六章線經(jīng)濟模型簡介

1、第六章第六章 線性經(jīng)濟模型簡介線性經(jīng)濟模型簡介6.4 6.4 用用matlabmatlab求解線性規(guī)劃求解線性規(guī)劃模型模型求解線性規(guī)劃問題求解線性規(guī)劃問題n線性規(guī)劃問題的求解方法包括表上作業(yè)法、線性規(guī)劃問題的求解方法包括表上作業(yè)法、圖解法、單純形法、矩陣法等圖解法、單純形法、矩陣法等.n但在決策變量個數(shù)較多，求解過程都比較復(fù)但在決策變量個數(shù)較多，求解過程都比較復(fù)雜時，用雜時，用matlab軟件求解線性規(guī)劃問題則軟件求解線性規(guī)劃問題則比較簡單比較簡單.matlab求解線性規(guī)劃問題的命令求解線性規(guī)劃問題的命令x=linprog(f,a,b) mintxf xaxbaeq xbeq 求解求解lp問題

2、問題命令格式命令格式命令函數(shù)命令函數(shù) linprog()x,fval=linprog(f,a,b,aeq,beq,lb,ub) 求解求解lp問題問題mintxf xaxbaeq xbeqlbxub x,fval,exitflag,output,lambda=linprog(f,a,b,aeq,beq,lb,ub,x0,options). 其功能是求解有初始值其功能是求解有初始值x0和用和用options指定優(yōu)化參數(shù)指定優(yōu)化參數(shù)進行優(yōu)化的進行優(yōu)化的lp問題問題.n 函數(shù)說明函數(shù)說明(1)faa xb aeq xbeqxb 線性規(guī)劃的不等式約束條件線性規(guī)劃的不等式約束條件aeqbeq線性規(guī)劃的等式

3、約束條件線性規(guī)劃的等式約束條件目標(biāo)函數(shù)取得極值的決策變量組成的列向量目標(biāo)函數(shù)取得極值的決策變量組成的列向量矩陣矩陣向量向量 矩陣矩陣向量向量目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)組成的向量目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)組成的向量lbx0optionsfvalub變量的上界約束變量的上界約束變量的初始值變量的初始值變量的下界約束變量的下界約束控制規(guī)劃過程的參數(shù)系列控制規(guī)劃過程的參數(shù)系列優(yōu)化結(jié)束后得到的目標(biāo)函數(shù)值優(yōu)化結(jié)束后得到的目標(biāo)函數(shù)值x,fval,exitflag,output,lambda=linprog(f,a,b,aeq,beq,lb,ub,x0,options)目標(biāo)函數(shù)取得極值的決策變量組成的列向量目標(biāo)函數(shù)取得極值的決策變量

4、組成的列向量優(yōu)化結(jié)束后得到的目標(biāo)函數(shù)值優(yōu)化結(jié)束后得到的目標(biāo)函數(shù)值目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)組成的向量目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)組成的向量線性規(guī)劃的不等式約束條件線性規(guī)劃的不等式約束條件矩陣矩陣向量向量a xb 控制規(guī)劃過程的參數(shù)系列控制規(guī)劃過程的參數(shù)系列變量的初始值變量的初始值變量的下界約束變量的下界約束變量的上界約束變量的上界約束aeq xbeq線性規(guī)劃的等式約束條件線性規(guī)劃的等式約束條件矩陣矩陣向量向量(2)運用運用linprog()命令時，系統(tǒng)默認為它的各種命令時，系統(tǒng)默認為它的各種linprog(f,a,b, aeq, beq,lb,ub,x0,options)都存都存在，且按固定順序排列。本例中，在存在約束

5、在，且按固定順序排列。本例中，在存在約束lb的的情況下，它后面的參數(shù)沒給出，可以不聲明，但是情況下，它后面的參數(shù)沒給出，可以不聲明，但是lb前面的參數(shù)即使沒給出（例如等式約束條件）也前面的參數(shù)即使沒給出（例如等式約束條件）也要用空矩陣要用空矩陣“ ”的方式給出聲明，不能省略。的方式給出聲明，不能省略。n函數(shù)說明函數(shù)說明(3)返回值返回值exitflag有有3種情況：種情況：exitflag= 1 表示優(yōu)化結(jié)果不收斂。表示優(yōu)化結(jié)果不收斂。exitflag=1 表示優(yōu)化過程中變量收斂于解表示優(yōu)化過程中變量收斂于解x。 exitflag=0 表示優(yōu)化結(jié)果已經(jīng)超過函數(shù)的估計值表示優(yōu)化結(jié)果已經(jīng)超過函數(shù)的

6、估計值 或者已聲明的最大疊代次數(shù)；或者已聲明的最大疊代次數(shù)；(4)返回值返回值output有有3個分量，個分量，iterations表示優(yōu)化過程表示優(yōu)化過程的疊代次數(shù)，的疊代次數(shù)，cgiterations表示表示pcg疊代次數(shù)，疊代次數(shù)，algorithm表示優(yōu)化采用的運算規(guī)則。表示優(yōu)化采用的運算規(guī)則。n函數(shù)說明函數(shù)說明(5)返回值返回值lambda有有4個分量，個分量，ineqlin是線性不等式約是線性不等式約束條件，束條件， eqlin是線性等式約束條件，是線性等式約束條件，upper是變量是變量的上界約束條件，的上界約束條件， lower是變量的下界約會條件。是變量的下界約會條件。它們的

7、返回值分別表示相應(yīng)的約束條件在優(yōu)化過程它們的返回值分別表示相應(yīng)的約束條件在優(yōu)化過程中是否有效，本例中可以看到，三個不等式約束中中是否有效，本例中可以看到，三個不等式約束中的后兩個是有效的。的后兩個是有效的。(6)線性規(guī)劃問題沒有可行解時線性規(guī)劃問題沒有可行解時,系統(tǒng)提示系統(tǒng)提示 warning: the constraints are overly stringent;there is no feasible solution.如果優(yōu)化成功如果優(yōu)化成功,系統(tǒng)將會提示系統(tǒng)將會提示:optimization terminated successfullyn函數(shù)說明函數(shù)說明案例案例6.176.17

8、求解求解案例案例6.126.12中關(guān)于生產(chǎn)計劃的中關(guān)于生產(chǎn)計劃的lplp問題問題解解 原原lplp問題為問題為12max23zxx12121228416. .4120,0 xxxs txxx matlab matlab命令的標(biāo)準(zhǔn)形是求目標(biāo)函數(shù)的最小值命令的標(biāo)準(zhǔn)形是求目標(biāo)函數(shù)的最小值, , 通常通常將將maxfmaxf通常轉(zhuǎn)變?yōu)橥ǔ＾D(zhuǎn)變?yōu)閙in-fmin-f來編程求解。原問題轉(zhuǎn)化為來編程求解。原問題轉(zhuǎn)化為12min()23zxx 12121228416. .4120,0 xxxs txxx 在在matlabmatlab中輸入中輸入 clear f=-2,3; a=1,2;4,0;0,4; b=8

9、,16,12; lb=0,0; x,fval=linprog(f,a,b,lb)擊回車鍵，顯示最優(yōu)解及目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值擊回車鍵，顯示最優(yōu)解及目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值optimization terminated successfully.x = 4.0000 2.0000fval = -14.0000 所以，工廠應(yīng)選擇生產(chǎn)第所以，工廠應(yīng)選擇生產(chǎn)第、產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為4 4件和件和2 2件，工廠最多可獲利件，工廠最多可獲利1414萬元。萬元。案例案例6.186.18 求解求解案例案例6.13中的線性規(guī)劃問題。中的線性規(guī)劃問題。 解解 原原lp模型為模型為1234min10632zxxxx 12

10、341234123410892305625.5.423580(1,2,3,4)jxxxxxxxxs txxxxxj 在在matlab中輸入中輸入clearf=10,6,3,2;a=-10,-8,-9,-2;-5,-6,-2,-1;-4,-2,-3,-5;b=-30,-5.5,-8; lb=0,0,0,0; x,fval=linprog(f,a,b,lb)顯示最優(yōu)解及目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值顯示最優(yōu)解及目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值optimization terminated successfully.x = 0.0000 0.0000 3.3333 0.0000 所以應(yīng)購買所以應(yīng)購買3.3333千克大米才能既滿足營養(yǎng)

11、需求，千克大米才能既滿足營養(yǎng)需求，又能使購買食品的費用最小。又能使購買食品的費用最小。案例案例6.196.19 求解求解案例案例6.14中的投資問題中的投資問題 解解 設(shè)設(shè)x1、 x2 、x3 、x4分別代表用于項目分別代表用于項目a、b、c、d的投資百分數(shù)，則投資問題的數(shù)學(xué)模型為的投資百分數(shù)，則投資問題的數(shù)學(xué)模型為1234max0.150.10.080.12fxxxx1234234123400.10(1,2,3,4)jxxxxxxxs txxxxxj matlab中輸入中輸入 clear f = -0.15;-0.1;-0.08;-0.12;optimization terminated s

12、uccessfully.x = 0.5000 0.2500 0.0000 0.2500 a = 1 -1 -1 -1 0 -1 -1 1; b = 0 0; aeq=1 1 1 1; beq=1; lb = zeros(4,1); x,fval,exitflag = linprog(f,a,b,aeq,beq,lb)回車后結(jié)果顯示：回車后結(jié)果顯示：fval = -0.1300exitflag = 1 即即4個項目的投資百分數(shù)分別為個項目的投資百分數(shù)分別為50%，25%，0, 25%時可使該公司獲得最大的收益，其最大收益可到達時可使該公司獲得最大的收益，其最大收益可到達13%。過程正常收斂。過程

13、正常收斂。 案例案例6.206.20（下料問題下料問題）用用matlab求解求解案例案例6.15關(guān)關(guān)于下料的規(guī)劃問題。于下料的規(guī)劃問題。解解 在案例在案例6.156.15中已經(jīng)得出下料問題的數(shù)學(xué)模型為中已經(jīng)得出下料問題的數(shù)學(xué)模型為123456min fxxxxxx1234512345654323000.2345750000(1,2,3,4,5,6)ixxxxxs txxxxxxxi 在在matlabmatlab中輸入中輸入 clear f=1,1,1,1,1,1; beq=3000,5000; lb=0,0,0,0,0,0; x,fval=linprog(f,aeq,beq,lb)回車后顯示回

14、車后顯示optimization terminated successfully.x = 600.0000 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 628.5714fval = 1.2286e+003 由于由于xi需取整數(shù)，故應(yīng)按第一種方案下料需取整數(shù)，故應(yīng)按第一種方案下料600根，按根，按第六種方案下料第六種方案下料629根。根。案例案例6.216.21 用用matlab求解案例求解案例6.16中的運輸問題。中的運輸問題。解解 我們先解答供銷平衡的運輸問題，然后再求解供我們先解答供銷平衡的運輸問題，然后再求解供 銷不平衡銷不平衡的運輸問題。的運輸問題。供銷平衡運輸問題的數(shù)學(xué)模

15、型為供銷平衡運輸問題的數(shù)學(xué)模型為111213212223min10564815fxxxxxx1112132122231121122212226010045.75400(1,2;1,2,3)ijxxxxxxxxs txxxxxij matlab程序如下程序如下 clear f=10,5,6,4,8,15; aeq=1,1,1,0,0,0 0,0,0,1,1,1 1,0,0,1,0,0 0,1,0,0,1,0 0,0,1,0,0,1; beq=60,100,45,75,40; lb=0,0,0,0,0,0; x,fval=linprog(f,aeq,beq,lb)回車后結(jié)果顯示回車后結(jié)果顯示opt

16、imization terminated successfully.x = 0.0000 20.0000 40.0000 45.0000 55.0000 0.0000fval = 960.0000結(jié)果表明，結(jié)果表明，a煤場依次往三個居民區(qū)供煤煤場依次往三個居民區(qū)供煤0、20、40噸、噸、b煤場依次往三個居民區(qū)供煤煤場依次往三個居民區(qū)供煤45、55、0噸時運噸時運輸量最小，為輸量最小，為960噸噸公里。公里。對于供銷不平衡的運輸問題對于供銷不平衡的運輸問題111213212223min10564815fxxxxxx1112132122231121122212227012045.75400(1,2

17、;1,2,3)ijxxxxxxxxs txxxxxij 其其matlabmatlab程序為程序為 clear f=10,5,6,4,8,15; a=1,1,1,0,0,0 0,0,0,1,1,1; b=60,100; aeq=1,0,0,1,0,0 0,1,0,0,1,0 0,0,1,0,0,1; beq=45,75,40; lb=0,0,0,0,0,0; x,fval=linprog(f,a,b,aeq,beq,lb)回車后結(jié)果顯示回車后結(jié)果顯示optimization terminated successfully.x = 0.0000 20.0000 40.0000 45.0000 55

18、.0000 0.0000fval = 960.0000結(jié)果和實際意義與供銷平衡時的意義是相同的。結(jié)果和實際意義與供銷平衡時的意義是相同的。 案例案例6 6.12.12（生產(chǎn)計劃的問題）某工廠在計劃期內(nèi)要（生產(chǎn)計劃的問題）某工廠在計劃期內(nèi)要安排生產(chǎn)安排生產(chǎn)、的兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)單位產(chǎn)品所的兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)單位產(chǎn)品所需的設(shè)備臺時，需的設(shè)備臺時，a a、b b兩種原材料的消耗以及每件產(chǎn)兩種原材料的消耗以及每件產(chǎn)品可獲的利潤如下表所示。問應(yīng)如何安排計劃使該品可獲的利潤如下表所示。問應(yīng)如何安排計劃使該工廠獲利最多？工廠獲利最多？ 資源限量資源限量設(shè)備設(shè)備1 12 28(8(臺時臺時) )原材料原材料a

19、 a4 40 016(kg)16(kg)原材料原材料b b0 04 412(kg)12(kg)單位產(chǎn)品利潤單位產(chǎn)品利潤（萬元）（萬元）2 23 3 返回返回案例案例6.13( (營養(yǎng)配餐問題營養(yǎng)配餐問題) ) 假定一個成年人每天需要從假定一個成年人每天需要從食物中獲取食物中獲取30003000卡路里熱量，卡路里熱量，5555克蛋白質(zhì)和克蛋白質(zhì)和800800毫克毫克鈣。如果市場上只有四種食品可供選擇，它們每千鈣。如果市場上只有四種食品可供選擇，它們每千克所含熱量和營養(yǎng)成份以及市場價格如下表所示?？怂瑹崃亢蜖I養(yǎng)成份以及市場價格如下表所示。試建立滿足營養(yǎng)的前提下使購買食品費用最小的數(shù)試建立滿足營養(yǎng)的前提下使購買食品費用最小的數(shù)學(xué)模型。學(xué)模型。序號序號食品名食品名稱稱熱量熱量( (卡卡路里路里) )蛋白質(zhì)蛋白質(zhì)( (克克) )鈣鈣(mg)(mg)價格價格( (元元) )1 1豬肉豬肉10001000505040040010102 2雞蛋雞蛋80080060602002006 63 3大米大米90090020203003003 34 4白菜白菜2002001010500500