2021新教材高中數(shù)學課時素養(yǎng)評價二十一隨機事件的獨立性含解析新人教B版必修第二冊

1、課時素養(yǎng)評價 二十一隨機事件的獨立性(15分鐘30分)1.拋擲3枚質地均勻的硬幣,a=既有正面向上又有反面向上,b=至多有一個反面向上,則a與b的關系是()a.互斥事件b.對立事件c.相互獨立事件d.不相互獨立事件【解析】選c.由已知,有p(a)=1-28=34,p(b)=1-48=12,p(ab)=38,滿足p(ab)=p(a)p(b),則事件a與事件b相互獨立.2.從甲口袋內摸出1個白球的概率是13,從乙口袋內摸出1個白球的概率是12,如果從兩個口袋內各摸出一個球,那么56是()a.2個球不都是白球的概率b.2個球都不是白球的概率c.2個球都是白球的概率d.2個球恰好有一個球是白球的概率【

2、解析】選a.因為兩個球不都是白球的對立事件是兩個球都是白球,兩者是相互獨立的,兩個球都是白球的概率p=1213=16,所以兩個球不都是白球的概率是1-16=56.3.甲、乙、丙三人將參加某項測試,他們能達標的概率分別是0.8,0.6,0.5,則三人都達標的概率是_,三人中至少有一人達標的概率是_. 【解析】三人都達標的概率為0.80.60.5=0.24.三人都不達標的概率為(1-0.8)(1-0.6)(1-0.5)=0.20.40.5=0.04,三人中至少有一人達標的概率為1-0.04=0.96.答案:0.240.964.某一部件由四個電子元件按如圖方式連接而成,元件1或元件2正常工作,且元件

3、3或元件4正常工作,則部件正常工作,若四個電子元件的使用壽命超過1 000小時的概率都為12,且各個元件能否正常工作相互獨立,那么該部件的使用壽命超過1 000小時的概率為_.【解析】設事件a為元件1或元件2正常工作,事件b為元件3或元件4正常工作,所以p(a)=1-1212=34,p(b)=1-1212=34,所以該部件的使用壽命超過1 000小時的概率為p(ab)=p(a)p(b)=3434=916.答案:9165.在社會主義新農(nóng)村建設中,某市決定在一個鄉(xiāng)鎮(zhèn)投資農(nóng)產(chǎn)品加工、綠色蔬菜種植和水果種植三個項目,據(jù)預測,三個項目成功的概率分別為45,56,23,且三個項目是否成功互相獨立.(1)求

4、恰有兩個項目成功的概率;(2)求至少有一個項目成功的概率.【解析】(1)只有農(nóng)產(chǎn)品加工和綠色蔬菜種植兩個項目成功的概率為45561-23=29,只有農(nóng)產(chǎn)品加工和水果種植兩個項目成功的概率為451-5623=445,只有綠色蔬菜種植和水果種植兩個項目成功的概率為1-455623=19,所以恰有兩個項目成功的概率為29+445+19=1945.(2)三個項目全部失敗的概率為1-451-561-23=190,所以至少有一個項目成功的概率為1-190=8990.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.五一放假,甲、乙、丙去廈門旅游的概率分別是13,14,15,假定三人的行動相互之間沒有

5、影響,那么這段時間內至少有1人去廈門旅游的概率為()a.5960b.35c.12d.160【解析】選b.記事件a:至少有1人去廈門旅游,其對立事件為a:三人都不去廈門旅游,由獨立事件的概率公式可得pa=1-131-141-15=25,由對立事件的概率公式可得pa=1-pa=1-25=35.【補償訓練】設每個工作日甲、乙、丙3人需使用某種設備的概率分別為0.2,0.5,0.6,若各人是否需使用該設備相互獨立,則同一工作日中至少有1人需使用該設備的概率為()a.0.84b.0.16c.0.94d.0.34【解析】選a.所求概率為p=1-1-0.21-0.51-0.6=0.84.2.甲、乙、丙三名學

6、生用計算機聯(lián)網(wǎng)學習數(shù)學,每天上課后獨立完成6道自我檢測題,甲及格的概率為45,乙及格的概率為35,丙及格的概率為710,三人各答一次,則三人中只有一人及格的概率為()a.320b.42135c.47250d.以上都不對【解析】選c.因為甲及格的概率為45,乙及格的概率為35,丙及格的概率為710,所以僅甲及格的概率為451-351-710=24250;僅乙及格的概率為1-45351-710=9250;僅丙及格的概率為1-451-35710=14250,所以三人中只有一人及格的概率為:24250+9250+14250=47250.3.在荷花池中,有一只青蛙在如圖成品字形的三片荷葉上跳來跳去(每次

7、跳躍時,均從一葉跳到另一葉),而且逆時針方向跳的概率是順時針方向跳的概率的兩倍,如圖所示.假設現(xiàn)在青蛙在a葉上,則跳三次之后停在a葉上的概率是()a.13b.29c.49d.827【解析】選a.青蛙跳三次要回到a只有兩條途徑:第一條:按abca,p1=232323=827;第二條,按acba,p2=131313=127.所以跳三次之后停在a葉上的概率為p=p1+p2=827+127=13.4.甲、乙兩名同學參加2021年高考,根據(jù)高三年級一年來的各種大、中、小型數(shù)學模擬考試總結出來的數(shù)據(jù)顯示,甲、乙兩人能考140分以上的概率分別為12和45,甲、乙兩人是否考140分以上相互獨立,則預估這兩個人

8、在2021年高考中恰有一人數(shù)學考140 分以上的概率為() a.12b.23c.34d.13【解析】選a.因為這兩個人在2021年高考中恰有一人數(shù)學考140分以上的概率為甲考140分以上乙未考到140分以上的事件概率與乙考140分以上甲未考到140分以上的事件概率的和,而甲考140分以上乙未考到140分以上的事件概率為121-45,乙考140 分以上甲未考到140 分以上的事件概率為1-1245,因此,所求概率為121-45+1-1245=510=12.二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)5.設m,n為兩個隨機事件,給出以下命題:a.若pm=1

9、2,pn=13,pmn=16,則m,n為相互獨立事件b.若pm=12,pn=13,pmn=16,則m,n為相互獨立事件c.若pm=12,pn=13,pmn=16,則m,n為相互獨立事件d.若pm=12,pn=13,pm n=56,則m,n為相互獨立事件其中正確命題為()【解析】選abd.若pm=12,pn=13,pmn=16.則由相互獨立事件乘法公式知m,n為相互獨立事件,故a正確;若pm=12,pn=13,pmn=16,則pm=1-pm=12,pmn=pmpn,由對立事件概率計算公式和相互獨立事件乘法公式知m,n為相互獨立事件,故b正確;若pm=12,pn=13,pmn=16 ,當m,n為相

10、互獨立事件時,pn=1-pn=23,pmn=1223=13,故c錯誤;若pm=12,pn=13,pm n=56,則pmn=pmpn=16,pm n=1-pmn=56,由對立事件概率計算公式和相互獨立事件乘法公式知m,n為相互獨立事件,故d正確.6.擲一枚骰子一次,設事件a:“出現(xiàn)偶數(shù)點”,事件b:“出現(xiàn)3點或6點”,則事件a,b的關系是()a.互斥b.相互獨立c.不互斥d.不相互獨立【解析】選bc.事件a=2,4,6,事件b=3,6,事件ab=6,基本事件空間=1,2,3,4,5,6,所以pa=36=12,pb=26=13,pab=16=1213,即pab=papb,因此,事件a與b相互獨立.

11、當“出現(xiàn)6點”時,事件a,b同時發(fā)生,所以a,b不是互斥事件.三、填空題(每小題5分,共10分)7.某自助銀行共有a,b,c三臺atm機,在某段時間內,這三臺atm機被占用的概率分別為13,14,15,若一位顧客到自助銀行使用atm機,則其不需要等待的概率為_.【解析】設事件a,b,c分別為“atm機a,b,c被占用”,則p(a)=13,p(b)=14,p(c)=15.記事件d:“顧客不需要等待”,則d為“顧客需要等待”,所以p(d)=p(abc)=p(a)p(b)p(c)=131415=160,于是p(d)=1-p(d)=1-160=5960.答案:5960【補償訓練】甲、乙、丙射擊命中目標

12、的概率分別為15,14,13,現(xiàn)在三人同時射擊目標,且相互不影響,則目標被擊中的概率為_.【解析】目標被擊中的概率等于1減去甲、乙、丙三人都沒有擊中目標的概率,故目標被擊中的概率是1-1-151-141-13=35.答案:358.在三角形abc中,一機器人從三角形abc上的一個頂點移動到另一個頂點(規(guī)定:每次只能從一個頂點移動到另一個頂點),而且按逆時針方向移動的概率為順時針方向移動的概率的3倍,假設現(xiàn)在機器人的初始位置為頂點a處,則通過三次移動后返回到a處的概率為_.【解析】設順時針方向移動的概率為p,則逆時針方向移動的概率為3p,所以3p+p=1p=14,所以順時針方向移動的概率為14,則

13、逆時針方向移動的概率為34,初始位置為頂點a處,則通過三次移動后返回到a處,共有兩種情況:三次都逆時針的概率為343=2764,三次都順時針方向移動的概率為143=164,所以通過三次移動后返回到a處的概率為27+164=716.答案:716【補償訓練】本著健康、低碳的生活理念,租自行車騎游的人越來越多,某自行車租車點的收費標準是每車每次租車時間不超過兩小時免費,超過兩小時的部分每小時收費2元(不足1小時的部分按1小時計算),有甲、乙兩人相互獨立來該租車點租車騎游(各租一車一次).設甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為14,12,兩小時以上且不超過三小時還車的概率分別是12,14,兩人租車時間都

14、不會超過四小時.求甲、乙兩人所付的租車費用相同的概率為_.【解析】由題意可知,甲、乙在三小時以上且不超過四個小時還車的概率分別為14,14,設甲、乙兩人所付的租車費用相同為事件a,則p(a)=1412+1214+1414=516.所以甲、乙兩人所付的租車費用相同的概率為516.答案:516四、解答題(每小題10分,共20分)9.眉山市位于四川西南,有“千載詩書城,人文第一州”的美譽,這里是大文豪蘇軾、蘇洵、蘇轍的故鄉(xiāng),也是人們旅游的好地方.在國慶黃金周,為了豐富游客的文化生活,每天在東坡故里三蘇祠舉行“三蘇文化”知識競賽.已知甲、乙兩隊參賽,每隊3人,每人回答一個問題,答對者為本隊贏得一分,答

15、錯得零分.假設甲隊中每人答對的概率均為23,乙隊中3人答對的概率分別為23,23,12,且各人回答正確與否相互之間沒有影響.(1)分別求甲隊總得分為0分、2分的概率;(2)求甲隊得2分乙隊得1分的概率.【解析】(1)記“甲隊總得分為0分”為事件a,“甲隊總得分為2分”為事件b,甲隊總得分為0分,即甲隊三人都回答錯誤,其概率pa=1-233=127;甲隊總得分為2分,即甲隊三人中有1人答錯,其余兩人答對,其概率pb=32321-23=49.(2)記“乙隊得1分”為事件c,“甲隊得2分乙隊得1分”為事件d.事件c即乙隊三人中有2人答錯,1人答對,pc=1-23231-12+231-231-12+1

16、-231-2312=518.甲隊得2分乙隊得1分即事件b,c同時發(fā)生,則pd=pbpc=49518=1081.10.在2019年女排世界杯中,中國女子排球隊以11連勝的優(yōu)異戰(zhàn)績成功奪冠,為祖國母親七十華誕獻上了一份厚禮.排球比賽采用5局3勝制,前4局比賽采用25分制,每個隊只有贏得至少25分,并同時超過對方2分時,才勝1局;在決勝局(第五局)采用15分制,每個隊只有贏得至少15分,并領先對方2分為勝.在每局比賽中,發(fā)球方贏得此球后可得1分,并獲得下一球的發(fā)球權,否則交換發(fā)球權,并且對方得1分.現(xiàn)有甲、乙兩隊進行排球比賽:(1)若前三局比賽中甲已經(jīng)贏兩局,乙贏一局.接下來兩隊贏得每局比賽的概率均

17、為12,求甲隊最后贏得整場比賽的概率;(2)若前四局比賽中甲、乙兩隊已經(jīng)各贏兩局比賽.在決勝局(第五局)中,兩隊當前的得分為甲、乙各14分,且甲已獲得下一發(fā)球權.若甲發(fā)球時甲得1分的概率為25,乙發(fā)球時甲得1分的概率為35,得分者獲得下一個球的發(fā)球權.設兩隊打了x(x4)個球后甲贏得整場比賽,求x的取值及相應的概率p(x).【解析】(1)甲隊最后贏得整場比賽的情況為第四局贏或第四局輸?shù)谖寰众A,所以甲隊最后贏得整場比賽的概率為12+1212=34.(2)根據(jù)比賽規(guī)則,x的取值只能為2或4,對應比分為1614,1715.兩隊打了2個球后甲贏得整場比賽,即打第一個球甲發(fā)球甲得分,打第二個球甲發(fā)球甲得

18、分,此時概率為p(2)=2525=425;兩隊打了4個球后甲贏得整場比賽,即打第一個球甲發(fā)球甲得分,打第二個球甲發(fā)球甲失分,打第三個球乙發(fā)球甲得分,打第四個球甲發(fā)球甲得分;或打第一個球甲發(fā)球甲失分,打第二個球乙發(fā)球甲得分,打第三個球甲發(fā)球甲得分,打第四個球甲發(fā)球甲得分,此時概率為p(4)=25353525+35352525=72625.為了促進學生的全面發(fā)展,某市教育局要求本市所有學校重視社團文化建設,該市某中學的某新生想通過考核選拔進入該校的“電影社”和“心理社”,已知該同學通過考核選拔進入這兩個社團成功與否相互獨立,根據(jù)報名情況和他本人的才藝能力,兩個社團都能進入的概率為124,至少進入一

19、個社團的概率為38,并且進入“電影社”的概率小于進入“心理社”的概率.(1)求該同學分別通過選拔進入“電影社”的概率p1和進入心理社的概率p2;(2)學校根據(jù)這兩個社團的活動安排情況,對進入“電影社”的同學增加1個校本選修課學分,對進入“心理社”的同學增加0.5個校本選修課學分.求該同學在社團方面獲得校本選修課學分分數(shù)不低于1分的概率.【思路導引】(1)利用相互獨立事件概率乘法公式和對立事件概率計算公式列出方程組,即能求出結果.(2)利用獨立事件的概率乘法公式分別求得分數(shù)為1和1.5時的概率,再利用互斥事件概率計算公式求得結果.【解析】(1)根據(jù)題意得p1p2=124,1-1-p11-p2=3

20、8,且p1p2,所以p1=16,p2=14.(2)令該同學在社團方面獲得校本選修課學分分數(shù)為x,p(x=1)=1-1416=18,p(x=1.5)=1416=124,所以該同學在社團方面獲得校本選修課學分分數(shù)不低于1分的概率p=18+124=16.【補償訓練】隨著小汽車的普及,“駕駛證”已經(jīng)成為現(xiàn)代人“必考”證件之一.若某人報名參加了駕駛證考試,要順利地拿到駕駛證,需要通過四個科目的考試,其中科目二為場地考試,在每一次報名中,每個學員有5次參加科目二考試的機會(這5次考試機會中任何一次通過考試,就算順利通過,即進入下一科目考試,或5次都沒有通過,則需要重新報名),其中前2次參加科目二考試免費,若前2次都沒有通過,則以后每次參加科目二考試都需要交200元的補考費.某駕校通過幾年的資料統(tǒng)計,得到如下結論:男性學員參加科目二考試,每次通過的概率均為34,女性學員參加科目二考試,每次通過的概率均為23.現(xiàn)有一對夫妻同時報名參加駕駛證考試,在本次報名中,若這對夫妻參加科目二考試的原則為:通過科目二考試或者用完所有機會為止.(1)求這對夫妻在本次報名中參加科目二考試都不需要交補考費的概率;(2)求這