函數(shù)的極限05680PPT課件

1、函數(shù)極限第1頁/共46頁函數(shù)無窮小量第2頁/共46頁:定義定義N ., 0, 0 axNnNn恒有恒有時時使使數(shù)列極限的定義數(shù)數(shù)可可視視為為自自然然數(shù)數(shù)集集上上的的函函數(shù)數(shù)列列nx的的推推廣廣的的極極限限可可視視為為函函數(shù)數(shù)在在nx.)(, AxfXx0X0恒恒有有時時使使Axfx)(lim函數(shù)極限的定義)(xX:定義定義X 數(shù)列跳躍趨近函數(shù)連續(xù)趨近axnnlim函數(shù)極限第3頁/共46頁.)(, AxfXxX0恒恒有有時時使使Axfx)(lim函數(shù)極限與數(shù)列極限也有不同處，而函數(shù)還可能，而函數(shù)還可能數(shù)列只能數(shù)列只能值值后后面面的的值值是是所所有有時時，XxXx值值后后面面的的值值是是所所有有時

2、時，XxXx函數(shù)極限的定義)x(X:定義定義X 函數(shù)極限呢？呢？這時候該如何定義極限這時候該如何定義極限第4頁/共46頁.A)x(f,X|x|,X,0 恒恒有有時時使使Axfx)(lim后后面面有有兩兩個個方方向向時時，Xx函數(shù)極限的定義)x(的的意意思思是是對對于于函函數(shù)數(shù)而而言言，xxxX|x|向向的的所所有有來來表表示示同同時時滿滿足足兩兩個個方方我我們們用用X-X:定義定義X 函數(shù)極限第5頁/共46頁為了定義函數(shù)在某點的極限，必須了解鄰域aa+ a- 心半徑稱區(qū)間(a- ,a+ )為點a的 鄰域，記做（a, ）稱（a, ）去掉點a后的集合為點a的去心鄰域記做（a, ）如果用 衡量點a的

3、 鄰域的大小，則沒有最大的鄰域，也沒有最小的鄰域鄰域第6頁/共46頁aa+ a- 鄰域使數(shù)軸分為內外兩部分向外可以無限逼近正無窮大和負無窮大向內可以無限逼近點a,從左邊和右邊鄰域就是用來刻畫向內逼近某點的鄰域第7頁/共46頁函數(shù)極限的定義)(xAxfx)(lim:定義定義X .A)x(f,X|x|,X,0 恒恒有有時時使使X-X函數(shù)極限的定義)(0 xx Axfx)(lim:定義定義X .)(,|, 00 AxfXxxX恒恒有有時時使使x0X-X函數(shù)極限第8頁/共46頁函數(shù)極限的定義)(xAxfx)(lim:定義定義X .)(, 0 AxfXxX恒恒有有時時使使X函數(shù)極限的定義)(0 xx.)

4、(, 00 AxfXxxX恒恒有有時時使使x0X函數(shù)單側極限Axfxx)(lim0:定義定義X 第9頁/共46頁.)(, 0 AxfXxX恒恒有有時時使使A)x(flimn函數(shù)極限的定義)(x0X:定義定義X .)(, 00 AxfXxxX恒恒有有時時使使Axfxx)(lim0函數(shù)極限的定義)(0 xxx0X:定義定義X 函數(shù)單側極限第10頁/共46頁函數(shù)極限的兩邊夾準則和數(shù)列的完全類似函數(shù)極限的唯一性和數(shù)列的完全類似函數(shù)極限的保序性和數(shù)列的完全類似,從而函數(shù)極限運算性質和數(shù)列的完全類似函數(shù)極限性質第11頁/共46頁推論推論).()(),(, 0,)(lim,)(lim0000 xgxfxUx

5、BABxgAxfxxxx 有有則則且且設設定理定理( (保序性保序性) ).),()(),(, 0.)(lim,)(lim0000BAxgxfxUxBxgAxfxxxx 則則有有若若設設函數(shù)極限保序性第12頁/共46頁).0)(0)(,),(, 0),0(0,)(lim000 xfxfxUxAAAxfxx或或時時當當則則或或且且若若定理定理( (保號性保號性) ).0(0),0)(0)(,),(, 0,)(lim000 AAxfxfxUxAxfxx或或則則或或時時當當且且若若推論推論函數(shù)極限保號性第13頁/共46頁 .)(),(,),(),(,)(.),(),(21000時的子列時的子列當當為

6、函數(shù)為函數(shù)即即則稱數(shù)列則稱數(shù)列時時使得使得有數(shù)列有數(shù)列中中或或可以是可以是設在過程設在過程axxfxfxfxfxfaxnaxxxxaaxnnnn 定義定義.)(lim,)()(,)(limAxfaxxfxfAxfnnnax 則有則有時的一個子列時的一個子列當當是是數(shù)列數(shù)列若若定理定理函數(shù)極限與數(shù)列極限第14頁/共46頁證證.)(,0, 0, 00 Axfxx恒有恒有時時使當使當Axfxx )(lim0.0, 0, 00 xxNnNn恒有恒有時時使當使當對上述對上述,)( Axfn從而有從而有.)(limAxfnn 故故,lim00 xxxxnnn 且且又又函數(shù)極限與數(shù)列極限第15頁/共46頁.

7、 0)(lim,)(lim)(lim)()(lim)3();(lim)(lim)()(lim)2();(lim)(lim)()(lim) 1 (,)(lim),(limxgxgxfxgxfxgxfxgxfxgxfxgxfxgxf其中其中則則存在存在設設極限四則運算第16頁/共46頁.)(lim)(lim)()(lim)3();(lim)(lim)()(lim)2();(lim)(lim)()(lim) 1 (032)(lim),(limxgxfxgxfxgxfxgxfxgxfxgxfxgxf的，則的，則）存在的極限有不為）存在的極限有不為）（）（且（且（至少一個存在，至少一個存在，泛四則比四則

8、用起來要便利得多,它容忍未知極限極限泛四則運算第17頁/共46頁例20sinlimxxxxex指數(shù)函數(shù)部分一看就有極限，且不為，根據(jù)極限泛運算法則，不管后面部分是否存在極限，可以分成兩部分求極限22000sinsinlimlimlimxxxxxxxxxeexx例題第18頁/共46頁商的極限商的極限(*/0)的極限有如下情況：的極限有如下情況：）（）（，）（當當xgxfxglim0lim不存在不存在）（）（，則，則）xgxfxflim0)(lim1不確定不確定）（）（，則，則）xgxfxflim0)(lim2的的型是我們后面重點學習型是我們后面重點學習）即）即情形情形002商的極限(*/0型)第

9、19頁/共46頁例例1 1.531lim232 xxxx求求解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 , 03 531lim232 xxxx)53(lim1limlim22232 xxxxxx.37 3123 例題第20頁/共46頁解解)32(lim21 xxx, 0 )14(lim1 xx又又, 03 不存在不存在1432lim21xxxx例例2 2.3214lim21 xxxx求求例題第21頁/共46頁解解例例3 3.321lim221 xxxx求求.,1分母的極限都是零分母的極限都是零分子分子時時x.

10、1后再求極限后再求極限因子因子先約去不為零的無窮小先約去不為零的無窮小 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 )00(型型(消去零因子法)例題第22頁/共46頁例例4 4.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的極限都是無窮大分母的極限都是無窮大分子分子時時 x)(型型 .,3再求極限再求極限分出無窮小分出無窮小去除分子分母去除分子分母先用先用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 (無窮小因子分出法)例題第23頁/共46頁例例6 6.sinlimxxx 求求解解,1,為無窮小

11、為無窮小時時當當xx .sin 是有界函數(shù)是有界函數(shù)而而x. 0sinlim xxxxxysin 例題第24頁/共46頁例例7 7).(lim,0, 10,1)(02xfxxxxxfx 求求設設yox1xy 112 xy解解兩個單側極限為兩個單側極限為是函數(shù)的分段點是函數(shù)的分段點,0 x)1(lim)(lim00 xxfxx , 1 )1(lim)(lim200 xxfxx, 1 左右極限存在且相等,. 1)(lim0 xfx故故例題第25頁/共46頁例例8 8.lim333axaxax 求求解解axaxaxax 3233)()(lim原式原式3233232)(limaaxxaxax 0 32

12、3203limauuaxu 令令例題第26頁/共46頁以0為極限的函數(shù)稱為無窮小量兩個無窮小量的加減乘運算結果仍是無窮小量：有界量和無窮小量的乘積仍是無窮小量函數(shù)無窮小量第27頁/共46頁；記記作作低低階階的的無無窮窮小小是是比比或或說說高高階階的的無無窮窮小小比比是是，就就說說如如果果)()(,)()(,)()(0)()(lim) 1 (xgoxfxfxgxgxfxgxfx 0)(lim, 0)(limxgxfxx 設設;)()(, 0)()(lim)2(是是同同階階的的無無窮窮小小與與就就說說如如果果xgxfCxgxfx );)()(;)()(, 1)()(lim xxgxfxgxfxgx

13、fx記作記作是等價的無窮小是等價的無窮小與與則稱則稱如果如果特殊地，特殊地，無窮小階第28頁/共46頁: 是等價關系是等價關系);()() 1xfxf)()(),()()2xfxgxgxf則則)()(),()(),()() 3xhxfxhxgxgxf則則:替換替換求極限時無窮小的等價求極限時無窮小的等價小可以等價替換小可以等價替換二級運算中的等價無窮二級運算中的等價無窮) 1可以等價替換可以等價替換量唯一量唯一一級運算中等價無窮小一級運算中等價無窮小,)2常用等價無窮小常用等價無窮小: :,0時時當當 x)0(1)1(,21cos1, 1)1ln(arctanarcsintansin2 aax

14、xxxexxxxxxxax等價無窮小量第29頁/共46頁）為為無無窮窮大大量量（，則則稱稱）（若若xfxfx01lim 0)(01limxfxxfx時時足足夠夠接接近近，且且）（若若 ）為為正正無無窮窮大大量量（則則稱稱xf0)(01limxfxxfx時時足足夠夠接接近近，且且）（若若 ）為為正正無無窮窮大大量量（則則稱稱xf無窮大量第30頁/共46頁例例9 9.sintan,0:的三階無窮小的三階無窮小為為時時當當證明證明xxxx 解解30sintanlimxxxx )cos1sincos1(lim20 xxxxxx ,21 .sintan的三階無窮小的三階無窮小為為xxx 2000cos1

15、limsinlimcos1limxxxxxxxx 例題第31頁/共46頁例例1010解解)1ln(lim1lim00uuxeuxx ,1uex 令令),1ln(ux 即即, 0,0ux有有時時則當則當uuu10)1ln(1lim uuu10)1ln(lim1 eln1 . 1 . 1),1ln(0 xexxxx時，時，即，當即，當例題01limxxex第32頁/共46頁例例1111.cos12tanlim20 xxx 求求解解.22tan,21cos1,02xxxxx 時時當當22021)2(limxxx 原式原式. 8 例題第33頁/共46頁不能濫用等價無窮小代換.注意注意例例1212.ar

16、csinsin)1(lim0 xxxx 求求解解.arcsin,sin,0 xxxxx時時當當xxxx)1(lim0 原式原式. 1 )1(lim0 xx例題第34頁/共46頁例例1313.2sinsintanlim30 xxxx 求求解解.sin,tan,0 xxxxx時時當當 30)2(limxxxx 原式原式. 0 解解,0時時當當 x)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.161 錯錯 例題第35頁/共46頁例例1414.3sin1cos5tanlim0 xxxx 求求解解),(55tanxoxx ),(33sinxox

17、x ).(21cos122xoxx )(3)(21)(5lim220 xoxxoxxoxx 原式原式xxoxxoxxxox)(3)(21)(5lim20 .35 例題第36頁/共46頁函數(shù)無窮小運算封閉性兩個無窮小量的加減乘運算結果仍是無窮小量,f x g x設（ ）（ ）為無窮小量( )( ),( )( ),( ) ( )f xg xf xg xf x g x則是無窮小量這種運算不變性稱為運算封閉性，即無窮小量關于加減乘運算是封閉的又如兩個任意正數(shù)之和與積是任意正數(shù)我們說任意正數(shù)關于加乘運算是封閉的第37頁/共46頁函數(shù)無窮小運算封閉性( ), ( )f x g xxx0設為時的無窮小量(

18、)( ), ( )( ), ( ) ( )f xg x f xg x f x g xxx0則是時的無窮小量證：由定義，10100 |( )|xxf x 時，有( ), ( ),f x g xxx0因為為時的無窮小量|( )( )| |( )|( )| 2f xg xf xf x2|( ) ( )| |( )|( )|f x g xf xg x是是任任意意正正數(shù)數(shù) 也也是是任任意意正正數(shù)數(shù)，22 ( )( ), ( )( ), ( ) ( )f xg x f xg x f x g xxx0是時的無窮小量20200 |( )|xxg x 時，有120min(,)00 |xx 取時|( )|, |(

19、 )|f xg x有第38頁/共46頁函數(shù)無窮小運算封閉性證：由定義，000 |( )|xxf x 時,有( ),g xxx0為時的無窮小量|( ) ( )| |( )|( )|f x g xf xg xM是是任任意意正正數(shù)數(shù) 0( ) ( )f x g xxx是時的無窮小量也也是是任任意意正正數(shù)數(shù) M( ), ( )f xg xxx0設為有界函數(shù)為時的無窮小量( ) ( )f x g xxx0則是時的無窮小量( )f x為有界函數(shù)0|( )|Mf xM第39頁/共46頁函數(shù)無窮小保號性0lim( )0,( ),0 xxf xcf xc則證:( ),( )00cf xf xc若，則成立( )0f x 證下下的的情情形形0,0( )ccf x則間無數(shù)若若在在 與與 之之有有)( )0f xcf x于是有 ( 使( )cf x這與矛盾0c只能有只能有第40頁/共46頁函數(shù)無窮小兩邊夾準則證:0lim ( )0 xxh x00(1)( )( )( )(2) lim( )lim( )0,xxxxf xh xg xf xg x若( )h x0lim ( )0 xxh x那末數(shù)列的極限存在, , 且00lim( )lim( )0,xxxxf xg x由無窮小量定義10100 |( )|xxf x 有20200 |( )|xxg x 有取12min(,