物理中求極值的常用方法

1、物理解題中求極值的常用方法運(yùn)用數(shù)學(xué)工具處理物理問(wèn)題的能力是高考重點(diǎn)考查的五種能力之一，其中極值的計(jì)算在教學(xué)中頻繁出現(xiàn)。因?yàn)闃O值問(wèn)題范圍廣、習(xí)題多，會(huì)考、高考又經(jīng)?？疾?，應(yīng)該得到足夠重視。另外很多學(xué)生數(shù)、理結(jié)合能力差，這里正是加強(qiáng)數(shù)理結(jié)合的“切人點(diǎn)”。學(xué)生求極值，方法較少，教師應(yīng)該在高考專(zhuān)題復(fù)習(xí)中提供多種求極值的方法。求解物理極值問(wèn)題可以從物理過(guò)程的分析著手，也可以從數(shù)學(xué)方法角度思考，下面重點(diǎn)對(duì)數(shù)學(xué)方法求解物理極值問(wèn)題作些說(shuō)明。1、利用頂點(diǎn)坐標(biāo)法求極值對(duì)于典型的一元二次函數(shù)y=ax 2+bx+c,若 a0,則當(dāng) x=- b2ab若 a0,則當(dāng) x=-2a時(shí) ,y 有極小值，為ymin= 4acb

2、2；4a時(shí) ,y 有極大值，為4acb2ymax =；4a2、利用一元二次函數(shù)判別式求極值對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c ，用判別式法利用 b2-4ac 0。 (式中含 y)若 y A ，則 yminA 。若 y A ，則 ymax A 。3、利用配方法求極值對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c ，函數(shù)解析式經(jīng)配方可變?yōu)閥=(x-A) 2+常數(shù)：（ 1）當(dāng) x A 時(shí)，常數(shù)為極小值；或者函數(shù)解析式經(jīng)配方可變?yōu)閥 = ( x A )2+常數(shù)。（2）當(dāng) xA 時(shí)，常數(shù)為極大值。4、利用均值定理法求極值均值定理可表述為abab ，式中 a、 b 可以是單個(gè)變量，也可以是多項(xiàng)式。2當(dāng) a b 時(shí)，(a+

3、b) min 2ab。當(dāng) a b 時(shí)，(a+b) max (ab) 2。25、利用三角函數(shù)求極值如果所求物理量表達(dá)式中含有三角函數(shù)，可利用三角函數(shù)的極值求解。若所求物理量表達(dá)式可化為“ y=Asin cos ”的形式，則 y= 1Asin2 ，在=45o時(shí)， y 有極值 A 。22對(duì)于復(fù)雜的三角函數(shù)，例如 y=asin +bcos，要求極值時(shí)先需要把不同名的三角函數(shù)sin和 cos，變成同名的三角函數(shù)，比如sin( + ) 。這個(gè)工作叫做“化一”。首先應(yīng)作輔助角如所示。ab圖 1考慮 asin +bcos (asinbcos )a 2a 2b 2b 2 a2b2(cos sin +sin co

4、s ) a 2 b2 sin( +)其最大值為a2b2 。6、用圖象法求極值通過(guò)分析物理過(guò)程遵循的物理規(guī)律，找到變量之間的函數(shù)關(guān)系，作出其圖象，由圖象可求得極值。7、用分析法求極值分析物理過(guò)程，根據(jù)物理規(guī)律確定臨界條件求解極值。下面針對(duì)上述7 種方法做舉例說(shuō)明。例 1：如圖 2 所示的電路中。電源的電動(dòng)勢(shì)12 伏，內(nèi)阻r 0.5 歐，外電阻R1 2 歐， R2 3 歐，滑動(dòng)變阻器R35 歐。求滑動(dòng)變阻器的滑動(dòng)頭P 滑到什么位置，電路中的伏特計(jì)的示數(shù)有最大值?最大值是多少 ?R1aR3R2pbV分析：設(shè) aP 間電阻為 x，外電路總電阻為R. 則：圖 2、 rR( R1X )(R2R3 X)R1

5、R2R3(2X )(35X )235(2X )(8X )10先求出外電阻的最大值Rmax 再求出伏特計(jì)示數(shù)的最大值U max。本題的關(guān)鍵是求 Rmax，下面用四種方法求解 Rmax。方法一 用頂點(diǎn)坐標(biāo)法求解拋物線方程可表示為y ax2+bx+c ?？紤] R ( 2 x)(8 x) =x26x 16 ，1010設(shè) y -x2+6x+16 ，當(dāng) xb6 3時(shí)， Rmax (3)(3)26316 2(10 2.5。2a1)方法二 用配方法求解考慮 R (2x)(8x)x26 x 16=( x 3)225 。101010即 x 3時(shí)， Rmax252.5 。10方法三 用判別式法求解考慮 Rx 26x

6、 162+6x+16-10R 0，則有 -x10 b2-4ac 36-4(-1)(16-10R) 0，即： 100-40R 0，R2.5，即 Rmax 2.5。方法四 用均值定理法求解考慮 R (2x)(8x) ，設(shè) a 2+x； b 8-x。10當(dāng) ab 時(shí)，即 2+x 8-x，(23)(83)即 x3時(shí)， Rmax(3) 2.5。10也可以用上面公式(a+b) max( 2 x)(8 x) 2 25，2max( a b) max 25 2.5。R 1010以上用四種方法求出Rmax 2.5，下邊求伏特計(jì)的最大讀數(shù)。Imin12。Umax - I minr 12-40.5 10(V) 。即變

7、阻器的滑動(dòng)頭P滑到 R3 4(A)Rm axr2.5 0.5的中點(diǎn) 2.5處，伏特計(jì)有最大值，最大值為10 伏。例 2：如圖 3 所示。光滑軌道豎直放置， 半圓部分的半徑為R，在水平軌道上停著一個(gè)質(zhì)量為M 0.99kg的木塊， 一顆質(zhì)量為 m 0.01Kg的子彈， 以 V 0=400m/s 的水平速度射入木塊中， 然后一起運(yùn)動(dòng)到軌道最高點(diǎn)水平拋出，試分析：當(dāng)圓半徑R 多大時(shí)，平拋的水平位移是最大?且最大值為多少 ?MRmv0O圖 3 解析 子彈與木塊發(fā)生碰撞的過(guò)程，動(dòng)量守恒，設(shè)共同速度為V 1，則：mV (m+M)V1，0所以： V 1=m0.01400m / s 4m / sV00.01 0

8、.99mM設(shè)在軌道最高點(diǎn)平拋時(shí)物塊的速度為V 2，由于軌道光滑，故機(jī)械能守恒：1 ( M m)V122(m M ) gR1 (m M )V2222所以： V 2=( mM )V124(Mm)gR /(mM )=V124Rg424R 101640R則平拋后的位移可以表示為：s =V 2t =V 24R(1640R)4Rg104R20.4R 。因?yàn)?a=-10 ，顯然，當(dāng)滿(mǎn)足 b2-4ac0，即 182-43S0 得： S27m， Smin=27m 。當(dāng)汽車(chē)剎車(chē)時(shí)與自行車(chē)間距為27 米時(shí)是汽車(chē)不與自行車(chē)相撞的條件。例 4：如圖頂無(wú)摩擦滑下，最大值是多少?4 所示。一輛四分之一圓弧小車(chē)停在不光滑水平

9、地面上，質(zhì)量為且小車(chē)始終保持靜止?fàn)顟B(tài)，試分析： 當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，m 的小球從靜止開(kāi)始由車(chē)地面對(duì)小車(chē)的摩擦力最大?ONmg圖 4解析 ：設(shè)圓弧半徑為R，當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到重力mg 與半徑夾角為時(shí)，速度為V，根據(jù)機(jī)械能守恒定律和牛頓第二定律有：1 mV 2mgR cos2N mg cosm V 2R解得小球?qū)π≤?chē)的壓力為： N=3mgcos ，其水平分量為：Nx =3mgsin cos =3mg sin 2f= N x= 32根據(jù)平衡條件，地面對(duì)小車(chē)的靜摩擦力水平向右，大小為：mg sin 22f max= 3 mg ?？梢钥闯觯寒?dāng)sin2 =1, 即 =45o時(shí)，地面對(duì)小車(chē)的靜摩擦力最大，其值

10、為：2例 5：如圖 5 所示。質(zhì)量為 m 的物體由力 F 牽引而在地面上勻速直線運(yùn)動(dòng)。物體與地面間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為 ,求力 F 最小時(shí)的牽引角。 (F 的方向是隨變化的。 )NFf圖 5G解析 ：因物體勻速直線運(yùn)動(dòng)，所以有：Fcos -f 0f N (mg-Fsin )代人得：Fcos - mg+ Fsin 0mg即： F。分母為兩項(xiàng)不同名的三角函數(shù)，需要轉(zhuǎn)化成同名的三角函數(shù)，也就是需要“化cossin一”。由前面的“化一”結(jié)論得： a sin +b cosa 2b2sin( + )考慮本題分母： sin+cos與 a sin +b cos用比較法，得：a； b 1。于是 tg b1 ，則 a

11、rc tg 1 。所以， sin +cos21 sin( +arc tg1)。a要使 F 最小，則分母 sin +cos需最大，因此，+arc tg 1。2所以有：-arc tg1-arc ctg =arc tg。22即：=arc tg時(shí)，F(xiàn) 最小。作為教師，運(yùn)用“求導(dǎo)數(shù)”對(duì)本題驗(yàn)算非常簡(jiǎn)便。Fmg?？紤]dF0 ，則有coscossind-sin 0 則arc tg，即當(dāng)F 最小時(shí)，牽引角arc tg。例 6：甲、乙兩物體同時(shí)、同地、同向由靜止出發(fā)，甲做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度為4 米秒2，4 秒后改為勻速直線運(yùn)動(dòng)；乙做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度為2 米秒 2，10 秒后改為勻速直線運(yùn)動(dòng)，求乙追上甲

12、之前它們之間的最大距離。分析：運(yùn)用物理規(guī)律和圖形相結(jié)合求極值是常用的一種比較直觀的方法。由題意可知，4 秒后甲做勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為：V 甲 =a 甲 t 甲 44 16(m s)。乙 10 秒后做勻速運(yùn)動(dòng)的速度為：V 乙 a 乙 t 乙 210 20(m s)。V(m/s)20乙16A（ 8；16）甲10548120t/s圖 6可畫(huà)出 v t 如上圖 6 所示。圖線在 A(8 ，16)點(diǎn)相交， 這表明在t 8 秒時(shí)，兩物體的速度相等，因此在t 8 秒時(shí)，兩者間的距離最大。此時(shí)兩圖線所圍觀積之差，就是兩者間的最大距離。118 16 32(m) 。即 S max4 16 + 4 16 22用分析

13、法求極值在物理計(jì)算中較常見(jiàn)。經(jīng)過(guò)對(duì)物理狀態(tài)或過(guò)程分析后求極值，不一定要用繁難的數(shù)學(xué)，關(guān)鍵是確定臨界狀態(tài)和過(guò)程的最值。77ABCD與平面的夾角是，在整個(gè)導(dǎo)軌平面內(nèi)部有垂直于導(dǎo)軌平面斜向上方的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為L(zhǎng)B 。在導(dǎo)軌的 AC 滑。已知端連接一個(gè)阻值為R 的電阻， 一根垂直于導(dǎo)軌放置的金屬棒ab 與導(dǎo)軌間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為，導(dǎo)軌和金屬棒的電阻不計(jì)。求ab，質(zhì)量為 m，從靜止開(kāi)始沿導(dǎo)軌下ab 棒的最大速度。RAaCbB圖 7解析 ：采用分析法要注意抓三個(gè)環(huán)節(jié)，即分析物理過(guò)程；確定極值狀態(tài)；運(yùn)用物理規(guī)律求解。金屬棒 ab 橫截面受力如上圖7 所示。在下滑過(guò)程中，ab 受重力 mg，支持力 N

14、mgcos，摩擦力f mgcos，安培力F B 2 L2V 。沿R導(dǎo)軌平面有：B2 L2Vmgsin - mgcos-=maRab 由靜止加速下滑會(huì)導(dǎo)致：VFFa當(dāng) a 0 時(shí)， ab 速度到達(dá)最大，即：V Vmax 所以式變?yōu)閙gsin mgcos B 2 L2Vmax=0Rmg(sincos)解式得： V max。B2 L2綜上所述，求解極值習(xí)題常用的方法列舉了七種、即均值定理法、頂點(diǎn)坐標(biāo)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)中“化一”法、圖解法、分析法。針對(duì)有些習(xí)題所給的條件的“有界性”，運(yùn)用求極值的方法時(shí)要特別注意，求出的極值不能“出界”，要注意定義域和值域的對(duì)應(yīng)關(guān)系。例 8：如圖 8 所示。

15、已知電流表內(nèi)阻忽略不計(jì)。10V ，r 1， Ro R 4，其中 R 為滑動(dòng)變阻器的最大值。 當(dāng)滑動(dòng)片 P 從最左端滑到最右端的過(guò)程中，電流表的最小值是多少 ?最大值是多少 ?電流表的示數(shù)將怎樣變化 ?、 rR0PAbaR圖 8解：設(shè)滑動(dòng)變阻器滑片P 左端的電阻為R 左，通過(guò)電流表的電流為IA ，通過(guò) Ro 的電流為I o，由并聯(lián)電路可知I 0R左由歐姆定律得： I =I AR0R總 r即： I=10（R左）r4R左并RR4R左14R左（ R左）I=I 0+IA= IAR01把代入式整理得I AR402左R5左20用配方法對(duì)式求極值。I A 40=40左 5R左5R 220（R左22） 26.25當(dāng) R 2.5時(shí)， IA 有極小值 IAmin 401.52(A) 。26.5當(dāng)求