平面與直線方程課件

1、平面與直線方程17.4 平面與直線方程平面與直線方程一一 平面方程的各種形式平面方程的各種形式二二 直線方程的各種形式直線方程的各種形式三三 平面直線間的夾角及相互關(guān)系平面直線間的夾角及相互關(guān)系平面與直線方程2xyzo0MM 如果一非零向量垂直于一如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做該平面的平面，這向量就叫做該平面的法向量法向量已知平面的法向量為已知平面的法向量為,CBAn 設(shè)平面上的任一點(diǎn)為設(shè)平面上的任一點(diǎn)為),(zyxMnMM 0必有必有00 nMMn1 1 平面的點(diǎn)法式方程平面的點(diǎn)法式方程),(0000zyxM且過點(diǎn)且過點(diǎn)一一 平面方程的各種形式平面方程的各種形式,0000zzyyx

2、xMM 0)()()(000 zzCyyBxxA平面的點(diǎn)法式方程平面的點(diǎn)法式方程平面與直線方程3解解6, 4, 3 AB1, 3, 2 AC取取ACABn ,1, 9,14 所求平面方程為所求平面方程為, 0)4()1(9)2(14 zyx化簡得化簡得. 015914 zyx)4 , 1, 2( A)2, 3 , 1( B)3 , 2 , 0(C例例1 1 求過三點(diǎn)求過三點(diǎn)和和的平面方程的平面方程. .平面與直線方程4由平面的點(diǎn)法式方程由平面的點(diǎn)法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA0)(000 CzByAxCzByAxD 0 DCzByAx2 平面的一般方程平面的一般方程法向量法向

3、量.,CBAn 平面與直線方程5平面一般方程的幾種特殊情況：平面一般方程的幾種特殊情況：, 0)1( D平面通過坐標(biāo)原點(diǎn)；平面通過坐標(biāo)原點(diǎn)；, 0)2( A平面通過平面通過 軸；軸；x平面平行于平面平行于 軸；軸；x, 0)3( BA平面平行于平面平行于 坐標(biāo)面；坐標(biāo)面；xoy類似地可討論類似地可討論 情形情形. .0, 0 CBCA0, 0 CB類似地可討論類似地可討論 情形情形. .0D0D0D0D坐標(biāo)面；坐標(biāo)面；xoy平面與直線方程6,1, 1, 11 n12, 2, 32 n取法向量取法向量21nnn ,5,15,10 , 0)1(5)1(15)1(10 zyx化簡得化簡得. 0632

4、 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解)1 , 1 , 1(7 zyx051223 zyx例例2 2 求過點(diǎn)求過點(diǎn)，且垂直于平面，且垂直于平面和和的平面方程的平面方程. .平面與直線方程7設(shè)平面為設(shè)平面為0236 CBA,2 , 1, 4 n024 CBA,32CBA . 0322 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解),2, 3, 6( 824 zyx例例3 3 設(shè)平面過原點(diǎn)及點(diǎn)設(shè)平面過原點(diǎn)及點(diǎn)且與平面且與平面垂直，求此平面方程。垂直，求此平面方程。由平面過點(diǎn)由平面過點(diǎn))2, 3, 6( 知知0CzByAx平面與直線方程8設(shè)平面為設(shè)平面為, 0 DCzByAx將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得將三點(diǎn)坐標(biāo)代

5、入得 , 0, 0, 0DcCDbBDaA,aDA ,bDB .cDC 解解zyx,、)0 , 0 ,(aP、)0 , 0(bQ), 0 , 0(cR例例4 4 設(shè)平面與設(shè)平面與三軸分別交于三軸分別交于（其中（其中求此平面方程求此平面方程. .)0 abc代入所設(shè)方程得代入所設(shè)方程得1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程x軸上截距軸上截距y軸上截距軸上截距z軸上截距軸上截距平面與直線方程9設(shè)平面為設(shè)平面為, 1 czbyax由所求平面與已知平面平行得由所求平面與已知平面平行得,611161cba 解解例例5 5 求平行于平面求平行于平面0566 zyx坐標(biāo)面所圍成的四面體體積為坐標(biāo)面

6、所圍成的四面體體積為1 1的平面方程的平面方程. .而與三個(gè)而與三個(gè)cba61161 ,61ta ,1tb ,61tc t令令 11111|666t tt 666.xyz 所求平面方程為所求平面方程為,61 t則據(jù)題意有則據(jù)題意有. 161abc. 1, 6, 1cba平面與直線方程10 ),(1111zyxP 1PNn0P 解解),(0000zyxPByAx 0 DCz0P例例6 6 設(shè)設(shè)是平面是平面外一點(diǎn)，求外一點(diǎn)，求到平面的距離到平面的距離. .01PrPPjdn|01nPPn222101010| )()()(|CBAzzCyyBxxA222111000| )(|CBACzByAxCzB

7、yAx222000|CBADCzByAx平面與直線方程11xyzo1 2 空間直線可看成不平行兩平面的交線空間直線可看成不平行兩平面的交線0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxAL1 空間直線的一般方程空間直線的一般方程二二 直線方程的各種形式直線方程的各種形式平面與直線方程12xyzo 如果一非零向量平行于一條已知直線，這個(gè)向量稱如果一非零向量平行于一條已知直線，這個(gè)向量稱為這條直線的為這條直線的方向向量方向向量sL0M M ,0000zzyyxxMM 2 2 空間直線的對稱式方程空間直線的對稱式方程),(0000zyxM

8、設(shè)直線過點(diǎn)設(shè)直線過點(diǎn),pnms 方向向量為方向向量為),(zyxM為直線上任意一點(diǎn)為直線上任意一點(diǎn)pzznyymxx000 直線的對稱式方程直線的對稱式方程（點(diǎn)向式）（點(diǎn)向式）（標(biāo)準(zhǔn)式）（標(biāo)準(zhǔn)式）直線的一組直線的一組方向數(shù)方向數(shù)sMM0/，則，則平面與直線方程13tpzznyymxx 000令令例例7 求過兩點(diǎn)求過兩點(diǎn)),(),(222111zyxBzyxA的直線方程。的直線方程。解解所求直線的方向向量為所求直線的方向向量為sAB ,121212zzyyxx 所求直線方程為所求直線方程為121121121zzzzyyyyxxxx 3 3 空間直線的參數(shù)方程空間直線的參數(shù)方程 ptzzntyym

9、txx000，則有，則有平面與直線方程14例例8 8 將直線將直線解解01zyx0432zyx化為對稱式與參數(shù)式方程?；癁閷ΨQ式與參數(shù)式方程。直線的方向向量為直線的方向向量為312111kjiskji34取取1x代入直線方程得代入直線方程得02 zy063zy解得解得, 2, 0zy因此得到直線上一點(diǎn)因此得到直線上一點(diǎn)).2, 0 , 1 (平面與直線方程15直線的對稱式方程為直線的對稱式方程為參數(shù)方程為參數(shù)方程為.3241 tztytx32141zyx平面與直線方程16解解所以交點(diǎn)為所以交點(diǎn)為),0, 3, 0( B取取BAs ,4, 0, 2 所求直線方程為所求直線方程為.440322 z

10、yx),4 , 3, 2( Ay例例9 9 一直線過點(diǎn)一直線過點(diǎn)且和且和軸垂直相交，軸垂直相交，求其方程求其方程.因?yàn)橹本€和因?yàn)橹本€和y軸垂直相交軸垂直相交, ,平面與直線方程17定義定義（取銳角）（取銳角）1 1n2 2n 兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角. ., 0:11111 DzCyBxA, 0:22222 DzCyBxA,1111CBAn ,2222CBAn 1 1 兩平面的夾角兩平面的夾角三三 平面直線間的夾角及相互關(guān)系平面直線間的夾角及相互關(guān)系 平面與直線方程18222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 兩平

11、面夾角余弦公式兩平面夾角余弦公式兩平面位置特征：兩平面位置特征：21)1( ; 0212121 CCBBAA21)2( /.212121CCBBAA 特別特別1 與與2 重合重合21212121DDCCBBAA ),cos(cos21nn平面與直線方程19直線直線:1L,111111pzznyymxx 直線直線:2L,222222pzznyymxx 兩直線的夾角為兩直線的方向向量的夾角（取銳角）兩直線的夾角為兩直線的方向向量的夾角（取銳角）. .兩直線的夾角公式兩直線的夾角公式2 2 兩直線的夾角兩直線的夾角,1111pnms ,2222pnms 1L設(shè)設(shè)是直線是直線與直線與直線2L的夾角的夾

12、角222222212121212121cospnmpnmppnnmm,則則),cos(cos21ss平面與直線方程20兩直線的位置關(guān)系兩直線的位置關(guān)系：21)1(LL 0212121ppnnmm21)2(LL/212121ppnnmm平面與直線方程21,:000pzznyymxxL , 0: DCzByAx,pnms ,CBAn 2),(ns)20(3 直線與平面的夾角直線與平面的夾角 稱為直線稱為直線直線和它在平面上的投影直線的夾角直線和它在平面上的投影直線的夾角與平面的夾角與平面的夾角 2),(ns或或平面與直線方程22222222|sinpnmCBACpBnAm 直線與平面的夾角公式直線

13、與平面的夾角公式直線與平面的直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系： L)1(.pCnBmA L)2(/. 0 CpBnAm),cos(nssin平面與直線方程23解解,2, 1, 1 n,2, 1, 2 ssin69|22) 1() 1(12|637637arcsin 為所求夾角為所求夾角:L,21121 zyx: , 32 zyx例例10 10 設(shè)直線設(shè)直線平面平面求直線與平面的夾角求直線與平面的夾角. .),cos(ns平面與直線方程24解解,1213tztytx)5, 1 , 2( M12131 zyx例例11 11 求過點(diǎn)求過點(diǎn)且與直線且與直線, ), 12, 13(tttN直線直線L的參數(shù)方

14、程為的參數(shù)方程為則則1,2 ,3 sMN，又，又tttMN5,2,33，因此有，因此有0)5(4)33(3ttt1 tL：垂直相交的直線方程，并求點(diǎn)垂直相交的直線方程，并求點(diǎn)M到直線到直線 的距離。的距離。L與直線與直線L垂直相交的交點(diǎn)為垂直相交的交點(diǎn)為設(shè)所求直線設(shè)所求直線故交點(diǎn)故交點(diǎn))1, 3 , 2( N.平面與直線方程25取所求直線的方向向量為取所求直線的方向向量為MN,4 , 2 , 0 所求直線方程為所求直線方程為215.012xyz |dMN 52420222 點(diǎn)點(diǎn)M到直線到直線 的距離的距離L平面與直線方程26設(shè)直線設(shè)直線L的一般式方程為的一般式方程為111122220(1)0(

15、2)A xB yC zDA xB yC zD 4 4 平面束方程平面束方程定義：定義：通過定直線的所有平面的通過定直線的所有平面的全體稱為全體稱為平面束平面束。則通過直線則通過直線L的的平面平面束方程束方程：是任意實(shí)數(shù)是任意實(shí)數(shù)其中其中11112222()0A xB yC zDA xB yC zD (3)，但是，但是方程方程(3)不包含平面不包含平面(2)。平面與直線方程27解解過已知直線的平面束方程為過已知直線的平面束方程為(1)(1)0 xyzxyz 所求平面過點(diǎn)所求平面過點(diǎn)(2,1,1),M所求平面方程為所求平面方程為244403333xyz 例例1212 求過直線求過直線1010 xyzxyz 和點(diǎn)和點(diǎn)(2,1,1)M的的平面方程。平面方程。2220