隱函數(shù)的求導(dǎo)法

1、設(shè),022yxxy求.ddxy令,22),(yxxyyxf則xfyf2ln2yx故xyddyfxf2ln22ln2yxxy)02ln2(yx2ln2xy , 例例解解解解 令令則則,arctanln),(22xyyxyxf ,),(22yxyxyxfx ,),(22yxxyyxfy yxffdxdy .xyyx 另解另解視視 y = y(x) ，對(duì)方程兩邊關(guān)于，對(duì)方程兩邊關(guān)于 x 求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得),(112222xyxyxyyxyyx y 解解得得.xyyx 公式法公式法直接法直接法0),(. 2 zyxf函數(shù)),(yxzz 的偏導(dǎo)數(shù).求方程所確定的xye0zez2z2令),(zyxfxye

2、,ze則xf,xyyeyf,xyxezf,2ze故zfxfxzzxyeye22zxyeye)02(ze 例例解解函數(shù)),(yxzz 的偏導(dǎo)數(shù).求方程所確定的xye0zez2z2令),(zyxfxye,ze則xf,xyyeyf,xyxezf,2ze故)02(zezfyfyzzxyexe22zxyexe解解解解 令令則則,4),(222zzyxzyxf ,2xfx , 42 zfz,2zxffxzzx 22xz 2)2()2(zxzxz 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz 另解另解求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得，對(duì)方程兩邊關(guān)于，對(duì)方程兩邊關(guān)于視視 ),( xyxzz (*) 0422 xxz

3、z zx; 2 zxzx 求求導(dǎo)導(dǎo)，得得式式兩兩邊邊關(guān)關(guān)于于再再對(duì)對(duì) x*, 021 xxxxxxzz zzz 21 2zzzxxx.)2()2(322zxz 直接法直接法公式法公式法直接法直接法直接法直接法解解 令令),(),(xyzzyxfzzyxf 則則zxffxz )(1)(2121xyffyzff ; 求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得，對(duì)原方程兩邊關(guān)于，對(duì)原方程兩邊關(guān)于視視 ),( yzyxx )()1(021xyyxzfyxf ;2121fyzffxzfyx .fxzffxyfzy21211 同同理理，得得公式法公式法直接法直接法方程組中每個(gè)方程兩邊關(guān)于 x 求導(dǎo)：xfxyyfdd0ddxzzfx

4、gxyygdd0ddxzzg移項(xiàng), 得xyyfddxzzfddxfxyygddxzzgddxg 運(yùn)用消元法解此二元一次方程組 1( ,)( , )yxyzyxyzffffdzf gggggdxjy x 1( ,),( , )yzxzyzxzffffdyf gggggdxjx z ( ,)( , )yzyzffffyzf gjggggy zyz2、 0),(0),(vuyxgvuyxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(0000vuyxp不等于零，則方程組不等于零，則方程組 0),( vuyxf、 0),( vuyxg在點(diǎn)在點(diǎn)),(0000vuyxp的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組單值連續(xù)且具有

5、連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)組單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)),(yxuu ，),(yxvv ，它們滿(mǎn)足條件，它們滿(mǎn)足條件),(000yxuu , ,vv 0),(00yx，并有，并有vgugvfufvugfj ),(),(,),(),(1vuvuvyvyggffggffvygfjyu .),(),(1vuvuyuyuggffggffyugfjyv vuvuxuxuggffggffxugfjxv ),(),(11( ,),( , )xvuvxvuvffffuf gggggxjx v 例例設(shè)0022yvuxvu確定函數(shù)),(yxuu ),(yxvv 求,xu,yu,xv。yv解令,),(2xvuvuyxf,

6、),(2yvuvuyxg則),(),(vugfvu211214 uv),(),(vxgfv2011v2 xu14uvv2同理可得),(),(xugf0112u1),(),(vygfv21101),(),(yugf1102uu2141uvxv141uvyu142uvuyv例例解解1 1（公式法）（公式法） cos sin ( , ) ( , ) xryrrr x yx y設(shè)、，求其所確定的、的偏導(dǎo)數(shù)。, cos),( rxryxf 令令.sin),( ryryxg xr ),(),( rgfj則則 ggffrr cossinsincosrr . r ),(),(/),(),( rgfxgf rr

7、r/cos0sin1 ,cos yr ),(),(/),(),( rgfygf,sin x ),(),(/),(),( rgfxrgf,sinr y.cosr /rrrcos1sin0解解2 （直接法）（直接法） sincos , ),( ),( 求求導(dǎo)導(dǎo)，得得關(guān)關(guān)于于對(duì)對(duì)、視視xryrxyxyxrr , cossin0)sin(cos1 xxxxrrrr ,0 cossin1)sin(cos xxxxrrrr 即即 rrrrrrrrxx sincossinsincos/0sin1cos coscossinsincos/cos0sin1解解得得. yyr 同同理理關(guān)于隱函數(shù)求二階偏導(dǎo)數(shù)關(guān)于隱函

8、數(shù)求二階偏導(dǎo)數(shù)以以0),( zyxf為例，為例， 主要有三種方法：主要有三種方法：公式法公式法,zxffxz 222)()(zzxzxffxfffxz 21223xzzzxxzzxxzffffffff 類(lèi)似地可求得類(lèi)似地可求得222,yzyxz 直接法直接法方程兩邊連續(xù)求導(dǎo)兩次方程兩邊連續(xù)求導(dǎo)兩次0 xzffzx0)(2222 xzfxzfxzffzzzxzxx解得：解得：21223xzzzxxzzxxzffffffff 兩種方法相比，法二較簡(jiǎn)便，因?yàn)榭杀苊鈨煞N方法相比，法二較簡(jiǎn)便，因?yàn)榭杀苊馍痰那髮?dǎo)運(yùn)算，尤其是在求指定點(diǎn)的二階偏導(dǎo)數(shù)商的求導(dǎo)運(yùn)算，尤其是在求指定點(diǎn)的二階偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，毋須解出一階偏

9、導(dǎo)數(shù)而是將其具體數(shù)值代入時(shí)，毋須解出一階偏導(dǎo)數(shù)而是將其具體數(shù)值代入即可求得二階偏導(dǎo)數(shù)，使運(yùn)算大為簡(jiǎn)化。即可求得二階偏導(dǎo)數(shù)，使運(yùn)算大為簡(jiǎn)化。22zxbdyadxdz yzbxza ,則則這樣一次就可求得全部的一階偏導(dǎo)數(shù)。這樣一次就可求得全部的一階偏導(dǎo)數(shù)。全微分法全微分法利用全微分形式不變性，在所給的方程兩邊直接利用全微分形式不變性，在所給的方程兩邊直接求全微分求全微分思考題思考題1已已知知)(zyzx ，其其中中 為為可可微微函函數(shù)數(shù)， 求求? yzyxzx 思考題解答思考題解答記記)(),(zyzxzyxf ,1)(zzyfy ,)()(22zyzyzxfz ,)(zyyxzffxzzx ,)

10、()(zyyxzyzffyzzy 于于是是zyzyxzx .zxffxz xz思考題思考題2設(shè)f( x , y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 0),(zyzxf.dz求解法解法1 利用偏導(dǎo)數(shù)公式.是由方程設(shè)),(yxfz 0),(zyzxf yz212fyfxfz211fyfxfzyyzxxzzdddzf11 1f)(2zx 2f)(2zyzf12 確定的隱函數(shù),)dd(2121yfxffyfxz則)()(2221zyzxff 已知方程故對(duì)方程兩邊求微分: 1f)dd(d2121yfxffyfxzz)dd(2zzxxzzzfyfxd221 zyfxfdd21解法解法2 微分法.0),(zyzxf)dd(2zzyyz)(dzx 2f0)(dzy 1f 2f0練練 習(xí)習(xí) 題題練習(xí)題答案練習(xí)題答案222111cybxacybxa解解:22111babax 2211bcbc2211caca22111babay 二元線(xiàn)性代數(shù)方程組解的公式*另解另解（用全微分）（用全微分）兩兩邊邊微微分分，得得對(duì)對(duì) ),( xyzzyxfz )()(21xyzdfzyxdfdz )()(21dzxyzdyxyzdxfdzdydxf .zyyx , 同同理理，得得形式不變形式不變dyfxyffxzfdxfxyffyzfdz2121212111 全微分與偏導(dǎo)數(shù)全微