曲面方程及其方程課件

1、第五節(jié)一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念二、幾種常見的曲面及其方程二、幾種常見的曲面及其方程 曲面及其方程 第七章第七章 一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念求到兩定點(diǎn)求到兩定點(diǎn)A(1,2,3) 和和B(2,-1,4)等距離的點(diǎn)的等距離的點(diǎn)的化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得即即說明說明: : 動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段 AB 的垂直平分面的垂直平分面. .引例引例顯然在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程顯然在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程, , 不在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程不在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程. .解解 設(shè)軌跡上的動(dòng)點(diǎn)為設(shè)軌跡上的動(dòng)點(diǎn)為軌跡軌跡方程方程. . ,BMAM 則則),(zyxM22

2、2)3()2()1( zyx222)4()1()2( zyx. 07262 zyx1. 定義定義0),(zyxFSzyxo如果曲面如果曲面 S 與方程與方程 F( x, y, z ) = 0 有下述關(guān)系有下述關(guān)系:(1) 曲面曲面 S 上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程;則則 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面叫做曲面 S 的的方程方程, 曲面曲面 S 叫做方程叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的的圖形圖形.(2) 不在曲面不在曲面 S 上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程,水桶的表面、臺(tái)燈的罩子面等水桶的表面、臺(tái)燈的罩子面等曲面在空間解析幾

3、何中被看成是點(diǎn)的幾何軌跡曲面在空間解析幾何中被看成是點(diǎn)的幾何軌跡曲面的實(shí)例：曲面的實(shí)例：例例1故所求方程為故所求方程為方程方程. 特別特別, ,當(dāng)當(dāng)M0在原點(diǎn)時(shí)在原點(diǎn)時(shí), ,球面方程為球面方程為解解 設(shè)軌跡上動(dòng)點(diǎn)為設(shè)軌跡上動(dòng)點(diǎn)為RMM0即即依題意依題意距離為距離為 R 的軌跡的軌跡xyzoM0M表示上表示上(下下)球面球面 .求動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)求動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)Rzzyyxx 202020)()()(2202020)()()(Rzzyyxx 2222Rzyx ),(0000zyxM),(zyxM222yxRz 例例2解解 配方得配方得5, )0, 2, 1(0 M此方程表示此方程表示:說明說明: : 如下

4、形式的三元二次方程如下形式的三元二次方程 ( A 0 )都可通過配方研究它的圖形都可通過配方研究它的圖形. .其圖形可能是其圖形可能是的曲面的曲面. . 半徑為半徑為的球面的球面. .0)(222 GFzEyDxzyxA球心為球心為 一個(gè)一個(gè)球面球面, , 或或點(diǎn)點(diǎn) , , 或或虛軌跡虛軌跡. .5)2()1(222 zyx表表示示怎怎樣樣研研究究方方程程042222 yxzyx(1) 已知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡時(shí)已知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡時(shí),求曲面方程求曲面方程.(2) 已知方程時(shí)已知方程時(shí) , 研究它所表示的幾何形狀研究它所表示的幾何形狀( 必要時(shí)需作圖必要時(shí)需作圖 ). 2. 兩個(gè)基本問

5、題兩個(gè)基本問題以上幾例表明研究空間曲面有以上幾例表明研究空間曲面有兩個(gè)基本問題兩個(gè)基本問題：以以M0 (x0 , y0 , z0 )為球心，為球心，R 為半徑的為半徑的球面方程為球面方程為二、幾種特殊的曲面及其方程二、幾種特殊的曲面及其方程0AxByCzD2. 球面球面2222000()()()xxyyzzR 3. 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面1. 平面平面旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面(1) 定義定義一條平面曲線繞其平一條平面曲線繞其平面上的一條面上的一條定直線定直線旋旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為為旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸,),( zyxM122yyxd 如圖，如

6、圖，代入代入221,yxyzz 將將0),(1 zyf轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)曲面 方程的特征：方程的特征：xyzo( , )00f y zx d M), 0(11zyM 軸軸的的平平面面作作垂垂直直于于過過點(diǎn)點(diǎn)zM1軸的距離軸的距離到到點(diǎn)點(diǎn)zM2, 0),(22 zyxf即為即為yoz坐標(biāo)面上的已知曲線坐標(biāo)面上的已知曲線 0),( zyf繞繞 z軸軸 旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程旋轉(zhuǎn)曲面方程. 得旋轉(zhuǎn)曲面得旋轉(zhuǎn)曲面 的的方程：方程：由此可見：繞由此可見：繞 z 軸旋轉(zhuǎn)，軸旋轉(zhuǎn)，z 坐標(biāo)不動(dòng)，將坐標(biāo)不動(dòng)，將.22yxy 換換成成同同理理：yoz坐坐標(biāo)標(biāo)面面上上的的已已知知曲

7、曲線線0),( zyf繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面方方程程為為 . 0),(22 zxyf繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程的繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程的特點(diǎn)：特點(diǎn)：出現(xiàn)某出現(xiàn)某兩變量的平方和兩變量的平方和.(3) 常見的旋轉(zhuǎn)曲面常見的旋轉(zhuǎn)曲面 圓柱面：圓柱面：222ayx 直直線線 ：繞繞 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而成成.0yaCzx yz ox o 圓錐面圓錐面 直線直線 L 繞另一條與其繞另一條與其 相交的直線旋轉(zhuǎn)一周，所相交的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)曲面叫得旋轉(zhuǎn)曲面叫圓錐面圓錐面兩直線的交點(diǎn)叫圓錐面兩直線的交點(diǎn)叫圓錐面的的頂點(diǎn)頂點(diǎn), 叫圓錐面的叫圓錐面的半頂角半頂角. )2 兩直線的夾角

8、兩直線的夾角 試建立頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)軸為試建立頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)軸為z 軸，半頂角軸，半頂角為為 的圓錐面方程的圓錐面方程(0 yoz面面上上直直線線: 0cotxyz 繞繞z 軸旋轉(zhuǎn)一周所得的圓錐面方程：軸旋轉(zhuǎn)一周所得的圓錐面方程： cot22yxz .22yxbz xyzo ，則，則令令 cot b繞繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面: 122222 czyax122222 czayx雙葉雙曲面雙葉雙曲面單葉雙曲面單葉雙曲面繞繞z軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面：軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面：zy xozyxoo 旋轉(zhuǎn)雙曲面旋轉(zhuǎn)雙曲面 012222yczax雙曲線雙曲線122222 czyax雙葉雙曲面雙葉雙

9、曲面122222 czayx單葉雙曲面單葉雙曲面.2101旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面方方程程軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而成成的的繞繞求求直直線線zzyx 解解例例3,),( zyxM過點(diǎn)過點(diǎn) M 作垂直于作垂直于z 軸軸的平面的平面 ，它與所給直線，它與所給直線 L的交點(diǎn)為的交點(diǎn)為), 1(11zyM.211zy 則則PMdMP1 0102122 yyx即即故所求旋轉(zhuǎn)曲面方程為故所求旋轉(zhuǎn)曲面方程為: :. 141222 zyx旋轉(zhuǎn)單旋轉(zhuǎn)單葉雙曲葉雙曲面面dPxyzO), 1(1zyM ),(zyxML注注一般地，旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面一般地，旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面122222 czayx還可成是由直線還可成是由直線czayax 0

10、或或czayax 0繞繞z軸旋轉(zhuǎn)而成軸旋轉(zhuǎn)而成.因而旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面又稱為因而旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面又稱為直紋面直紋面.xyzO 旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面繞繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面：軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面：122222 byazx 012222zbyax橢圓橢圓橢橢圓圓 012222xczay 繞繞y軸軸和和 z軸軸； 繞繞y軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn) 繞繞z軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn) 122222 czxay122222 czayx旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面0 p 旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面 拋拋物物線線 022xpzy pzyx222 繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面：軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面： 旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面xzyo(1) 定義定義觀察柱面的形觀察柱面的

11、形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 C 移動(dòng)的移動(dòng)的直線直線L 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線這條定曲線C 叫柱叫柱面的面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線，動(dòng)直線，動(dòng)直線 L 叫柱面的叫柱面的母線母線.4. 柱面柱面xyzo注注 柱面的準(zhǔn)線不惟一柱面的準(zhǔn)線不惟一.o準(zhǔn)線準(zhǔn)線C準(zhǔn)線準(zhǔn)線C母線母線 L(2) 母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程的特征母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程的特征方程中缺少一個(gè)變量方程中缺少一個(gè)變量 (該坐標(biāo)軸的變量該坐標(biāo)軸的變量)如：如：( , )0F x y 表示母線表示母線 / z 軸的柱面軸的柱面.事實(shí)上，事實(shí)上，( , , )M x y z 過點(diǎn)過點(diǎn)M

12、作垂直于作垂直于 xoy 面面的垂線，的垂線，( , )0.F x y 則此垂線與則此垂線與 C的交點(diǎn)的交點(diǎn)M1(x, y, 0)的坐標(biāo)的坐標(biāo)必滿足必滿足 ：反之，不在反之，不在上的點(diǎn)上的點(diǎn)M，其在，其在 xoy 面上的投影點(diǎn)面上的投影點(diǎn)M1不在不在C上，從而其坐標(biāo)不滿足該方程上，從而其坐標(biāo)不滿足該方程.xyzoo準(zhǔn)線準(zhǔn)線C ：母線母線 L( , )00F x yz 曲面曲面 M M1類似地，類似地，( , )0:G y z 表示母線表示母線 / x 軸的柱面軸的柱面.表示母線表示母線 / y 軸的柱面軸的柱面.( , )0:H z x 只只含含yx,而而缺缺 z的的方方程程0),( yxF，

13、在在空空間間直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系中中表表示示母母線線平平行行于于 z軸軸的的柱柱面面，其其準(zhǔn)準(zhǔn)線線為為xoy面面上上曲曲線線C. 小結(jié)：小結(jié)：（其他類推）（其他類推）常見的二次柱面常見的二次柱面 橢圓柱面橢圓柱面22221xzac母線母線 / 軸軸yxyzoo 雙曲柱面雙曲柱面12222 byaxz母線母線 / 軸軸xyzoo 拋物柱面拋物柱面22(0)xpyp z母線母線 / 軸軸xy 特殊柱面：特殊柱面： 平面平面xyzoxyzo內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 空間曲面空間曲面三元方程三元方程0),(zyxF2. 球面球面2202020)()()(Rzzyyxx3. 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面如如, 曲線曲線

14、00),(xzyf繞繞 z 軸的旋轉(zhuǎn)曲面軸的旋轉(zhuǎn)曲面:0),(22zyxf4. 柱面柱面如如, 曲面曲面0),(yxF表示母線平行表示母線平行 z 軸的柱面軸的柱面.又如又如, 橢圓柱面橢圓柱面, 雙曲柱面雙曲柱面, 拋物柱面等拋物柱面等 .(旋轉(zhuǎn)曲面的概念及求法旋轉(zhuǎn)曲面的概念及求法).(母線、準(zhǔn)線母線、準(zhǔn)線). 1. 指出下列方程在平面解析幾何中和空間解析指出下列方程在平面解析幾何中和空間解析幾何中分別表示什么圖形？幾何中分別表示什么圖形？; 2)1( x; 4)2(22 yx. 1)3( xy思考題思考題解解平面解析幾何中平面解析幾何中空間解析幾何中空間解析幾何中2 x422 yx1 xy

15、平行于平行于y軸的直線軸的直線 平行于平行于yoz面的平面面的平面 圓心在圓心在)0 , 0(， 半半徑徑為為2的的圓圓 以以z軸軸為為中中心心軸軸的的圓圓柱柱面面 斜率為斜率為1的直線的直線平平行行于于z軸軸的的平平面面 方程方程2.r直線直線1101:zyxL 繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)一周軸旋轉(zhuǎn)一周, 求此旋轉(zhuǎn)求此旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲面的方程轉(zhuǎn)曲面的方程. 解解在在 L 上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)), 1(000zyM設(shè)設(shè) M(x, y, z)為為M0 繞繞z 軸旋轉(zhuǎn)軌跡上任一點(diǎn)軸旋轉(zhuǎn)軌跡上任一點(diǎn),Lxozy0MM則有則有00zy z 22yx 201y 旋轉(zhuǎn)曲面方程旋轉(zhuǎn)曲面方程1222 zyxr將將 y0=z 代入第二方程，得代入第二方程，得備用題備用題例例1-1求與原點(diǎn)求與原點(diǎn)O及及)4 , 3 , 2(0M的距離之比為的距離之比為 2:1 的點(diǎn)的全體所組成的曲面方程的點(diǎn)的全體所組成的曲面方程. 解解設(shè)設(shè)),(zyxM是是曲曲面面上上任任一一點(diǎn)點(diǎn)， ,21|0 MMMO根據(jù)題意有根據(jù)題意有 ,21432222222