高等代數(shù)試題庫

1、高等代數(shù)試題庫一、 選擇題1在里能整除任意多項式的多項式是（ ）。零多項式 零次多項式 本原多項式 不可約多項式2設(shè)是的一個因式，則（ ）。1 2 3 43以下命題不正確的是 （ ）。. 若；.集合是數(shù)域；.若沒有重因式；設(shè)重因式，則重因式4整系數(shù)多項式在不可約是在上不可約的( ) 條件。. 充分 . 充分必要 .必要 既不充分也不必要5下列對于多項式的結(jié)論不正確的是（ ）。.如果，那么 .如果，那么.如果，那么，有.如果，那么6 對于“命題甲：將級行列式的主對角線上元素反號, 則行列式變?yōu)?；命題乙：對換行列式中兩行的位置, 則行列式反號”有( ) 。.甲成立, 乙不成立；. 甲不成立, 乙成

2、立；.甲, 乙均成立；甲, 乙均不成立7下面論述中, 錯誤的是( ) 。 . 奇數(shù)次實系數(shù)多項式必有實根； . 代數(shù)基本定理適用于復(fù)數(shù)域；任一數(shù)域包含； 在中, 8設(shè)，為的代數(shù)余子式, 則=( ) 。. . . 9.行列式中，元素的代數(shù)余子式是（ ）。 10以下乘積中（ ）是階行列式中取負(fù)號的項。.； .；.11. 以下乘積中（ ）是4階行列式中取負(fù)號的項。.； .； .12. 設(shè)階矩陣，則正確的為（ ）。. . .13. 設(shè)為階方陣，為按列劃分的三個子塊，則下列行列式中與等值的是（ ）. . .14. 設(shè)為四階行列式，且，則（ ）. . .15. 設(shè)為階方陣，為非零常數(shù)，則（ ）. . .1

3、6.設(shè)，為數(shù)域上的階方陣，下列等式成立的是（ ）。.；. ； .17. 設(shè)為階方陣的伴隨矩陣且可逆，則結(jié)論正確的是（ ）. . .18.如果，那么矩陣的行列式應(yīng)該有（ ）。.； .； ； .19.設(shè), 為級方陣, , 則“命題甲：；命題乙：”中正確的是( ) 。. 甲成立, 乙不成立；. 甲不成立, 乙成立；甲, 乙均成立；.甲, 乙均不成立20.設(shè)為階方陣的伴隨矩陣，則（ ）。. . . 21.若矩陣，滿足，則（ ）。.或；.且；且；.以上結(jié)論都不正確22.如果矩陣的秩等于，則（ ）。.至多有一個階子式不為零； .所有階子式都不為零；所有階子式全為零，而至少有一個階子式不為零；.所有低于階子

4、式都不為零23.設(shè)階矩陣可逆，是矩陣的伴隨矩陣，則結(jié)論正確的是（ ）。.；.；.24. 設(shè)為階方陣的伴隨矩陣，則=（ ）. . . 25.任級矩陣與-, 下述判斷成立的是( )。. ； .與同解；.若可逆, 則；反對稱, -反對稱26.如果矩陣,則 （ ）. 至多有一個階子式不為零；.所有階子式都不為零 所有階子式全為零，而至少有一個階子式不為零；所有低于階子式都不為零27. 設(shè)方陣，滿足，則的行列式應(yīng)該有 （ ）。. . . 28. 是階矩陣，是非零常數(shù)，則 ( )。. ； . ； . 29. 設(shè)、為階方陣，則有（ ）.，可逆，則可逆 .，不可逆，則不可逆可逆，不可逆，則不可逆.可逆，不可逆

5、，則不可逆30. 設(shè)為數(shù)域上的階方陣，滿足，則下列矩陣哪個可逆（ ）。. . 31. 為階方陣，且，則（ ）。.； .； ；.32. ，是同階方陣，且，則必有（ ）。. ； . ； 33. 設(shè)為3階方陣，且，則（ ）。.；.； ；.34. 設(shè)為階方陣，且，則（ ）. . .或 .35. 設(shè)矩陣，則秩=（ ）。1 2 3 436. 設(shè)是矩陣，若（ ），則有非零解。.； .； . 37. ，是階方陣，則下列結(jié)論成立得是（ ）。.且； . ；或； . 38. 設(shè)為階方陣，且，則中（ ）. .必有個行向量線性無關(guān) .任意個行向量線性無關(guān)任意個行向量構(gòu)成一個極大無關(guān)組 .任意一個行向量都能被其他個行向量

6、線性表示39. 設(shè)為矩陣，為矩陣，為矩陣，則下列乘法運算不能進(jìn)行的是（ ）。 . . .40.設(shè)是階方陣，那么是（ ）. 對稱矩陣； . 反對稱矩陣； 可逆矩陣； .對角矩陣41.若由必能推出（均為階方陣），則 滿足( )。. . .42.設(shè)為任意階可逆矩陣，為任意常數(shù)，且，則必有（ ）. . .43.，都是階方陣，且與有相同的特征值，則（ ）. 相似于； . ； 合同于； .44. 設(shè)，則的充要條件是（ ）.； （b）； .45. 設(shè)階矩陣滿足，則下列矩陣哪個可能不可逆（ ） . . . 46. 設(shè)階方陣滿足，則下列矩陣哪個一定可逆（ ） . ； . ； . 47. 設(shè)為階方陣，且，則中（

7、）. .必有個列向量線性無關(guān)；.任意個列向量線性無關(guān)；任意個行向量構(gòu)成一個極大無關(guān)組；.任意一個行向量都能被其他個行向量線性表示48.設(shè)是矩陣，若（ ），則元線性方程組有非零解。. .的秩等于 .的秩等于49. 設(shè)矩陣，僅有零解的充分必要條件是( ). 的行向量組線性相關(guān) .的行向量組線性無關(guān)的列向量組線性相關(guān) .的列向量組線性無關(guān)50. 設(shè), 均為上矩陣, 則由( ) 不能斷言；. ；.存在可逆陣與使 與均為級可逆；.可經(jīng)初等變換變成51. 對于非齊次線性方程組其中，則以下結(jié)論不正確的是（ ）。.若方程組無解，則系數(shù)行列式；.若方程組有解，則系數(shù)行列式。若方程組有解，則有惟一解，或者有無窮多

8、解；.系數(shù)行列式是方程組有惟一解的充分必要條件52. 設(shè)線性方程組的增廣矩陣是，則這個方程組解的情況是（ ）.有唯一解 .無解 有四個解 .有無窮多個解53. 為階方陣,，且，則 （ ）。 .；.；齊次線性方程組有非解；.54. 當(dāng)（ ）時，方程組，有無窮多解。1 2 3 455. 設(shè)線性方程組，則（ ）.當(dāng)取任意實數(shù)時，方程組均有解。.當(dāng)時，方程組無解。當(dāng)時，方程組無解。.當(dāng)時，方程組無解。56. 設(shè)原方程組為，且，則和原方程組同解的方程組為( )。.；.（為初等矩陣）；（為可逆矩陣）；.原方程組前個方程組成的方程組57. 設(shè)線性方程組及相應(yīng)的齊次線性方程組，則下列命題成立的是（ ）。 .只

9、有零解時，有唯一解；.有非零解時，有無窮多個解；有唯一解時，只有零解；. 解時，也無解58. 設(shè)元齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為，則有非零解的充分必要條件是（ ）。. . .59. 維向量組 線性無關(guān)的充分必要條件是（ ）.存在一組不全為零的數(shù)，使.中任意兩個向量組都線性無關(guān)中存在一個向量，它不能用其余向量線性表示.中任意一個向量都不能由其余向量線性表示60. 若向量組中含有零向量，則此向量組（ ）.線性相關(guān)； . 線性無關(guān)； 線性相關(guān)或線性無關(guān)；.不一定61設(shè)為任意非零向量，則（ ）。.線性相關(guān)；.線性無關(guān)； 線性相關(guān)或線性無關(guān)；不一定62.維向量組線性無關(guān)，為一維向量，則（ ）.，線性相關(guān)

10、；.一定能被線性表出；一定不能被線性表出；.當(dāng)時，一定能被線性表出63. （1）若兩個向量組等價，則它們所含向量的個數(shù)相同；（2）若向量組線性無關(guān)，可由線性表出，則向量組也線性無關(guān)；（3）設(shè)線性無關(guān)，則也線性無關(guān)；（4）線性相關(guān)，則一定可由線性表出；以上說法正確的有（ ）個。.1 個 .2 個 3 個 .4個64（1）維向量空間的任意個線性無關(guān)的向量都可構(gòu)成的一個基；（2）設(shè)是向量空間中的個向量，且中的每個向量都可由之線性表示，則是的一個基；（3）設(shè)是向量空間的一個基，如果與等價，則也是的一個基；（4）維向量空間的任意個向量線性相關(guān)；以上說法中正確的有（ ）個。.1 個 .2 個 3 個 .4

11、個65 設(shè)向量組線性無關(guān)。線性相關(guān)，則（ ）。 .線性表示；.線性表示；線性表示； .線性表示66.設(shè)向量組（），（）則必須有（ ）。.無關(guān)無關(guān)； . 無關(guān)無關(guān)；.無關(guān)相關(guān)；.相關(guān)相關(guān)67向量組:與:等價的充要條件為（ ）. .； .且；.68向量組線性無關(guān)( ) 。. 不含零向量； . 存在向量不能由其余向量線性表出；每個向量均不能由其余向量表出； 與單位向量等價69.已知則a =( ).；.；. .70. 設(shè)向量組線性無關(guān)。線性相關(guān)，則（ ）。.線性表示；.線性表示； 線性表示；.線性表示71下列集合中，是的子空間的為（ ），其中.72 下列集合有（ ）個是的子空間； ； ； ； ；73設(shè)

12、是相互正交的維實向量，則下列各式中錯誤的是（ ）。.； .；.1 個 .2 個 3 個 .4個74.是階實方陣，則是正交矩陣的充要條件是（ ）。.； .； ； .75（1）線性變換的特征向量之和仍為的特征向量；（2）屬于線性變換的同一特征值的特征向量的任一線性組合仍是的特征向量；（3）相似矩陣有相同的特征多項式；（4）的非零解向量都是的屬于的特征向量；以上說法正確的有（ ）個。 .1 個 .2 個 3 個 . 4個75. 階方陣具有個不同的特征值是與對角陣相似的（ ）。.充要條件；.充分而非必要條件；必要而非充分條件；.既非充分也非必要條件76. 對于階實對稱矩陣，以下結(jié)論正確的是（ ）。.一

13、定有個不同的特征根；.正交矩陣，使成對角形；它的特征根一定是整數(shù)；.屬于不同特征根的特征向量必線性無關(guān)，但不一定正交77. 設(shè)都是三維向量空間的基，且，則矩陣是由基到（ ）的過渡矩陣。. . . 78. 設(shè)，是相互正交的維實向量，則下列各式中錯誤的是（ ）。. . .二、 填空題1最小的數(shù)環(huán)是 ，最小的數(shù)域是 。2一非空數(shù)集,包含0和1, 且對加減乘除四種運算封閉，則其為 。3設(shè)是實數(shù)域上的映射，若，則= 。4設(shè)，若，則= 。5.求用除的商式為 ，余式為 。6設(shè)，用除所得的余式是函數(shù)值 。7設(shè)是兩個不相等的常數(shù)，則多項式除以所得的余式為_8把表成的多項式是 。9把表成的多項式是 。10設(shè)使得，

14、且，則 。11設(shè)使得=_。12設(shè)使得=_。13. 若，并且 ，則。14. 設(shè)，則與的最大公因式為 。15. 多項式、互素的充要條件是存在多項式、使得 。16. 設(shè)為，的一個最大公因式, 則與的關(guān)系 。17. 多項式的最大公因式 。18. 設(shè)。，若，則 ， 。19在有理數(shù)域上將多項式分解為不可約因式的乘積 。20在實數(shù)域上將多項式分解為不可約因式的乘積 。21. 當(dāng)滿足條件 時，多項式才能有重因式。22. 設(shè)是多項式的一個重因式，那么是的導(dǎo)數(shù)的一個 。23. 多項式?jīng)]有重因式的充要條件是 互素。24設(shè)的根，其中，則 。25設(shè)的根，其中，則= 。26設(shè)的根，其中，則 。27設(shè)的根，其中，則 = 。

15、28. 按自然數(shù)從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序，排列的反序數(shù)為 。29按自然數(shù)從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序，排列的反序數(shù)為 。30排列的反序數(shù)為 。31排列的反序數(shù)為 。32排列的反序數(shù)為 。33排列的反序數(shù)為 。34. 若元排列是奇排列，則_, _。35. 設(shè)級排列的反數(shù)的反序數(shù)為，則= 。36. 設(shè),則 。37. 當(dāng) ， 時，5階行列式的項取“負(fù)”號。38. 。39 。40 。41 。42. _。43 _。44. ， _。45. , 則 _。46. 設(shè)兩兩不同, 則的不同根為 。47. =_。48,，則= 。49. 設(shè)行列式中，余子式，則_。50. 設(shè)行列式中，余子式，則_。51. 設(shè)，則 。52行列式 的余子

16、式的值為 。53.設(shè)，,則 _。54設(shè)，,則_。55設(shè)， ,則 _。56. 設(shè)，則_。57. 設(shè)，則_。58設(shè)矩陣可逆，且，則的伴隨矩陣的逆矩陣為 。59設(shè)、為階方陣，則的充要條件是 。60一個級矩陣的行（或列）向量組線性無關(guān)，則的秩為 。61. 設(shè)、都是可逆矩陣，若，則 。62. 設(shè)，則 。63. 設(shè)，則 。64. 設(shè)矩陣，且,則。65. 設(shè)為階矩陣，且,則 _。66. ,則_。67.,則_。68. 已知其中，則_。69. 若為級實對稱陣，并且，則= 。70. 設(shè)為階方陣，且，則 ， ，的伴隨矩陣的行列式 。71. 設(shè)，是的伴隨矩陣，則= 。72. 設(shè)，是的伴隨矩陣，則= 。73. _。74

17、. 設(shè)為階矩陣，且,則 _。75. 為階矩陣，則=（ ）。76. 設(shè),則_。77. 是同階矩陣，若,必有，則應(yīng)是 _。78. 設(shè)，則的充要條件是 。79.一個齊次線性方程組中共有個線性方程、個未知量，其系數(shù)矩陣的秩為，若它有非零解，則它的基礎(chǔ)解系所含解的個數(shù)為 。80.含有個未知量個方程的齊次線性方程組有非零解的充分且必要條件是 。81.線性方程組有解的充分必要條件是 。82. 方程組有解的充要條件是 。83. 方程組有解的充要條件是 。84. 是矩陣，對任何矩陣，方程都有解的充要條件是_。85已知向量組，則向量 。86.若，則向量組必線性 。87.已知向量組，則該向量組的秩是 。88. 若可

18、由唯一表示, 則線性 。89. 單個向量線性無關(guān)的充要條件是_。90. 設(shè)為維向量組, 且，則 。91. 個維向量構(gòu)成的向量組一定是線性 的。（無關(guān)，相關(guān)）92.已知向量組線性無關(guān)，則 _。93. 向量組的極大無關(guān)組的定義是_。94. 設(shè)兩兩不同, 則線性 。95.二次型的矩陣是_.96. 是正定陣，則滿足條件_。97 . 當(dāng)滿足條件 ，使二次型是正定的。98. 設(shè)階實對稱矩陣的特征值中有個為正值，有為負(fù)值，則的正慣性指數(shù)和負(fù)慣性指數(shù)是 。99. 相似于單位矩陣，則 = _。100. 相似于單位陣， 。101. 矩陣的特征值是_。102. 矩陣的特征值是_。103. 設(shè)為3階方陣，其特征值為3

19、，1，2，則 。104.滿足，則有特征值_。105. 設(shè)階矩陣的元素全為，則的個特征值是 。106. 設(shè)矩陣是階零矩陣，則的個特征值是 。107. 如果a的特征值為，則的特征值為 。108. 設(shè)是的任意向量，映射是否是到自身的線性映射 。109. 設(shè)是的任意向量，映射是否是到自身的線性映射 。110. 若線性變換關(guān)于基的矩陣為，那么線性變換關(guān)于基的矩陣為 。111. 對于階矩陣與，如果存在一個可逆矩陣u,使得 ，則稱與是相似的。112.實數(shù)域r上的n階矩陣q滿足 ，則稱q為正交矩陣。113.實對稱矩陣的屬于不同特征根的特征向量是彼此 。114. 復(fù)數(shù)域作為實數(shù)域上的向量空間，則_，它的一個基為

20、_。115. 復(fù)數(shù)域作為復(fù)數(shù)域上的向量空間，則_，它的一個基為_。116. 復(fù)數(shù)域作為復(fù)數(shù)域上的向量空間，則_。117. 設(shè)是數(shù)域上的3維向量空間，是的一個線性變換，是的一個基，關(guān)于該基的矩陣是，則關(guān)于的坐標(biāo)是_。118. 設(shè)是向量空間的一個基，由該基到 的過渡矩陣為_。119. 設(shè)是向量空間的一個基，由該基到 的過渡矩陣為_。120. 設(shè)與都是上的兩個有限維向量空間，則 。121. 數(shù)域f上任一維向量空間都卻與 。（不同構(gòu)，同構(gòu)）122. 任一個有限維的向量空間的基是_的，但任兩個基所含向量個數(shù)是_。123. 令是數(shù)域上一切滿足條件的階矩陣所成的向量空間，則= 。124. 設(shè)為變換，為歐氏空

21、間，若都有，則為 變換。125. 在 。126. 在歐氏空間里的長度為_ _ _。127. 在歐氏空間里的長度為_。128. 設(shè)是歐氏空間，則是正交變換 。129. 設(shè)，則在= 。三、計算題1.把按的方冪展開. 2利用綜合除法，求用去除所得的商及余式。，。3利用綜合除法，求用去除所得的商及余式。，。4.已知 ,求被除所得的商式和余式。5.設(shè)，求的最大公因式。6求多項式與的最大公因式7. 求多項式，的最大公因式，以及滿足等式的和。8.求多項式，的最大公因式，以及滿足等式的和。9.令是有理數(shù)域，求出的多項式，的最大公因式，并求出使得。10. 令是有理數(shù)域，求的多項式的最大公因式。11. 設(shè)，求出，

22、使得。12.已知，求。13.在有理數(shù)域上分解多項式為不可約因式的乘積。14.應(yīng)該滿足什么條件，有理系數(shù)多項式才能有重因式。15.求多項式的有理根。16.求多項式的有理根。17求多項式的有理根。18.求多項式的有理根。19.求多項式的有理根。20.求多項式的有理根。21.求一個二次多項式，使得：。22.問取何值時，多項式，有實根。23.用初等對稱多項式表示元對稱多項式。24.用初等對稱多項式表示元對稱多項式。25.請把元對稱多項式表成是初等對稱多項式的多項式。26.求行列式的值。27.求行列式 的值。28.求行列式 的值。29.求行列式的值。30.求行列式的值。31.求行列式的值。32.求行列式

23、的值。33.求行列式的值。34.把行列式 依第三行展開然后加以計算。35.求行列式的值。36.求行列式的值。37.求行列式的值。38.求行列式的值。39.計算階行列式40.計算階行列式41. 計算階行列式42. 計算階行列式43. 計算階行列式44. 計算階行列式45. 計算階行列式46.計算階行列式47.計算階行列式()48.計算階行列式 (其中)49.計算階行列式 50.計算階行列式51.計算階行列式52.計算階行列式53.計算階行列式54.計算階行列式55.解方程。56.解方程。57.解方程。58.解方程。59.設(shè)為矩陣，把按列分塊為。其中是的第列。求（1）；（2）。60. ）_已知,，

24、試求： ；。61.已知，求62.設(shè)=，求。63.設(shè)=，已知,求。64.求矩陣的秩。65.求矩陣=的秩。66.求矩陣=的秩。67.求矩陣=的秩。68.求矩陣=的秩。69.求矩陣的逆矩陣。70.求矩陣的逆矩陣。71.求矩陣的逆矩陣。72.求矩陣的逆矩陣。73.設(shè)，給出可逆的充分必要條件，并在可逆時求其逆74.設(shè)矩陣，問矩陣是否可逆？若可逆，求出。75.設(shè)矩陣，問矩陣是否可逆？若可逆，求出。76.設(shè)矩陣，判斷是否可逆？若可逆，求。77.設(shè)，請用兩種方法（行初等變換，伴隨矩陣）求 。78.已知矩陣=, 用矩陣的初等變換求的逆矩陣。79.已知矩陣=，用矩陣的初等變換求的逆矩陣。80.設(shè)為三階矩陣，為的伴

25、隨矩陣，已知=，求(1) 的值；(2) 的值。81.設(shè)為階方陣，判斷與是否一定可逆，如果可逆，求出其逆。82.設(shè)矩陣=，求矩陣, 使得。83.用求逆矩陣的方法解矩陣方程。84. 解矩陣方程。85.解矩陣方程。86.解矩陣方程87.解矩陣方程88.求解矩陣方程）_89.判斷齊次線性方程組是否有非零解？90.用求逆矩陣的方法解線性方程組91.用求逆矩陣的方法解線性方程組 92.用克萊姆法則解線性方程組 （其中93）_444.用克萊姆法則解線性方程組（其中）94.用克萊姆規(guī)則解方程組 95.討論取何值時，方程組有解，并求解。96.討論取什么值時，方程組有解，并求解。97.選擇，使方程組無解。98.確

26、定的值，使齊次線性方程組有非零解。）_5252552298.取何值時，齊次線性方程組有非零解？99.齊次線性方程組有非零解，則為何值？100.問，取何值時，齊次線性方程組有非零解？101. 問取何值時，非線性方程組 有無限多個解？102.齊次線性方程組有非零解，則應(yīng)滿足什么條件？103.確定的值，使線性方程組無解？有惟一解？有無窮多解？104）_515.取怎樣的數(shù)值時，線性方程組有解，并求出一般解。105.問當(dāng)取何值時，線性方程組有唯一解？無解？有無窮多解？并在有解時寫出解。106.問取何值時，線性方程組有唯一解？無解？有無窮多解？并在有解時寫出解。107.設(shè)線性方程組為討論為何值時，下面線性

27、方程組有唯一解？無解？有無窮多解？并在有無窮多解時求其通解（要求用導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系及它的特解形式表示其通解）。 108.設(shè)非齊次線性方程組為試問:取何值時，方程組無解？有唯一的解？有無窮多個解？有解時請求出解。109.設(shè)非齊次線性方程組為試問: 取何值時，方程組無解？有唯一的解？有無窮多個解？當(dāng)有解時請求出解來。110.求線性齊次方程組的基礎(chǔ)解系。111.求線性齊次方程組的基礎(chǔ)解系。112.求線性齊次方程組的基礎(chǔ)解系。113.求線性齊次方程組的基礎(chǔ)解系。114.求線性齊次方程組 的基礎(chǔ)解系。115.求線性齊次方程組的基礎(chǔ)解系。116.求齊次線性方程組 的基礎(chǔ)解系。 117.求齊次線性方程組的通

28、解。118.求齊次線性方程組的通解。119.求非齊次線性方程組的通解。120.求非齊次線性方程組的通解。121.問下列向量組是否線性相關(guān)？（1）（3，1，4），（2，5，-1），（4，-3，7）；（2）（2，0，1），（0，1，-2），（1，-1，1）122.判別向量組=(0,0,2,3), =(1,2,3,4)，=(1,2,1,1)，=(1,0,1,0)是否線性相關(guān)，并求,的一個極大線性無關(guān)組。123.求向量組，的一個極大線性無關(guān)組，并將其余向量表為該極大線性無關(guān)組的線性組合。124.求向量組，的極大無關(guān)組, 并求出組中其余向量被該極大無關(guān)組線性表出的表達(dá)式。125.已知向量組（）,() ,

29、() ，若各向量組的秩分別為() = () = 3 , () = 4 ,證明向量組（）：的秩為4。126.設(shè)矩陣，求矩陣的列向量組的一個最大無關(guān)組。127.已知向量,線性相關(guān)，求的值。128.設(shè)矩陣,其中線性無關(guān)，向量求方程的解。129.判斷實二次形10是不是正定的。130.取什么值時, 實二次形是正定的。131.取何值時，實二次型是正定的？132.取何值時，二次型正定。133.取何值時，二次型正定。134.取何值時，二次型正定。135.求一個正交變換把二次型化為只含有平方項的標(biāo)準(zhǔn)形。136.求一個正交變換把二次型化為只含有平方項的標(biāo)準(zhǔn)形。137.將二次型化為規(guī)范形，并指出所用的線性變換。13

30、8.用正交線性替換化實二次型為典范形，并求相應(yīng)的正交陣。139.已知向量組=(1,1,0,-1), =(1,2,3,4)，=(1,2,1,1)，=(2,4,2,2)，試求它們的生成子空間(, , , )的維數(shù)和一個基。140.求的特征值。141.求的特征值。142.求的特征值。143.求矩陣的特征根和相應(yīng)的特征向量。144.設(shè)，求一個正交矩陣為對角形矩陣。145.設(shè)，求一個正交矩陣為對角形矩陣。146.設(shè)，用初等變換求一可逆矩陣是對角形式。147.設(shè)，用初等變換求一可逆矩陣是對角形式。148.設(shè),求可逆矩陣, 使是對角形矩陣。149.設(shè)，求一個正交矩陣，使是對角矩陣。150.設(shè)矩陣與相似，求。

31、151.,，求關(guān)于基的坐標(biāo)。）_66152.已知是線性空間的一組基，求向量在基下的坐標(biāo)。153.設(shè)中的兩個基分別為,，（1）求由基的過渡矩陣。（2）已知向量在基下的坐標(biāo)為，求在基下的坐標(biāo)。154.已知是的一個基，求在該基下的坐標(biāo)。155.已知是的一個基，求在該基下的坐標(biāo)。156.考慮中以下兩組向量；，證明和都是的基。并求出由基到的過渡矩陣。157.設(shè)上三維向量空間的相性變換關(guān)于基的矩陣是,求關(guān)于基 的矩陣。158.中的兩向量組 ， （1）證明它們都是的基，（2）并求第一個基到第二個基的過渡矩陣，（3）如果在基下的坐標(biāo)為（3，1，2），求在基下的坐標(biāo)。159設(shè)在標(biāo)準(zhǔn)歐幾里得空間中有向量組， ,

32、，求的一個基與維數(shù)。四、判斷題1.判斷中的子集是否為子空間。2. 判斷中的子集是否為子空間。3.判斷中的子集是否為子空間。4.判斷的向量是否線性相關(guān)。5. 判斷的向量是否線性相關(guān)。6.判斷的向量的線性相關(guān)性。7.若整系數(shù)多項式在有理數(shù)域可約，則一定有有理根。（ ）8.若、均為不可約多項式，且，則存在非零常數(shù)，使得。（ ）9.對任一排列施行偶數(shù)次對換后，排列的奇偶性不變。（ ）10.若矩陣的所有級的子式全為零，則的秩為。（ ）11.若行列式中所有元素都是整數(shù)，且有一行中元素全為偶數(shù)，則行列式的值一定是偶數(shù)。（ ） 12.若向量組（）線性相關(guān)，則存在某個向量是其余向量的線性組合。（ ）13.若兩個

33、向量組等價，則它們所包含的向量的個數(shù)相同。（ ） 14.若矩陣、滿足，且，則。（ ）15.稱為對稱矩陣是指若與都是對稱矩陣，則也是對稱矩陣。（ ）16.設(shè)級方陣、滿足，為單位矩陣，則。（ ） 17.若 是方程的一個基礎(chǔ)解系，則是的屬于的全部特征向量，其中是全不為零的常數(shù)。（ ）18.、有相同的特征值，則與相似。（ ） 19.若無有理根，則在上不可約。（ ）20.兩個本原多項式的和仍是本原多項式。（ ）21.對于整系數(shù)多項式，若不存在滿足艾森施坦判別法條件的素數(shù)，那么不可約。（ ）三、簡要回答 1設(shè), , , 若, 則成立嗎？為什么？2.設(shè), 則當(dāng)滿足何條件時, ？ ？為什么？3若與均相關(guān), 則

34、相關(guān)嗎？為什么？4若、均為級陣, 且, 則與的行向量組等價嗎？為什么？五、證明題1.證明：兩個數(shù)環(huán)的交還是一個數(shù)環(huán)。2證明：是一個數(shù)環(huán)。3證明：是一個數(shù)域。4.證明：, 是映射，又令，證明：如果是單射，那么也是單射。5.若, 則, 。 6.令都是數(shù)域上的多項式,其中且, ，證明: 。7.和是數(shù)域f上的兩個多項式。證明：如果整除，即：，并且，那么。8.設(shè)，。證明：如果，且和不全為零，則。9.設(shè)是中次數(shù)大于零的多項式，若只要就有或，則不可約。10.設(shè)，證明：如果，那么對，都有。11.設(shè)是多項式的一個重因式，那么是的導(dǎo)數(shù)的一個重因式。12.設(shè)，且，對于任意的，則有。13.設(shè)，試證：（1）； （2）1

35、4.試證：。15.設(shè)，（1）計算及；（2）證明：可逆的充分必要條件是；（3）證明：當(dāng)時，不可逆。 16.若階矩陣滿足，證明可逆，并求。17.若階矩陣滿足，證明可逆，并求18.設(shè)階方陣的伴隨方陣為,證明：若。19.設(shè)是階可逆矩陣,證明: (1) ； (2) 乘積可逆。20.證明:一個可逆矩陣可通過行初等變換化為單位矩陣。21.證明：1）若向量組線性無關(guān)，則它們的部分向量組也線性無關(guān)。2）若向量組中部分向量線性相關(guān)，則向量組必線性相關(guān)。22. 已知為階方陣，為的伴隨陣，則的秩為1或0。23. 設(shè)為階陣，求證，。24.設(shè)是一個階方陣，其中分別是階，階可逆陣，（1）證明 ，（2）設(shè) ，求 。25.設(shè)階可逆方陣的伴隨方陣為,證明：.26.已知階方陣可逆，證明：的伴隨方陣也可逆,且。27.設(shè)，均為階方陣，證明：28.令是階矩陣的伴隨矩陣，試證：（1）；（2）。29設(shè)，都是階矩陣，其中并且，證明：。30.已知方陣滿足，試證：可逆，并求出。31.設(shè)是一個秩為的矩陣，證明：存在一個秩為的矩陣，使。32.證明：設(shè)是正定矩陣，證明也是正定的。33.證明：正定對稱矩陣的主對角線上的元素都是正定的。34.設(shè)是一個正交矩陣，證明：(1) 的行列等于或；（2