個(gè)產(chǎn)品的失效時(shí)間是第是第這里這里時(shí)間分別為時(shí)間分別為

14、個(gè)產(chǎn)品的失效個(gè)產(chǎn)品的失效產(chǎn)品失效時(shí)停止產(chǎn)品失效時(shí)停止定的定的是事先規(guī)是事先規(guī)個(gè)個(gè)試驗(yàn)進(jìn)行到有試驗(yàn)進(jìn)行到有同時(shí)投入試驗(yàn)同時(shí)投入試驗(yàn)時(shí)時(shí)個(gè)產(chǎn)品在時(shí)間個(gè)產(chǎn)品在時(shí)間假設(shè)將隨機(jī)抽取的假設(shè)將隨機(jī)抽取的mmmtttmttttmnmmmtn 截尾樣本的最大似然估計(jì)1. 定數(shù)截尾樣本的最大似然估計(jì)定數(shù)截尾樣本的最大似然估計(jì)設(shè)有設(shè)有n個(gè)產(chǎn)品投入定數(shù)截尾試驗(yàn)個(gè)產(chǎn)品投入定數(shù)截尾試驗(yàn), 截尾數(shù)為截尾數(shù)為m,得定數(shù)截尾樣本得定數(shù)截尾樣本 ,0 21mttt 取似然函數(shù)為取似然函數(shù)為.e1)()(121mmtmntttml 的最大似然估計(jì)值為的最大似然估計(jì)值為得到得到 .)(mtsm 2. 定時(shí)截尾樣本的最大似然估計(jì)定時(shí)截

15、尾樣本的最大似然估計(jì)設(shè)定時(shí)截尾樣本設(shè)定時(shí)截尾樣本 ,0 021ttttm ) (0是截尾時(shí)間是截尾時(shí)間其中其中t得似然函數(shù)為得似然函數(shù)為.e1)()(1021tmntttmml 的最大似然估計(jì)值為的最大似然估計(jì)值為 .)(0mts 三、典型例題解解. , )10(,21的無(wú)偏估計(jì)量的無(wú)偏估計(jì)量并驗(yàn)證它是達(dá)到方差界并驗(yàn)證它是達(dá)到方差界的最大似然估計(jì)量的最大似然估計(jì)量求參數(shù)求參數(shù)分布的一個(gè)樣本分布的一個(gè)樣本的的是來(lái)自參數(shù)為是來(lái)自參數(shù)為設(shè)設(shè)pppxxxn ,1, 0,)1();(1 xpppxfxx);()(1pxfplnii ,)1(11 niiniixnxpp )(lnpl),1ln(ln11p

16、xnpxniinii 例例1 ppld)(lnd,111pxnpxniinii , 0d)(lnd ppl由由,)1( 11 niiniixnpxp得得 的最大似然估計(jì)值為的最大似然估計(jì)值為故參數(shù)故參數(shù) p,11 niixnp 的最大似然估計(jì)量為的最大似然估計(jì)量為參數(shù)參數(shù) p,11xxnpnii )()(xepe niixne11,)(11pxennii . 的無(wú)偏估計(jì)量的無(wú)偏估計(jì)量是是所以所以pp, 1, 0,)1();( 1 xpppxfxx又因?yàn)橛忠驗(yàn)?,1ln()1(ln);(lnpxpxpxf ppxf);(ln,11pxpx 2);(lnppxfe 1 ,012)1(11xxxpppxpxpppp 221)1()1(1,)1(1pp 都滿(mǎn)足不等式都滿(mǎn)足不等式的任何一個(gè)無(wú)偏估計(jì)量的任何一個(gè)無(wú)偏估計(jì)量的參數(shù)的參數(shù)因?yàn)橐驗(yàn)?),( );( 21nxxxpppxf,)1();(ln)(2nppppxfenpd 的無(wú)偏估計(jì)量的無(wú)偏估計(jì)量對(duì)于參數(shù)對(duì)于參數(shù) p,11 niixnxp niixndpd11)( niixdn12)(1)1(12ppnn ),1(1ppn . 偏估計(jì)量偏估計(jì)量的無(wú)的無(wú)的達(dá)到方差界的達(dá)到方差界是總體分布參數(shù)是總體分布參數(shù)故故pxp 解解?)05. 0( ,0025. 0 ,7 .12 ,16,0.01, , ),( 22 問(wèn)此儀器工作是