樣本及抽樣分布

1、休息休息結(jié)束結(jié)束休息休息結(jié)束結(jié)束本章轉(zhuǎn)入課程的第二部分本章轉(zhuǎn)入課程的第二部分 數(shù)理統(tǒng)計(jì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的特點(diǎn)是應(yīng)用面廣，分支較多。數(shù)理統(tǒng)計(jì)的特點(diǎn)是應(yīng)用面廣，分支較多。社會(huì)的發(fā)展不斷向統(tǒng)計(jì)提出新的問(wèn)題。社會(huì)的發(fā)展不斷向統(tǒng)計(jì)提出新的問(wèn)題。休息休息結(jié)束結(jié)束從歷史的典籍中，人們不難發(fā)現(xiàn)許多關(guān)從歷史的典籍中，人們不難發(fā)現(xiàn)許多關(guān)于錢糧、戶口、地震、水災(zāi)等等的記載，說(shuō)于錢糧、戶口、地震、水災(zāi)等等的記載，說(shuō)明人們很早就開(kāi)始了統(tǒng)計(jì)的工作。但是當(dāng)時(shí)明人們很早就開(kāi)始了統(tǒng)計(jì)的工作。但是當(dāng)時(shí)的統(tǒng)計(jì)，只是對(duì)有關(guān)事實(shí)的的統(tǒng)計(jì)，只是對(duì)有關(guān)事實(shí)的簡(jiǎn)單記錄和整理簡(jiǎn)單記錄和整理，而沒(méi)有在一定理論的指導(dǎo)下，作出超越這些而沒(méi)有在一定理論的指導(dǎo)

2、下，作出超越這些數(shù)據(jù)范圍之外的數(shù)據(jù)范圍之外的推斷推斷。到了十九世紀(jì)末二十世紀(jì)初，隨著近代到了十九世紀(jì)末二十世紀(jì)初，隨著近代數(shù)學(xué)和概率論的發(fā)展，才真正誕生了數(shù)理統(tǒng)數(shù)學(xué)和概率論的發(fā)展，才真正誕生了數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)這門學(xué)科。計(jì)學(xué)這門學(xué)科。休息休息結(jié)束結(jié)束數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門應(yīng)用性很強(qiáng)的學(xué)科。數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門應(yīng)用性很強(qiáng)的學(xué)科。 它是研究怎樣以它是研究怎樣以有效的方式有效的方式收集、收集、 整理整理和分析和分析受隨機(jī)影響的數(shù)據(jù)受隨機(jī)影響的數(shù)據(jù)，并對(duì)所考察的，并對(duì)所考察的問(wèn)題作出問(wèn)題作出推斷推斷和和預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)，直至為采取決策和，直至為采取決策和行動(dòng)提供行動(dòng)提供依據(jù)依據(jù)和和建議建議。休息休息結(jié)束結(jié)束 數(shù)理統(tǒng)計(jì)不同于一般

3、的資料統(tǒng)計(jì)，數(shù)理統(tǒng)計(jì)不同于一般的資料統(tǒng)計(jì)，它更側(cè)重于應(yīng)用隨機(jī)現(xiàn)象本身的規(guī)律性它更側(cè)重于應(yīng)用隨機(jī)現(xiàn)象本身的規(guī)律性進(jìn)行資料的收集、整理和分析。進(jìn)行資料的收集、整理和分析。數(shù)理統(tǒng)計(jì)的任務(wù)就是研究怎樣有效地?cái)?shù)理統(tǒng)計(jì)的任務(wù)就是研究怎樣有效地收集、整理、分析所獲得的收集、整理、分析所獲得的有限的、局部有限的、局部的的資料，對(duì)所研究問(wèn)題資料，對(duì)所研究問(wèn)題的的整體整體, 盡可能地作出盡可能地作出精確而可靠的結(jié)論精確而可靠的結(jié)論。休息休息結(jié)束結(jié)束在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，不是對(duì)所研究的對(duì)象全在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，不是對(duì)所研究的對(duì)象全體體( (稱為稱為總體總體) )進(jìn)行觀察，而是抽取其中的部進(jìn)行觀察，而是抽取其中的部分分( (稱為稱

4、為樣本樣本) )進(jìn)行觀察獲得數(shù)據(jù)（進(jìn)行觀察獲得數(shù)據(jù)（抽樣抽樣），），并通過(guò)這些數(shù)據(jù)對(duì)總體進(jìn)行推斷。并通過(guò)這些數(shù)據(jù)對(duì)總體進(jìn)行推斷。由于推斷是基于抽樣數(shù)據(jù)，抽樣數(shù)據(jù)又由于推斷是基于抽樣數(shù)據(jù)，抽樣數(shù)據(jù)又不能包括研究對(duì)象的全部信息。因而由此獲不能包括研究對(duì)象的全部信息。因而由此獲得的結(jié)論必然包含得的結(jié)論必然包含不肯定性不肯定性。所以，在數(shù)理。所以，在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中必然要用到概率論的理論和方法。統(tǒng)計(jì)中必然要用到概率論的理論和方法。休息休息結(jié)束結(jié)束由此也可以說(shuō)：由此也可以說(shuō)：概率論是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)，而數(shù)理概率論是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)，而數(shù)理統(tǒng)計(jì)是概率論的重要應(yīng)用。但它們是并統(tǒng)計(jì)是概率論的重要應(yīng)用。但它們是并列的兩個(gè)

5、學(xué)科，并無(wú)從屬關(guān)系。列的兩個(gè)學(xué)科，并無(wú)從屬關(guān)系。休息休息結(jié)束結(jié)束需要強(qiáng)調(diào)說(shuō)明一點(diǎn)：需要強(qiáng)調(diào)說(shuō)明一點(diǎn)：統(tǒng)計(jì)方法具有統(tǒng)計(jì)方法具有“部分推斷整體部分推斷整體”的的特征特征 。因?yàn)槲覀兪菑囊恍〔糠忠驗(yàn)槲覀兪菑囊恍〔糠謽颖緲颖居^察值觀察值去推斷該全體對(duì)象（去推斷該全體對(duì)象（總體總體）情況，即由）情況，即由部分推斷全體。部分推斷全體。 這里使用的推理方法是這里使用的推理方法是“歸納推理歸納推理”。休息休息結(jié)束結(jié)束這種歸納推理不同于數(shù)學(xué)中的這種歸納推理不同于數(shù)學(xué)中的“演繹演繹推理推理”。 它在作出結(jié)論時(shí)，是根據(jù)所觀察到的它在作出結(jié)論時(shí)，是根據(jù)所觀察到的大量個(gè)別情況，大量個(gè)別情況，“歸納歸納”起來(lái)所得，而不起

6、來(lái)所得，而不是從一些假設(shè)、命題、已知的事實(shí)等出發(fā)，是從一些假設(shè)、命題、已知的事實(shí)等出發(fā)，按一定的邏輯按一定的邏輯推理推理去得出來(lái)的。去得出來(lái)的。休息休息結(jié)束結(jié)束如果這一切都建立在可靠的科學(xué)基礎(chǔ)上如果這一切都建立在可靠的科學(xué)基礎(chǔ)上，則對(duì)總體下結(jié)論是可能的也是可靠的。，則對(duì)總體下結(jié)論是可能的也是可靠的。 因?yàn)檫@里存在著樣品（隨機(jī)抽取的一個(gè)個(gè)體因?yàn)檫@里存在著樣品（隨機(jī)抽取的一個(gè)個(gè)體）個(gè)性）個(gè)性 ( (特殊性特殊性) ) 和總體共性和總體共性( (普遍性普遍性) )之間之間的一種內(nèi)在的、對(duì)立統(tǒng)一的辯證關(guān)系。的一種內(nèi)在的、對(duì)立統(tǒng)一的辯證關(guān)系。但此時(shí)還應(yīng)記住畢竟是由但此時(shí)還應(yīng)記住畢竟是由“局部局部”推推斷

7、斷“整體整體”，因而仍可能，因而仍可能犯錯(cuò)誤犯錯(cuò)誤，結(jié)論往往，結(jié)論往往又是在某個(gè)又是在某個(gè)“可靠性水平可靠性水平”之下得出的。之下得出的。休息休息結(jié)束結(jié)束1.1 隨機(jī)樣本隨機(jī)樣本1.1.總體與個(gè)體總體與個(gè)體 一一個(gè)統(tǒng)計(jì)問(wèn)題總有它明確的研究對(duì)象。個(gè)統(tǒng)計(jì)問(wèn)題總有它明確的研究對(duì)象。研究對(duì)象的全體稱為研究對(duì)象的全體稱為總體總體(母體母體)，總體中每個(gè)成員稱為總體中每個(gè)成員稱為個(gè)體個(gè)體。休息休息結(jié)束結(jié)束 然而在統(tǒng)計(jì)研究中，人們關(guān)心總體僅僅是關(guān)心然而在統(tǒng)計(jì)研究中，人們關(guān)心總體僅僅是關(guān)心其每個(gè)個(gè)體的一項(xiàng)其每個(gè)個(gè)體的一項(xiàng)(或幾項(xiàng)或幾項(xiàng))數(shù)量數(shù)量指標(biāo)指標(biāo)和該數(shù)量指標(biāo)和該數(shù)量指標(biāo)在總體中的在總體中的分布分布情況。

8、這時(shí)，每個(gè)個(gè)體具有的數(shù)量情況。這時(shí)，每個(gè)個(gè)體具有的數(shù)量指標(biāo)的全體就是總體。指標(biāo)的全體就是總體。該批燈泡壽命的該批燈泡壽命的全體就是全體就是總體總體某品牌轎車百公里耗某品牌轎車百公里耗油量的全體就是油量的全體就是總體總體某批燈泡的壽命某批燈泡的壽命某品牌轎車百公里某品牌轎車百公里耗油量耗油量休息休息結(jié)束結(jié)束 由于每個(gè)個(gè)體的出現(xiàn)是隨機(jī)的，所以相由于每個(gè)個(gè)體的出現(xiàn)是隨機(jī)的，所以相應(yīng)的數(shù)量指標(biāo)的出現(xiàn)也帶有隨機(jī)性。從而可應(yīng)的數(shù)量指標(biāo)的出現(xiàn)也帶有隨機(jī)性。從而可以把這種數(shù)量指標(biāo)看作一個(gè)隨機(jī)變量，因此以把這種數(shù)量指標(biāo)看作一個(gè)隨機(jī)變量，因此隨機(jī)變量的分布就是該數(shù)量指標(biāo)在總體中的隨機(jī)變量的分布就是該數(shù)量指標(biāo)在總體

9、中的分布。分布。 這樣，這樣，總體就可以用一個(gè)隨機(jī)變量總體就可以用一個(gè)隨機(jī)變量及其分布來(lái)描述及其分布來(lái)描述。休息休息結(jié)束結(jié)束 統(tǒng)計(jì)的任務(wù)統(tǒng)計(jì)的任務(wù), ,是根據(jù)從總體中抽取的是根據(jù)從總體中抽取的樣本樣本，去推斷總體的性質(zhì)去推斷總體的性質(zhì)。 由于我們關(guān)心的是總體中的個(gè)體的某項(xiàng)指由于我們關(guān)心的是總體中的個(gè)體的某項(xiàng)指標(biāo)標(biāo)( (如人的身高、體重，燈泡的壽命如人的身高、體重，燈泡的壽命, ,汽車的汽車的耗油量耗油量) ) ，所謂總體的性質(zhì)所謂總體的性質(zhì)，無(wú)非就是這無(wú)非就是這些些指標(biāo)值的集體的性質(zhì)指標(biāo)值的集體的性質(zhì)。 而而概率分布概率分布正是刻劃這種集體性質(zhì)的適正是刻劃這種集體性質(zhì)的適當(dāng)工具。因此在理論上可

10、以當(dāng)工具。因此在理論上可以把總體與概率分把總體與概率分布等同起來(lái)布等同起來(lái)。休息休息結(jié)束結(jié)束在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，總體這個(gè)概念在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，總體這個(gè)概念的的要旨要旨是：是：總體就是一個(gè)概率分布。-50005001000150020000510152025休息休息結(jié)束結(jié)束2. 樣本樣本 為推斷總體分布及各種特征，按一定規(guī)為推斷總體分布及各種特征，按一定規(guī)則從總體中抽取若干個(gè)體進(jìn)行觀察試驗(yàn)，以則從總體中抽取若干個(gè)體進(jìn)行觀察試驗(yàn)，以獲得有關(guān)總體的信息，這一抽取過(guò)程稱為獲得有關(guān)總體的信息，這一抽取過(guò)程稱為 “抽樣抽樣”，所抽取的部分個(gè)體稱為，所抽取的部分個(gè)體稱為樣本樣本。樣。樣本中所包含的個(gè)體數(shù)目稱為本中所包

11、含的個(gè)體數(shù)目稱為樣本容量樣本容量。從某品牌轎車中抽從某品牌轎車中抽5輛進(jìn)行耗油量試驗(yàn)輛進(jìn)行耗油量試驗(yàn)樣本容量為樣本容量為5休息休息結(jié)束結(jié)束容量為容量為 n 的樣本（也稱為的樣本（也稱為子樣子樣）可以可以看作看作 n 維隨機(jī)變量：維隨機(jī)變量：( X1 , X2 , , Xn ) 但是，一旦取定一組樣本，得到的是但是，一旦取定一組樣本，得到的是n個(gè)具體的數(shù)個(gè)具體的數(shù) ( x1 , x2 , , xn )，稱為樣本的，稱為樣本的一次觀察值，簡(jiǎn)稱一次觀察值，簡(jiǎn)稱樣本觀察值樣本觀察值 。休息休息結(jié)束結(jié)束由于抽樣的目的是為了對(duì)總體進(jìn)行由于抽樣的目的是為了對(duì)總體進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，為了使抽取的樣本能很好地統(tǒng)計(jì)推斷

12、，為了使抽取的樣本能很好地反映總體的信息，必須考慮抽樣方法。反映總體的信息，必須考慮抽樣方法。最常用的一種抽樣方法叫作最常用的一種抽樣方法叫作“簡(jiǎn)單簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣隨機(jī)抽樣”，它要求抽取的樣本滿足下，它要求抽取的樣本滿足下面兩點(diǎn)面兩點(diǎn):休息休息結(jié)束結(jié)束1. 代表性代表性： X1 , X2 , , Xn 中每一個(gè)中每一個(gè)與所考察的總體有相同的分布。與所考察的總體有相同的分布。2. 獨(dú)立性獨(dú)立性： X1 , X2 , , Xn 是相互獨(dú)是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。立的隨機(jī)變量。休息休息結(jié)束結(jié)束由簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣得到的樣本由簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣得到的樣本(子樣）稱子樣）稱為為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本（子樣）簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本（子樣）。用用

13、（ X1 , X2 , , Xn ）表示。表示。 簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本是應(yīng)用中最常見(jiàn)的情形，簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本是應(yīng)用中最常見(jiàn)的情形，今后，當(dāng)說(shuō)到今后，當(dāng)說(shuō)到（ X1 , X2 , , Xn ）是取自是取自某總體的樣本時(shí)，若不特別說(shuō)明，就指某總體的樣本時(shí)，若不特別說(shuō)明，就指簡(jiǎn)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本單隨機(jī)樣本。休息休息結(jié)束結(jié)束3. 總體、樣本、樣本值的關(guān)系總體、樣本、樣本值的關(guān)系總體（理論分布）總體（理論分布） 樣本樣本 樣本值樣本值總體分布決定了樣本取值的概率規(guī)律，總體分布決定了樣本取值的概率規(guī)律，也就是樣本取到樣本值的規(guī)律，因而可以由也就是樣本取到樣本值的規(guī)律，因而可以由樣本值去推斷總體。樣本值去推斷總體。 休息休息

14、結(jié)束結(jié)束2.2 抽樣分布抽樣分布1. 統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布 由樣本值去推斷總體情況，需要對(duì)樣本值進(jìn)行由樣本值去推斷總體情況，需要對(duì)樣本值進(jìn)行“加工加工”，這就要構(gòu)造一些樣本的函數(shù)，它把樣，這就要構(gòu)造一些樣本的函數(shù)，它把樣本中所含的（某一方面）的信息集中起來(lái)。本中所含的（某一方面）的信息集中起來(lái)。 這種這種不含任何未知參數(shù)的樣本的函數(shù)稱為不含任何未知參數(shù)的樣本的函數(shù)稱為統(tǒng)統(tǒng)計(jì)量計(jì)量。它是完全由樣本決定的量。統(tǒng)計(jì)量的分布。它是完全由樣本決定的量。統(tǒng)計(jì)量的分布稱為稱為抽樣分布抽樣分布。休息休息結(jié)束結(jié)束 2. 樣本均值及其抽樣分布樣本均值及其抽樣分布 樣本均值樣本均值niiXnX11反

15、映了總體均值的信息分組樣本場(chǎng)合：分組樣本場(chǎng)合：kiii 11Xf xn 其中其中 k 為組數(shù)；為組數(shù)；xi 為第為第 i 組的組中值；組的組中值； fi 為第為第 i 組的頻率。組的頻率。休息休息結(jié)束結(jié)束定理定理: 設(shè)設(shè) 是來(lái)自某總體的樣本是來(lái)自某總體的樣本, 為為 樣本均值。樣本均值。nXXX,21X 若總體分布為若總體分布為 N( ,2), 則則 的精確分的精確分布為布為 N(, 2/n ) ；X 若總體分布未知或不是正態(tài)分布，若總體分布未知或不是正態(tài)分布，則則 的漸近分布為的漸近分布為 N(, 2/n ) ；X休息休息結(jié)束結(jié)束 樣本方差與樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本方差與樣本標(biāo)準(zhǔn)差n22ii 11S(

16、 XX )n1 它反映了總體方差它反映了總體方差的信息的信息n22ii 11S( XX )n 22SS ,SS休息休息結(jié)束結(jié)束n222ii 11nSxxn1n-1 2nnn22iiii 1i 1i 1n22ii 11( xx )xXnxnx n222ii 11Sxxn 休息休息結(jié)束結(jié)束定理定理 設(shè)總體設(shè)總體X具有二階矩，具有二階矩，EX=, DX=2 2 休息休息結(jié)束結(jié)束0);(nxfLimxt分布的密度函數(shù)關(guān)于分布的密度函數(shù)關(guān)于x=0對(duì)稱，且對(duì)稱，且當(dāng)當(dāng)n充分大時(shí)，其圖形類似于標(biāo)準(zhǔn)正充分大時(shí)，其圖形類似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形。態(tài)分布密度函數(shù)的圖形。請(qǐng)看演示t 分布分布休息休息結(jié)束結(jié)束

17、不難看到，當(dāng)不難看到，當(dāng)n充分大時(shí)，充分大時(shí)，t 分布近分布近似似N (0,1)分布。分布。 但對(duì)于較小的但對(duì)于較小的n，t分布分布與與N (0,1)分布相差很大。分布相差很大。休息休息結(jié)束結(jié)束3、F分布分布),(),(2212nYnX定義定義: 設(shè)設(shè) X與與Y相互相互獨(dú)立，則稱統(tǒng)計(jì)量獨(dú)立，則稱統(tǒng)計(jì)量服從服從自由度為自由度為n1及及 n2 的的F分布分布，n1稱為第稱為第一自由度，一自由度，n2稱為第二自由度，記作稱為第二自由度，記作 ： F F ( n1 , n2 ) .12X nFY n Fisher休息休息結(jié)束結(jié)束由定義可見(jiàn)，由定義可見(jiàn)，21Y n1FX n F ( n2, n1)休息休

18、息結(jié)束結(jié)束若若XF(n1,n2)， X的概率密度為的概率密度為 0001)()()()(),;(222221212112121212121xxxxnnxfnnnnnnnnnnnnnX的數(shù)學(xué)期望為的數(shù)學(xué)期望為:2)(22nnXE若若n22即它的數(shù)學(xué)期望并不依賴于第一自由度即它的數(shù)學(xué)期望并不依賴于第一自由度n1.F分布分布演示演示休息休息結(jié)束結(jié)束分位數(shù)演示分位數(shù)演示休息休息結(jié)束結(jié)束例如：0.05z 1.6450.01z 2.3260.990.01zz -2.3260.025t(6 ) 2.44690.9750.025t(6 )t(6 ) -2.446920.025(6 ) 14.44920.975

19、(6 ) 1.237計(jì)算計(jì)算休息休息結(jié)束結(jié)束0.025F(6,4 ) 9.200.975F(6,4 )? xy一般地，一般地，112211F(n ,n )F (n ,n ) 證：112P FF(n ,n )1 11211P1FF(n ,n ) 1 112F(n ,n ) 12F(n ,n )休息休息結(jié)束結(jié)束112P FF(n ,n )1 11211P1FF(n ,n ) 11211PFF(n ,n ) 令：令：1FF 則則21FF(n ,n ) xy21F(n ,n ) 1121FP,(nn )F 211211F (n ,nFn)(n) 1121F(n ,n ) 112211F(n ,n )F

20、 (n ,n ) 休息休息結(jié)束結(jié)束0.975F(6,4 ) 0.0251F(4,6 ) 16.23=0.1605休息休息結(jié)束結(jié)束四、幾個(gè)重要的抽樣分布定理四、幾個(gè)重要的抽樣分布定理 定理定理 1 (樣本均值的分布樣本均值的分布)設(shè)設(shè)X1, X2, , Xn 是取自正態(tài)總體是取自正態(tài)總體2N(,) 的樣本，則有：的樣本，則有：2X N(,)n X N(0,1)n nii 11E( X )E(X )n 2nii 11D( X )D(X )nn 休息休息結(jié)束結(jié)束 n取不同值時(shí)樣本均值取不同值時(shí)樣本均值 的分布的分布X休息休息結(jié)束結(jié)束 定理定理 2 ( 樣本方差的分布樣本方差的分布 )設(shè)設(shè)X1, X2

21、, , Xn 是取自正態(tài)總體是取自正態(tài)總體2N(,) 的樣本的樣本,2Xs和和分別為樣本均值和樣本方差分別為樣本均值和樣本方差,則有：則有：222s(n1)(1)(n1) 2(.X)s2和和相相互互獨(dú)獨(dú)立立休息休息結(jié)束結(jié)束n22ii 11S( XX )n1 22ni22i 1( XX )(n1)S 2ni2i 1( X) 2(n) 2(n-1) 說(shuō)明：休息休息結(jié)束結(jié)束n取不同值時(shí)取不同值時(shí) 的分布的分布 22( n1 )S 休息休息結(jié)束結(jié)束 定理定理 3 設(shè)設(shè) X1,X2,Xn 是取自正態(tài)總體是取自正態(tài)總體2N(,) 的樣本的樣本,2Xs和和分別為樣本均值和樣本方差分別為樣本均值和樣本方差,則有：則有：X t(n1)Sn 休息休息結(jié)束結(jié)束X N(0,1)n 222(n1)S(n1) 22(n1)s/nnX(1) t(n1) XSn 證明：獨(dú)立獨(dú)立 休息休息結(jié)束結(jié)束 定理定理 4 (兩總體樣