2021新高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)專題七解析幾何7.4.2圓錐曲線中的最值范圍證明問題學(xué)案含解析

1、7.4.2圓錐曲線中的最值、范圍、證明問題必備知識(shí)精要梳理1.圓錐曲線的弦長(zhǎng)(1)直線方程的設(shè)法,已知直線過定點(diǎn)(x0,y0),設(shè)直線方程為y-y0=k(x-x0),若已知直線的縱截距為(0,b),設(shè)直線方程為y=kx+b,若已知直線的橫截距為(a,0),設(shè)直線方程為x=ty+a;(2)弦長(zhǎng)公式,斜率為k的直線與圓錐曲線交于點(diǎn)a(x1,y1),b(x2,y2)時(shí),|ab|=1+k2|x1-x2|=1+1k2|y1-y2|,如何求|x1-x2|,若x1,x2是ax2+bx+c=0的兩根,x1+x2=-ba,x1x2=ca,方法一:|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2;方法二:利用求根公式

2、,|x1-x2|=-b+2a-b-2a=|a|.2.處理中點(diǎn)弦問題常用的求解方法(1)已知ab是橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的一條弦,其中點(diǎn)m的坐標(biāo)為(x0,y0).運(yùn)用點(diǎn)差法求直線ab的斜率,設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2)(x1x2),a,b都在橢圓上,則有x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,兩式相減得x12-x22a2+y12-y22b2=0,(x1+x2)(x1-x2)a2+(y1+y2)(y1-y2)b2=0,y1-y2x1-x2=-b2(x1+x2)a2(y1+y2)=-b2x0a2y0,故kab=-b2x0a2y0.(2)已知ab是雙曲線x2a2-

3、y2b2=1(a0,b0)的一條弦,且a(x1,y1),b(x2,y2),x1x2,弦的中點(diǎn)m(x0,y0),則用點(diǎn)差法同理可得kab=b2x0a2y0.(3)已知ab是拋物線y2=2px(p0)的一條弦,且a(x1,y1),b(x2,y2),x1x2,弦的中點(diǎn)m(x0,y0),則y12=2px1,y22=2px2,兩式相減得y12-y22=2p(x1-x2),(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2),y1-y2x1-x2=2py1+y2=py0,即kab=py0.3.圓錐曲線中常見的最值、范圍、證明問題(1)求解范圍問題的方法求范圍問題的關(guān)鍵是建立求解關(guān)于某個(gè)變量的目標(biāo)函數(shù),通過求這

4、個(gè)函數(shù)的值域確定目標(biāo)的范圍.在建立函數(shù)的過程中要根據(jù)題目的其他已知條件,把需要的量都用我們選用的變量表示,有時(shí)為了運(yùn)算的方便,在建立關(guān)系的過程中也可以采用多個(gè)變量,只要在最后結(jié)果中把多變量歸結(jié)為單變量即可,同時(shí)要特別注意變量的取值范圍.(2)圓錐曲線中常見的最值問題及解題方法兩類最值問題:()涉及距離、面積的最值以及與之相關(guān)的一些問題;()求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時(shí)與之相關(guān)的一些問題.兩種常見解法:()幾何法,若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義,則考慮利用圖形性質(zhì)來解決;()代數(shù)法,若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系,則可先建立起目標(biāo)函數(shù),再求這個(gè)函

5、數(shù)的最值,最值常用基本不等式法、配方法或?qū)?shù)法解決.(3)圓錐曲線中的證明問題,主要有兩類:一類是證明點(diǎn)、直線、曲線等幾何元素中的位置關(guān)系,如:某點(diǎn)在某直線上、某直線經(jīng)過某個(gè)點(diǎn)、某兩條直線平行或垂直等;另一類是證明直線與圓錐曲線中的一些數(shù)量關(guān)系(相等或不等).解決證明問題時(shí),主要根據(jù)直線、圓錐曲線的性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等,通過相關(guān)的性質(zhì)應(yīng)用、代數(shù)式的恒等變形以及必要的數(shù)值計(jì)算等進(jìn)行證明.常用的證明方法有:證a、b、c三點(diǎn)共線,可證kab=kac或ab=bc;證直線mamb,可證kmakmb=-1或mamb=0;證|ab|=|ac|,可證a點(diǎn)在線段bc的垂直平分線上.關(guān)鍵能力學(xué)案突破熱

6、點(diǎn)一圓錐曲線中的最值問題【例1】(2020百校聯(lián)考,理21)已知圓o:x2+y2=r2(r0),橢圓c:x2a2+y2b2=1(ab0)的短半軸長(zhǎng)等于圓o的半徑,且過c右焦點(diǎn)的直線與圓o相切于點(diǎn)d12,32.(1)求橢圓c的方程;(2)若動(dòng)直線l與圓o相切,且與橢圓c相交于不同的兩點(diǎn)a,b,求原點(diǎn)o到弦ab的垂直平分線距離的最大值.解題心得目標(biāo)函數(shù)法解圓錐曲線有關(guān)最值問題的解題模型【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】(2020陜西渭南高三模擬,21)已知直線l:x-y+1=0與焦點(diǎn)為f的拋物線c:y2=2px(p0)相切.(1)求拋物線c的方程;(2)過點(diǎn)f的直線m與拋物線c交于a,b兩點(diǎn),求a,b兩點(diǎn)到直線l的距

7、離之和的最小值.熱點(diǎn)二圓錐曲線中的范圍問題【例2】(2020山東濟(jì)寧一模,20)已知橢圓c:x2a2+y2b2=1(ab0)的離心率為33,且橢圓c過點(diǎn)32,22.(1)求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過橢圓c的右焦點(diǎn)的直線l與橢圓c交于a,b兩點(diǎn),且與圓:x2+y2=2交于e,f兩點(diǎn),求|ab|ef|2的取值范圍.解題心得范圍問題的解題策略解決有關(guān)范圍問題時(shí),先要恰當(dāng)?shù)匾胱兞?如點(diǎn)的坐標(biāo)、角、斜率等),尋找不等關(guān)系,其方法有:(1)利用判別式或幾何性質(zhì)來構(gòu)造不等式,從而確定所求范圍;(2)利用已知參數(shù)的取值范圍,求新參數(shù)的范圍,解這類問題的核心是在兩個(gè)參數(shù)之間建立等量關(guān)系或不等關(guān)系;(3)利用隱

8、含的不等關(guān)系建立不等式,從而求出所求范圍;(4)利用已知不等關(guān)系構(gòu)造不等式,從而求出所求范圍;(5)利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù),求其值域,從而確定所求范圍(如本例);(6)利用已知,將條件轉(zhuǎn)化為幾個(gè)不等關(guān)系,從而求出參數(shù)的范圍.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】已知a,b是x軸正半軸上兩點(diǎn)(a在b的左側(cè)),且|ab|=a(a0),過a,b分別作x軸的垂線,與拋物線y2=2px(p0)在第一象限分別交于d,c兩點(diǎn).(1)若a=p,點(diǎn)a與拋物線y2=2px的焦點(diǎn)重合,求直線cd的斜率;(2)若o為坐標(biāo)原點(diǎn),記ocd的面積為s1,梯形abcd的面積為s2,求s1s2的取值范圍.熱點(diǎn)三圓錐曲線中的證

9、明問題【例3】(2020河北張家口模擬,19)已知橢圓e:x2a2+y2b2=1(ab0)的焦距為4,且過點(diǎn)-1,142.(1)求橢圓e的方程;(2)設(shè)a(0,b),b(0,-b),c(a,b),o(0,0),過b點(diǎn)且斜率為k(k0)的直線l交e于另一點(diǎn)m,交x軸于點(diǎn)q,直線am與直線x=a相交于點(diǎn)p.證明:pqoc.解題心得(1)圓錐曲線中的證明問題,主要有兩類:證明點(diǎn)、直線、曲線等幾何元素中的位置關(guān)系,如:某點(diǎn)在某直線上、某直線經(jīng)過某個(gè)點(diǎn)、某兩條直線平行或垂直等;證明直線與圓錐曲線中的一些數(shù)量關(guān)系(相等或不等).(2)解決證明問題時(shí),主要根據(jù)直線與圓錐曲線的性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等

10、,通過相關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用、代數(shù)式的恒等變形以及必要的數(shù)值計(jì)算等進(jìn)行證明.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】(2020北京海淀一模,20)已知橢圓c:x2a2+y2b2=1(ab0)的離心率為32,a1(-a,0),a2(a,0),b(0,b),a1ba2的面積為2.(1)求橢圓c的方程;(2)設(shè)m是橢圓c上一點(diǎn),且不與頂點(diǎn)重合,若直線a1b與直線a2m交于點(diǎn)p,直線a1m與直線a2b交于點(diǎn)q.求證:bpq為等腰三角形.核心素養(yǎng)微專題(八)解析幾何中的最值、范圍問題【例1】(2020湖南長(zhǎng)沙高三模擬,理16)在平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知點(diǎn)p(3,0)在圓c:x2+y2-2mx-4y+m2-28=0內(nèi),動(dòng)直線ab過點(diǎn)p

11、且交圓c于a,b兩點(diǎn),若abc的面積的最大值為16,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.核心素養(yǎng)分析本題是解析幾何中的最值、范圍問題,綜合性較強(qiáng),對(duì)核心素養(yǎng)要求較高.先用“數(shù)學(xué)運(yùn)算”將圓的一般方程x2+y2-2mx-4y+m2-28=0轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程(x-m)2+(y-2)2=32,從而確定圓的圓心c(m,2)和半徑r=42;其次用“直觀想象”和“邏輯推理”分析當(dāng)sabc取得最大值時(shí)須滿足acb=90,即abc為等腰直角三角形,所以|ab|=2r=8,得出|pc|滿足的不等式,繼而利用“數(shù)學(xué)運(yùn)算”求得實(shí)數(shù)m的取值范圍.【跟蹤訓(xùn)練1】(2020河北衡水模擬,15)在平面直角坐標(biāo)系xoy中,設(shè)圓m的半徑為1,圓

12、心在直線2x-y-4=0上,若圓m上不存在點(diǎn)n,使no=12na,其中a(0,3),則圓心m橫坐標(biāo)的取值范圍是.【例2】(2020河南中原名校高三模擬,14)已知f是拋物線y2=4x的焦點(diǎn),m是這條拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),p(3,1)是一個(gè)定點(diǎn),則|mp|+|mf|的最小值是.核心素養(yǎng)分析解決此題關(guān)鍵是用“直觀想象”畫出拋物線草圖,再用“邏輯推理”結(jié)合拋物線定義分析確定點(diǎn)p的位置,使得|mp|+|mf|取得最小值.【跟蹤訓(xùn)練2】(2020安徽定遠(yuǎn)重點(diǎn)中學(xué)高三模擬,15)設(shè)p是雙曲線x29-y216=1上一點(diǎn),m,n分別是兩圓:(x-5)2+y2=4和(x+5)2+y2=1上的點(diǎn),則|pm|-|pn

13、|的最大值為.7.4.2圓錐曲線中的最值、范圍、證明問題關(guān)鍵能力學(xué)案突破【例1】解(1)如圖,設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為f,由于直線fd與圓o相切于點(diǎn)d,所以fod是以odf為直角的直角三角形.因?yàn)榍悬c(diǎn)的坐標(biāo)為d12,32,所以tandof=3,所以dof=60.由條件知r2=122+322=1,所以圓的半徑r=1,b=1.所以在rtfod中,1|of|=cos60,所以|of|=2.從而a2=b2+c2=5.所以橢圓c的方程為x25+y2=1.(2)(方法一)利用斜率構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)設(shè)點(diǎn)o到弦ab的垂直平分線的距離為d,若直線l垂直于x軸,則弦ab的垂直平分線為x軸,所以d=0;若直線l垂直于y軸,則l與

14、橢圓c只有一個(gè)交點(diǎn),不符合題意.若直線l不與坐標(biāo)軸垂直,設(shè)直線l的方程為y=kx+m(k0),因?yàn)閘與圓o相切,所以|m|1+k2=1,即|m|=1+k2.由y=kx+m,x25+y2=1,消去y得(1+5k2)x2+10kmx+5m2-5=0,易驗(yàn)證0.設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),則x1+x2=-10km1+5k2,y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m1+5k2.所以ab中點(diǎn)的坐標(biāo)為-5km1+5k2,m1+5k2,所以弦ab的垂直平分線方程為y-m1+5k2=-1kx+5km1+5k2,即x+ky+4km1+5k2=0.所以d=4km1+5k21+k2.將|m|=1+k2代入

15、,得d=4km1+5k21+k2=|4k|1+5k2=41|k|+5|k|425=255,當(dāng)且僅當(dāng)|k|=55,|m|=305時(shí),取等號(hào).綜上所述,點(diǎn)o到弦ab的垂直平分線的距離的最大值為255.(方法二)利用點(diǎn)的坐標(biāo)構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)設(shè)點(diǎn)o到弦ab的垂直平分線距離為d,若直線l垂直于x軸,則弦ab的垂直平分線為x軸,所以d=0;若直線l垂直于y軸,則l與橢圓c只有一個(gè)交點(diǎn),不符合題意.若直線l不與坐標(biāo)軸垂直,設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),ab的中點(diǎn)坐標(biāo)為m(x0,y0),x00,y00,由點(diǎn)a,b在橢圓上,得x125+y12=1,x225+y22=1,-,得15(x1-x2)(x1+x2)

16、+(y1-y2)(y1+y2)=0,即kab=y1-y2x1-x2=-15x1+x2y1+y2=-x05y0,直線l的方程為y-y0=kab(x-x0),化簡(jiǎn)得x0x+5y0y-x02-5y02=0.因?yàn)橹本€l與圓o相切,所以1=|-x02-5y02|x02+25y02,即x02+5y02=x02+25y02,又因?yàn)橄襛b的垂直平分線方程為y-y0=5y0x0(x-x0),即5y0x-x0y-4x0y0=0,所以d=|-4x0y0|x02+25y02=|4x0y0|x02+5y02=4|x0y0|+|5y0x0|425=255,當(dāng)且僅當(dāng)x02=5y02=32時(shí),取等號(hào).綜上所述,點(diǎn)o到弦ab的

17、垂直平分線的距離的最大值為255.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1解(1)由x-y+1=0,y2=2px,消去x,得y2-2py+2p=0,直線l:x-y+1=0與拋物線c相切,=4p2-8p=0,解得p=2或p=0(舍去).拋物線c的方程為y2=4x.(2)由于直線m不平行于x軸,故可設(shè)直線m的方程為x=ty+1,由x=ty+1,y2=4x,消去x,得y2-4ty-4=0,1=16t2+160,設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),y1+y2=4t,x1+x2=4t2+2,線段ab的中點(diǎn)m的坐標(biāo)為(2t2+1,2t).設(shè)點(diǎn)a到直線l的距離為da,點(diǎn)b到直線l的距離為db,點(diǎn)m到直線l的距離為d,則da+db=2d

18、=2|2t2-2t+2|2=22|t2-t+1|=22t-122+34,當(dāng)t=12時(shí),可使a,b兩點(diǎn)到直線l的距離之和最小,距離之和的最小值為322.【例2】解(1)由已知可得ca=33,即c2=a23,又c2=a2-b2,所以a2=32b2,所以橢圓c的方程為x232b2+y2b2=1,將點(diǎn)32,22代入方程,得(32)232b2+(22)2b2=1,解得b2=2,則a2=32b2=3,所以橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為x23+y22=1.(2)由(1)知橢圓的右焦點(diǎn)為(1,0).若直線l的斜率不存在,則直線l的方程為x=1,易知a1,233,b1,-233,e(1,1),f(1,-1),所以|ab|=

19、433,|ef|2=4,|ab|ef|2=1633;若直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為y=k(x-1),設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),聯(lián)立直線l與橢圓方程得x23+y22=1,y=k(x-1),可得(2+3k2)x2-6k2x+3k2-6=0,則x1+x2=6k22+3k2,x1x2=3k2-62+3k2,所以|ab|=(1+k2)(x1-x2)2=(1+k2)6k22+3k22-43k2-62+3k2=43(k2+1)2+3k2,因?yàn)閳A心(0,0)到直線l的距離d=|k|k2+1,所以|ef|2=42-k2k2+1=4(k2+2)k2+1,所以|ab|ef|2=43(k2+1)2+

20、3k24(k2+2)k2+1=163(k2+2)2+3k2=1633k2+2k2+23=16331+43k2+23,因?yàn)閗20,+),所以|ab|ef|21633,163,綜上,|ab|ef|2的取值范圍是1633,163.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2解(1)由題意知ap2,0,則bp2+a,0,dp2,p,則cp2+a,p2+2pa,又a=p,所以kcd=3p-p3p2-p2=3-1.(2)設(shè)直線cd的方程為y=kx+b(k0),c(x1,y1),d(x2,y2),由y=kx+b,y2=2px,得ky2-2py+2pb=0,所以=4p2-8pkb0,得kb0,y1y2=2pbk0,可知k0,b0,因?yàn)閨cd|

21、=1+k2|x1-x2|=a1+k2,點(diǎn)o到直線cd的距離d=|b|1+k2,所以s1=12a1+k2|b|1+k2=12ab.又s2=12(y1+y2)|x1-x2|=122pka=apk,所以s1s2=kb2p,因?yàn)?kbp2,所以0s1s214,即s1s2的取值范圍為0,14.【例3】(1)解由題可知2c=4,即c=2.橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為(-2,0),(2,0),由橢圓的定義知2a=(-1+2)2+1422+(-1-2)2+1422=42,a=22,b2=a2-c2=4,橢圓e的方程為x28+y24=1.(另解:由題可知1a2+72b2=1,a2-b2=4,解得b2=4,a2=8.)

22、(2)證明易得a(0,2),b(0,-2),c(22,2),直線l:y=kx-2與橢圓x2+2y2=8聯(lián)立,得(2k2+1)x2-8kx=0,xm=8k2k2+1,從而m8k2k2+1,4k2-22k2+1,q2k,0.直線am的斜率為4k2-22k2+1-28k2k2+1=-12k,直線am的方程為y=-12kx+2.令x=22,得p22,-2k+2,直線pq的斜率kpq=-2k+222-2k=-2+2k22k-2=2(2k-1)2(2k-1)=22,直線oc的斜率koc=222=22,kpq=koc,顯然直線pq與oc不重合,從而pqoc.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(1)解由題ca=32,ab=2,a2=b2+c2,解得a=2,b=1.所以橢圓方程為x24+y2=1.(2)證明設(shè)直線a2m的方程為y=k(x-2)k0且k12,直線a1b的方程為y=12x+1.由y=k(x-2),y=12x+1,解得點(diǎn)p4k+22k-1,4k2k-1.由y=k(x-2),x24+y2=1,得(4k2+1)x2-16k2x+16k2-4=0,則2xm=16k2-44k2+1.所以xm=8k2-24k2+1