高等代數(shù)課件：8-5 矩陣相似的條件

1、一次因式的方冪（相同的必須按出現(xiàn)的次數(shù)計算）一次因式的方冪（相同的必須按出現(xiàn)的次數(shù)計算）把矩陣把矩陣 的每個次數(shù)大于零的不變因子的每個次數(shù)大于零的不變因子n nAC 稱為稱為A的初等因子的初等因子. 分解成互不相同的一次因式方冪的乘積，所有這些分解成互不相同的一次因式方冪的乘積，所有這些222221,1,1,(1), (1) (1),(1) (1)(1) 9個個 則則A的初等因子有的初等因子有7個，它們是個，它們是222(1) , (1) , (1) , (1), (1),例例1、若若12級復(fù)矩陣級復(fù)矩陣A的不變因子是的不變因子是:22() , ()ii 設(shè)設(shè)n級矩陣級矩陣A的不變因子為已知：

2、的不變因子為已知：12( ),( ),( )ndxdxdx將將 分解成互不相同的一次因式分解成互不相同的一次因式( )(1,2, )idxin 的方冪的乘積的方冪的乘積:11121112( )()()(),rkkkrdx21222212( )()()(),rkkkrdx1212( )()()().nnnrkkknrdx分析分析: :則其中對應(yīng)于則其中對應(yīng)于 的那些方冪的那些方冪 :1i jk ()(1)i jkji jk就是就是A的全部初等因子的全部初等因子. 注意到不變因子注意到不變因子 滿足滿足12( ),( ),( )ndxdxdx1( )|( ),1,2,1iidxdxin 從而有從而

3、有1,()|(),1,2,1,1,2,i jijkkjjinjr 因此有因此有,12,1,2,jjnjkkkjr即同一個一次因式的方冪作成的初等因子中，即同一個一次因式的方冪作成的初等因子中，方次最高的必出現(xiàn)在方次最高的必出現(xiàn)在 的分解式中，次高的必的分解式中，次高的必( )nd 出現(xiàn)在出現(xiàn)在 的分解式中的分解式中. 1( )nd 如此順推下去，可知屬于同一個一次因式的方冪如此順推下去，可知屬于同一個一次因式的方冪的初等因子，在不變因子的分解式中出現(xiàn)的位置是的初等因子，在不變因子的分解式中出現(xiàn)的位置是唯一確定的唯一確定的. 設(shè)級矩陣的全部初等因子為已知設(shè)級矩陣的全部初等因子為已知.nA在全部初

4、等因子中，將同一個一次因式在全部初等因子中，將同一個一次因式 ()1,2,jjr的方冪的那些初等因子按降冪排列，而且當(dāng)這種初的方冪的那些初等因子按降冪排列，而且當(dāng)這種初等因子的個數(shù)不足等因子的個數(shù)不足n個時，則在后面補(bǔ)上適當(dāng)個數(shù)個時，則在后面補(bǔ)上適當(dāng)個數(shù)的的1，使其湊成，使其湊成n個，設(shè)所得排列為個，設(shè)所得排列為1,1(),(),(),1,2,.n jnjjkkkjjjjr 于是令于是令1212( )()()(),1,2,iiirkkkirdxin則則12( ),( ),( )ndxdxdx就是就是A的不變因子的不變因子. 例例1、已知、已知3級矩陣級矩陣A的初等因子為：的初等因子為： 2(1

5、) ,2.求求A的不變因子的不變因子. 解：作排列解：作排列2(1) ,1,1 2,1,1 得得A的不變因子為：的不變因子為：23( )(1) (2),dx21( )( )1.dxdx結(jié)論結(jié)論1、若兩個同級數(shù)字矩陣有相同的不變因子，、若兩個同級數(shù)字矩陣有相同的不變因子，則它們就有相同的初等因子；則它們就有相同的初等因子；反之，若它們有相同的初等因子，則它們就有反之，若它們有相同的初等因子，則它們就有結(jié)論結(jié)論2、兩個同級數(shù)字矩陣相似、兩個同級數(shù)字矩陣相似可見：初等因子和不變因子都是矩陣的相似不變量可見：初等因子和不變因子都是矩陣的相似不變量.相同的不變因子相同的不變因子.它們有相同的初等因子它們

6、有相同的初等因子.1、(引理引理1)若多項(xiàng)式若多項(xiàng)式 都與都與 12( ),( )ff12( ),( )gg互素，則互素，則 11221212( )( ),( )( )( ),( )( ),( )fgfgffgg 證：令證：令 1122( )( ),( )( )( ),fgfgd 121( ),( )( ),ffd 122( ),( )( ),ggd 顯然，顯然，12( )( ),( )( ).ddd由于由于 11( ),( )1,fg 故故 12( ),( )1.dd 因而因而 12( )( )( )ddd另一方面，由于另一方面，由于11( )( )( ),dfg可令可令( )( ) ( )

7、,dfg 其中其中11( )|( ),( )|( )ffgg又又 12( ),( )1,fg 由由22( )|( )( ),ffg又得又得2( )|( ).ff 2( ),( )1.fg同理可得同理可得2( )|( ).gd12( ) ( )|( )( ),fgdd即即 12( )|( )( )ddd1( )|( ).fd故故12( )|( )( )ddd1122( )( )0( )0( )( )fgAfg 2112( )( )0( )0( )( )fgBfg 如果多項(xiàng)式如果多項(xiàng)式 都與都與 互素，互素，12( ),( )ff12( ),( )gg2、(引理引理2) 設(shè)設(shè)則則 與與 等價等價.

8、( )A ( )B 證：首先，證：首先，( )( ) ,AB 從而從而 二階行列式因子相同二階行列式因子相同.( ),( )AB其次，由引理其次，由引理1，有，有 1122( )( ),( )( )fgfg 1212( ),( )( ),( )ffgg 從而從而 的一階行列式因子相同的一階行列式因子相同.( ),( )AB所以，所以， 與與 等價等價.( )A ( )B 2112( )( ),( )( )fgfg 3、(定理定理9) 設(shè)設(shè) 將特征矩陣將特征矩陣 進(jìn)行進(jìn)行,n nAC EA 初等變換化成對角形初等變換化成對角形12( )( )( )( )nhhDh 然后將主對角線上的元素分解成互

9、不相同的一次因然后將主對角線上的元素分解成互不相同的一次因式的方冪的乘積，則所有這些一次因式的方冪（相同式的方冪的乘積，則所有這些一次因式的方冪（相同的按出現(xiàn)的次數(shù)計算）就是的按出現(xiàn)的次數(shù)計算）就是A的全部初等因子的全部初等因子. 證：設(shè)證：設(shè) 經(jīng)過初等變換化成對角形經(jīng)過初等變換化成對角形EA 12( )( )( )( )nhhDh 其中其中 皆為首皆為首1多項(xiàng)式，多項(xiàng)式，( )ih 1,2,in 將將 分解成互不相同的一次因式的方冪的乘積分解成互不相同的一次因式的方冪的乘積:( )ih 1212( )()()(),iiirkkkirh1,2,in 下證，對于每個相同的一次因式的方冪下證，對于

10、每個相同的一次因式的方冪12(),(),()1,2,jjn jkkkjjjjr在在 的主對角線上按升冪排列后，得到的新對角的主對角線上按升冪排列后，得到的新對角( )D 矩陣矩陣 與與 等價等價.( )D ( )D 此時此時 就是就是 的的( )D EA 且所有不為且所有不為1的的 就是就是A的全部的全部()i jkj 初等因子初等因子.標(biāo)準(zhǔn)形，標(biāo)準(zhǔn)形，為了方便起見，先對為了方便起見，先對 的方冪進(jìn)行討論的方冪進(jìn)行討論.1 于是于是 11( )()( ),1,2,ikiihgin且每一個且每一個 都與都與 互素互素.11()ik ( ) (1,2, )jgjn 如果相鄰的一對指數(shù)如果相鄰的一對

11、指數(shù) 11,1,iikk 則在則在 中將中將 與與 對調(diào)位置，對調(diào)位置，( )D 11()ik 1,11()ik 而其余因式保持不動，而其余因式保持不動，2323( )()()(),iiinkkkirg x令令1,2,in 由引理由引理211,1111()( )00()( )iikikig xgx 與與 1,11111()( )00()( )iikikig xgx 等價等價. 11111111111()( )()( )()( )()( )iinkkikikng xg xgxg x 等價等價. 然后對然后對 重復(fù)上述討論重復(fù)上述討論.1( )D 1( )D 從而從而 與對角矩陣與對角矩陣( )D 如此繼續(xù)進(jìn)行，直到對角矩陣主對角線上元素所含如此繼續(xù)進(jìn)行，直到對角矩陣主對角線上元素所含1 的方冪是按逆升冪次排列為止的方冪是按逆升冪次排列為止.再依次對作同樣處理再依次對作同樣處理.2,r最后便得到與最后便得到與 等價的對角陣等價的對角陣 ( )D ( ).D 都是按升冪排列的，都是按升冪排列的，的主對角線上所含每個相同的一次因式的方冪的主對角線上所含每個相同的一