線性代數(shù)與幾何：4-4 向量空間

1、第五節(jié) 向量空間說(shuō)明說(shuō)明.,VRV 則則若若;,VVV 則則若若一、向量空間的概念定義定義8 8設(shè)設(shè) 為為 維向量的集合，如果集合維向量的集合，如果集合 非空，非空，且集合且集合 對(duì)于加法及對(duì)于加法及數(shù)數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉，那么就稱(chēng)乘兩種運(yùn)算封閉，那么就稱(chēng)集合集合 為向量空間為向量空間nVVVV 集合集合 對(duì)于加法及乘數(shù)兩種運(yùn)算封閉指對(duì)于加法及乘數(shù)兩種運(yùn)算封閉指V., 3 113是一個(gè)向量空間維實(shí)向量的全體R例例.33,33 3R維實(shí)向量，它們都屬于維向量仍然是乘實(shí)數(shù)維實(shí)向量維實(shí)向量之和仍然是因?yàn)槿我鈨蓚€(gè). 間，也是一個(gè)向量空維實(shí)向量的全體類(lèi)似地，nRn例例1212 判別下列集合是否為向量空間判別

2、下列集合是否為向量空間. RxxxxxVnTn , 0221解解.V 是向量空間是向量空間1的任意兩個(gè)元素的任意兩個(gè)元素因?yàn)閷?duì)于因?yàn)閷?duì)于1V TnTnbbaa, 0, 022 ,V1 122, 0VbabaTnn 有有 ., 012VaaTn 例例1313 判別下列集合是否為向量空間判別下列集合是否為向量空間. RxxxxxVnTn , 1222解解 .2 ,2 , 2222VaaTn 則則.V 不是向量空間不是向量空間2 , 122VaaTn 因?yàn)槿粢驗(yàn)槿艟S向量，集合為兩個(gè)已知的設(shè)nba, 例14例14 RbaxV ,試判斷集合是否為向量空間試判斷集合是否為向量空間.baxV111. 因?yàn)槿?/p>

3、因?yàn)槿羰且粋€(gè)向量空間是一個(gè)向量空間解解，bax222 則有則有,)()(212121Vbaxx .)()(111Vbkakkx ., 間間所生成的向量空所生成的向量空量量這個(gè)向量空間稱(chēng)為由向這個(gè)向量空間稱(chēng)為由向baRaaaxaaSpanVmmmm,.,2122111間間所生成的向量空所生成的向量空由向量組由向量組maaa, 21一般地，一般地，為為., , , 212122112212211111VVRbbbxVRaaaxVbbaasssmmmsm試證：記等價(jià)，與向量組設(shè)向量組 例15例15., 11線性表示線性表示可由可由，則，則設(shè)設(shè)maaxVx 證證,:12VxVx 則則若若類(lèi)似地可證類(lèi)似

4、地可證.211221VVVVVV ，所以，所以，因?yàn)橐驗(yàn)榫€性表示，線性表示，可由可由線性表示，故線性表示，故可由可由因因ssmbbxbbaa,111.2Vx 所以所以，則，則這就是說(shuō)，若這就是說(shuō)，若21VxVx .21VV 因此因此.12VV 因此因此定義定義9 9 設(shè)有向量空間設(shè)有向量空間 及及 ，若向量空間，若向量空間，就說(shuō)就說(shuō) 是是 的子空間的子空間21VV 1V2V1V2V實(shí)例實(shí)例RVn1顯然.1的子空間是所以RVn二、子空間是向量空間RxxxxxVnTn, 0221;,)1(21線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)r .,2)(21線性表示線性表示中任一向量都可由中任一向量都可由rV 那末，向量組那末，

5、向量組 就稱(chēng)為向量的一個(gè)就稱(chēng)為向量的一個(gè)r, 21V基，基， 稱(chēng)為向量空間稱(chēng)為向量空間 的維數(shù)，并稱(chēng)的維數(shù)，并稱(chēng) 為為 維向量維向量空間空間向量空間向量空間 V 的維數(shù)也記為的維數(shù)也記為dimV.VrVr三、向量空間的基與維數(shù)定義定義1010 設(shè)設(shè) 是向量空間，如果是向量空間，如果 個(gè)向量個(gè)向量 ，且滿足，且滿足r,21 VVr , R,xVrrr 12211 （1）只含有零向量的向量空間稱(chēng)為）只含有零向量的向量空間稱(chēng)為0維向量維向量空間，因此它沒(méi)有基空間，因此它沒(méi)有基說(shuō)明說(shuō)明 （3）若向量組）若向量組 是向量空間是向量空間 的一的一個(gè)基，則個(gè)基，則 可表示為可表示為r, 21VV （2）若把

6、向量空間）若把向量空間 看作向量組，那末看作向量組，那末 的基的基就是向量組的最大無(wú)關(guān)組就是向量組的最大無(wú)關(guān)組, 的維數(shù)就是向量組的的維數(shù)就是向量組的秩秩.VVV例例16的維數(shù)。的一組基，及求設(shè)VVRxxxxxVnTn, 022解：23(0,1,0,.0) ,(0,0,1,.0) ,.,(0,0,0,.,1)1.TTTneeeVVn顯然為 的一組基，所以 的維數(shù)為四、向量空間中的坐標(biāo)定義定義11 的坐標(biāo)。關(guān)于基稱(chēng)為向量則可唯一地表示為對(duì)的一組基，維向量空間是設(shè)nnnnnxxxxVn,.,.,V,2111121例17的坐標(biāo)。，）關(guān)于，（并求的一組基，是，證明），（），（），（設(shè)3213321321031221010101R解：的一組基。是線性無(wú)關(guān)，3321321321,01221010101R下面求的坐標(biāo)。，）關(guān)于，（32103115202321. 1321313231332211kkkkkkkkkkkk，解得既設(shè)方法的坐標(biāo)。，）關(guān)于，（就是321031)|()( |()|()()()(. 213213211321321321321321321332211KEEkkkKkkkkkkkkkTTTTTTTTTTT