線性代數(shù)與幾何：2-3 逆矩陣

1、第三節(jié) 逆矩陣, 111 aaaa,11EAAAA 則矩陣則矩陣 稱為稱為 的可逆矩陣或逆陣的可逆矩陣或逆陣.A1 A一、概念的引入在數(shù)的運(yùn)算中在數(shù)的運(yùn)算中，當(dāng)數(shù)當(dāng)數(shù) 時(shí)，時(shí)，0 a有有aa11 a其中其中 為為 的倒數(shù)，的倒數(shù)，a （或稱（或稱 的逆）；的逆）； 在矩陣的運(yùn)算中在矩陣的運(yùn)算中，E單位陣單位陣 相當(dāng)于數(shù)的乘法運(yùn)算中相當(dāng)于數(shù)的乘法運(yùn)算中 的的1，A那么，對(duì)于矩陣那么，對(duì)于矩陣 ，1 A如果存在一個(gè)矩陣如果存在一個(gè)矩陣 ,使得使得二、逆矩陣的概念和性質(zhì) 定義定義 對(duì)于對(duì)于 階矩陣階矩陣 ，如果有一個(gè)，如果有一個(gè) 階矩陣階矩陣 則說(shuō)矩陣則說(shuō)矩陣 是可逆的，并把矩陣是可逆的，并把矩陣

2、稱為稱為 的逆矩陣的逆矩陣.nAB,EBAAB BAnA, ,使得使得.1 AA的逆矩陣記作的逆矩陣記作例例 設(shè)設(shè),1011,1011BA,EBAAB .的一個(gè)逆矩陣的一個(gè)逆矩陣是是AB 若若 是可逆矩陣，則是可逆矩陣，則 的逆矩陣是唯一的的逆矩陣是唯一的.AA若設(shè)若設(shè) 和和 是是 的可逆矩陣，的可逆矩陣，BCA則有則有,ECAACEBAAB 可得可得EBB BCA ABC .CCE 所以所以 的逆矩陣是唯一的的逆矩陣是唯一的,即即A.1 ACB三.求逆矩陣的方法1.利用待定系數(shù)法利用待定系數(shù)法例例 設(shè)設(shè),0112 A.的逆陣的逆陣求求A解解設(shè)設(shè) 是是 的逆矩陣的逆矩陣, dcbaBA則則 d

3、cbaAB0112 1001 100122badbca , 1, 0, 02, 12badbca . 2, 1, 1, 0dcba又因?yàn)橛忠驗(yàn)?0112 2110 0112 2110,1001 所以所以.21101 A 用待定系數(shù)法求矩陣的逆需要解方程組，待定系數(shù)法求矩陣的逆需要解方程組，當(dāng)矩陣的價(jià)較高時(shí)，計(jì)算量大，較難以求解當(dāng)矩陣的價(jià)較高時(shí)，計(jì)算量大，較難以求解. 下面從理論上研究可逆的條件和求逆的方下面從理論上研究可逆的條件和求逆的方法。法。定理定理1 1 矩陣矩陣 可逆的充要條件是可逆的充要條件是 ，且，且 ,11 AAAA0 A nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111

4、其中其中.的伴隨矩陣為矩陣AA 若 A 可逆，.EAAA 11使使即即有有證明證明:, 11 EAA故故. 0 A所所以以,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) A nnnnnnnnnnnnAAAAAAAAAaaaaaaaaaAA212221212111212222111211, AAAAOOEAAAAA ,EAAAAAA .1AAA 按逆矩陣的定義得按逆矩陣的定義得證畢證畢.,0,0非非奇奇異異矩矩陣陣稱稱為為時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)稱稱為為奇奇異異矩矩陣陣時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)AAAA 奇異矩陣與非奇異矩陣的定義奇異矩陣與非奇異矩陣的定義.為為非非奇奇異異矩矩陣陣是是可可逆逆陣陣的的充充要要條條件件是是由由此此可可得得AA, 1 EBA, 0

5、A故故,1存存在在因因而而 A于是于是EBB BAA1 111AEAABA證畢證畢 .,1 ABEBAEAB則則或或若若推論推論證明證明 .,1111AAAA 且且亦可逆亦可逆則則可逆可逆若若逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì)逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì) 且且可逆可逆則則數(shù)數(shù)可逆可逆若若, 0,2AA 且且亦可逆亦可逆則則為同階方陣且均可逆為同階方陣且均可逆若若,3ABBA 1111 ABBAABAB1 AEA,1EAA .111 ABAB證明證明 1ABB1 1 A .111 AA TTTAAAA11 TE ,E .11TTAA .,0,10kkAAEAA 定義定義時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)另外另外證明證明 為正整數(shù)為正整數(shù)k .1212

6、 AA推推廣廣1AmA1 mA1 1A .,4AAAAT 且且亦可逆亦可逆則則可逆可逆若若TT1 1 .AA,A115 則有則有可逆可逆若若證明證明EAA 111 AA.AA11 因此因此有有為整數(shù)時(shí)為整數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng), 0 A, AAA . AA 解解.1存在存在 A, 1120111A, 2130212A的逆矩陣。求矩陣1230120012.伴隨矩陣法伴隨矩陣法可以利用定理1求逆矩陣?yán)?01123012001|A同理可得同理可得, 2, 1, 0, 723222113AAAA, 1, 0, 0333231AAA,127012001A得故故 AAA11.127012001幾種特殊矩陣的逆 1）二

7、階矩陣acbdbcadAbcaddcbaA10,1則2）對(duì)角矩陣;.,.,;.112111121nnnaaaAaaaaaA均不為零。,331212321 A.1151531132 B解解331212321 A010430321 .,?,矩矩陣陣求求出出其其逆逆若若可可逆逆是是否否可可逆逆下下列列矩矩陣陣BA例例2 2010430321 0143 4 , 0 .A可可逆逆所所以以, 3332111 A, 4312212 A, 5311213 A.A,A,A,A,A,A341103333231232221 同理可求得同理可求得 33231332221231211111AAAAAAAAAAAAA.

8、315404133411151531132 B由于由于, 0 .B不不可可逆逆故故,130231,3512,343122321 CBA例例3 3 設(shè)設(shè).CAXBX 使?jié)M足使?jié)M足求矩陣求矩陣解解, 02343122321 A, 013512 B.,11都存在都存在 BA,111253232311 A且且,25131 BCAXB 又由又由1111 CBAAXBBA.11 CBAX于是于是11 CBAX 251313023111125323231E證證明明, 022 EAA由由 EEAA2 得得EEAA 2.,2,:, 022并求它們的逆矩陣并求它們的逆矩陣都可逆都可逆證明證明滿足方程滿足方程設(shè)方陣

9、設(shè)方陣EAAEAAA 例例4 4 2513202011.41041012 1 A022 EAA又由又由 0432 EEAEA EEAEA 3412.EA可可逆逆故故2 .211EAA 12 EA , 13412 EAEA ;5104023211120111112 X ;412341511 X解矩陣方程解矩陣方程例例5 5 412341514151415111X得得 41231154.642817 解解 412341511X給方程兩端左乘矩陣給方程兩端左乘矩陣,41511 412341511XE 5104023211120111112 X1112011111510402321 X給方程兩端右乘矩陣給方程兩端右乘矩陣,1120111111 得得.9144682592 714121,61ABAABAA