2016高考數(shù)學離心率專題

1、- 1 -高考數(shù)學離心率高考數(shù)學離心率離心率歷年來是圓錐曲線客觀題的考查重點，對于求圓錐曲線離心率的問題，通常有兩類：一是求橢圓和雙圓錐曲線離心率的問題，通常有兩類：一是求橢圓和雙曲線的離心率；二是求橢圓和雙曲線離心率的取值范圍，曲線的離心率；二是求橢圓和雙曲線離心率的取值范圍，屬于中低檔次的題型，對大多數(shù)學生來說是沒什么難度的。一般來說，求橢圓（或雙曲線）的離心率，只需要由條件得到一個關(guān)于基本量一般來說，求橢圓（或雙曲線）的離心率，只需要由條件得到一個關(guān)于基本量 a，b，c，e 的一個方程，就可的一個方程，就可以從中求出離心率以從中求出離心率但如果選擇方法不恰當，則極可能“小題”大作，誤入歧

2、途。許多學生認為用一些所謂的“高級”結(jié)論可以使結(jié)果馬上水落石出，一針見血，其實不然，對于這類題，用最淳樸的定義來解題是最好的，此時無招勝有招！【例 1】 12212(05,22 1a. b. c. 22 d. 2 122fffpfpf全國)設橢圓的兩個焦點分別為、過作橢圓長軸的垂線交橢圓于點若為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是（ ）解法一解法一（大多數(shù)學生的解法）解：由于為等腰直角三角形，故有12fpf，而，122ffpf122ffc22bpfa所以，整理得22bca2222acbac等式兩邊同時除以，得，即，2a221ee 2210ee 解得，舍去28122e 12e 因此，選 d12e 解

3、法二解法二（采用離心率的定義定義以及橢圓的定義定義求解）解：如右圖所示，有12222|21 212 2221ccceaapfpfccc離心率的定義橢圓的定義故選 d評評以上兩種方法都是很好的方法，解法一是高手的解法，靈活運用了“通徑”這個二級結(jié)論，使題目迎刃而解，但計算量偏大，耗時較長；而解法二則是老手，整個過程沒有任何高級結(jié)論，只運用了最最最簡單的、人人皆知- 2 -的“定義” ，通過幾個簡單的步驟即可。正所謂此時無法勝有法！一、用定義求離心率問題1. 設橢圓的兩個焦點分別為 f1、f2，過 f2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點 p，若f1pf2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是（ ）d（a） （

4、b） （c） （d）2221222212已知 f1、f2是橢圓的兩個焦點，過 f1且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于 a、b 兩點，若abf2是正三角形，則這個橢圓的離心率是（ ）aa33 b32 c22 d233.在中，若以為焦點的橢圓經(jīng)過點，則該橢圓的離心率 abcabbc7cos18b ab，ce 384、已知正方形 abcd，則以 a、b 為焦點，且過 c、d 兩點的橢圓的離心率為_；解析：設 c=1，則121212122222aceaacaab5、已知長方形 abcd，ab4，bc3，則以 a、b 為焦點，且過 c、d 兩點的橢圓的離心率為 。解析：由已知 c=2，2142, 43433

5、222aceaaaabab6過橢圓22221xyab(0ab)的左焦點1f作x軸的垂線交橢圓于點p，2f為右焦點，若1260fpf，則橢圓的離心率為 b a22 b33 c12 d13 7.已知 f1、f2是雙曲線的兩焦點，以線段 f1f2為邊作正三角形 mf1f2，若邊 mf1的中點)0, 0( 12222babyax在雙曲線上，則雙曲線的離心率是（ ）dabcd32413 213 13 8.雙曲線（，）的左、右焦點分別是，過作傾斜角為的直線交雙22221xyab0a 0b 12ff，1f30曲線右支于點，若垂直于軸，則雙曲線的離心率為（ ）bm2mfx- 3 -abcd632339、設 f

6、1，f2分別是雙曲線的左、右焦點，若雙曲線上存在點 a，使f1af2=90，且|af1|=3|af2|，則22221xyab雙曲線離心率為(a) (b)(c) (d) 521021525解設 f1，f2分別是雙曲線的左、右焦點。若雙曲線上存在點 a，使f1af2=90，且|af1|=3|af2|，22221xyab設|af2|=1，|af1|=3，雙曲線中， 離心率，122| 2aafaf22122|10cafaf102e 選 b。10、如圖，和分別是雙曲線的兩個1f2f22221(0,0)xyabab焦點，和是以ab為圓心，以為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，o1fo且是等邊三abf2角形

7、，則雙曲線的離心率為 （a）（b）（c）3525（d）31解析：如圖，和分別是雙曲線的兩1f2f22221(0,0)xyabab個焦點，和是以ab為圓心，以為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且是等邊三角形，連接o1foabf2af1，af2f1=30，|af1|=c，|af2|=c， 3，雙2( 31)ac曲線的離心率為，選 d。3111.設圓錐曲線 r 的兩個焦點分別為 f1，f2，若曲線 r 上存在點 p 滿1122:pfffpf=4:3:2，則曲線 r 的離心率等于 aa.1322或 b.23或 2 c.12或2 d.2332或二、列方程求離心率問題1方程的兩個根可分別作為（）2252

8、0 xx一橢圓和一雙曲線的離心率兩拋物線的離心率一橢圓和一拋物線的離心率兩橢圓的離心率解：解：方程的兩個根分別為 2，故選 a 22520 xx122、已知橢圓的長軸長是短軸長的 2 倍，則橢圓的離心率等于（ ）abcd13331232- 4 -解已知橢圓的長軸長是短軸長的 2 倍， ，橢圓的離心率，選 d。2ab32cea3、設直線l過雙曲線 c 的一個焦點，且與c的一條對稱軸垂直，l與 c 交于a ,b兩點，ab為c的實軸長的 2倍，則c的離心率為 b（a）2 （b）3 （c）2 （d）34.在平面直角坐標系中，橢圓在平面直角坐標系中，橢圓1(ab0)的焦距為的焦距為 2c，以，以 o 為

9、圓心，為圓心，a 為半為半x2a2y2b2徑的圓，過點徑的圓，過點(，0)作圓的兩切線互相垂直，則離心率作圓的兩切線互相垂直，則離心率 e= a2c22e 5已知雙曲線的一條漸近線方程為 y x，則雙曲線的離心率為 （a） )0, 0( 12222babyax4353(b) (c) (d)435432解析解析:雙曲線焦點在 x 軸,由漸近線方程可得,故選 a224345,333bceaa可得6、在平面直角坐標系中，雙曲線中心在原點，焦點在軸上，一條漸近線方程為，則它的離心率xoyy20 xy為（ ）a b c d55232解析：由 ， 選 aabba221得abac5225ace7已知雙曲線(

10、a)的兩條漸近線的夾角為,則雙曲線的離心率為22212xya23a.2 b. c. d.32 632 33解：解：雙曲線(a)的兩條漸近線的夾角為 ，則， a2=6，雙曲線的離心率為 ，22212xya2323tan63a2 33選 d8.已知雙曲線（a0,b0）的一條漸近線為y=kx(k0),離心率e=,則雙曲線方程22221xyab5k為（ ）c（a）=1 (b) (c)(d)22xa224ya222215xyaa222214xybb222215xybb- 5 -9 設雙曲線（a0,b0）的漸近線與拋物線 y=x2 +1 相切，則該雙曲線的離心率等于( )22221xyab（a） （b）2

11、 （c） （d） 356解：設切點，則切線的斜率為.由題意有又00(,)p xy00|2x xyx0002yxx2001yx解得: . 【命題立意】:本題考查了雙曲線的漸近線的方程和離心率的概念,以2201,2,1 ( )5bbxeaa 及直線與拋物線的位置關(guān)系,只有一個公共點,則解方程組有唯一解.本題較好地考查了基本概念基本方法和基本技能.10、設雙曲線的一個焦點為，虛軸的一個端點為,如果直線與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線fbfb的離心率為（a） （b） （c） （d）23312512解析：選 d.不妨設雙曲線的焦點在軸上，設其方程為：，x22221(0,0)xyabab則一個焦點

12、為一條漸近線斜率為：，直線的斜率為：，( ,0), (0, )f cbbbafbbc()1bbac 2bac222,10caaceee 51211如圖，在平面直角坐標系xoy中，1212,a a b b為橢圓22221(0)xyabab的四個頂點，f為其右焦點，直線12ab與直線1b f相交于點 t，線段ot與橢圓的交點m恰為線段ot的中點，則該橢圓的離心率為 . 【解析】 考查橢圓的基本性質(zhì)，如頂點、焦點坐標，離心率的計算等。以及直線的方程。直線12ab的方程為：1xyab；直線1b f的方程為：1xycb。二者聯(lián)立解得：2()(,)acb actacac， 則()(,)2()acb acm

13、acac在橢圓22221(0)xyabab上，2222222()1,1030,1030()4()caccacaeeacac， 解得：2 75e - 6 -12 已知橢圓 c：（ab0）的離心率為，過右焦點 f 且斜率為 k（k0）的直線于 c 相交于 a、b 兩22221xyab32點，若。則 k =3affb （a）1 （b） （c） （d）223【解析解析】b】b：， ， ， ，設，設， 1122( ,),(,)a x yb xy3affb 123yy 32e 2 ,3at ctbt，直線，直線 abab 方程為方程為。代入消去。代入消去， ， 222440 xyt3xsytx222(4)

14、2 30systyt，21212222 3,44sttyyy yss ，解得，解得，2222222 32, 344sttyyss 212s 2k 13 已知是橢圓的一個焦點，是短軸的一個端點，線段的延長線交于點，且，則的離fcbbfcdbf2fduu ruurc心率為 答案：23【命題意圖】本小題主要考查橢圓的方程與幾何性質(zhì)、第二定義、平面向量知識，考查了數(shù)形結(jié)合思想、方程思想,本題凸顯解析幾何的特點：“數(shù)研究形，形助數(shù)” ，利用幾何性質(zhì)可尋求到簡化問題的捷徑.【解析】如圖，,22|bfbca作軸于點 d1,則由，得1ddybf2fduu ruur,所以,1|2|3ofbfddbd133|22

15、ddofc即,由橢圓的第二定義得32dcx 2233|()22accfdeaca又由,得,整理得.| 2|bffd232ccaa22320caac兩邊都除以,得,解得.2a2320ee 1()e 舍去，或23e 14過雙曲線 m:的左頂點 a 作斜率為 1 的直線 ,若 與雙曲線 m 的兩條漸近線分別相交于 b、c,且2221yxbll|ab|=|bc|,則雙曲線 m 的離心率是 ( )xoybf1dd- 7 -a. b. c. d. 10510352解析：解析：過雙曲線的左頂點(1，0)作斜率為 1 的直線 ：y=x1, 若 與雙曲線的兩條漸近線1:222byxmallm分別相交于點, 聯(lián)立

16、方程組代入消元得， 2220yxb1122( ,),(,)b x yc xy22(1)210bxx ，x1+x2=2x1x2，又,則 b 為 ac 中點，2x1=1+x2，代入解得， b2=9，雙曲線1221222111xxbx xb|bcab 121412xx 的離心率 e=，選 a.m10ca15過雙曲線22221(0,0)xyabab的右頂點a作斜率為1的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為,b c若12abbc ，則雙曲線的離心率是 ( ) a2 b3 c5 d10答案：c 【解析】對于,0a a，則直線方程為0 xya，直線與兩漸近線的交點為 b，c，22,(,)aabaab

17、bcab ababab，則有22222222(,),a ba bababbcabababab ab ，因222,4,5abbcabe 16. 已知雙曲線222210,0 xycabab：的右焦點為f,過f且斜率為3的直線交c于ab、兩點，若4affb,則c的離心率為 .m a65 b. 75 c. 58 d. 95解解：設雙曲線22221xycab：的右準線為l,過ab、分 別作aml于m,bnl于n, bdamd于,由直線 ab 的斜率為3,知直線 ab 的傾斜角為16060 ,|2badadab,由雙曲線的第二定義有1| |(|)ambnadaffbe 11|(|)22abaffb .-

18、8 -又15643|25affbfbfbee 故選故選 a一般來說，求橢圓（或雙曲線）的離心率的取值范圍，通?？梢詮膬蓚€方面來研究：一是考慮幾何的大小，例如一般來說，求橢圓（或雙曲線）的離心率的取值范圍，通常可以從兩個方面來研究：一是考慮幾何的大小，例如線段的長度、角的大小等；二是通過設橢圓（或雙曲線）點的坐標，利用橢圓（或雙曲線）本身的范圍，列出線段的長度、角的大小等；二是通過設橢圓（或雙曲線）點的坐標，利用橢圓（或雙曲線）本身的范圍，列出不等式離心率是描述圓錐曲線性質(zhì)的一個關(guān)鍵量，它是一個比值，它與圓錐曲線的大小無關(guān)，只與其形狀有不等式離心率是描述圓錐曲線性質(zhì)的一個關(guān)鍵量，它是一個比值，它

19、與圓錐曲線的大小無關(guān)，只與其形狀有關(guān)在橢圓中，離心率越大，橢圓越扁平，離心率越小，橢圓越圓，橢圓離心率的取值范圍關(guān)在橢圓中，離心率越大，橢圓越扁平，離心率越小，橢圓越圓，橢圓離心率的取值范圍 e(0，1)；在雙；在雙曲線中，離心率越大，雙曲線的形狀從扁狹逐漸變得開闊，即雙曲線的曲線中，離心率越大，雙曲線的形狀從扁狹逐漸變得開闊，即雙曲線的“張口張口”逐漸增大，雙曲線離心率的取值逐漸增大，雙曲線離心率的取值范圍范圍 e(1，)；在拋物線中，離心率；在拋物線中，離心率 e1已知橢圓已知橢圓1(ab0)的焦的焦x2a2y2b2點分別為點分別為f1，f2，若該橢圓上存在一點，若該橢圓上存在一點p，使得

20、，使得f1pf2600，則橢圓離心率，則橢圓離心率的取值范圍是的取值范圍是 分析：分析：如果我們考慮幾何的大小，如果我們考慮幾何的大小，我們發(fā)現(xiàn)當我們發(fā)現(xiàn)當m 為橢圓的短軸的頂點為橢圓的短軸的頂點 b1（或（或b2）時）時f1pf2最大（需要證明）最大（需要證明） ，從而，從而有有0 0f1pf2f1 b1f2根據(jù)條根據(jù)條件可得件可得f1 b1f2600，易得，易得 故故c ca a1 12 2e11 12 2證明，在證明，在f1pf2中，由余弦定理得，中，由余弦定理得，22212121212cos2pfpff ff pfpfpf 2212122121212pfpff fpfpf 2222ac

21、a 當且僅當當且僅當 pf1pf2時，等號成立，即當時，等號成立，即當 m 與橢圓的短軸的頂點與橢圓的短軸的頂點 b1（或（或 b2）時）時f1mf2最大最大如果通過設橢圓上的點如果通過設橢圓上的點 p(x，y)，利用橢圓本身的范圍，也可以求出離心率，利用橢圓本身的范圍，也可以求出離心率 e 的范圍在本題中，運用此的范圍在本題中，運用此法可以做，但比較復雜（關(guān)鍵是點法可以做，但比較復雜（關(guān)鍵是點 p 的坐標不易表示）的坐標不易表示） 因此，在解題過程中要注意方法的選擇因此，在解題過程中要注意方法的選擇三、離心率范圍問題、離心率范圍問題1.已知橢圓已知橢圓1(ab0)的焦點分別為的焦點分別為 f

22、1，f2，若該橢圓上存在一點，若該橢圓上存在一點 p，使得，使得f1pf2x2a2y2b2600，則橢圓離心率的取值范圍是，則橢圓離心率的取值范圍是 1 ,1)2b2b1f1yxof2p- 9 -2已知雙曲線的左、右焦點分別為，若雙曲線上存在一點使22221(0,0)xyabab12(,0),( ,0)fcf cp，則該雙曲線的離心率的取值范圍是 1221sinsinpffapf fc答案：(1, )213.已知、是橢圓的兩個焦點，滿足的點總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范1f2f120mf mf m圍是（ ）ca b c d(0,1)1(0, 22(0,)22,1)24、橢圓的焦點為，兩條準

23、線與軸的交點分別為，若，22221(0)xyabab1f2fxmn，12mnff則該橢圓離心率的取值范圍是（）102，202，112，212，解析：橢圓的焦點為，兩條準線與軸的交點分別為，若，22221(0)xyabab1f2fxmn，2| 2amnc，則，該橢圓離心率 e，取值范圍是，選 d。12| 2ffc12mnff22acc22212，5.設，則雙曲線的離心率 的取值范圍是（ ）b1a 22221(1)xyaaeabcd( 2 2)，( 25)，(2 5)，(25)，6. 已知雙曲線的左，右焦點分別為,點 p 在雙曲線的右支上，且,22221,(0,0)xyabab12,f f12| 4|pfpf則此雙曲線的離心率 e 的最大值為：（ ）ba b c d43532737.雙曲線（a0,b0）的兩個焦點為f1、f2,若 p 為其上一點，且|pf1|=2|pf2|,則雙曲22221xyab線離心率的取值范圍為（ ）ba.(1,3)b.c.(3,+)d.1,33,8 8已知雙曲線(a