概率論第二章習題PPT演示文稿

1、2021-10-241第第 二二 章章 習習 題題 課課2021-10-242021-10-242 2主要內容：主要內容： 分布函數(shù)、分布列、分布函數(shù)、分布列、 密度函數(shù)及概率密度函數(shù)及概率的計算問題，期望和方差的性質和計算，常用分布的計算問題，期望和方差的性質和計算，常用分布的應用，隨機變量函數(shù)的分布，其他特征數(shù)的計算的應用，隨機變量函數(shù)的分布，其他特征數(shù)的計算. . 學習重點：學習重點：分布函數(shù)、分布列、密度函數(shù)及概率的分布函數(shù)、分布列、密度函數(shù)及概率的計算，期望和方差的性質和計算，常用分布的應用，計算，期望和方差的性質和計算，常用分布的應用，隨機變量函數(shù)的分布隨機變量函數(shù)的分布. .學習

2、難點：學習難點： 隨機變量函數(shù)的分布，常用分布的應用隨機變量函數(shù)的分布，常用分布的應用. . 2021-10-242021-10-243 3一、隨機變量的分布一、隨機變量的分布 2.12.1（p73p73）4 4、9 9、1616 4 4、有、有3 3個盒子，第一個盒子裝了個盒子，第一個盒子裝了1 1個白球，個白球，4 4個黑球；個黑球；第二個盒子裝了第二個盒子裝了2 2個白球，個白球，3 3個黑球；第三個盒子裝了個黑球；第三個盒子裝了3 3個白球，個白球，2 2個黑球?，F(xiàn)任取一個盒子，從中取個黑球?，F(xiàn)任取一個盒子，從中取3 3個球，個球，以以x x表示取到的白球數(shù)。表示取到的白球數(shù)。求求x的

3、概率分布列；的概率分布列； 取到的白球數(shù)不少于取到的白球數(shù)不少于2 2個的概率是多少？個的概率是多少？解：記解：記ai為取到第為取到第i個盒子，個盒子，x的可能取值為的可能取值為0，1，2，3.(1)(0)p x 112233() (0)() (0)() (0)p a p xap a p xap a p xa 16 2021-10-242021-10-244 4131(1), (2), (3).21030p xp xp x 同同樣樣可可求求得得：x從從而而， 的的分分布布列列為為01231131621030xp(2)(2)(2)(3)p xp xp x 13 2021-10-242021-10

4、-245 59 9： 從從1 1，2 2，3 3，4 4，5 5這五個數(shù)中任取這五個數(shù)中任取3 3個，按大小個，按大小 1232,.xxxxxx 記記為為，令令求求 的的分分布布函函數(shù)數(shù)解：解：x的可能取值為的可能取值為2 2、3 3、4.4.2x 3124,5(2)p x 3533;10c 3x 143,25(3)p x 3544;10c 4x 1245,33533(2).10p xc 2021-10-242021-10-246 6x從從而而， 的的分分布布列列為為2340.30.40.3xpx的的分分布布函函數(shù)數(shù)為為0,2;0.3, 23;( )0.7, 34;1,4.xxf xxx 20

5、21-10-242021-10-247 7016( )( )0,()1( )0.5( ).axp xf xafaf ap x dx 設設 的的密密度度函函數(shù)數(shù)是是偶偶函函數(shù)數(shù)，為為分分布布函函數(shù)數(shù)，則則對對有有()( )afap x dx 證證：() ()axtpt dt ( )ap t dt ()p xa1()p xa 1( )f a(0)(0)p xp x由由0.5, 00( )( )0.5p x dxp x dx 00.5( )ap x dx 00( )( )( )aap x dxp x dxp x dx ()p xa2021-10-242021-10-248 8二、期望和方差二、期望和

6、方差 2.22.2（p81p81）5 5、1313、1616；2.32.3（p88p88）6 6、9.9.2.22.2（p81p81） 5 5、用天平稱量某種物品的質量，現(xiàn)有、用天平稱量某種物品的質量，現(xiàn)有三組砝碼：三組砝碼：甲甲1 1，2 2，2 2，5 5，1010g g；乙乙1 1，2 2，3 3，4 4，1010g g；丙丙1 1，1 1，2 2，5 5，1010g g，稱量時只能使用一組砝碼。當要稱量的物品質量是稱量時只能使用一組砝碼。當要稱量的物品質量是1 1，2 2，10g10g的概率相同時，用哪一組砝碼平均所用的概率相同時，用哪一組砝碼平均所用的砝碼數(shù)最少？的砝碼數(shù)最少？解：記

7、解：記x、y、z表示三組砝碼稱重時所用的砝碼數(shù)，則表示三組砝碼稱重時所用的砝碼數(shù)，則 用甲組砝碼時：用甲組砝碼時：1 1個砝碼可以稱個砝碼可以稱4 4種物品（種物品（1 1，2 2，5 5，1010），），2 2個砝碼可以稱個砝碼可以稱4 4種物品（種物品（3 3，4 4，6 6，7 7），），3 3個砝碼可以稱個砝碼可以稱2 2種物品（種物品（8 8，9 9），從而得到），從而得到 x的分布的分布. .1230.40.40.2xp2021-10-242021-10-249 91230.40.40.2xp同樣可得同樣可得1230.50.30.2yp12340.40.30.20.1zp1.8;1

8、.8;2.0.exeyez 2021-10-242021-10-24101021cos,0;13.( )220 ,./3() .xxxp xxye y 設設對對 獨獨立立重重復復觀觀測測其其他他4 4次次， 表表示示觀觀測測值值大大于于的的次次數(shù)數(shù)，求求()3p x 解解：311cos22xdx 0.5 (4, 0.5).yb 422440()0.5 (10.5)kkkke yk c 5 或者，或者，22()( )()e yd yey 240.50.5(40.5)5 2021-10-242021-10-2411111616、設連續(xù)型隨機變量、設連續(xù)型隨機變量x的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為( ),f

9、 xex存存在在，求求證證：00()1( )( ).e xf x dxf x dx ()( )e xxp x dx 證證：00( )( )xp x dxxp x dx 0( )xp x dx 化化為為二二重重積積分分00) ( )xdy p x dx ( (改改變變積積分分次次序序0( )yp x dx dy ( (0( )f y dy xy000( )() ( )xxp x dxdy p x dx 同同樣樣得得0( )yp x dx dy 01( )f y dy 01( )f x dx xy2021-10-242021-10-2412122882.36(),()() .pcexd xe xc

10、 證證明明：對對有有2()()d xe xex 證證：2()()excexc22()()e xcexc 2() .e xc()e xcexc 2021-10-242021-10-241313x證證： 若若 為為連連續(xù)續(xù)的的，()( )p xp x dx ( )( ),( )g xp x dxg ( )( )g xg ( )( )( )g xp x dxg ().( )e g xg 離散型類似可證離散型類似可證. .2021-10-242021-10-241414,abcppab補補充充題題： 向向中中隨隨機機投投一一點點求求點點 到到的的.x距距離離 的的數(shù)數(shù)學學期期望望和和方方差差acb p

11、xxef( )()f xp xx efbaabcss 21() .hxh 0 xh 當當時時，22(),0( ).0,hxxhp xh 其其他他222,(),().3618hhhexe xd xh2021-10-242021-10-241515三、常用分布三、常用分布 2.42.4（p101p101）4 4、1111； 2.52.5（p115p115）3 3、6 6、1010、1717、26262.42.4（p101p101）4 4、經驗表明，預定餐廳座位而不來、經驗表明，預定餐廳座位而不來就餐的顧客比例為就餐的顧客比例為2020。如今餐廳有。如今餐廳有5050個座位，但個座位，但預定給了預定

12、給了5252位顧客，問到時顧客來到餐廳而沒有座位顧客，問到時顧客來到餐廳而沒有座位的概率是多少？位的概率是多少？52.x解解：記記 為為預預定定的的位位顧顧客客中中不不來來就就餐餐的的人人數(shù)數(shù)(52, 0.2) .xb 則則所所求求概概率率為為(1)p x (0)(1)p xp x 52510.8520.80.2 0.0001279 2021-10-242021-10-2416161111、某種產品上的缺陷數(shù)、某種產品上的缺陷數(shù)x服從以下分布服從以下分布 11(),0,1,2,2kp xkk 求此種產品上的平均缺陷數(shù)。求此種產品上的平均缺陷數(shù)。注意：注意：幾何分布幾何分布的分布列為的分布列為1

13、()(1),1,2,kp xkppk 11( ),.2yxge pp 其其中中12.eyp(1)exe y 11.ey 注：也可以直接按數(shù)學期望的定義計算注：也可以直接按數(shù)學期望的定義計算, ,另解如下另解如下 2021-10-242021-10-2417171111、某種產品上的缺陷數(shù)、某種產品上的缺陷數(shù)x服從以下分布服從以下分布 11(),0,1,2,2kp xkk 求此種產品上的平均缺陷數(shù)。求此種產品上的平均缺陷數(shù)。1112kkexk 234111123222 211122kkexk 345111123222 23451111122222ex 21121212 1.ex 作差作差2021

14、-10-242021-10-241818補充題：設某商店中每月銷售某商品的數(shù)量補充題：設某商店中每月銷售某商品的數(shù)量x服從服從參數(shù)為參數(shù)為7 7的泊松分布，問在月初應進貨多少件，才的泊松分布，問在月初應進貨多少件，才能保證當月不脫銷的概率不小于能保證當月不脫銷的概率不小于0.900.90？解：設解：設k為月初的進貨件數(shù)，為月初的進貨件數(shù)，()0.9.p xk(9)0.830,(10)0.901.p xp x 查查表表知知：所以月初至少應進貨所以月初至少應進貨1010件。件。2021-10-242021-10-24191911522.53()(1, 6)10.pkxkx 設設服服從從上上的的均均

15、勻勻分分布布，求求方方程程有有實實根根的的概概率率解：方程有實根的充要條件為解：方程有實根的充要條件為 0 240k 22kk ()p方方程程有有實實根根 22= p xp x 440.552021-10-242021-10-2420206 6、設某種商品每周的需求量、設某種商品每周的需求量x服從（服從（1010，3030）上的）上的均勻分布，而商店進貨數(shù)為（均勻分布，而商店進貨數(shù)為（1010，3030）中的某一數(shù)，）中的某一數(shù)，商店每銷售商店每銷售1 1單位商品可獲利單位商品可獲利500500元；若供大于求則元；若供大于求則削價處理，每銷售削價處理，每銷售1 1單位商品虧損單位商品虧損100

16、100元；若供不應元；若供不應求，則可從外部調劑供應，每銷售求，則可從外部調劑供應，每銷售1 1單位商品可獲利單位商品可獲利300300元。為使商店所獲利潤的期望不少于元。為使商店所獲利潤的期望不少于92809280元，試元，試確定最少進貨量。確定最少進貨量。2021-10-242021-10-242121,ay解解： 設設進進貨貨量量為為利利潤潤為為則則有有500100(),10500300(),30xaxxayaxaax 600100 ,10300200 ,30xaxaxaax 27.53505250eyaa 9280 220263a故至少應進貨故至少應進貨21 21 數(shù)量單位。數(shù)量單位。

17、2021-10-242021-10-2422221010、某種設備的使用壽命、某種設備的使用壽命x以年計以年計服從指數(shù)分布，服從指數(shù)分布，其平均壽命為其平均壽命為4 4年。制造此種設備的廠家規(guī)定，若設年。制造此種設備的廠家規(guī)定，若設備在使用備在使用1 1年內損壞，則可予以調換。如果售出一臺年內損壞，則可予以調換。如果售出一臺設備可贏利設備可贏利100100元，而調換一臺設備需花費元，而調換一臺設備需花費300300元。元。求每臺設備的平均利潤。求每臺設備的平均利潤。( ),xexp 14ex 1.4 設設y為一臺設備在一年內損壞的設備數(shù)，為一臺設備在一年內損壞的設備數(shù)， 則則y服從二項分布服從

18、二項分布b(1,(1,p) )（0 01 1分布）分布）. .(1)pp x z為為一一臺臺設設備備的的利利潤潤，100300 .zy 2021-10-242021-10-24232310.25401(1)10.22124xpp xedxe 1( ),4xexp (1,)ybp 100300 .zy (100300 )ezey 1003000.221233.64 2021-10-242021-10-2424242217.( ,),(70)0.5(60)0.25,(1),;(2)52xnp xp x 某某地地區(qū)區(qū)的的成成年年男男子子的的體體重重若若已已知知，求求的的值值從從這這個個地地區(qū)區(qū)隨隨機

19、機抽抽取取 名名成成年年男男子子，至至少少 人人體體重重超超過過65kg65kg的的概概率率是是多多少少？65(5,).ykgybp 記記為為人人中中體體重重超超過過的的人人數(shù)數(shù)，則則0.5(70)p x 70,( (0)0.5); 0.25(60)p x10() 14.81. 7065(65)()0.6324,14.81pp x (2)p y 1(1)(0)0.94.p yp y 2021-10-242021-10-24252522121226.( ,4 ),( ,5 )(4),(5),.xnynpp xpp ypp 設設， 比比較較的的大大小小1(4)pp x 解解：4()4p u( 1)

20、 2(5)pp y 5()5p u 1(1) 12.pp 即即有有2021-10-242021-10-242626 四、隨機變量函數(shù)的分布四、隨機變量函數(shù)的分布 2.62.6（p123p123）5 5、11115.(,),cos22xuyx 設設隨隨機機變變量量求求的的密密度度函函數(shù)數(shù). .1,( )220,xxpx ；解解：其其他他. .cos01.yxy的的可可能能取取值值范范圍圍是是2 2 012021-10-242021-10-2427272 2 01( )()yfyp yy (cos)pxy (arccosarccos)22pxyyx 或或(2arccos )/y 22,01( )10,yypyy 其其他他01y當當時時，arccosyarccosy y2021-10-242021-10-2428281111、設隨機變量、設隨機變量x的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 23, 11;( )20 ,.xxxpx 其其他他求下列隨機變量的分布求下列隨機變量的分布 21233,3,.yxyxyx 1(1)3( 3, 3).yx 解解：的的取取值值范范圍圍是是( )(3)yfypxy (/3)p xy /32132