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文檔簡介

1、第6章 變分法與邊值問題 通過求解一個相應(yīng)的泛函的極小函數(shù)而得到偏微分方程邊值問題的解，這種理論和方法通常叫作偏微分方程中的變分原理，簡稱變分方法。本章通過求解一類邊值問題和特征值問題簡單介紹該方法的理論及其應(yīng)用。第6章 變分法與邊值問題 6.1 邊值問題與算子方程 6.1.1 薄膜的橫振動與最小位能原理 考慮張在平面有界區(qū)域 上的均勻薄膜在垂直于平面的外力作用下的 微小橫振動，薄膜的邊緣固定在 上。利用微元分析法可得薄膜的總位能為 其中，t 表示張力，f(x,y) 表示外力面密度，u(x,y) 表示薄膜在點 (x,y) 出垂直于平面方向的位移。 由于薄膜邊緣固定, 故 可見, (6.1.1)

2、 是定義在容許函數(shù)類上的泛函。第6章 變分法與邊值問題 類似于5.2.5小節(jié)中對dirichlet原理的討論，可知泛函 （6.1.1）的極小函數(shù)就是poisson方程dirichlet問題 的解；反之邊值問題（6.1.2)的解 u 也是泛函(6.1.1)的極小函數(shù),即 于是,我們可以用變分方法得到邊值問題(6.1.2)的解.值得注意的是, 為了保證極小函數(shù)的存在性,有時必須將容許函數(shù)類擴(kuò)大.此時我們得到的不一定是邊值問題的古典解而是弱解. 第6章 變分法與邊值問題 6.1.2 正算子與算子方程 我們稱滿足等式（au,v)=(av,u) 的算子 a 為對稱算子。 設(shè) a 是定義在 hilbert

3、 空間 h 的某一線性稠密子集 上的線性算子，若對 中的任意元素 u，有 且等號成立當(dāng)且僅當(dāng) u=0, 則稱 a 是正算子。第6章 變分法與邊值問題 應(yīng)用 取 hilbet 空間為第6章 變分法與邊值問題 可以驗證，它們各自對應(yīng)的算子是正算子。對應(yīng)于以上三種問題算子 的定義域分別為第6章 變分法與邊值問題 6.1.3 正定算子 弱解存在性 設(shè) a 是 上的線性算子，若存在常數(shù) 對任意 有 則稱算子 a 是 上的正算子。 在 上引入新內(nèi)積 由此內(nèi)積誘導(dǎo)的新范數(shù)記為第6章 變分法與邊值問題第6章 變分法與邊值問題第6章 變分法與邊值問題 6.2 laplace 算子的特征值問題 本節(jié)考慮如下的laplace 算子特征值問題：第6章 變分法與邊值問題 6.2.1 特征值與特征函數(shù)的存在性第6章 變

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