任意項級數(shù)的斂散性判別PPT課件

1、 11:1npnp級數(shù)級數(shù)、 發(fā)散發(fā)散時時當(dāng)當(dāng)收斂收斂時時當(dāng)當(dāng),1,1pp斂斂散散性性、 02nnaq 發(fā)散發(fā)散時時當(dāng)當(dāng)收斂收斂時時當(dāng)當(dāng),1,1qqn 113n 、調(diào)調(diào)和和級級數(shù)數(shù).發(fā)發(fā)散散 極限形式：極限形式：非極限形式：非極限形式：比較判別法：比較判別法： 發(fā)散發(fā)散發(fā)散，則發(fā)散，則收斂收斂收斂，則收斂，則則則nnnnnnvuuvcvu, 發(fā)散發(fā)散發(fā)散，則發(fā)散，則收斂收斂收斂，則收斂，則同斂散同斂散若若給定給定nnnnnnnnuvruvrrrvuv, 0,0lim,第1頁/共29頁比值判別法： （不需要比較對象）ruunnn 1lim 方法失效方法失效發(fā)散發(fā)散則則收斂收斂則則, 1, 1,

2、1rururnn根式判別法： （不需要比較對象）runnn lim 方法失效方法失效發(fā)散發(fā)散則則收斂收斂則則, 1, 1, 1rururnn第2頁/共29頁7.3 任意項級數(shù)斂散性的判別 一、交錯級數(shù) 二、萊布尼茲判別法 三、絕對收斂、條件收斂第3頁/共29頁一、任意項級數(shù)、交錯級數(shù)的定義一、任意項級數(shù)、交錯級數(shù)的定義定義定義 正項和負(fù)項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為正項和負(fù)項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項級數(shù)任意項級數(shù). .1nnu 若若是是正正項項級級數(shù)數(shù), ,1nnnuS 則則收收斂斂其其部部分分和和數(shù)數(shù)列列有有界界. .1nnu 若若是是任任意意項項級級數(shù)數(shù), ,1nnnuS 則則收收斂斂其其部部分分和

3、和數(shù)數(shù)列列有有界界. .？11( 1)nn 111111 01nnSn 為為偶偶數(shù)數(shù)為為奇奇數(shù)數(shù),nS有有界界11( 1).nn 但但發(fā)發(fā)散散 nnnu11)1(定義定義 正、負(fù)項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù)正、負(fù)項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù). .)0( nu其中其中 4321uuuu 4321 uuuu nnnu1)1(第4頁/共29頁二、萊布尼茲判別法（交錯級數(shù)）二、萊布尼茲判別法（交錯級數(shù)）1231(1)nnuuuuu (2) lim0nnu 11( 1):nnnu 萊萊布布尼尼茲茲判判別別法法 若若交交錯錯級級數(shù)數(shù)滿滿足足111( 1).nnnusu 則則收收斂斂, ,且且它它的的和和, 01

4、nnuu21234212()()()nnnSuuuuuu 2,nS即即數(shù)數(shù)列列是是單單調(diào)調(diào)增增加加的的證證212322212()()nnnnSuuuuuu又又1u 2,nS數(shù)數(shù)列列是是有有界界的的21lim.nnSsu, 0lim12 nnu21221limlim()nnnnnSSu, s .,1uss 且且級級數(shù)數(shù)收收斂斂于于和和第5頁/共29頁解解,1 nnuununnn1limlim . 0 所以原級數(shù)收斂.（1）,111 nn（2）,1nun 11( 1)nnnu 11nn 解解,1 nnuu)1(limlimnnunnn . 0 原級數(shù)收斂.（1）nn 1112 nn（2）nnn 1

5、1limnnun 1121 nn1 nu第6頁/共29頁解解12lim nnn021 原級數(shù)發(fā)散. nnulim注：對于交錯級數(shù)注：對于交錯級數(shù), 0lim,)1( nnnnuu 若若則一定發(fā)散則一定發(fā)散. .lim0nnu22lim( 1)0nnnulim( 1)0nnnu11( 1).nnnu 發(fā)發(fā)散散解解考察函數(shù)的單調(diào)性。xxxfln)( ,ln)(nnnfun 2ln1)( )1(xxxf )3( , 0 x,ln , 3單調(diào)遞減單調(diào)遞減故當(dāng)故當(dāng)nnn xxxlnlim. 0 原級數(shù)收斂. nnnlnlim)2(xx1lim 第7頁/共29頁當(dāng)當(dāng)nu的單調(diào)性不好判斷時，可借助函數(shù)的單調(diào)

6、性不好判斷時，可借助函數(shù)f(x)的單調(diào)性的單調(diào)性對對f(n)進(jìn)行判斷，不可以直接對進(jìn)行判斷，不可以直接對f(n) 求導(dǎo)。求導(dǎo)。注：對于交錯級數(shù)注：對于交錯級數(shù)nnu lim不容易求解時，可轉(zhuǎn)換為函數(shù)極限問題；不容易求解時，可轉(zhuǎn)換為函數(shù)極限問題；, )()1()1(11 nfunnn當(dāng) )1(xx)2(0 x解解,1單單調(diào)調(diào)遞遞減減故故函函數(shù)數(shù) xx1(2),nnuun 1limlim)2( nnunnn. 0 原級數(shù)收斂.(1)考察函數(shù)的單調(diào)性。1)( xxxf2)1(2)1( xxx第8頁/共29頁1()lnxx )2(0 x解解1,lnxx 故故函函數(shù)數(shù)單單調(diào)調(diào)遞遞減減1(2),nnuun

7、 (1)考察函數(shù)的單調(diào)性。1( )lnf xxx 211lnxxx 21lnxx xx 1(2) limlimlnnnnunn 1limlnxxx limlnxxx lnlim1xxxxln1lim1xxxx 221lnlim1xxxx lim 1lnxx 0 lim0nnu原級數(shù)收斂.第9頁/共29頁三、絕對收斂和條件收斂三、絕對收斂和條件收斂定理定理 若若 1nnu收斂收斂, ,則則 1nnu收斂收斂. . 證證明明：|nnnuuu 0| 2|nnnuuu 1|nnnuu 是是正正項項級級數(shù)數(shù), ,1|nnu 且且是是收收斂斂級級數(shù)數(shù). . 1|().nnnuu 也也是是收收斂斂級級數(shù)數(shù)

8、正正項項級級數(shù)數(shù)的的比比較較判判別別法法 11|nnnnnnuuuu從從而而也也是是收收斂斂級級數(shù)數(shù). .1|nnu 注注：發(fā)發(fā)散散，1nnu 發(fā)發(fā)散散1111|1|nnnnn（）發(fā)發(fā)散散, ,nn 11(-1)n 但但收收斂斂. .第10頁/共29頁1nnu 對對于于收收斂斂的的任任意意項項級級數(shù)數(shù)來來說說，1|nnu 有有些些收收斂斂，1|nnu 而而有有些些發(fā)發(fā)散散。收斂，收斂，例：例：21nn1(-1)n 收斂，收斂，n1(-1)1nn n22n 1n 111(-1)nn 收收斂斂. .nn 1n 111(-1)nn= =發(fā)發(fā)散散。11|nnnnuu 收收斂斂，收收斂斂1nnu 絕絕對

9、對收收斂斂1nnu 條條件件收收斂斂收斂收斂發(fā)散，發(fā)散， 11nnnnuu第11頁/共29頁n2n 11(-1)n 例例：nn 11(-1)n 絕對收斂條件收斂11|nnnnuu 收收斂斂，收收斂斂1nnu 絕絕對對收收斂斂1nnu 條條件件收收斂斂收斂收斂發(fā)散，發(fā)散， 11nnnnuu第12頁/共29頁例：判別級數(shù)的斂散性。的斂散性。 11)0()1(npnpn解：時，時，1 p 原原級級數(shù)數(shù)條條件件收收斂斂. .時，時，1 p11111|( 1)|nppnnnn 11111|( 1)|nppnnnn 此此時時, ,原原級級數(shù)數(shù)絕絕對對收收斂斂. .發(fā)散，發(fā)散，收斂，收斂，n1n111,li

10、mlim0,(1)npppnnuuunnn 又又11pnn 發(fā)散發(fā)散時時當(dāng)當(dāng)收斂收斂時時當(dāng)當(dāng),1,1pp111( 1)npnn 1,1,pp 當(dāng)當(dāng)時時絕絕對對收收斂斂當(dāng)當(dāng)時時條條件件收收斂斂第13頁/共29頁例：判別級數(shù)2( 1)lnnnn 的的斂斂散散性性. .解：22( 1)1lnlnnnnnn 11lnnn 21,nn 且且發(fā)發(fā)散散21.lnnn 發(fā)發(fā)散散111lnln(1)nnuunn 又又1lim0lnnn 2( 1).lnnnn 條條件件收收斂斂第14頁/共29頁四、任意項級數(shù)的判別方法四、任意項級數(shù)的判別方法定理：定理：1nnu 設(shè)設(shè)為為任任意意項項級級數(shù)數(shù)，則則若若,|lim1

11、ruunnn 時時，當(dāng)當(dāng)1)1( r1nnu 絕絕對對收收斂斂。時時，當(dāng)當(dāng)1)2( r1,nnu 發(fā)發(fā)散散時時，當(dāng)當(dāng)1)3( r判判別別法法失失效效。1nnu 發(fā)發(fā)散散。1,nnu 收收斂斂1111nnnnnnnnuuuu發(fā)發(fā)散散時時，可可能能收收斂斂，也也可可能能發(fā)發(fā)散散，但但若若根根據(jù)據(jù)比比值值判判別別法法：判判定定發(fā)發(fā)散散，則則發(fā)發(fā)散散. .第15頁/共29頁例：的斂散性。的斂散性。判別級數(shù)判別級數(shù) nnn2)1(31解： 31322)1(limnnnnn 3)11(21limnn211 絕對收斂。絕對收斂。nnn2)1(3 |lim1nnnuu例：113( 1)!nnnnn 判判別別級

12、級數(shù)數(shù)的的斂斂散散性性。解：13(1)!1lim3!nnnnnnn 3e 1 3( 1)2nnn 發(fā)發(fā)散散. . |lim1nnnuulim31nnnn 3lim11nnn 第16頁/共29頁-11(-1).nnnxn 例例 討討論論的的斂斂散散性性x-111nnnxn （ ）解：111lim1nnnxnxn lim1nnxn 11( 1).nnnxn 絕絕對對收收斂斂(1)0,x 當(dāng)當(dāng)時時10n 絕絕對對收收斂斂; ;(2)0,x 當(dāng)當(dāng)時時1nnxn 1,x當(dāng)當(dāng)時時11( 1).nnnxn 發(fā)發(fā)散散1,x 當(dāng)當(dāng)時時1,x 當(dāng)當(dāng)時時11( 1)nnn 原原級級數(shù)數(shù).條條件件收收斂斂1,x 當(dāng)當(dāng)

13、時時11nn 原原級級數(shù)數(shù).發(fā)發(fā)散散第17頁/共29頁 2sinnna,112收斂收斂而而 nn解解,sin12 nnna收斂收斂故由定理知原級數(shù)絕對收斂.經(jīng)判斷該級數(shù)為任意項級數(shù)（易出錯認(rèn)為正項級數(shù)）,12n考慮絕對值級數(shù)21sinnnan 22sin1nann ,112收斂收斂而而 nn21sin.nnan 收收斂斂第18頁/共29頁21(1)sin2nnn 1!(3)2 sin5nnnnnn (1).解解顯顯然然，該該級級數(shù)數(shù)為為正正項項級級數(shù)數(shù)2112(1) sin2limlimsin2nnnnnnnuun 212(1)2lim2nnnnn 112.所所以以該該級級數(shù)數(shù)收收斂斂221s

14、in5(2)5nnnn 第19頁/共29頁(2).解解顯顯然然，該該級級數(shù)數(shù)為為正正項項級級數(shù)數(shù)221sin5(2)5nnnn 222sin555nnnnn 21,5nnn 對對級級數(shù)數(shù)而而言言2112(1)5limlim5nnnnnnnunu 211lim5nnn 11521,5nnn 級級數(shù)數(shù)收收斂斂221sin5.5nnnn 從從而而收收斂斂第20頁/共29頁1!(3)2 sin5nnnnnn (3).解解顯顯然然，該該級級數(shù)數(shù)為為任任意意項項級級數(shù)數(shù)!2 sin25nnnnnnnnn 1!2nnnnn 考考查查正正項項級級數(shù)數(shù)111(1)!2(1)limlim!2nnnnnnnnnun

15、nun 1(1)!lim2(1)!nnnnnnn 1lim21(1)nnn 21e1!2,nnnnn 收收斂斂1!2 sin5nnnnnn 于于是是由由比比較較判判別別法法得得收收斂斂, , .從從而而原原級級數(shù)數(shù)絕絕對對收收斂斂第21頁/共29頁11( 1)1.ln(1nnn ）132( 1)3.2nnnn 212( 1)24.!nnnn 2( 1)2.lnnnnn 2(1)5.( 1)(1)(2)nnn nnn 15142( 1)6.( 1)nnnn 1nnu 考考查查的的斂斂散散性性比比值值11nnnnuu 與與同同斂斂散散比比較較或或比比較較的的極極限限形形式式3 4，1 2 6， ，

16、比比較較或或比比較較的的極極限限形形式式- - -一一般般萊萊布布尼尼茲茲公公式式1nnu 收收斂斂1nnu 絕絕對對收收斂斂1nnu 發(fā)發(fā)散散1nnu 的的斂斂散散性性重重新新判判定定6lim0,nu 發(fā)發(fā)散散5判斷任意項級數(shù)斂散性的方法判斷任意項級數(shù)斂散性的方法第22頁/共29頁判斷級數(shù)斂散性的步驟判斷級數(shù)斂散性的步驟1.1.判定級數(shù)類型判定級數(shù)類型-任意項級數(shù)或正項級數(shù)任意項級數(shù)或正項級數(shù)2.2.若為正項級數(shù)若為正項級數(shù), ,采用正項級數(shù)的判別法采用正項級數(shù)的判別法1).1).比值判別法比值判別法2).2).比較判別法的極限形式比較判別法的極限形式3.3.若為任意項級數(shù)若為任意項級數(shù),

17、,采用任意項級數(shù)的比值判別法采用任意項級數(shù)的比值判別法. .作業(yè)：pp255，12.（1）（2 ）（10） （13）收斂或發(fā)散收斂或發(fā)散絕對收斂或條件收斂或發(fā)散絕對收斂或條件收斂或發(fā)散第23頁/共29頁11( 1)1.ln(1nnn ）132( 1)3.2nnnn 212( 1)24.!nnnn 2( 1)2.lnnnnn 2(1)5.( 1)(1)(2)nnn nnn 15142( 1)6.( 1)nnnn 111( 1)11.ln(1ln(1nnnnn 解解 考考查查）11ln(11nn ）111nn 且且發(fā)發(fā)散散，11( 1)ln(1nnn 所所以以發(fā)發(fā)散散. .）11( 1)ln(1n

18、nn 考考查查）111ln(1ln(2)nnuunn ）1lim0ln(1nn ）11( 1).ln(1nnn 收收斂斂，且且為為條條件件收收斂斂）第24頁/共29頁22( 1)12.lnlnnnnnnnn 解解 考考查查n1lnlim1nnn nlimlnnnn n1limln1nn 1 21nn 且且發(fā)發(fā)散散2( 1)lnnnnn 所所以以發(fā)發(fā)散散。2( 1)()lnnnnn 考考查查見見前前面面例例題題,收收斂斂于于是是條條件件收收斂斂。第25頁/共29頁1()lnxx )2(0 x解解1,lnxx 故故函函數(shù)數(shù)單單調(diào)調(diào)遞遞減減1(2),nnuun (1)考察函數(shù)的單調(diào)性。1( )lnf xxx 211lnxxx 21lnxx xx 1(2) limlimlnnnnunn 1limlnxxx limlnxxx lnlim1xxxxln1lim1xxxx 221lnlim1xxxx lim 1lnxx 0 lim0nnu原級數(shù)收斂.第26頁/共29頁13322( 1)3.22nnnnnnn 解解 考考查查33113131122limlimlim22nnnnnnnnnnunnun （）（）112132( 1)2nnnn 所所以以收收斂斂，從從而而原原級級數(shù)數(shù)絕絕對對收收斂斂. .22122(