第10章矩量法

1、第十章 矩量法解析方法僅適用于結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的散射體。如果散射目標(biāo)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，必須選用數(shù)值方法。數(shù)值方法是對(duì)所求解的微分方程或積分方程實(shí)施離散，采用一組基函數(shù)表示電場(chǎng)、磁場(chǎng)或感應(yīng)電流等未知量，然后將電磁場(chǎng)微分方程或積分方程轉(zhuǎn)換為一組線性代數(shù)方程，即可按照標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)值程序求解這些線性方程組。數(shù)值方法的優(yōu)點(diǎn)在于容易處理結(jié)構(gòu)復(fù)雜的散射體，而且通常可以獲得高精度解。隨著高性能計(jì)算機(jī)的飛速發(fā)展，數(shù)值方法已經(jīng)成為解決實(shí)際問題的日益重要的工具?，F(xiàn)今已有多種數(shù)值方法，各具特色，分別適用于求解不同的電磁問題。典型的數(shù)值方法是矩量法（MoM）、時(shí)域有限差分法（FDTD）和有限元法（FEM）等。本章討論矩量法，后兩章將分別介

2、紹時(shí)域有限差分法和有限元法。矩量法是求解算子方程的有效方法，這些算子通常是微分算子、積分算子或者是兩者的組合。20世紀(jì)60年代， R. F. Harrington首先將矩量法用于電磁問題的求解1。目前已經(jīng)廣泛地用于天線分析、微波器件的設(shè)計(jì)以及復(fù)雜目標(biāo)的雷達(dá)散射截面（RCS）的計(jì)算。通常認(rèn)為矩量法是精度最高的數(shù)值方法，因此引起更多的關(guān)注。如今很多商用軟件的開發(fā)都基于矩量法。但是，矩量法需要求解稠密的矩陣方程。對(duì)于電大尺寸的散射體，它將十分消耗大量機(jī)時(shí)及內(nèi)存。為了解決這個(gè)問題，人們作了很多努力，研發(fā)快速計(jì)算和有效的存儲(chǔ)方法。因此發(fā)展了很多有關(guān)積分方程的快速求解算法，大力推動(dòng)了矩量法的應(yīng)用。10-1

3、一般步驟典型的算子方程可以表示為下列形式（10-1-1）式中L為線性算子，可以是微分、積分或兩者組合，h為一個(gè)已知函數(shù)，f為待求的未知函數(shù)。這些函數(shù)可以是矢量或標(biāo)量，且定義域可為一維、二維或三維空間。因此，在電磁學(xué)中它們可以是空間及時(shí)間函數(shù)。矩量法的一般步驟是，首先將未知函數(shù)表示為一組基函數(shù)的線性組合，然后匹配算子方程，最后由離散的線性方程組求出展開系數(shù)。下面詳述矩量法的具體步驟。首先令為一組基函數(shù)，那么，未知函數(shù)可以近似表示為（10-1-2）式中為展開系數(shù)，它們是未知的。如果N足夠大，上述表示式將非常精確。將上式代入式（10-1-1），得（10-1-3）下一步是選擇一組權(quán)函數(shù)，以每個(gè)權(quán)函數(shù)與

4、上式各項(xiàng)逐一相乘，并且在未知函數(shù)的定義域內(nèi)求積，建立一組未知系數(shù)為的線性代數(shù)方程。該組方程可以表示為（10-1-4）該方程組的系數(shù)及右邊項(xiàng)分別為（10-1-5）（10-1-6）求出未知系數(shù)后，即可近似地決定未知函數(shù)，并由此求得其它場(chǎng)量。上面簡(jiǎn)述了矩量法的求解過程，現(xiàn)在需要討論幾個(gè)問題。首先是基函數(shù)的選擇。對(duì)于基函數(shù)的兩個(gè)基本要求是完備性和正交性。完備性是指選擇的基函數(shù)可以精確地表示任何未知函數(shù)，且其精度隨著基函數(shù)的數(shù)目增加而提高。正交性可以放寬為線性獨(dú)立，即要求一組基函數(shù)中任何兩個(gè)必須是線性獨(dú)立的。眾所周知，一組線性獨(dú)立函數(shù)總可以應(yīng)用所謂Gram-Smit方法使其正交化。此外，表示式的有效性通

5、常也是選擇基函數(shù)的重要判椐。如果基函數(shù)可使未知函數(shù)易于滿足實(shí)際的邊界條件，那么即是一種較好的基函數(shù)。具有實(shí)際應(yīng)用的典型基函數(shù)有兩種：其一稱為全域基函數(shù)，另一個(gè)稱為分域基函數(shù)或稱為子域基函數(shù)。每一個(gè)全域基函數(shù)都在相同的域中定義，而每一個(gè)分域基函數(shù)的非零區(qū)域是在未知函數(shù)的部分域中定義。例如下列積分方程（10-1-7）其中未知函數(shù)的定義域?yàn)?，因此，基函?shù)是一組全域基函數(shù)。全域基函數(shù)的很大優(yōu)點(diǎn)是各個(gè)基函數(shù)具有相同的表示精度。與分域基函數(shù)比較，采用全域基函數(shù)時(shí)通常待求的未知數(shù)的數(shù)目較少。因?yàn)槭褂萌蚧瘮?shù)時(shí)無須網(wǎng)格剖分，數(shù)值計(jì)算也相對(duì)地易于實(shí)現(xiàn)。一些有用的全域基函數(shù)是多項(xiàng)式（例如。），以及正弦和余弦函數(shù)

6、。例如，對(duì)于區(qū)域，可以選擇作為一組基函數(shù)。全域基函數(shù)通常用于求解一維問題的線性積分方程，定義域?yàn)榫匦蔚亩S問題有時(shí)也可采用。全域基函數(shù)也可與分域基函數(shù)組合使用。一個(gè)典型的例子是，旋轉(zhuǎn)體散射問題的求解。此時(shí)，每個(gè)基函數(shù)是一個(gè)隨角度變化的全域基函數(shù)與一個(gè)軸向變量的分域基函數(shù)（例如方波函數(shù)或三角函數(shù)）的乘積。全域基函數(shù)的主要缺點(diǎn)是，它們僅可用于形狀規(guī)則的定義域，例如一維導(dǎo)線和二維的方形或矩形域。對(duì)于邊界形狀復(fù)雜的區(qū)域，定義全域基函數(shù)是十分困難的。一個(gè)分域基函數(shù)僅在部分函數(shù)域內(nèi)定義有非零值，通常這部分域的尺寸遠(yuǎn)小于波長(zhǎng)。除了方波函數(shù)（又稱為脈沖基函數(shù)）以外，幾乎全部分域基函數(shù)（例如三角函數(shù)）具有重疊的

7、非零區(qū)。因此，為了定義分域基函數(shù)，通常需要將求解區(qū)域劃分為很多小片的集合，每個(gè)小片稱為一個(gè)網(wǎng)格單元或簡(jiǎn)稱為一個(gè)單元。這樣的單元集合構(gòu)成目標(biāo)的近似表示，因此稱為網(wǎng)格。一些典型的網(wǎng)格單元形狀如圖10-1-1所示。典型的網(wǎng)格單元的形狀，對(duì)于線狀結(jié)構(gòu)為線段；對(duì)于面狀結(jié)構(gòu)為三角形和方形；對(duì)于體狀結(jié)構(gòu)為立方體、四面體及棱柱體25。(a)(b)(c)圖10-1-1 典型的網(wǎng)格單元：(a)線段，(b)平面三角形，(c)六面體實(shí)際上，廣泛地選擇矩形基函數(shù)和三角基函數(shù)作為分域基函數(shù)25。許多其它基函數(shù)是該兩種基函數(shù)的變形或組合。一個(gè)矩形基函數(shù)在一個(gè)單元內(nèi)定義為1，而在其余全部單元內(nèi)定義為零。因此，任何兩個(gè)矩形基函

8、數(shù)的非零的子域不會(huì)重疊。三角基函數(shù)恰好相反，每個(gè)三角基函數(shù)在兩個(gè)單元中具有非零區(qū)域。顯然，基函數(shù)的選擇有時(shí)與網(wǎng)格的形狀有關(guān)。以一維為例，將未知函數(shù)定義在一個(gè)區(qū)域，再將該區(qū)域劃分為相同尺寸的N個(gè)子區(qū)。第n個(gè)子區(qū)的數(shù)學(xué)定義為，這里，而。一個(gè)矩形基函數(shù)定義為（10-1-8）該函數(shù)如圖10-1-2所示。1x圖10-1-2第n個(gè)矩形基基函數(shù)圖10-1-3 sinx函數(shù)的近似表示：(a) 原函數(shù)，(b) 14個(gè)矩形基函數(shù)，(c) 46個(gè)矩形基函數(shù)為了說明表示的精度，圖10-1-3中給出函數(shù)的近似表示，圖10-1-3(a)為原函數(shù)，圖10-1-3(b)使用14個(gè)矩形基函數(shù)表示，圖10-1-3(c)使用46個(gè)

9、矩形基函數(shù)表示。由圖可見，為了精確地表示一個(gè)函數(shù)需要大量矩形基函數(shù)。矩形基函數(shù)是在一個(gè)分段內(nèi)用常數(shù)表示的函數(shù)，所以它是一個(gè)零階的函數(shù)。矩形基函數(shù)十分簡(jiǎn)單，且易于編程。但是，它不是一個(gè)有效的基函數(shù)。為了改善表示的有效性，可以提高基函數(shù)的階數(shù)。三角函數(shù)是一個(gè)一階基函數(shù)，因?yàn)樗谝欢斡騼?nèi)線性地由0增加到1，在相鄰的域內(nèi)線性地由1降至0。因此，兩個(gè)相鄰的三角函數(shù)具有重疊部分。再以一維例子予以說明。令和為兩個(gè)相鄰的單元，那么一個(gè)三角基函數(shù)可以表示為（10-1-9）該函數(shù)如圖10-1-4(a)所示。圖10-1-4(b)使用5個(gè)三角基函數(shù)近似表示函數(shù)。顯然，三角基函數(shù)比矩形基函數(shù)能夠更加有效地表示原函數(shù)。圖

10、10-1-4三角基函數(shù)及其表示：(a) 第三和第四單元中的三角基函數(shù)。(b) 5個(gè)三角基函數(shù)近似表示函數(shù)。0x(a)(b)0x2下面討論算子方程的匹配技術(shù)。匹配即是使原方程在弱條件下近似成立的方法。例如在函數(shù)域中某點(diǎn)使方程兩邊相等，那么獲得一個(gè)代數(shù)方程。如果對(duì)于N個(gè)不同點(diǎn)重復(fù)進(jìn)行，那么將獲得N個(gè)線性無關(guān)的方程。這是一種最簡(jiǎn)單的匹配方法，通常稱為點(diǎn)匹配技術(shù)?？傊?，矩量法的一般步驟即是，首先選擇一個(gè)權(quán)函數(shù)，與算子方程相乘，然后將方程兩邊再分別在未知函數(shù)的定義域內(nèi)進(jìn)行積分。如果對(duì)于N 個(gè)不同的權(quán)函數(shù)重復(fù)進(jìn)行，也可建立N個(gè)線性代數(shù)方程?，F(xiàn)有許多不同的匹配方法，在矩量法中最為廣泛使用的是Galerkin

11、方法，這種方法選擇權(quán)函數(shù)組與基函數(shù)組相同。下面詳細(xì)說明使用矩形基函數(shù)作為權(quán)函數(shù)的點(diǎn)匹配技術(shù)。為了簡(jiǎn)單起見，仍以一維問題為例。令為區(qū)域的中心，那么對(duì)于這個(gè)區(qū)域的方波函數(shù)定義為（10-1-10）如果使方程在等處進(jìn)行點(diǎn)匹配，得 （10-1-11）點(diǎn)匹配技術(shù)基于場(chǎng)量在匹配點(diǎn)附近區(qū)域內(nèi)（通常小于十分之一波長(zhǎng)）是平滑的假定，其精度是有限的，且僅可用于小網(wǎng)格的情況。但是，點(diǎn)匹配技術(shù)避免了積分，便于應(yīng)用。如果使用Galerkin方法匹配方程，那么，獲得的方程具有下列形式（10-1-12）Galerkin匹配方法的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是，獲得的系數(shù)矩陣通常是對(duì)稱的，這將減小內(nèi)存，因?yàn)樗璧木仃噯卧獢?shù)僅略微超過一半。而且Ga

12、lerkin匹配方法比點(diǎn)匹配技術(shù)的精度高。上述算子方程的離散方法很容易推廣到二維和三維情況。矩量法的最后一步是求解線性方程組?，F(xiàn)有很多標(biāo)準(zhǔn)程序可以完成這個(gè)任務(wù)。例如，廣泛用于科學(xué)與工程計(jì)算的LAPACK 和 PETsc兩個(gè)軟件包含有許多這樣的子程序。求解線性方程組的方法中，直接求解和迭代求解是兩種最為常用的方法。直接法所需的內(nèi)存正比于（N是未知數(shù)的數(shù)目），所需的CPU時(shí)間正比于。這些方法最為精確，且適用于多個(gè)右端項(xiàng)。但是，隨著未知數(shù)的增加，CPU時(shí)間迅速加長(zhǎng)。迭代法試圖以有限的迭代次數(shù)構(gòu)造一個(gè)近似解。在計(jì)算電磁學(xué)中，共軛梯度法（CG）及其相關(guān)的變形廣泛地用于迭代求解2。迭代求解時(shí)，為了求解一個(gè)

13、右端矢量對(duì)應(yīng)的未知數(shù)所需的內(nèi)存和CPU時(shí)間正比于。必須承認(rèn)無論直接求解還是迭代求解均限于求解電小問題。幸運(yùn)的是，近數(shù)十年以來已經(jīng)開發(fā)了很多快速積分方程求解方法，顯著地增強(qiáng)了矩量法的求解能力。10-2 線散射設(shè)一根理想導(dǎo)電的導(dǎo)線位于自由空間，其半徑為常數(shù)a，且遠(yuǎn)小于波長(zhǎng)。再令導(dǎo)線的中心線為C，其表面為S。如果是多根線體，C代表一組全部線體中心線的集合，而S代表全部表面的集合。在入射波作用下，導(dǎo)線表面產(chǎn)生的感應(yīng)電流為，那么該電流產(chǎn)生的散射電場(chǎng)可以表示為（10-2-1）式中為三維自由空間Green函數(shù)，即（10-2-2）若以表示入射電場(chǎng)，那么理想導(dǎo)電表面的邊界條件可以表示為（10-2-3）式中下標(biāo)“

14、t”代表矢量的切向分量。由于導(dǎo)線很細(xì)，確切地說導(dǎo)線半徑為電小尺寸，那么可取兩個(gè)近似：認(rèn)為導(dǎo)線中的電流在垂直于導(dǎo)線的平面內(nèi)為常數(shù)；不考慮電流圓周方向的 f 分量，因?yàn)樵摲至康妮椛溆捎谙嗷サ窒蚨暙I(xiàn)通常很小。這就是所謂的電細(xì)導(dǎo)線近似。通常，如果導(dǎo)線的半徑小于或等于0.01l，l為激勵(lì)波的波長(zhǎng)，那么即可認(rèn)為電細(xì)導(dǎo)線。如果導(dǎo)線半徑不滿足這個(gè)條件，或者要求更高的精度，應(yīng)該采用三維全波模型，詳述見10-5節(jié)。在電細(xì)導(dǎo)線近似情況下，未知的表面電流可以表示為（10-2-4）式中為沿表面S的切線方向上的單位矢量。因此，面積分方程簡(jiǎn)化為線積分方程，即應(yīng)用分部積分法，得或者寫為（10-2-5）必須指出，上述積分

15、方程隱含一種近似，即源點(diǎn)僅限在導(dǎo)線中心，而場(chǎng)點(diǎn)r僅限在導(dǎo)線表面。對(duì)于電細(xì)導(dǎo)線，這種近似引起的誤差可以忽略。上述方程也可寫成如下形式 （10-2-6）現(xiàn)用矩量法求解未知電流函數(shù)。為了能夠適用于任意取向和長(zhǎng)度的導(dǎo)線，使用分域基函數(shù)。首先將曲線C分成N個(gè)子段，且表示為。每段長(zhǎng)度遠(yuǎn)小于波長(zhǎng)，典型值的范圍是0.050.1，這里為激勵(lì)波的波長(zhǎng)。那么，未知的電流函數(shù)可以展開為一組N個(gè)矩形基函數(shù)的加權(quán)求和，即 （10-2-7）將上式代入積分方程式（10-2-6），得 （10-2-8）現(xiàn)在每個(gè)線段的中心處匹配上述方程式（10-2-8），得（10-2-9）此式為一組未知系數(shù)為的線性代數(shù)方程。如果將該方程寫成矩陣形

16、式，那么系數(shù)矩陣（也稱為阻抗矩陣）的單元具有下列形式（10-2-10）因?yàn)槭且粋€(gè)方波函數(shù)，當(dāng)源點(diǎn)在線段上，數(shù)值為1，其余點(diǎn)為零。上式可以簡(jiǎn)化為（10-2-11）當(dāng)匹配點(diǎn)（也稱為場(chǎng)點(diǎn)）不在線段上，即，上式中的積分可以用單點(diǎn)求積規(guī)則近似為（10-2-12）式中為線段的長(zhǎng)度。注意，上式中的二次微分可用下列步驟求得。因?yàn)椋梢?，僅需求出和。令和分別為曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)，那么，位置矢量r可用本地坐標(biāo)變量l表示為（10-2-13）求得（10-2-14）式中再利用公式，求得， 上述式中。當(dāng)位置矢量r位于線段上，使用另一種方法求積。已假定源點(diǎn)位于導(dǎo)線中心，場(chǎng)點(diǎn)r位于導(dǎo)線表面，因此場(chǎng)點(diǎn)至源點(diǎn)的距離永遠(yuǎn)不會(huì)為零。事

17、實(shí)上，該距離可用本地坐標(biāo)變量l表示為當(dāng)l由0變化到時(shí)，R具有最小值a，此處a為導(dǎo)線半徑。此外， 可以使用任一種一維積分規(guī)則求積上述積分，即（10-2-15）式中和分別為標(biāo)準(zhǔn)的Gauss積分權(quán)值和節(jié)點(diǎn)。因?yàn)榫€段通常遠(yuǎn)小于波長(zhǎng)，積分規(guī)則的階數(shù)需要很高。在大多數(shù)情況下，三階可以滿足精度。對(duì)于遠(yuǎn)區(qū)散射場(chǎng)，考慮到，自由空間Green函數(shù)可取下列近似（10-2-16）那么，遠(yuǎn)區(qū)散射電場(chǎng)可以表示為（10-2-17）式中為了計(jì)算平面波入射時(shí)導(dǎo)線的雷達(dá)散射截面（RCS），令入射波的電場(chǎng)為（10-2-18）式中這里，為入射波的傳播矢量，為垂直于的常矢量，和為入射波的方位角。由式（6-1-13）知，平面波入射時(shí)目標(biāo)

18、的單站雷達(dá)散射截面為（10-2-19）式中為入射波的振幅，為散射波的振幅。觀察兩個(gè)實(shí)例。第一個(gè)例子是三元天線陣的結(jié)構(gòu)如圖10-2-1(a)所示。單元導(dǎo)線的長(zhǎng)度為0.5m，半徑為5mm。三根導(dǎo)線均位于xz平面內(nèi)，且與z軸平行，其坐標(biāo)位置分別為。入射波的頻率為300MHz，入射方向?yàn)?。在的觀察面內(nèi)，利用上述方法計(jì)算雙站雷達(dá)散射截面的結(jié)果如圖10-2-1(b)所示。圖10-2-1 三元天線陣的雙站雷達(dá)散射截面RCS(dBsm2)角度q s(b)xz0(a)-0.3m0.3m另一個(gè)例子是V形天線的結(jié)構(gòu)如圖10-2-2所示，其中第一根導(dǎo)線的起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)分別為(2,0,-4) 和(0,0,0)，第二根導(dǎo)

19、線的起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0,0) 和 (2,0,4)。由此可見，第一根導(dǎo)線的終點(diǎn)和第二根導(dǎo)線的起點(diǎn)相連，所以電流由導(dǎo)線流向?qū)Ь€。若入射波的頻率仍為300MHz，那么在的平面內(nèi)，利用上述方法計(jì)算單站雷達(dá)散射截面的結(jié)果如圖10-3-2(b)所示。圖10-2-2 V形天線的單站雷達(dá)散射截面RCS(dBsm2)角度q s(b)x(a)z-442010-3二維散射下面討論柱體的電磁散射問題。為了簡(jiǎn)單起見，僅考慮平面波向柱體垂直入射的特殊情況。這里，作為散射目標(biāo)的柱體具有三個(gè)特點(diǎn)： 在xy平面內(nèi)的尺寸是有限的； 在z方向上為無限長(zhǎng)； 物理特性和幾何形狀沿z方向不變。由于任何平面波均可表示為TE 波與TM

20、波之和，僅需討論TE 波與TM波的電磁散射。在下面的討論中，假定散射體位于自由空間，其橫截面的邊界均以C表示。對(duì)于多柱體情況，C代表所有柱體橫截面的邊界聯(lián)合。10-3-1二維TM波散射首先討論具有任意形狀的橫截面的理想導(dǎo)電柱體對(duì)TM波的散射。此時(shí)僅需考慮電場(chǎng)強(qiáng)度的分量，因?yàn)殡妶?chǎng)強(qiáng)度的其他分量為零，而全部磁場(chǎng)分量又可由該分量導(dǎo)出。設(shè)入射波為，產(chǎn)生的表面電流為。將二維自由空間Green函數(shù)的表示式（6-7-11）代入式（6-7-15），即可獲得該表面電流產(chǎn)生的散射場(chǎng)為（10-3-1）再將式（6-7-11）代入式（6-7-16），即可建立以表面電流為未知數(shù)的散射場(chǎng)積分方程為（10-3-2）該方程是根

21、據(jù)電場(chǎng)的切向分量建立的，因此稱為電場(chǎng)積分方程，簡(jiǎn)稱為EFIE（Electric Field Integral Equation）2。為了處理任意形狀橫截面的散射體，選用分域基函數(shù)離散積分方程，而且使用矩形基函數(shù)或三角基函數(shù)展開未知的表面電流函數(shù)25。由于表面電流方向?yàn)閦軸方向，沒有環(huán)向電流分量，矩形基函數(shù)即可精確地描述。為此，將邊界C分為N個(gè)子段，令第n個(gè)子段為，那么表面電流可以展開為（10-3-3）式中為矩形基函數(shù)。當(dāng)在子段上，矩形基函數(shù)為1，其余處為零?？梢姡归_系數(shù)就是子段上的表面電流的振幅。將式（10-3-3）代入式（10-3-2），然后在點(diǎn)測(cè)試獲得的方程，得（10-3-4）如果將上式

22、寫成矩陣形式，那么該矩陣的元素為（10-3-5）此式可以使用與前述線積分方程的相同方法求積。因此，當(dāng)不在子段上時(shí)（），積分可用單點(diǎn)矩形規(guī)則近似，即（10-3-6）式中為子段的長(zhǎng)度。當(dāng)測(cè)試點(diǎn)位于源區(qū)，則位置矢量可以表示為那么，Hankel函數(shù)的宗量為利用小宗量Hankel函數(shù)的近似公式，求得式中。因此，當(dāng)時(shí)，式（10-3-5）變?yōu)?右邊第一個(gè)積分的被積函數(shù)是正則的，因?yàn)槠娈惒糠忠呀?jīng)去除。因此，這是一個(gè)平滑函數(shù)。如果使用單點(diǎn)矩形規(guī)則求解這個(gè)積分，其值為零。求解第二個(gè)積分可以使用下列公式根據(jù)上述結(jié)果，獲得的矩陣元素為（10-3-7）為了精確描述表面電流的變化，每個(gè)子域的長(zhǎng)度應(yīng)該遠(yuǎn)小于一個(gè)波長(zhǎng)，通常為

23、0.1l0到0.05l0。如果期望獲得更精確的阻抗值，可以采用高階數(shù)值規(guī)則替代單點(diǎn)矩形規(guī)則。由式（10-3-7）可見，矩陣元素僅決定于測(cè)試段和源區(qū)段的中心點(diǎn)的距離。如果該距離為常數(shù)，則對(duì)于截面為圓的散射體的離散具有特別意義。此時(shí)，任一列的矩陣元素是前一列的移后的結(jié)果，任一行矩陣元素也是如此。具有這種特性的矩陣稱為循環(huán)矩陣。對(duì)于循環(huán)矩陣，僅需儲(chǔ)存一行或一列單元。因此，顯著地簡(jiǎn)化矩陣的計(jì)算，大大地減少內(nèi)存。為了讀者方便，表10-3-1給出了一個(gè)離散例子的矩陣的第一列矩陣元素，此時(shí)散射體是半徑為0.5l0的理想導(dǎo)電圓柱。進(jìn)行離散時(shí)，自開始等間隔地將其劃分為32個(gè)子段，即第一段的弧長(zhǎng)從到。表10-3-

24、1理想導(dǎo)電圓柱散射體的第一列矩陣元素行號(hào)i矩陣元素(實(shí)部，虛部) 行號(hào)i矩陣元素(實(shí)部，虛部)12345678910111213141516-58.1763 84.8695-52.7822 16.7679-38.2671 -14.215818.9280 -28.09153.86963E-02 -29.657814.4025 -22.595522.0589 -11.160523.1466 0.72406719.3518 10.3580912.9222 16.5567105.85960 19.39140.493084 19.66785.49485 18.42329.03160 16.593711.

25、2773 14.8701-12.4887 13.686517181920212223242526272829303132-12.8676 13.269112.4887 13.686511.2773 14.8701-9.03160 16.5937-5.49485 18.4232-0.493075 19.66785.85962 19.391412.9222 16.556719.3518 10.3580923.1466 0.72407822.0589 -11.160514.4025 -22.59553.86890E-02 -29.6579-18.9279 -28.0915-38.2671 -14.2

26、158-52.7822 16.7679求出展開系數(shù)后，即可計(jì)算導(dǎo)電體表面的感應(yīng)電流以及散射場(chǎng)。表面電流的計(jì)算比較方便，因?yàn)檎归_系數(shù)本身就是子段中心點(diǎn)的電流數(shù)值。將式（10-3-3）代入式（10-3-1），散射場(chǎng)可用展開系數(shù)表示為（10-3-8）如果僅需計(jì)算遠(yuǎn)區(qū)場(chǎng)以及雷達(dá)散射截面（RCS），可以使用大宗量Hankel的近似公式，簡(jiǎn)化上述計(jì)算。當(dāng)時(shí)，可取。求得散射場(chǎng)為（10-3-9）根據(jù)上述結(jié)果，可將二維雷達(dá)散射截面表示為 （10-3-10）下面給出幾例，比較矩量法計(jì)算散射體的RCS與嚴(yán)格解析方法的結(jié)果。第一個(gè)例子是，入射的TM波頻率為300MHz，理想導(dǎo)電圓柱的半徑為。圓柱截面的周長(zhǎng)約為，被等間

27、隔地分為128段。因此，每段長(zhǎng)度約為。將此結(jié)果與級(jí)數(shù)解（下面稱為嚴(yán)格解）比較，點(diǎn)點(diǎn)平均誤差為0.0056 dBm，足以滿足大多數(shù)工程要求。圖10-3-1給出入射方位角時(shí)雙站RCS的比較結(jié)果。散射體的表面電流振幅比較如圖10-3-2所示，其振幅已用377歸一化?？梢妰煞N結(jié)果十分一致。圖10-3-2 導(dǎo)電圓柱的表面電流角度f歸一化電流振幅 嚴(yán)格解 矩量法圖10-3-1 導(dǎo)電圓柱的雙站RCSRCS(dBm)角度f 嚴(yán)格解 矩量法由上例可見，矩形基函數(shù)和點(diǎn)匹配技術(shù)對(duì)于TM波散射可以獲得很精確的結(jié)果。這是因?yàn)樯⑸潴w的表面是平滑的。為了說明表面具有尖角的散射體情況，考慮橫截面為三角形的理想導(dǎo)電柱體。令三角

28、形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(-2,0), (2,0)和(0,1)，坐標(biāo)單位為m（如不特別注明，本章坐標(biāo)的尺度均以米為單位）。入射波的頻率為300MHz，入射方位角。求解該散射問題時(shí)，使用兩種不同的離散密度。第一種離散的子段長(zhǎng)度近似為，第二種離散的子段長(zhǎng)度大約為。兩種情況的RCS如圖10-3-3所示，可見兩者相當(dāng)一致。歸一化電流振幅子段長(zhǎng)度0.05l0-子段長(zhǎng)度0.1l0角度fxy圖10-3-3 兩種離散的電流分布圖10-3-4 兩種離散的RCSRCS(dBm)角度fRCS(dBm)兩種離散密度獲得的電流分布特性則差別較大。因?yàn)楸砻娌黄交?，表面離散時(shí)出現(xiàn)不連續(xù)點(diǎn)?？拷@些不連續(xù)點(diǎn)附近的電流也出現(xiàn)奇異

29、性。三角形頂點(diǎn)處的電流振幅理論上接近無限大。由于求解誤差，矩量法的結(jié)果不可能達(dá)到無限大。但是，由圖10-3-3可見，在這些點(diǎn)附近的電流仍然很大。第二種離散密度求出的奇點(diǎn)處電流振幅大于第一種。但是，由圖10-3-5可見，兩種電流產(chǎn)生的RCS相同，主要是因?yàn)槠纥c(diǎn)處電流對(duì)于遠(yuǎn)區(qū)場(chǎng)貢獻(xiàn)很小。圖10-4-5給出了理想導(dǎo)電方柱對(duì)于頻率為300MHz，入射方位角的TM波散射時(shí)，矩量法（MoM）和下一章將要介紹的時(shí)域有限差分法（FDTD）計(jì)算獲得的雙站RCS的結(jié)果。由上述幾個(gè)計(jì)算例子可見，對(duì)于TM波散射，使用矩形基函數(shù)及點(diǎn)匹配技術(shù)可以獲得精確的結(jié)果。無論是表面平滑的圓柱或具有尖角的柱體都是如此。RCS(dBm

30、)角度fMoM FDTD圖10-3-5 MoM和FDTD對(duì)于理想導(dǎo)電方柱的RCS計(jì)算比較10-3-2 二維TE波散射對(duì)于TE波，僅需考慮磁場(chǎng)的z分量，電場(chǎng)分量均可由此分量導(dǎo)出。同時(shí)，在理想導(dǎo)電表面也會(huì)產(chǎn)生切向感應(yīng)電流。為此，設(shè)未知函數(shù)為矢量電流密度函數(shù)J。因?yàn)橐阎娏髅芏鹊姆较蚺c表面相切，僅需一個(gè)標(biāo)量函數(shù)描述電流密度的振幅變化特征。根據(jù)理想導(dǎo)電表面的電場(chǎng)切向分量為零的邊界條件建立積分方程。由第六章獲悉散射電場(chǎng)可用二維Green函數(shù)表示為 （10-3-11）式中算子為相應(yīng)運(yùn)算（梯度或散度）的橫向分量。為二維自由空間Green函數(shù)，即 （10-3-12）令為入射電場(chǎng)強(qiáng)度，那么，根據(jù)理想導(dǎo)電表面的電

31、場(chǎng)切向分量為零的邊界條件，獲得下列積分方程（10-3-13）此式是以感應(yīng)電流為未知數(shù)的電場(chǎng)積分方程。仍然可以使用矩形基函數(shù)和點(diǎn)匹配技術(shù)，具體過程不再重述，留給讀者作為練習(xí)。為了完整起見，這里采用三角基函數(shù)。該三角基函數(shù)的非零域?yàn)楣补?jié)點(diǎn)的兩個(gè)線段，當(dāng)然它是一次的。為了描述三角函數(shù)的變化，將兩個(gè)線段的另外兩個(gè)節(jié)點(diǎn)稱為端點(diǎn)（或稱為浮點(diǎn)）。該三角函數(shù)自線段的一個(gè)端點(diǎn)線性地由0增至公共節(jié)點(diǎn)處的1，然后再由1降為0到達(dá)另一個(gè)端點(diǎn)。第n個(gè)三角函數(shù)的數(shù)學(xué)描述如下 （10-3-13）式中和分別為第一條和第二條線段的路徑，為的長(zhǎng)度，為兩個(gè)端點(diǎn)的位置，如圖10-3-6所示。圖10-3-6 兩條相鄰的路徑為了簡(jiǎn)單起見

32、，式（10-3-13）有時(shí)可以改寫為式中 （10-3-14）由上可見，基函數(shù)的方向?yàn)槁窂降那芯€方向，在公共節(jié)點(diǎn)的數(shù)值為1。如果展開未知的感應(yīng)電流，其系數(shù)代表公共節(jié)點(diǎn)的電流數(shù)值。該展開式可取下列形式 （10-3-15）將上式代入積分方程，使用Galerkin方法測(cè)試獲得的方程，求得的矩陣方程的元素為（10-3-16）而右端項(xiàng)為（10-3-17）上式中，為第n個(gè)基函數(shù)的非零值域。由于增加了奇異性以及基函數(shù)的復(fù)雜性，此時(shí)阻抗矩陣的求解較為復(fù)雜。為了數(shù)值計(jì)算該積分，首先需要簡(jiǎn)化上述表示式。可以證明，該基函數(shù)的散度為（10-3-18）此外，使用分步積分法將標(biāo)量位的梯度運(yùn)算轉(zhuǎn)移至測(cè)試函數(shù)，步驟如下。將式（

33、10-3-16）的源積分記為（10-3-19）上式為標(biāo)量位的精確表示式。根據(jù)矢量恒等式，得那么，上式右邊第一項(xiàng)積分為因?yàn)樵趦蓷l線段的端點(diǎn)處基函數(shù)為零，上述積分實(shí)際上為零。因此求得（10-3-20）注意，測(cè)試函數(shù)的橫向散度可以移出積分符號(hào)外，因?yàn)樗浅?shù)。但需記住該常數(shù)在兩條線段取值不同?，F(xiàn)將式（10-3-19）該寫為 （10-3-21）式中為正比于基函數(shù)的矢量位函數(shù)。定義為 （10-3-22）因?yàn)闃?biāo)量位函數(shù)和矢量位函數(shù)均為平滑函數(shù)，對(duì)于測(cè)試域的積分可用任何數(shù)值方法求積。為了獲得和，先介紹源積分的計(jì)算。如前所述，當(dāng)測(cè)試積分不在上，被積函數(shù)沒有奇點(diǎn)，可以使用任一種數(shù)值方法求積。如果測(cè)試點(diǎn)位于上，需

34、要提取奇異點(diǎn)以便處理源積分，下面詳細(xì)說明。首先注意二維Green函數(shù)的奇異值實(shí)際上為lnR，這里為源點(diǎn)至場(chǎng)點(diǎn)的距離。因此，可將二維Green函數(shù)表示為上式右邊第一項(xiàng)是正則的，為了方便起見，通常記為，即因此，求得上面兩個(gè)位函數(shù)積分中，僅需計(jì)算下列積分使用本地坐標(biāo)表示基函數(shù)，可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化矢量積分。為此，考慮到區(qū)域，每個(gè)子域和具有一個(gè)起點(diǎn)和一個(gè)終點(diǎn)。因?yàn)閮蓚€(gè)子域共有一個(gè)節(jié)點(diǎn)，子域?qū)嶋H上由三個(gè)獨(dú)立點(diǎn)定義：第一個(gè)子域的起點(diǎn)，兩個(gè)子域公共點(diǎn)，以及第二個(gè)子域的終點(diǎn)。根據(jù)這些節(jié)點(diǎn)，使用本地坐標(biāo)可將基函數(shù)展開為因?yàn)?，故是由子域的起點(diǎn)指向終點(diǎn)的單位矢量。類似地，是由公共點(diǎn)指向子域的終點(diǎn)的單位矢量。和均為常矢量。

35、測(cè)試點(diǎn)和源點(diǎn)也可使用本地坐標(biāo)表示為，那么，源點(diǎn)至場(chǎng)點(diǎn)的距離R可以表示為， ， 積分宗量為， ， ， ， 使用上述符號(hào)，得式中因?yàn)?，上述兩個(gè)函數(shù)是解析的，注意當(dāng)，?？紤]到，使用數(shù)值求積方法求出位函數(shù)為式中這是一個(gè)和的正則函數(shù)，使用一階或二階求積即可計(jì)算。下面舉例說明矩量法對(duì)于TE波散射的應(yīng)用。首先給出矩形基函數(shù)和點(diǎn)匹配技術(shù)的結(jié)果。圖10-3-7和圖10-3-8分別給出半徑為2的理想導(dǎo)電圓柱體散射時(shí)雙站RCS及其電流分布，入射波的頻率為300MHz，方位角。使用矩量法求解時(shí)，圓柱周長(zhǎng)被等間隔地化分成124段。圖中同時(shí)也給出嚴(yán)格解的結(jié)果，以便比較?？梢妰烧呤忠恢隆w一化電流振幅角度f嚴(yán)格解 MoM

36、圖10-3-8理想導(dǎo)電圓柱的表面電流分布RCS(dBm)角度f嚴(yán)格解 MoM圖10-3-7理想導(dǎo)電圓柱的雙站RCS由圖可見，即使離散尺寸為0.1，矩量法可以獲得很高的精度。但是，電流分布的精度較低一些，其原因可用模式概念給予解釋。電流的分布特性可用很多模式描述，正弦或余弦函數(shù)均可用來描述電流隨角度 f 的變化特性。低階模式具有比較平滑的分布特性，可用方波函數(shù)精確地描述；高階模式變化尖銳，使用方波函數(shù)不易表示。此外，由于較低階模式對(duì)于遠(yuǎn)區(qū)場(chǎng)的貢獻(xiàn)較強(qiáng)，而高階模式對(duì)于RCS的貢獻(xiàn)較弱，因此，即使電流分布的精度不高，也可獲得精確的RCS結(jié)果。下面再給出相同圓柱的電流分布，但是使用三角基函數(shù)和Gale

37、rkin方法。其結(jié)果示于圖10-3-9中。在此計(jì)算中，圓柱的周長(zhǎng)被分為124段，基函數(shù)也是124個(gè)。由圖可見，對(duì)于相同的網(wǎng)格尺寸，解的精度顯著高于矩形基函數(shù)的結(jié)果。RCS的改善不太明顯，原因如上所述，其結(jié)果這里不再提供。歸一化電流振幅角度f嚴(yán)格解 MoM圖10-3-9理想導(dǎo)電圓柱的表面電流分布（使用三角基函數(shù)和Galerkin方法）10-3-3二維體散射問題已經(jīng)討論了矩量法求解具有任意橫截面的理想導(dǎo)電圓柱對(duì)于TM波和TE波的散射，本節(jié)將討論介質(zhì)圓柱對(duì)于TM波和TE波的散射問題。開始先假定介質(zhì)特性在橫截面內(nèi)是可變的，而在軸線方向上沒有變化。如果介質(zhì)特性在橫截面內(nèi)是均勻的，可以利用邊界條件建立面積

38、分方程進(jìn)行求解。這里先處理非均勻介質(zhì)，后面再討論均勻介質(zhì)。為了簡(jiǎn)單起見，假定介質(zhì)是非磁性的，即磁導(dǎo)率。讀者可以很容易將電性材料的結(jié)果推廣到磁性材料。同時(shí)，入射波仍分為TM波和TE波，入射方向仍假定垂直于圓柱體。與理想導(dǎo)電柱的情況一樣，如果入射波是TM波，那么僅需求解總電場(chǎng)的z分量。由于散射體是無限長(zhǎng)的柱體，所需討論的是場(chǎng)和源在橫截面內(nèi)的變化。建立積分方程，積分僅在橫截面內(nèi)進(jìn)行。根據(jù)體等效源原理，利用感應(yīng)的極化電流計(jì)算散射場(chǎng)。已知介質(zhì)內(nèi)的總電場(chǎng)為入射電場(chǎng)和散射電場(chǎng)之和，因此，建立的積分方程如下 （10-3-24）由式（4-4-30）獲知，感應(yīng)的極化電流與總電場(chǎng)的關(guān)系為 （10-3-25）式中介電

39、常數(shù)通常是空間函數(shù)。考慮到式（10-3-25），積分方程式（10-3-24）實(shí)際上僅含有一個(gè)未知數(shù)。這個(gè)未知數(shù)可以是或，因?yàn)閷⑹褂镁匦位瘮?shù)表示未知數(shù)，任選其一均可。但是為了與三維問題一致，令未知函數(shù)正比于位移電流，即極化電流與未知的位移電流的關(guān)系為 （10-3-26）式中。因此，積分方程式（10-3-24）可以改寫為（10-3-27）圖10-3-10橢圓柱的四邊形網(wǎng)格下面用矩量法求解上述積分方程。首先，將介質(zhì)柱的橫截面剖分為小的網(wǎng)格單元。單元的形狀通常是三角形或四邊形。但是三角形比四邊形更為靈活，自由度更大一些。這里對(duì)于TM波散射，使用四邊形剖分橫截面。對(duì)于網(wǎng)格的要求是，平均尺寸大約為0.1

40、，用于方波和一階基函數(shù)。網(wǎng)格的形狀盡可能接近正方形。有時(shí)使用網(wǎng)格質(zhì)量因子來衡量網(wǎng)格接近理想網(wǎng)格的程度，此時(shí)全部四邊形均為相同尺寸的正方形。令為N個(gè)四邊形中的最長(zhǎng)的棱邊長(zhǎng)度，橫截面的面積為S，那么網(wǎng)格的質(zhì)量因子定義為。一個(gè)理想的四邊形網(wǎng)格，。較大的質(zhì)量因子意味是一個(gè)壞網(wǎng)格。較大的網(wǎng)格質(zhì)量因子通常將導(dǎo)致解的精度較低，當(dāng)使用迭代方法求解矩陣方程時(shí)，收斂很慢。圖10-3-10給出一種網(wǎng)格的式樣用于橢圓形的橫截面的剖分。其次，選擇一組基函數(shù)展開未知的電流函數(shù)。對(duì)于方形網(wǎng)格使用矩形基函數(shù)十分簡(jiǎn)便。第n個(gè)基函數(shù)定義為式中為Jacobian系數(shù)，即，未知函數(shù)的展開式為代入式（10-3-27）中，在每個(gè)四邊形的

41、中心（）測(cè)試獲得的方程，結(jié)果求得一組線性方程為 （10-3-28）式中，。如果將式（10-3-28）寫成標(biāo)準(zhǔn)的矩陣形式，那么矩陣元素及右端項(xiàng)分別為 （10-3-29）式中，當(dāng)匹配點(diǎn)不在上，上述面積分很容易求積，因?yàn)闆]有奇異性。為了便于數(shù)值求積，使用一對(duì)本地坐標(biāo)表示位置矢量，即 （10-3-30）式中，為四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)如圖10-3-11所示，它們按照右手定則設(shè)置。圖10-3-11四邊形網(wǎng)格及其頂點(diǎn)利用式（10-3-30），得利用Jacobian變換，可將上述積分由xy平面變換到 uv平面，即 （10-3-31）如果測(cè)試點(diǎn)不在源區(qū)，那么該積分很容易使用單點(diǎn)或4點(diǎn)求積方法求出。若源點(diǎn)離開源區(qū)半波長(zhǎng)

42、，單點(diǎn)Gauss求積已經(jīng)足夠。僅當(dāng)測(cè)試點(diǎn)位于幾個(gè)相鄰源區(qū)，需要高階Gauss求積。當(dāng)測(cè)試點(diǎn)位于上，即，可以使用奇點(diǎn)提取技術(shù)或Duffy變換方法。奇點(diǎn)提取技術(shù)前面已討論過，下面介紹Duffy變換方法。考慮處理下述積分 （10-3-32）式中為內(nèi)部任一點(diǎn)。這樣假定是正確的，因?yàn)闇y(cè)試積分使用Gauss求積，測(cè)試點(diǎn)總是位于四邊形的內(nèi)部，不在邊界上。如果位于邊界上或頂點(diǎn)，下述算法只需稍微修改仍然可以應(yīng)用。使用測(cè)試點(diǎn)作為共同頂點(diǎn)，在uv平面內(nèi)將單一四邊形積分域劃分為4個(gè)子域，每個(gè)子域?yàn)槿切巍Ｈ绻麥y(cè)試點(diǎn)位于一條邊上，那么僅得到3個(gè)非零子域。如果測(cè)試點(diǎn)位于一個(gè)頂點(diǎn)，那么只有兩個(gè)非零子域。這里考慮具有4個(gè)子域

43、的一般情況。令測(cè)試點(diǎn)位于，如圖10-3-12所示。子域記作。因此，式（10-3-32）中的積分可以表示為4個(gè)積分之和，每個(gè)積分分別位于一個(gè)分離的子域內(nèi)，即式中，。這里為具有，三個(gè)頂點(diǎn)的三角形，其數(shù)值列于表10-3-2。u(0,0)(0,1)(1,1)(1,0)v圖10-3-12 一個(gè)四邊形的剖分子域uavaubvbD10010D21011D31101D40100表10-3-2 子域的定義各個(gè)子域的積分可以進(jìn)行下列變換（10-3-33a）（10-3-33b）上述變換是將平面內(nèi)的一個(gè)三角形映射到平面內(nèi)一個(gè)單位三角形，如圖10-3-13所示。Di(u0 ,v0)(ub ,vb)(ua ,va)uv(

44、0,0)(1,0)(0,0)(1,1)u1v1圖10-3-13 任意位置和取向的三角形映射該映射定義為其Jacobian行列式為該行列式為一個(gè)常數(shù)，其值實(shí)際上等于平面內(nèi)三角形面積的兩倍。考慮到，以及，即可證明這個(gè)結(jié)論。在此變換中，對(duì)于的積分為現(xiàn)在利用Duffy技術(shù)移去奇點(diǎn)。令，式中t是一個(gè)新的變量，上述積分變?yōu)樵僮C明上述積分沒有奇點(diǎn)。為此，參照式（10-3-30），位置矢量和可以表示為式中是四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)。因此這里多項(xiàng)式定義如下 當(dāng)時(shí)，為零。因此可以展開為式中均為常數(shù)。這樣，可以表示為下列一般形式這些展開系數(shù)列于表10-3-3中。注意，使用Gauss積分計(jì)算測(cè)試積分時(shí)，位于平面內(nèi)單位正方形的

45、內(nèi)部，因此系數(shù)可以大于零或小于零。那么（10-3-34）jCj1Cj2Cj311-v01-u0-12v0-1u013-v0-u0-14v0u0-11圖10-3-3距離展開系數(shù)由式（10-3-33）求得同理可得上式中，注意，當(dāng)t由0變到1時(shí)，和均不會(huì)為零。將上述結(jié)果代入式（10-3-34），得因此式中根據(jù)，公式，可以證明，。四個(gè)子域的積分變?yōu)橐驗(yàn)镚reen函數(shù)的奇異性表現(xiàn)為那么，當(dāng)時(shí)，則這就意味被積函數(shù)為正則函數(shù)，可以使用任一種數(shù)值求積方法計(jì)算。下面給出一例，考慮介質(zhì)圓柱對(duì)于TM波的散射。圓柱半徑為1.0，橫截面被化分為864個(gè)小四邊形，相對(duì)介電常數(shù)為。圖10-3-13給出該圓柱的雙站雷達(dá)散射截

46、面。入射波的頻率為300MHz，入射方位角。圖中也給出嚴(yán)格解的結(jié)果，可見兩者十分一致。圖10-3-13介質(zhì)圓柱的RCS角度fRCS(dBm)嚴(yán)格解 MoM對(duì)于TE入射波，產(chǎn)生的極化電流密度方向?yàn)闄M向，且為一個(gè)矢量函數(shù)。該問題求解與三維散射體的面積分方程非常類似。因此，在分析三散射體的散射問題時(shí)再進(jìn)行討論。10-4三維散射實(shí)際中，散射體通常是三維的，本節(jié)將討論三維目標(biāo)電磁散射的矩量法求解69。將分為面散射體和體散射體兩種類型，重點(diǎn)討論面散射問題，而且主要討論理想導(dǎo)電表面的散射。熟悉三維理想導(dǎo)電體散射的求解方法后，很容易將此技術(shù)推廣到其它復(fù)雜的散射體。最后，將簡(jiǎn)單地介紹體散射以及面和體的混合散射問

47、題的求解方法。10-4-1三維面散射當(dāng)電磁波投射到理想導(dǎo)電體時(shí)，將在導(dǎo)電體的表面產(chǎn)生表面電流。假定散射目標(biāo)位于無界的自由空間，S為導(dǎo)電體的表面區(qū)域，也可能是多個(gè)散射體表面的組合。令感應(yīng)表面電流密度為，該表面電流產(chǎn)生的散射場(chǎng)為。根據(jù)3-1節(jié)位函數(shù)理論，獲知散射場(chǎng)可用位函數(shù)表示為（10-4-1）式中和分別為矢量位和標(biāo)量位。再由3-7節(jié)，且考慮到，位函數(shù)可用三維自由空間Green函數(shù)表示為（10-4-2）（10-4-3）式中三維自由空間Green函數(shù)為（10-4-4）根據(jù)理想導(dǎo)電體表面總電場(chǎng)的切向分量為零的邊界條件，獲得下列積分方程（10-4-5）下標(biāo)“t”表示切向分量。上式為以電流密度為未知數(shù)的電

48、場(chǎng)積分方程（EFIE）。值得提出的是，上述積分方程有時(shí)表示為下列矢量形式式中為表面的單位法向矢量。上式又稱為nEFIE，因而式（10-4-5）又稱為tEFIE。對(duì)于任意形狀的三維目標(biāo)，尋找全域基函數(shù)是不可能的，全部三維矩量法的求解均使用子域基函數(shù)。一個(gè)子域基函數(shù)通常與表面的剖分方法密切相關(guān)。用于三維表面剖分的典型單元形狀有：三點(diǎn)定義的平面三角形；6點(diǎn)或更多點(diǎn)定義的曲邊三角形；平面矩形；準(zhǔn)平面四邊形和曲邊四邊形。當(dāng)然還有其它形狀，本節(jié)主要使用平面三角形網(wǎng)格。使用平面三角形剖分的優(yōu)點(diǎn)是，比較簡(jiǎn)單，易于表示和處理；比較靈活，易于模擬任意形狀的三維表面，尤其是具有尖銳的拐角和棱邊。直接可以使用，許多C

49、AD程序支持這種平面三角形網(wǎng)格。一個(gè)網(wǎng)格定義為一組節(jié)點(diǎn)的集合，而一組網(wǎng)格單元由這些節(jié)點(diǎn)決定。對(duì)于一個(gè)三角形網(wǎng)格有兩個(gè)要求：第一是必須很好的連接，第二是限制網(wǎng)格的形狀和尺寸。良好的連接要求任一個(gè)三角形不能進(jìn)入其它三角形的內(nèi)部或位于任一條棱邊上。圖10-4-1給出不良連接的例子，圖(a) 為部分重疊，圖 (b)為接點(diǎn)落在另一個(gè)三角形的棱邊上。對(duì)于三角形網(wǎng)格形狀和尺寸的要求是，全部三角形應(yīng)尺寸相同，且盡量接近等邊三角形。圖10-4-1不良的連接：(a)部分重疊；(b)節(jié)點(diǎn)落在棱邊上。452(b)(a)影響三角形網(wǎng)格質(zhì)量的主要因素有兩個(gè)。其中之一是平均軸比，它定義為，這里為一個(gè)三角形的外接圓的半徑，為

50、其內(nèi)切圓的半徑。一個(gè)等邊三角形的軸比為1。如果全部三角形都是等邊的，那么網(wǎng)格的平均軸比為1。許多實(shí)際三角形網(wǎng)格的平均軸比通常大于1。因此，軸比越接近1，網(wǎng)格的質(zhì)量越好。但是，平均軸比不會(huì)影響網(wǎng)格尺寸的差別。若一個(gè)三角形的網(wǎng)格中一部分尺寸相同，另一部分尺寸不同，也不是一個(gè)好的網(wǎng)格。為了將網(wǎng)格的形狀和尺寸計(jì)入網(wǎng)格的質(zhì)量，使用先前定義的網(wǎng)格質(zhì)量因子。對(duì)于三角形，網(wǎng)格的質(zhì)量因子為三角形的尺寸取決于使用的基函數(shù)。下面將要討論的Rao-Wilton-Glisson基函數(shù)要求三角形的平均棱邊長(zhǎng)度約小于或更短一些。注意，太短的棱邊長(zhǎng)度將導(dǎo)致低頻崩潰。對(duì)于單精度計(jì)算機(jī)，當(dāng)平均棱邊長(zhǎng)度約小于或更短時(shí)，將發(fā)生低頻失

51、效。關(guān)于網(wǎng)格還有一個(gè)問題應(yīng)該指出的是網(wǎng)格面的指向。使用電場(chǎng)積分方程（EFIE）時(shí)，對(duì)于開域問題這個(gè)問題并不重要。但是，使用后面將要介紹的磁場(chǎng)積分方程（MFIE）或組合場(chǎng)積分方程（CFIE）時(shí)，對(duì)于閉合區(qū)域，網(wǎng)格面的指向十分重要。由于三維表面問題中，未知的電流函數(shù)是一個(gè)矢量函數(shù)，此時(shí)基函數(shù)也是矢量函數(shù)。由S. M. Rao, D. R. Wilton和 A. W. Glisson 等學(xué)者創(chuàng)建的RWG基函數(shù)廣泛地用于三角形網(wǎng)格6。RWG基函數(shù)由兩個(gè)共邊的三角形定義。令兩個(gè)三角形為和，每個(gè)三角形都是平面的，但是兩個(gè)三角形不一定位于同一平面。圖10-4-2給出RWG基函數(shù)的幾何圖形。圖中和分別為兩個(gè)三角形的第一個(gè)節(jié)點(diǎn)。圖10-4-2 RWG基函數(shù)第n個(gè)RWG基函數(shù)為（10-4-6）式中為公共邊的長(zhǎng)度，分別為三角形的面積。該基函數(shù)具有兩個(gè)重要特性。第一個(gè)特性是棱邊法向分量的連續(xù)性，它保證了電流橫