線性代數(shù)消元法

1、第三章 線性方程組 在第一章里我們已經(jīng)研究過線性方程組的一種特殊情形，即線性方程組所含方程的個數(shù)等于未知量的個數(shù)，且方程組的系數(shù)行列式不等于零的情形. 求解線性方程組是線性代數(shù)最主要的任務(wù)，此類問題在科學(xué)技術(shù)與經(jīng)濟(jì)管理領(lǐng)域有著相當(dāng)廣泛的應(yīng)用，因而有必要從更普遍的角度來討論線性方程組的一般理論. 本章主要討論一般線性方程組的解法，線性方程組解的存在性和線性方程組解的結(jié)構(gòu)等內(nèi)容.第一節(jié) 消 元 法分布圖示 引言 引例 線性方程組 線性方程組解的判定定理 例1 例2 n元線性方程組的求解 例3 例4 例5 例6 例7 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題3-1內(nèi)容要點引例 用消元法求解下列線性方程組: 通常把過

2、程-稱為消元過程，矩陣就是行階梯形矩陣，與之對應(yīng)的方程組則稱為行階梯方程組. 從上述解題過程可以看出,用消元法求解線性方程組的具體作法就是對方程組反復(fù)實施以下三種變換:(1)交換某兩個方程的位置; (2)用一個非零數(shù)乘某一個方程的兩邊;(3)將一個方程的倍數(shù)加到另一個方程上去.以上這三種變換稱為線性方程組的初等變換. 而消元法的目的就是利用方程組的初等變換將原方程組化為階梯形方程組, 顯然這個階梯形方程組與原線性方程組同解, 解這個階梯形方程組得原方程組的解. 如果用矩陣表示其系數(shù)及常數(shù)項, 則將原方程組化為行階梯形方程組的過程就是將對應(yīng)矩陣化為行階梯形矩陣的過程. 將一個方程組化為行階梯形方

3、程組的步驟并不是唯一的, 所以，同一個方程組的行行階梯形方程組也不是唯一的. 特別地，我們還可以將一個一般的行階梯形方程組化為行最簡形方程組, 從而使我們能直接“讀”出該線性方程組的解.通常把過程-稱為回代過程.從引例我們可得到如下啟示: 用消元法解三元線性方程組的過程, 相當(dāng)于對該方程組的增廣矩陣作初等行變換.對一般線性方程組(1)是否有同樣的結(jié)論? 答案是肯定的. 以下就一般線性方程組求解的問題進(jìn)行討論.設(shè)有線性方程組其矩陣形式為 (2)其中 稱矩陣（有時記為）為線性方程組(1)的增廣矩陣. 當(dāng)時, 線性方程組(1)稱為齊次的; 否則稱為非齊次的. 顯然，齊次線性方程組的矩陣形式為 (3)

4、定理1 設(shè)元齊次線性方程組有非零解的充要條件是系數(shù)矩陣的秩定理2 設(shè)元非齊次線性方程組有解的充要條件是系數(shù)矩陣a的秩等于增廣矩陣的秩, 即 注：記，則上述定理的結(jié)果，可簡要總結(jié)如下: (1) (2) (3) (4) (5) 而定理的證明實際上給出了求解線性方程組(1)的方法:對非齊次線性方程組，將增廣矩陣化為行階梯形矩陣，便可直接判斷其是否有解，若有解，化為行最簡形矩陣，便可直接寫出其全部解. 其中要注意，當(dāng)時，的行階梯形矩陣中含有個非零行，把這行的第一個非零元所對應(yīng)的未知量作為非自由量，其余個作為自由未知量. 對齊次線性方程組, 將其系數(shù)矩陣化為行最簡形矩陣，便可直接寫出其全部解.例題選講

5、例1 判斷下列方程組是否有解? 如有解, 是否有唯一的一組解? 解 方程組的系數(shù)矩陣顯然有一個2階子式，因此 增廣矩陣顯然因此該方程組有解. 但方程組的未知數(shù)個數(shù)為4，因此應(yīng)有無窮多組解. 例2 判斷方程組是否有解? 解 利用初等變換法求增廣矩陣的秩. 因此由于故原方程組無解.例3 (e01) 求解齊次線性方程組 解 對系數(shù)矩陣施行初等行變換. 即得與原方程同解的方程組 (可任意取值).令把它寫成向量形式為 它表達(dá)了方程組的全部解.例4 (e02) 解線性方程組 .解 對增廣矩陣施以初等變換，化為階梯形矩陣： 故方程組有無窮多解.利用上式回代回代即取為任意常數(shù)），由方程組的全部解為例5 解線性方程組 .解 因為 所以原方程組無解.例6 證明方程組 有解的充要條件是.在有解的情況下, 求出它的全部解.證 對增廣矩陣進(jìn)行初等變換: 方程組有解的充要條件是在有解的情況下，原方程組等價于方程組故所求全部解 例7(e03) 討論線性方程組 當(dāng)取何值時, 方程組無解? 有唯一解? 有無窮多解? 在方程組有無窮多解的情況下, 求出全部解. 解 (1) 當(dāng)時，方程組有唯一解；(2) 當(dāng)