江蘇省淮安市金湖中學洪澤中學等六校聯(lián)盟2020_2021學年高二數(shù)學下學期第一次聯(lián)考試題含解析

1、江蘇省淮安市金湖中學、洪澤中學等六校聯(lián)盟2020-2021學年高二數(shù)學下學期第一次聯(lián)考試題（含解析）一、單項選擇題（每小題5分）.1已知復(fù)數(shù)z滿足z（1+i）2，則|z|（）A1BC2D32函數(shù)ycos2x的導數(shù)是（）Asin2xBsin2xC2sin2xD2sin2x3已知復(fù)數(shù)z（a29）+（a3）i（aR），則“a3”是“z為純虛數(shù)”的（）A必要不充分條件B充分不必要條件C充要條件D既不充分又不必要條件4已知函數(shù)f（x）和g（x）在區(qū)間a，b上的圖象如圖所示，那么下列說法正確的是（）Af（x）在a到b之間的平均變化率大于g（x）在a到b之間的平均變化率Bf（x）在a到b之間的平均變化率小于

2、g（x）在a到b之間的平均變化率C對于任意x0（a，b），函數(shù)f（x）在xx0處的瞬時變化率總大于函數(shù)g（x）在xx0處的瞬時變化率D存在x0（a，b），使得函數(shù)f（x）在xx0處的瞬時變化率小于函數(shù)g（x）在xx0處的瞬時變化率5已知函數(shù)，則f（2021）（）A2020B2020C2021D20216函數(shù)在區(qū)間（m，m+1）上單調(diào)遞減，則實數(shù)m的取值范圍是（）A（0，1）B0，2C0，1）D（0，2）7函數(shù)f（x）的圖象大致是（）ABCD8傳說西游記中孫悟空的“如意金箍棒”原本是東海海底的一枚“定海神針”作為兵器，“如意金箍棒”威力巨大，且只有孫悟空能讓其大小隨意變化假定孫悟空在使用“定海神

3、針”與各路妖怪打斗時，都將其變化為底面半徑為4cm至10cm之間的圓柱體現(xiàn)假定孫悟空剛與一妖怪打斗完畢，并降伏了此妖怪，此時“定海神針”的底面半徑為10cm，長度為dcm在此基礎(chǔ)上，孫悟空使“定海神針”的底面半徑以每秒1cm勻速縮短，同時長度以每秒40cm勻速增長，且在這一變化過程中，當“定海神針”的底面半徑為7cm時，其體積最大，此時“定海神針”的長度d為（）cmA20B40C60D80二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9設(shè)復(fù)數(shù)，則以下結(jié)論正確的是（）Az3iB|z2|z|Cz3

4、1Dz210下列結(jié)論正確的是（）A“z1，z2互為共軛復(fù)數(shù)”是“|z1|z2|”的充要條件B如圖，在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)z1，z2對應(yīng)的向量分別是，則復(fù)數(shù)z1+z2對應(yīng)的點的坐標為（2，0）C函數(shù)存在單調(diào)遞增區(qū)間D函數(shù)yxsinx不存在極值點11已知函數(shù)f（x）ax22x+lnx存在極值點，則實數(shù)a的取值范圍是（）A0BeCD12若直線l與曲線C：yf（x）滿足以下兩個條件：點P（x0，y0）在曲線C：yf（x）上，直線l方程為yy0f（x0）（xx0）；曲線C：yf（x）在點P（x0，y0）附近位于直線l的兩側(cè)，則稱直線l在點P處“切過”曲線C下列選項正確的是（）A直線l：yx1在點P（1，0）

5、處“切過”曲線C：ylnxB直線l：x1在點P（1，0）處“切過”曲線C：y（x+1）2C直線l：y0在點P（0，0）處“切過”曲線C：yx3D直線l：yx在點P（0，0）處“切過”曲線C：ysinx三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13若zC，且|z|1，則|z34i|的最小值為 14函數(shù)f（x）的定義域是（0，），其導函數(shù)是f（x），若f（x）sinx+f（x）cosx0，則關(guān)于x的不等式的解集為 15已知函數(shù)f（x）xexex，函數(shù)g（x）mxm（m0），若對任意的x12，2，總存在x22，2使得f（x1）g（x2），則實數(shù)m的取值范圍是 16對于函數(shù)yf（x），若存在x0，

6、使f（x0）f（x0），則點（x0，f（x0）與點（x0，f（x0）均稱為函數(shù)f（x）的“積分點”已知函數(shù)f（x），若點（2，f（2）為函數(shù)yf（x）一個“積分點”則a ；若函數(shù)f（x）存在5個“積分點”，則實數(shù)a的取值范圍為 四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17若定義一種運算：（a，b）ac+bd已知z為復(fù)數(shù)，且（1，z）94i（1）求復(fù)數(shù)z；（2）設(shè)t為實數(shù)，若z0t+2i，且為純虛數(shù)，求t的值18在函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為；函數(shù)f（x）在x1處的切線方程為y8x+14，且b0；函數(shù)f（x）在x1處取得極小值10；這三個條件中任選一個，補充在下

7、面問題中求解已知函數(shù)f（x）x3+ax2+bxa27a，且_（1）求a、b的值；（2）若x1，2，求函數(shù)f（x）的最小值19已知復(fù)數(shù)z1a3i，z22+（a2+3a+1）i（aR，i是虛數(shù)單位）（1）若復(fù)數(shù)z1z2在復(fù)平面上對應(yīng)點落在第一象限，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若虛數(shù)z1是實系數(shù)一元二次方程x22x+m0的根，求實數(shù)m的值20已知函數(shù)（a0）（1）若曲線yf（x）在點處的切線經(jīng)過坐標原點，求實數(shù)a；（2）若a0時f（x）在1，e上的最小值是，求a21某公司準備設(shè)計一個精美的心形巧克力盒子，它是由半圓O1、半圓O2和正方形ABCD組成的，且AB8cm設(shè)計人員想在心形盒子表面上設(shè)計一個矩形

8、的標簽EFGH，標簽的其中兩個頂點E，F(xiàn)在AM上，另外兩個頂點G，H在CN上（M，N分別是，的中點）設(shè)EF的中點為P，F(xiàn)O1P，矩形EFGH的面積為Scm2（1）寫出S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式S（）及定義域；（2）當為何值時，矩形EFGH的面積最大？22已知函數(shù)f（x）mexxex（x0），其中mR，e為自然對數(shù)的底數(shù)（1）討論f（x）的單調(diào)性，并求極值；（2）當x0時，f（x）+xexexlnxe2x，求m的最小整數(shù)值參考答案一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求。1已知復(fù)數(shù)z滿足z（1+i）2，則|z|（）A1BC2D3解：z1i，故|z|

9、，故選：B2函數(shù)ycos2x的導數(shù)是（）Asin2xBsin2xC2sin2xD2sin2x解：根據(jù)題意，令t2x，則ycost，其導數(shù)y（2x）（cost）2sin2x；故選：C3已知復(fù)數(shù)z（a29）+（a3）i（aR），則“a3”是“z為純虛數(shù)”的（）A必要不充分條件B充分不必要條件C充要條件D既不充分又不必要條件解：若復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，則，a3，a3是z為純虛數(shù)的充要條件，故選：C4已知函數(shù)f（x）和g（x）在區(qū)間a，b上的圖象如圖所示，那么下列說法正確的是（）Af（x）在a到b之間的平均變化率大于g（x）在a到b之間的平均變化率Bf（x）在a到b之間的平均變化率小于g（x）在a到b之間的

10、平均變化率C對于任意x0（a，b），函數(shù)f（x）在xx0處的瞬時變化率總大于函數(shù)g（x）在xx0處的瞬時變化率D存在x0（a，b），使得函數(shù)f（x）在xx0處的瞬時變化率小于函數(shù)g（x）在xx0處的瞬時變化率解：對于A、B，f（x）在a到b之間的平均變化率是，g（x）在a到b之間的平均變化率是，即二者相等；選項A、B錯誤；對于C、D，函數(shù)f（x）在xx0處的瞬時變化率是函數(shù)f（x）在xx0處的導數(shù)，即函數(shù)f（x）在該點處的切線的斜率，同理函數(shù)g（x）在xx0處的瞬時變化率是函數(shù)g（x）在xx0處的導數(shù)，即函數(shù)g（x）在xx0處的切線的斜率，由圖形知，選項C錯誤，D正確故選：D5已知函數(shù)，則f（

11、2021）（）A2020B2020C2021D2021解：根據(jù)題意，函數(shù)，則其導數(shù)f（x）x+2f（2021）+，令x2021，則有f（2021）2021+2f（2021）+1，變形可得：f（2021）2020，故選：A6函數(shù)在區(qū)間（m，m+1）上單調(diào)遞減，則實數(shù)m的取值范圍是（）A（0，1）B0，2C0，1）D（0，2）解：函數(shù)的定義域為（0，+），f（x）x，令f（x）0，得0x3，即f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，3），由于函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，m+1）上單調(diào)遞減，則（m，m+1）（0，3），所以，解得0m2，即實數(shù)m的取值范圍是0，2故選：B7函數(shù)f（x）的圖象大致是（）ABCD解：定

12、義域為（0，1）（1，+），故排除A；f（100）0，故排除C；，故排除D故選：B8傳說西游記中孫悟空的“如意金箍棒”原本是東海海底的一枚“定海神針”作為兵器，“如意金箍棒”威力巨大，且只有孫悟空能讓其大小隨意變化假定孫悟空在使用“定海神針”與各路妖怪打斗時，都將其變化為底面半徑為4cm至10cm之間的圓柱體現(xiàn)假定孫悟空剛與一妖怪打斗完畢，并降伏了此妖怪，此時“定海神針”的底面半徑為10cm，長度為dcm在此基礎(chǔ)上，孫悟空使“定海神針”的底面半徑以每秒1cm勻速縮短，同時長度以每秒40cm勻速增長，且在這一變化過程中，當“定海神針”的底面半徑為7cm時，其體積最大，此時“定海神針”的長度d為（

13、）cmA20B40C60D80解：設(shè)“定海神針”的底面半徑從10cm縮短至4cm所需要的時間為t秒，則圓柱的半徑R10t，圓柱的長度Dd+40t，所以圓柱的體積VR2D（10t）2（d+40t），所以V'2（10t）（d+40t）+40（10t）2（t10）（120t+2d400），當“定海神針”的底面半徑為7cm時，t3s，此時體積V最大，所以t3時，V'（310）（120×3+2d400）0，所以2d400，即d20cm故選：A二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯

14、的得0分。9設(shè)復(fù)數(shù)，則以下結(jié)論正確的是（）Az3iB|z2|z|Cz31Dz2解：，z3i+ii，故A正確，C錯誤；z2ii，|z2|z|，故B正確，D錯誤；故選：AB10下列結(jié)論正確的是（）A“z1，z2互為共軛復(fù)數(shù)”是“|z1|z2|”的充要條件B如圖，在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)z1，z2對應(yīng)的向量分別是，則復(fù)數(shù)z1+z2對應(yīng)的點的坐標為（2，0）C函數(shù)存在單調(diào)遞增區(qū)間D函數(shù)yxsinx不存在極值點解：對于A：當“z1，z2互為共軛復(fù)數(shù)”時，“|z1|z2|”成立，當“|z1|z2|”時，“z1，z2不一定為共軛復(fù)數(shù)”，故A錯誤；對于B：根據(jù)圖象得：，即z12i，即z2i，所以z1+z2（2，0）

15、，故B正確；對于C：函數(shù)，x（0，+）且x1，故，所以函數(shù)f（x）在（0，1）和（1，x1）上單調(diào)遞增，故C正確；對于D：f（x）xsinx，所以f（x）sinx+xcosx，令f（x）0，則xtanx，由于函數(shù)yx和ytanx有無數(shù)個交點，則函數(shù)yxsinx有無數(shù)個極值點，故D錯誤故選：BC11已知函數(shù)f（x）ax22x+lnx存在極值點，則實數(shù)a的取值范圍是（）A0BeCD解：函數(shù)f（x）的定義域為（0，+），f（x）2ax2+，因為函數(shù)f（x）ax22x+lnx存在極值點，所以在（0，+）上，方程2ax22x+10有兩解，所以在（0，+）上，方程a有兩解，令g（x），（x0），g（x），

16、當0x1時，g（x）0，g（x）單調(diào)遞增，當x1時，g（x）0時，g（x）單調(diào)遞減，所以g（x）maxg（1），所以x0時，g（x）0；x+時，g（x）0，所以a，故選：ABD12若直線l與曲線C：yf（x）滿足以下兩個條件：點P（x0，y0）在曲線C：yf（x）上，直線l方程為yy0f（x0）（xx0）；曲線C：yf（x）在點P（x0，y0）附近位于直線l的兩側(cè)，則稱直線l在點P處“切過”曲線C下列選項正確的是（）A直線l：yx1在點P（1，0）處“切過”曲線C：ylnxB直線l：x1在點P（1，0）處“切過”曲線C：y（x+1）2C直線l：y0在點P（0，0）處“切過”曲線C：yx3D直線

17、l：yx在點P（0，0）處“切過”曲線C：ysinx解：對于A：由ylnx，得y，則y|x11，曲線在P（1，0）處的切線為yx1，由g（x）x1lnx，得g（x）1，當x（0，1）時，g（x）0，當x（1，+）時，g（x）0則g（x）在（0，+）上有極小值也是最小值，為g（1）0即yx1恒在ylnx的上方，不滿足曲線C在點P附近位于直線l的兩側(cè)，故選項A錯誤；對于B：由y（x+1）2，得y2（x+1），則y|x10，而直線l：x1的斜率不存在，在點P（1，0）處不與曲線C相切，故選項B錯誤；對于C：由yx3，得y3x2，則y|x00，直線y0是過點P（0，0）的曲線C的切線，又當x0時y0，

18、當x0時y0，滿足曲線C在P（0，0）附近位于直線y0兩側(cè)，故選項C正確；對于D：由ysinx，得ycosx，則y|x01，直線yx是過點P（0，0）的曲線的切線，又x（，0）時xsinx，x（0，）時xsinx，滿足曲線C在P（0，0）附近位于直線yx兩側(cè)，故選項D正確；故選：CD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13若zC，且|z|1，則|z34i|的最小值為4解：復(fù)數(shù)z滿足|z|1，點z表示以原點為圓心、1為半徑的圓則|z34i|表示z點對應(yīng)的復(fù)數(shù)與點（3，4）之間的距離，圓心O到點（3，4）之間的距離d5，|z34i|的最小值為514，故答案為：414函數(shù)f（x）的定義域是

19、（0，），其導函數(shù)是f（x），若f（x）sinx+f（x）cosx0，則關(guān)于x的不等式的解集為（0，）解：令F（x）f（x）sinx（0x），則F'（x）f'（x）sinx+f（x）cosx0（0x），所以F（x）f（x）sinx在（0，）上單調(diào)遞減，且F（）f（）sinf（），所以不等式等價于F （x）F（），所以0x，即不等式的解集為（0，）故答案為：（0，）15已知函數(shù)f（x）xexex，函數(shù)g（x）mxm（m0），若對任意的x12，2，總存在x22，2使得f（x1）g（x2），則實數(shù)m的取值范圍是e2，+）解：f（x）ex（x1）的導數(shù)為f（x）xex，當x0時，f（x

20、）遞增；x0時，f（x）遞減，即x0時，f（x）取得極小值，且為最小值1；由f（2）3e2，f（2）e2，可得f（x）在2，2的值域為1，e2，由g（x）mxm（m0）在2，2遞增，可得g（x）的值域為3m，m，由對任意的x12，2，總存在而x22，2，使得f（x1）g（x2），可得1，e23m，m，即為3m1e2m，解得me2，故答案為：e2，+）16對于函數(shù)yf（x），若存在x0，使f（x0）f（x0），則點（x0，f（x0）與點（x0，f（x0）均稱為函數(shù)f（x）的“積分點”已知函數(shù)f（x），若點（2，f（2）為函數(shù)yf（x）一個“積分點”則a6；若函數(shù)f（x）存在5個“積分點”，則實數(shù)

21、a的取值范圍為（6，+）解：點（2，f（2）為函數(shù)yf（x）一個“積分點”，f（2）f（2）162a（2）×6（2）3a6，由題意，f（x）存在5個“積分點”，原點是一個，其余還有兩對，即函數(shù)y6xx3（x0）關(guān)于原點對稱的圖象恰好與函數(shù)y16ax（x0）有兩個交點，而函數(shù)y6xx3（x0）關(guān)于原點對稱的函數(shù)為y6xx3（x0），即16ax6xx3有兩個正根，ax2+6（x0），令h（x）x26（x0），則h（x）2x，所以當0x2時，h（x）0，當x2時，h（x）0，所以h（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，+）上單調(diào)遞增，則當x2時，h（x）min4+866，且當x0和x+時，

22、f（x）+，所以實數(shù)a的取值范圍為（6，+），故答案為：6，（6，+）四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17若定義一種運算：（a，b）ac+bd已知z為復(fù)數(shù)，且（1，z）94i（1）求復(fù)數(shù)z；（2）設(shè)t為實數(shù)，若z0t+2i，且為純虛數(shù)，求t的值解：（1）設(shè)復(fù)數(shù)za+bi（a，bR，a0，i是虛數(shù)單位），則abi，因為（1，z）+2z（abi）+2（a+bi）3a+bi94i，所以解得a3，b4，可得z34i（2）因為t為實數(shù)，若z0t+2i，由（1）可得z34i，所以，由于為純虛數(shù)，可得，解得t18在函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為；函數(shù)f（x）在x1處的

23、切線方程為y8x+14，且b0；函數(shù)f（x）在x1處取得極小值10；這三個條件中任選一個，補充在下面問題中求解已知函數(shù)f（x）x3+ax2+bxa27a，且_（1）求a、b的值；（2）若x1，2，求函數(shù)f（x）的最小值解：（1）若選，函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為，f（x）x3+ax2+bxa27a，則f（x）3x2+2ax+b，則，1是方程3x2+2ax+b0的根，故+1，且×1，解得：a2，b1；若選，函數(shù)f（x）在x1處的切線方程為y8x+14，且b0，若f（x）3x2+2ax+b，則f（1）a26ab1，f（1）32a+b，故切線方程是：y（a26ab1）（32a+b）（x+1）

24、，即y（32a+b）xa28a+28x+14，故，解得：a2，b1；若選，f（x）x3+ax2+bxa27a，f（x）3x2+2ax+b，則f（1）0，且f（1）10，則，a2，b1，或a6，b9，當a2，b1時，當時，函數(shù)遞減，當x1時，函數(shù)遞增，則函數(shù)在x1處取得極小值，與題意相符；當a6，b9時，當時，函數(shù)遞增，當x1時，函數(shù)遞減，函數(shù)在x1處取得極大值，不符合題意；則a2，b1，（2）由（1）得：a2，b1，則f（x）x32x2+x+10，f（x）3x24x+1（3x1）（x1），令f（x）0，解得：x1或x，令f（x）0，解得：x1，故f（x）在（，）遞增，在（，1）遞減，在（1，+

25、）遞增，故f（x）在1，）遞增，在（，1）遞減，在（1，2遞增，而f（1）6，f（1）10，故函數(shù)f（x）的最小值為619已知復(fù)數(shù)z1a3i，z22+（a2+3a+1）i（aR，i是虛數(shù)單位）（1）若復(fù)數(shù)z1z2在復(fù)平面上對應(yīng)點落在第一象限，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若虛數(shù)z1是實系數(shù)一元二次方程x22x+m0的根，求實數(shù)m的值解：（1）由條件得，因為z1z2在復(fù)平面上對應(yīng)點落在第一象限，故有，即，解得a4（2）因為虛數(shù)z1是實系數(shù)一元二次方程x22x+m0的根，所以也是實系數(shù)一元二次方程x22x+m0的根，所以，即a1，把a1代入，則z113i，所以20已知函數(shù)（a0）（1）若曲線yf（x）在點處的切線經(jīng)過坐標原點，求實數(shù)a；（2）若a0時f（x）在1，e上的最小值是，求a解：（1），f（x）xa+，f（）a，f（）a+，故曲線yf（x）在點處的切線方程為：y（a）（a+）（x），由切線經(jīng)過坐標原點，得0（a）（a+）（0），解得：；（2）f（x）定義域是（0，+），令g（x）x22ax+2a，對稱軸x0a0，因為1a，g（1）10，所以當x1，e時，g（x）