常系數(shù)線性微分方程基礎教學

1、 第第 五五 節(jié)節(jié) 常系數(shù)線性微分方程常系數(shù)線性微分方程一、常系數(shù)齊次線性方程通解求法一、常系數(shù)齊次線性方程通解求法)(1) 1(1)(xfyayayaynnnnn階常系數(shù)非齊次線性微分方程的標準形式階常系數(shù)非齊次線性微分方程的標準形式021 yayay二階常系數(shù)齊次線性方程的標準形式二階常系數(shù)齊次線性方程的標準形式二階常系數(shù)非齊次線性方程的標準形式二階常系數(shù)非齊次線性方程的標準形式)(21xfyayay n階常系數(shù)齊次線性微分方程的標準形式階常系數(shù)齊次線性微分方程的標準形式01) 1(1)(yayayaynnnn-特征方程特征方程,rxye設解為:將其代入上方程將其代入上方程, 得得0)(2

2、12rxearar, 0 rxe故有故有0212arar,2422112, 1aaar特征根特征根021 yayay1. 二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解求二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解求法法 有兩個不相等的實根有兩個不相等的實根,2422111aaar,11xrey ,22xrey 兩個線性無關的特解兩個線性無關的特解得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為;2121xrxrececy )0( 特征根為特征根為 有兩個相等的實根有兩個相等的實根)0(得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為;)(121xrexccy ,2121arr,2422112aaar 有一對共軛復根有一對共軛復根,1ir,2

3、ir得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為).sincos(21xcxceyx 有兩個相等的實根有兩個相等的實根,11xrey ,2121arr)0( 一特解為一特解為得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為;)(121xrexccy 代入原方程并化簡，代入原方程并化簡，將將222yyy ,0)()2(2112111 uararuaru, 0 u知知,)(xxu 取取,12xrxey 則則,)(12xrexuy 設設另另一一特特解解為為特征根為特征根為.044的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程為特征方程為,0442 rr解得解得,221 rr故所求通解為故所求通解為.)(221xexccy

4、 例例1 1例例2 2.052的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程為特征方程為,0522 rr解得解得,2121ir，故所求通解為故所求通解為).2sin2cos(21xcxceyx 2. n 階常系數(shù)齊次線性方程解法階常系數(shù)齊次線性方程解法01)1(1)(yayayaynnnn特征方程為特征方程為0111nnnnararar特征方程的根特征方程的根通解中的對應項通解中的對應項rk重重根根若若是是rxkkexcxcc)(1110 jk復復根根重重共共軛軛若若是是xkkkkexxdxddxxcxcc sin)(cos)(11101110注意注意n次代數(shù)方程有次代數(shù)方程有n個根個根, 而特

5、征方程的每一個而特征方程的每一個根都對應著通解中的一項根都對應著通解中的一項, 且每一項各一個且每一項各一個任意常數(shù)任意常數(shù).nnycycycy 2211特征根為特征根為irr31, 22, 11故所求通解為故所求通解為).3sin3cos(3221xcxceecyxx解解特征方程為特征方程為:例例3 3 解方程解方程: :, 08 yy, 083r, 0)42)(2(2rrr例例4 4 解方程解方程: :. 0512104)4( yyyyy解解特征方程為特征方程為:. 0512104234rrrr特征根為特征根為. 0)52() 1(22rrr.21, 14, 32, 1irr故所求通解為故

6、所求通解為).2sin2cos()(4321xcxceexccyxx練習練習 求方程的通解：求方程的通解：1.120.yyy2.320.yy3.90.yy4.8160.yyy5.0.yy答案：答案：34121.xxyc ec e23122.xycc e123.sin3cos3 .ycxcx4124.().xycc x e2123335.( cossin)22xxy cee cx cx12( ) (1)yay a yf x二階常系數(shù)非齊次線性方程二階常系數(shù)非齊次線性方程對應齊次方程對應齊次方程120,ya ya y 的 解為y通則則(1)通解結構通解結構,yyy難點難點：如何求特解如何求特解 ？

7、 方法方法：待定系數(shù)法：待定系數(shù)法.1.()():xmfxepx型二二. 二階常系數(shù)非齊次線性方程解的求法二階常系數(shù)非齊次線性方程解的求法則有特解則有特解:( ).kxmyx qx e不是特征方程的根，不是特征方程的根，若若 )1(. 0k是特征方程的單根，是特征方程的單根，若若 )2(. 1k是特征方程的重根，是特征方程的重根，若若 )3(. 2k( ).mmqxp與 是同次多項式y(tǒng),)(xqexymxk設 是重根是重根是單根是單根不是根不是根2,10k上述結論可推廣到上述結論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性階常系數(shù)非齊次線性微分方程（微分方程（k是重根次數(shù)）是重根次數(shù)）.注意注意xmexpya

8、yay)(21 的特解的特解:例例 寫出下列方程的特解形式寫出下列方程的特解形式:xexyyy 232. 1.33. 23xeyyyy 解解 1.特征方程為特征方程為:. 1, 3032212rrrr.)(2xecbxaxxy解解 2.特征方程為特征方程為:101333 , 2, 123rrrr.3xaey.232的通解的通解求方程求方程xxeyyy 解解對應齊次方程通解對應齊次方程通解特征方程特征方程, 0232 rr特征根特征根，2121 rr,221xxececy是是單單根根，2 ,)(2xebaxxy設代入方程代入方程, 得得xabax 22,121 baxexxy2) 121(于是原

9、方程通解為原方程通解為.) 121(2221xxxexxececy 例例 4 4例例 5.123的通解求方程 yyy解解特征根特征根，2121 rr對應齊次方程通解對應齊次方程通解,221xxececy是根，0不不,ay 設代入方程代入方程, 得得.21a原方程通解為原方程通解為:.21221xxececy例例 6.1232的通解求方程 xxeyyy解解. 1)()(221xxexfxf原方程通解為原方程通解為:.21) 121(2221xxxexxececy型、sin)(cos)()(2xxpxxpexfnlx(1)(2)( )cos( )sin,kxmmx erxxrxx則特解為則特解為:

10、y次多項式，次多項式，是是其中其中mxrxrmm)(),()2()1( nlm,max ,10是單根不是根iik解解例例5 5寫出下列方程的特解形式寫出下列方程的特解形式:.cos2cos. 1xxyy 特征根特征根ir2, 1.3cos21cos21cos2cos)(xxxxxfxxfcos21)(1的特解的特解)sincos(111xbxaxyxxf3cos21)(2的特解的特解)3sin3cos(222xbxay.3sin3cos)sincos(221121xbxaxbxaxyyy.2sin4的通解求方程xxyy 解解對應齊方通解對應齊方通解,2sin2cos21xcxcyi 2代入原方

11、程代入原方程:例例6 6是特征方程的單根是特征方程的單根,.2sin)(2cos)(2211xbxaxbxaxyxabxa2cos)248(122.2sin2sin)248(211xxxabxa比較系數(shù)得比較系數(shù)得:.161, 0, 0,812211baba.2sin)1612cos81xxxxy通解為通解為: yyy四、小結四、小結1. 二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:（1）寫出相應的特征方程）寫出相應的特征方程;（2）求出特征根）求出特征根;（3）根據(jù)特征根的不同情況）根據(jù)特征根的不同情況,得到相應的通解得到相應的通解. (見下表見下表)021

12、2arar021 yayay 特征根的情況特征根的情況 通解的表達式通解的表達式實根實根21rr 實根實根21rr 復根復根 ir 2, 1xrxrececy2121 xrexccy2)(21 )sincos(21xcxceyx 可以是復數(shù)）可以是復數(shù)） (),()()1(xpexfmx ( );kxmyx e q x2. 非齊次方程求特解非齊次方程求特解: 是重根是重根是單根是單根不是根不是根2,10k,sin)(cos)()()2(xxpxxpexfnlx (1)(2)( )cos( )sin;kxmmyx erxxrxx,10 是單根是單根不是根不是根jjk. 1) 1 () 1 (,2

13、 yyexeyyyxx解解特征方程特征方程, 0122 rr, 121rr對應的齊次方程的通解為對應的齊次方程的通解為.)(21xexccy設原方程的特解為設原方程的特解為,)(2*xebaxxy 例例9 解方程解方程,21,61 ba代入原方程比較系數(shù)得原方程的一個特解為原方程的一個特解為,2623*xxexexy 故原方程的通解為故原方程的通解為.26)(2321xxxexexexccy 代入初始條件代入初始條件.有有.26)121(61223xxxexexexeey .3x例2求方程y -y -6y=xe 的一個特解形式.3x答: x(ax+b)e04考題2.30yyy例3(03考題)

14、解方程212:xxyc ec e答補充題補充題1(),(0),2()(),().fxffxdxfx dyfxxl例 4已 知可 微 且同 時 使 線 積 分e與 路 徑 無 關求:,( )( ).xpqefxfxyx 解( )( ).xfxf xe 1:( ).2xxf xcee其通解1(0),1.2fc由得1( ).2xxf xee2.xxyyyxee 求通解例例5 5解解特征方程特征方程, 0122 rr特征根特征根, 121 rr對應的齊次方程的通解為對應的齊次方程的通解為12().xycc x e設原方程的特解為設原方程的特解為,)(2*xebaxxy ,2)3()(23*xebxxb

15、aaxy 則則,2)46()6()(23*xebxbaxbaaxy 代代入入原原方方程程比比較較系系數(shù)數(shù)得得將將)(,)(,* yyy,21,61 ba原方程的一個特解為原方程的一個特解為,2623*xxexexy 故原方程的通解為故原方程的通解為.26)(2321xxxexexexccy .212yyy 求通解求通解例例6 6解解.x方程不顯含方程不顯含,dydppypy 令令代入方程，得代入方程，得,212ypdydpp ,112ycp 解解得得，, 11 ycp, 11 ycdxdy即即故方程的通解為故方程的通解為.12211cxycc 解法解法：歐拉方程是特殊的變系數(shù)方程，通過變歐拉方

16、程是特殊的變系數(shù)方程，通過變量代換可化為常系數(shù)微分方程量代換可化為常系數(shù)微分方程.二、歐拉方程二、歐拉方程)(1)1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn 的方程的方程(其中其中nppp21,形如形如叫叫歐拉方程歐拉方程.為常數(shù)為常數(shù))特點特點：各項未知函數(shù)導數(shù)的階數(shù)與乘積因子自各項未知函數(shù)導數(shù)的階數(shù)與乘積因子自變量的方次數(shù)相同變量的方次數(shù)相同作變量變換作變量變換,ln xtext 或或,1dtdyxdxdtdtdydxdy ,1)1(22222dtdydtydxdtdyxdxddxyd將自變量換為將自變量換為, t,2312233333 dtdydtyddtydxdxyd用用d表示對

17、自變量表示對自變量t的求導運算的求導運算.dtdd 則則,dyyx ,)1()(2222yddydddtdydtydyx ,) 2)(1()23(232322333ydddyddddtdydtyddtydyx .) 1() 1()(ykdddyxkk 將上式代入歐拉方程，則化為以將上式代入歐拉方程，則化為以 為自變量為自變量的常系數(shù)的常系數(shù)線性微分方程線性微分方程.求出這個方程的解后，求出這個方程的解后，t把把 換為換為 ，xln即得到原方程的解即得到原方程的解.一般地，一般地，例例 8求求22334xyxyxyx 的通解的通解解解作變量變換作變量變換,ln xtext 或或t四、小結四、小結

18、1. 二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:（1）寫出相應的特征方程）寫出相應的特征方程;（2）求出特征根）求出特征根;（3）根據(jù)特征根的不同情況）根據(jù)特征根的不同情況,得到相應的通解得到相應的通解. (見下表見下表)原方程化為原方程化為,34) 1()2)(1(2tedyyddyddd 即即,332223tedyydyd 或或.33222233tedtdydtyddtyd (1)其特征方程其特征方程, 03223 rrr. 3, 1, 0321 rrr.33213321xcxccececcytt設特解設特解:.2121,2.22xeyaeytt通解通解:.2123321xxcxccy0212arar021 yayay 特征根的情況特征根的情況 通解的表達式通解的表達式實根實根21rr 實根實根21rr 復根復根 ir