橢圓的幾何性質(zhì)和綜合問題匯總

1、WORD完美格式橢圓的幾何性質(zhì)一、概念及性質(zhì)1. 橢圓的“范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、軸長、焦距、離心率及范圍、a, b,c的關(guān)系”；2. 橢圓的通經(jīng)：3. 橢圓的焦點(diǎn)三角形的概念及面積公式：4. 橢圓的焦半徑的概念及公式：主要用來求離心率的取值范圍，對(duì)于此問題也可以用下列性質(zhì)求解：aclPh Ea+c.5. 直線與橢圓的位置關(guān)系：6. 橢圓的中點(diǎn)弦問題：【注】：橢圓的幾何性質(zhì)是高考的熱點(diǎn)，高考中多以小題出現(xiàn)，試題難度一般較大，高 考對(duì)橢圓幾何性質(zhì)的考查主要有以下三個(gè)命題角度：(1) 根據(jù)橢圓的性質(zhì)求參數(shù)的值或范圍；(2) 由性質(zhì)寫橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(3) 求離心率的值或范圍.題型一：根據(jù)橢圓的性質(zhì)求標(biāo)

2、準(zhǔn)方程、參數(shù)的值或范圍、離心率的值或范圍【典例1】求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：3(1) 經(jīng)過點(diǎn)P(-3,0),Q(0,-2) ; ( 2)長軸長等于20,離心率等于 -.5【典例2】求橢圓16x2 25y2 =400的長軸和短軸長、離心率、焦點(diǎn)坐標(biāo)和頂點(diǎn)坐標(biāo).2 2【典例3】已知A, P, Q為橢圓C:篤在=1(a . b 0)上三點(diǎn)，若直線 PQ過原點(diǎn)，且 a2 b21直線AP, AQ的斜率之積為，則橢圓C的離心率為()221、21A.B.C.D.22442 2x y22【練習(xí)】(1)已知橢圓g +令=1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)是圓x + y -6x+ 8 = 0的圓心，且短

3、軸長 為8,則橢圓的左頂點(diǎn)為()A. ( 3, 0) B . ( 4, 0) C . ( 10, 0) D . ( 5, 0)x2y24(2) 橢圓-+4 = 1的離心率為5,則k的值為()19亠19亠A. 21 B . 21 C 一或 21 D .一或 2125252 2x y 設(shè)橢圓C：二+ 2= 1( a> b>0)的左，右焦點(diǎn)為 F1, F2,過F2作x軸的垂線與 C相交于A,a bB兩點(diǎn)，F(xiàn)1B與y軸相交于點(diǎn) D,若ACL FB,則橢圓C的離心率等于 .2 2x y【典例4】已知F1, Fa為橢圓孑+詁=1(a> b>0)的左，右焦點(diǎn)，P為橢圓上任意一點(diǎn)，且P

4、F1 =5PF2，則該橢圓的離心率的取值范圍是 2 2練習(xí)：如圖，把橢圓 -=1的長軸AB分成8等份，過每個(gè)分點(diǎn)作 x軸的垂線交橢圓 2516技術(shù)資料專業(yè)整理的上半部分與Pi, P2,F7七個(gè)點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，貝U PF, + PF2十+ PF7【典例5】若“過橢圓2 2a2+b2=1(a> b>0)的左,右焦點(diǎn)Fi, F2的兩條互相垂直的直線11,12的交點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部”，求離心率的取值范圍.2 2x y【典例6】已知橢圓C -7= 1，點(diǎn)M與C的焦點(diǎn)不重合.若 M關(guān)于C的焦點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分94別為a B,線段MN的中點(diǎn)在C上，則|AN + |BN =.【方法歸納】：1. 在利

5、用橢圓的性質(zhì)求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，總體原則是“先定位，再定量”2. 求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問題時(shí)，其原則是“數(shù)形結(jié)合，定義優(yōu)先，幾何性質(zhì)簡化”，一定要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長軸、短軸等橢圓的基本量時(shí)，要理清它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，充分利用平面幾何的性質(zhì)及有關(guān)重要結(jié)論來探尋參數(shù)a, b,c之間的關(guān)系，以減少運(yùn)算量.3. 在求解有關(guān)圓錐曲線焦點(diǎn)問題時(shí)，結(jié)合圖形，注意動(dòng)點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離的轉(zhuǎn)化.4. 求橢圓的離心率或其范圍時(shí)，一般是依據(jù)題設(shè)得出一個(gè)關(guān)于a, b, c的等式（或不等式），利用a 22. 設(shè)e是橢圓X十£ = 1的離心率，且= b2+ c2消去b,即可求得離心率或離心率

6、的范圍；有時(shí)也可利用正弦、余弦的 有界性求解離心率的范圍.5. 在探尋a, b,c的關(guān)系時(shí)，若能充分考慮平面幾何的性質(zhì)，則可使問題簡化，如典例5.【本節(jié)練習(xí)】31. 已知橢圓的長軸長是 8,離心率是4,則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 （）2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a冷+ y.= 1 b壘+y-= 1或生+y- = 1 c仝+仏=1 d互+仏=1或攵+仏=1 A16 十 7 I B . 16 十 7 | 或 7 十 16 | C . 16 十 25 1 D°16 十 25 1 或 25 十 16 1e（1 1），則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（A. (0, 3) B . (3 ,(0

7、, 3) U(y,+m)D . (0 , 2)3.已知橢圓短軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為這個(gè)橢圓的離心率 e等于（A彳 B . 2 C .B, B2，焦點(diǎn)為F1, F2,若四邊形3BF1B2F?是正方形，則14.如圖，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓-+合=1的離心率e= 2, F, A分別是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和頂點(diǎn),p是橢圓上任意一點(diǎn),則 PF 弓啲最大值為5.已知橢圓C:J31（a b 0）的左、右焦點(diǎn)為F1, F2，離心率為 ' ，過F2的直3線I交C于A,B兩點(diǎn)，若AFB的周長為4J3，則C的方程為（）2xA.3B.x2C.x212218D.X2126.已知Fi、F2是橢圓=1的兩個(gè)焦點(diǎn),P是橢圓上一點(diǎn)

8、，且 PF丄PR，則 FiPR的面積為2 2x y7.設(shè)R,F2是橢圓E：二 2=1（a b 0）的左、右焦點(diǎn),a b3aP為直線x =上一點(diǎn),2.F2PF1是底角為300的等腰三角形，貝V E的離心率為（）1A. B.22 C. 33 4D.2 28.過橢圓x-1（a b 0）的左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P, F2為右焦點(diǎn)，若a2 b2A ' 5D311A.B.C.D.23239.已知橢圓2 2xy _1(ab - 0）的左焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B,若BF _ BA ,a2 b2則稱其為"優(yōu)美橢圓”，那么“優(yōu)美橢圓”的離心率為-EPF? =60°，則

9、橢圓的離心率為（）10.已知F1為橢圓的左焦點(diǎn)，A, B分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，P為橢圓上的點(diǎn)，當(dāng)PF1 F1A , PO/ AB（O為橢圓中心）時(shí)，橢圓的離心率為 2 211 .已知方程 耗 + L = 1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則實(shí)數(shù) k的取值范圍是（）2- k 2k 11 、 1A.（2，2） B . （1 ,+R） C . （1 , 2） D .（2, 1）12矩形ABCDK | AEB = 4, |BC = 3,則以A, B為焦點(diǎn)，且過 C, D兩點(diǎn)的橢圓的短軸的 長為（）A. 2 3 B . 2 6 C . 4 2 D . 4 3且 |PF| , | F1F2I ,2 2x y

10、2 2Xy小2 2x y2 x2yA. +二=1 B+ 一 1 C+ - 1D .+18 616 68416414.如圖，已知拋物線y 2px（p>0）的焦點(diǎn)恰好是橢圓2x2 + a2y1(a>b>0)13. 一個(gè)橢圓中心在原點(diǎn)， 焦點(diǎn)F1, F2在x軸上，R2 , 3）是橢圓上一點(diǎn), |P冋成等差數(shù)列，則橢圓方程為 （）的右焦點(diǎn) F,且這兩條曲線交點(diǎn)的連線過點(diǎn)F,則該橢圓的離心率為2 2 215.已知拋物線y =X與橢圓x2y 1（a . 0）在第一象限相交于 A 點(diǎn), F為拋物線的焦4a 18點(diǎn)，ABL y 軸于 B 點(diǎn)，當(dāng)/ BAF=30° 時(shí)，a=2 216

11、.設(shè)F1, F2分別是橢圓X + 土 = 1的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn) M的坐標(biāo)為（6 ,25164），則| PM + | PF|的最大值為.2 217.橢圓3X6+ 9 = 1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) P、Q曰3 , °) , EPL EQ則EP-冷勺最小值為()A. 6 B . 3 3 C . 9 D . 12 6 318橢圓對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上，短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三角形，焦點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最短距離是 詬，則這個(gè)橢圓方程為 .19.若一個(gè)橢圓長軸的長度，短軸的長度和焦距依次成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是20.已知圓錐曲線 mX + 4y2= 4m的離心率e為方程2x2 5

12、x+ 2= 0的根，則滿足條件的圓錐 曲線的個(gè)數(shù)為（）A. 4 B . 3 C . 2 D . 12 214.橢圓丨：與與=1 a b 0的左右焦點(diǎn)分別為F1, F2 ,焦距為2c ,若直線 a by = .3 x c與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)滿足2x 設(shè) R( c, 0),F2(c, 0)是橢圓二aNMF1F2 =2NMF2Fi ,則該橢圓的離心率等于 2與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，且/PFF2=5 / PF2Fi,則該橢圓的離心率為-y2 =1( a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是以| F1F2I為直徑的圓 b2(C) 221x軸上，過點(diǎn)(1,)作圓2直線AB恰好經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，則橢圓方程是2

13、 2x y21.已知橢圓孑+ e = 1( a> b> 0)的右焦點(diǎn)為F1，左焦點(diǎn)為F2,若橢圓上存在一點(diǎn) P,滿足線 段PF相切于以橢圓的短軸為直徑的圓，A.芒 B . - C . 2 D3322若橢圓x2a2b2=1的焦點(diǎn)在x2+y2=1的切線，切點(diǎn)分別為A,B ,切點(diǎn)為線段PF的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為()592 222.已知A,P,Q為橢圓C:仔2=1(a b 0) 上三點(diǎn)，a b若直線PQ過原點(diǎn)，且直線AP, AQ的斜率之積為-；，則橢圓C的離心率等于()4【典例2】已知橢圓2 2 x_丄259-1，直線丨：4x -5y 40 = 0，橢圓上是否存在一點(diǎn)，它到A.題型二：

14、直線與橢圓的位置關(guān)系的判定【典例1】當(dāng)m為何值時(shí)，直線丨：y = x m與橢圓9x216y2 =144相切、相交、相離?直線l的距離最??？最小距離是多少?2 2反饋：(2012福建)如圖，橢圓 E：務(wù) £ =1(a b 0)的左右焦點(diǎn)分別為 F1、F2,離a b心率e二1，過F1的直線交橢圓于 A, B兩點(diǎn)，且 ABF的周長為8.2(1) 求橢圓E的方程;(2) 設(shè)動(dòng)直線l : y =kx m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P,且與直線x=4交于Q試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)，是否存在定點(diǎn)M使得以PQ為直徑的圓恒過定點(diǎn) M若存在，求出點(diǎn) M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由【方法歸納】：直線與橢圓位置關(guān)

15、系判斷的步驟： 聯(lián)立直線方程與橢圓方程； 消元得出關(guān)于x(或y)的一元二次方程； 當(dāng)> 0時(shí)，直線與橢圓相交；當(dāng)4=0時(shí)，直線與橢圓相切；當(dāng)<0時(shí)，直線與橢圓相離.注：對(duì)比直線與圓的位置關(guān)系的判斷，它們之間有何聯(lián)系與區(qū)別？ 題型三：直線與橢圓相交(及中點(diǎn)弦)問題該問題屬高考中對(duì)圓錐曲線考查的熱點(diǎn)和重點(diǎn)問題，其主要方法是數(shù)形結(jié)合、判別式、 根與系數(shù)的關(guān)系、整體代換.2【典例1】已知斜率為1的直線l過橢圓y2 =1的右焦點(diǎn)，交橢圓于 AB兩點(diǎn)，求弦4AB的長及.ABF1的周長、面積2x【典例2】已知橢圓+a2yb = 1(a> b>0)經(jīng)過點(diǎn)(0 ,離心率為g左，右焦點(diǎn)分別

16、為R( c, 0) , F2(c, 0).(1) 求橢圓的方程；1 若直線I : y= ?x + m與橢圓交于 A, B兩點(diǎn)，與以F1F2為直徑的圓交于C, D兩點(diǎn)，且滿足|D- = f，求直線I的方程.【典例3】已知一直線與橢圓4x29y2 =36相交于A, B兩點(diǎn)，弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為 M1,1), 求直線AB的方程.變式：過點(diǎn)M(1,1)作斜率為-丄的直線與橢圓22 2xyC ： 22 = 1(a b 0)相交于 AB，若abM是線段AB的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率為 【典例4】(2015新課標(biāo)文)已知橢圓22xyC ：二2abJ2=1 a b 0 的離心率為，點(diǎn)22, 、2 在 C上.(I

17、)求C的方程；(II )直線l不經(jīng)過原點(diǎn) O,且不平行于坐標(biāo)軸，I與C有兩個(gè)交點(diǎn) A B,線段AB中點(diǎn)為M 證明：直線 OM勺斜率與直線I的斜率的乘積為定值.F是橢【典例5】已知點(diǎn)A (0, -2 )，橢圓E :2 2篤與=1(a b 0)的離心率為a b圓的焦點(diǎn)，直線 AF的斜率為 乙3 , O為坐標(biāo)原點(diǎn)3(I)求E的方程;(H)設(shè)過點(diǎn) A的直線l與E相交于P,Q兩點(diǎn)，當(dāng).OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程.【典例6】已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最 大值為3，最小值為1.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；若直線l : y二kx m與橢圓C相交于A, B兩點(diǎn)(A,

18、 B均不在左右頂點(diǎn))，且以AB為 直徑的圓過橢圓 C的右頂點(diǎn)求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo) .【方法歸納】：(1) 解決直線與橢圓相交問題的原則有兩個(gè)：一是數(shù)形結(jié)合；二是一條主線：“斜率、方程組、判別式、根與系數(shù)的關(guān)系”利用根與系數(shù)的關(guān)系整體代換，以減少運(yùn)算量(2) 如果題設(shè)中沒有對(duì)直線的斜率的限定，一定要討論斜率是否存在，以免漏解；這里又有兩個(gè)問題需要注意：若已知直線過y軸上的定點(diǎn) R0, b)，可將直線設(shè)為斜截式，即縱截距式，即y=kx+b，但要討論斜率是否存在；若已知直線過x軸上的定點(diǎn)P(a,0),可以直接將直線方程設(shè)為橫截距式，即x=ma,這樣可避免討論斜率是否存在，但此時(shí)求1

19、弦長時(shí)，需將下面弦長公式中的k用 替換.m(3) 直線被橢圓截得的弦長公式設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為 A(X1, yj、耳, y2)，則| AB = . (1 + k2) (X1 + X2) 2-4x1X2=飛$ (1 + ) (y1+ y2)2- 4y1y2( k 為直線斜率).【本節(jié)練習(xí)】1. (2014 高考安徽卷)設(shè)Fi, F2分別是橢圓E:直線交橢圓E于A, B兩點(diǎn)若|AFi| = 3| FiB| ,2Xi 2+ b2= 1(0< b<1) 的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn) Fi的AFax軸，則橢圓E的方程為 .2 2x y2. (20i5 豫西五校聯(lián)考)已知橢圓-+合=i(0 v bv 2

20、)的左、的直線I交橢圓于A B兩點(diǎn)，若|B冋+ |AB|的最大值為5,L3A. 1 B .2 C .右焦點(diǎn)分別為Fi、F2,過Fi則b的值是()2 2x y3. (20i5 宜昌調(diào)研)過橢圓-7= i的右焦點(diǎn)作一條斜率為 2的直線與橢圓交于 A, B兩54點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則 OAB勺面積為.4. 已知橢圓 G扌+ b2= i(a>b>0)的離心率為-3，右焦點(diǎn)為(2 2, 0).斜率為i的直線I 與橢圓G交于A, B兩點(diǎn)，以AB為底邊作等腰三角形，頂點(diǎn)為R 3, 2).(1) 求橢圓G的方程；5'.已知橢圓= i(a b 0)的離心率為右焦點(diǎn)到直線(2) 求 PAB的面積

21、.的距離為2 3.(i)求橢圓的方程；7(2)過點(diǎn)M(0,-i)作直線I交橢圓于A,B兩點(diǎn)，交x軸于N點(diǎn)，滿足N-NB ,5 求直線I的方程.6.已知橢圓務(wù)=i(a b0)的離心率為二，且長軸長為i2,過點(diǎn)P(4,2)a b2的直線I與橢圓交于A,B兩點(diǎn).WORD完美格式1(1)求橢圓方程；(2)當(dāng)直線I的斜率為£時(shí)，求AB的值；(3)當(dāng)點(diǎn)P恰好為線 段AB的中點(diǎn)時(shí)，求直線I的方程.2 27. 平面直角坐標(biāo)系xoy中,過橢圓M 務(wù)+爲(wèi)=1(a >b >0)的右焦點(diǎn)F作直線a2 b21 xy-.3=0交M于A，B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn),且OP的斜率為.2(I )求M的方程；(

22、n )C, D為M上的兩點(diǎn)，若四邊形ACBD勺對(duì)角線CDL AB求四邊形ACBDB積 的最大值.2 28.設(shè)FF2分別是橢圓EF1斜率為1的直線lx y2 2 = 1(a b 0)的左、右焦點(diǎn)，過a b與E相交于A,B兩點(diǎn)，且AF2 , AB , BF2成等差數(shù)列(1) 求 E的離心率;(2)設(shè)點(diǎn)p(0, -1)滿足PA = PB，求E的方程.2 29. 設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C:篤每 "(a>b>0)的左，右焦點(diǎn)， M是C上一點(diǎn)且MF與x a b軸垂直，直線 MF與C的另一個(gè)交點(diǎn)為 N3(I )若直線 MN勺斜率為一，求C的離心率；4(II )若直線 MN在 y軸上的截

23、距為 2且|MN=5| F1N，求a，b.x y10. 如圖，點(diǎn) c，0)，F(xiàn)2(c，0)分別是橢圓 C： -+ 5= 1(a>ba b>0)的左，右焦點(diǎn)，過點(diǎn)R作x軸的垂線交橢圓 C的上半部分于點(diǎn) P, 技術(shù)資料 專業(yè)整理WORD完美格式2過點(diǎn)F2作直線PF2的垂線交直線x = a于點(diǎn)Qc(1) 如果點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(4 , 4)，求此時(shí)橢圓C的方程;(2) 證明：直線PQ與橢圓C只有一個(gè)交點(diǎn). . 2 211. 已知橢圓C: x + 2y = 4.求橢圓C的離心率；(2)設(shè)O為原點(diǎn)，若點(diǎn) A在直線y = 2上，點(diǎn)B在橢圓C上，且OAL OB (文)求線段 AB長度的最小值.(理)試

24、判斷直線 AB與圓x2 y2 =2的位置關(guān)系.圓錐曲線在高考中的考查主要體現(xiàn)“一條主線，五種題型”，所謂一條主線：是指直線與圓錐曲線的綜合.五種題型是指“最值問題；定點(diǎn)問題；定值問題；參數(shù)的取值范圍問題； 存在性問題”.一、最值問題【規(guī)律方法】：(1) 最值問題有兩大類：距離、面積的最值以及與之有關(guān)的一些問題；求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時(shí)確定與之有關(guān)的一些問題(2) 兩種常見方法：幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解題； 代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立起目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值， 最值常用基本不

25、等式法； 若是分式函數(shù)則可先分離 常數(shù)，再求最值；若是二次函數(shù)，可用配方法；若是更復(fù)雜的函數(shù)，還可用導(dǎo)數(shù)法(3) 圓錐曲線的綜合問題要四重視：重視定義在解題中的作用；重視平面幾何知識(shí)在解題中的作用；重視根與系數(shù)的關(guān)系在解題中的作用；重視曲線的幾何特征與方程的代數(shù)特征在解題中的作用.如定值中2014江西文科考題，范圍中的題 6、7.21. 已知橢圓C： x2 y2 =1 ( a>0)的焦點(diǎn)在x軸上，右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)分別為 A B.頂點(diǎn)在a原點(diǎn)，分別以 A B為焦點(diǎn)的拋物線 C、G交于點(diǎn)P (不同于O點(diǎn))，且以BP為直徑的圓經(jīng) 過點(diǎn)A(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(H)若與OP垂直的動(dòng)直線I交橢圓

26、C于M N不同兩點(diǎn)，求 OM面積的最大值和此時(shí)直 線l的方程.22 22.已知橢圓C:篤+每=1(a >b >0)的上頂點(diǎn)為(0, 1),且離心率為a2 b2(I)求橢圓C的方程;2 2(n)證明：過橢圓Xy22 =1(m n 0)上一點(diǎn)Q(xo, y°)的切線方程為m n22(川)從圓x y =16上一點(diǎn)P向橢圓C引兩條切線，切點(diǎn)分別為 A B,當(dāng)直線AB分別與x軸、y軸交于M N兩點(diǎn)時(shí)，求MN的最小值.03. 已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定點(diǎn)F( 1，0)和到定直線x=2的距離之比為，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線2E,過點(diǎn)F作垂直于x軸的直線與曲線 E相交于 A B兩點(diǎn)，直線l :mx n與

27、曲線E交于C D兩點(diǎn)，與線段AB相交于一點(diǎn)(與A、B不重合).(I)求曲線E的方程；2 2(n)當(dāng)直線l與圓x y =1相切時(shí)，四邊形 ACBD勺面積是否有最大值.若有，求出其最大值及相應(yīng)的直線I的方程；若沒有，請(qǐng)說明理由4.已知點(diǎn)A (0, -2 )，橢圓E :2 22= 1(a b - 0)的離心率為a bF是橢圓的右技術(shù)資料專業(yè)整理焦點(diǎn)，直線AF的斜率為生3 , O為坐標(biāo)原點(diǎn)3(I)求E的方程;(n)設(shè)過點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P,Q兩點(diǎn)，當(dāng) OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程.5.平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓22xyC ：飛2 =1(a b 0)的離心率為ab3，且點(diǎn)2(3,2)在橢圓

28、C上，(I)求橢圓C的方程;P為橢圓C上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線kx m交橢圓E于代B兩點(diǎn)，射線PO交橢圓E于點(diǎn)Q.=1交于P x1,y1 ,Q x2, y2兩不同點(diǎn)，且OPQ的面積S.opq.6其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).(i)求.OQ的值;OP|(ii)求:ABQ面積的最大值。二、定值問題解析幾何中的定值問題是指某些幾何量(線段的長度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線的斜率、某些代數(shù)表達(dá)式的值等)的大小與題目中的參數(shù)無關(guān)，不依參數(shù)的變化而變化， 而始終是一個(gè)確定的值解決圓錐曲線中的定值問題的基本思路是：定值問題必然是在變化中所表現(xiàn)出 來的不變量，那么就可以用變化的量表示問題中的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，

29、這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等不受變化的量所影響的一個(gè)值即為定值.求定值的基本方法：1. 直接推理計(jì)算，通過消參得到定值：直接推理計(jì)算，通過消參得到定值的關(guān)鍵在于引進(jìn)參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量(如2015高考文科)2. 從特殊入手，求出定值，再證明，即從特殊到一般法：從動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)直線的特殊位置入手，計(jì)算出定值或定點(diǎn)，然后驗(yàn)證一般情形，即證明這個(gè)值與變量無關(guān)【注】：無論哪種方法，其求解過程仍始終貫穿一條主線2 21.已知橢圓C： 2- 1(a b 0)的離心率為，點(diǎn)(2, . 2)在C上.a b2(1 )求C的方程；(2)直線I不過原點(diǎn)O

30、且不平行于坐標(biāo)軸，I與C有兩個(gè)交點(diǎn) A，B,線段AB的中點(diǎn)為M 證明：直線 OM勺斜率與直線I的斜率的乘積為定值.2.已知橢圓C： 9x3. 已知?jiǎng)又本€I與橢圓C : y2二m2(m 0),直線I不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，I與C有兩 個(gè)交點(diǎn)A, B,線段AB的中點(diǎn)為M.(I)證明：直線 OM勺斜率與I的斜率的乘積為定值；(H)若I過點(diǎn) m,m，延長線段OM與C交于點(diǎn)P,四邊形OAPBE否為平行四邊形？若 13丿能，求此時(shí)I的斜率；若不能，請(qǐng)說明理由.(I)證明：x1 - x2 24'.已知橢圓E：牛 2 = 1(a b 0)其焦點(diǎn)為a2 b2與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A, B.(1)若點(diǎn)

31、A是橢圓E的一個(gè)頂點(diǎn)，求橢圓的方程;(2)若線段AB上存在點(diǎn)P滿足PF_j + PF2 =2a，求a的取值范圍和y12 - y22均為定值;(n)設(shè)線段 PQ的中點(diǎn)為M，求OM PQ的最大值;(川)橢圓C上是否存在三點(diǎn) D,E,G，使得S ode =SOdg6 ?若存在,2斷DEG的形狀；若不存在，請(qǐng)說明理由.(安排此題的目的有兩個(gè)：一是在處理(1)時(shí)，所建立的等式S .OPQ二-y 中含有兩個(gè)變量，且這兩個(gè)變量間再無直接關(guān)系，此時(shí)可通過觀察等式的結(jié)構(gòu)，通過換元，再借助此等式，探索原來兩個(gè)變量間的關(guān)系，以達(dá)到消元的目的；二是在處理(2)時(shí)，可通過觀、 2 2察OM 和PQ的結(jié)構(gòu)，通過變形，使之

32、滿足均值不等式求最值的三個(gè)條件)4. 如題(20)圖，橢圓的中心為原點(diǎn)O，離心率e二二，一條準(zhǔn)線的方程為 x -:2(I)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(n)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足：OP=OM 2ON，其中M,N是橢圓上的點(diǎn)，直線OM與ON的斜率之積為若存在，求FF1,F2,離心率為，直線 l ：x+2y-2=02 25.已知橢圓:冷.篤=1（a b .0）的長軸長為4，且過點(diǎn)a2 b2（1）求橢圓的方程；3 4 （2）設(shè)A, B, M是橢圓上的三點(diǎn).若OM OA OB，點(diǎn)N為線段 AB的中點(diǎn),55C(、6T，0），:、：6計(jì)。），求證:NC + ND = 2運(yùn).2 _ _ （2014江西文）如圖，已知拋物線C

33、: x -4y，過點(diǎn)M（0,2）任作一直線與C相交于A, B兩點(diǎn)，過點(diǎn)B作y軸的平行線與直線 AO相交于點(diǎn)D （ O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.（1）證明：動(dòng)點(diǎn)D在定直線上；（2） 作C的任意一條切線I （不含x軸）與直線y = 2相交于點(diǎn)N1，與（1）中的定直線2 2相交于點(diǎn)N2，證明：|MN2 IT MN I為定值，并求此定值.三、定點(diǎn)冋題（同定值問題）1. 已知橢圓C的中心在為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值 為3,最小值為1.（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（H）若直線l : y二kx m與橢圓C相交于A, B兩點(diǎn)（代B均不在左、右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過橢圓 C的右頂點(diǎn).求

34、證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).2. ( 2013陜西)已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)A(4,0),且在y軸上截得的弦 MN的長為8.(I )求動(dòng)圓圓心的軌跡 C的方程；(n )已知點(diǎn)B( 1,0),設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn) P, Q 若x軸是.PBQ的角平分線,證明直線I過定點(diǎn).2x2. (2014課標(biāo)1)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C : y 與直線I : y = kx a(a - 0)交與4M ,N兩點(diǎn),(I)當(dāng)k =0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程;(n) y軸上是否存在點(diǎn) P,使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有/ OPIMZ OPN說明理由23. 設(shè)動(dòng)直線l與拋物線E： x =4y相切

35、于點(diǎn)P,與直線y = -1相交于點(diǎn)Q證明：以 PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點(diǎn)2 24. 已知結(jié)論：若點(diǎn)R X。, y。)為橢圓 篤當(dāng)=1上一點(diǎn)，則直線I :竽 塑 =1與橢圓相a2b2a2 b2切，現(xiàn)過橢圓 C +上一點(diǎn)P作橢圓的切線交直線 x95于點(diǎn)A,試判斷以線945段AP為直徑的圓是否恒過定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由5.已知橢圓2 2a2 b2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為R (-c,0), F2(c,0),其中 a, b, c 都是正數(shù),長軸長為4, 原點(diǎn)到過點(diǎn) A(0,- b)和B(a,0)兩點(diǎn)的直線的距離為 7(1)求橢圓的方程； 若點(diǎn)MN是定直線x=4上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1M，F(xiàn)2

36、N =0，證明：以 MN為直徑的圓過定點(diǎn)，并求定點(diǎn)坐標(biāo)2 25. （2015廣東汕頭二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，橢圓C 篤+爲(wèi)=13匕0）a2b2的離心率為，左頂點(diǎn)A與上頂點(diǎn)B的距離為 6 .2（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2） 過原點(diǎn)O的動(dòng)直線（與坐標(biāo)軸不重合）與橢圓C交于P, Q兩點(diǎn)，直線PA QA分別與y軸交于M N兩點(diǎn)，問：以 MN為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)？請(qǐng)證明你的結(jié)論2 26. 如圖，橢圓E 冷爲(wèi)=1（a b 0）的離心率是 ，過點(diǎn)P（0，1）的動(dòng)直線l與橢圓a b2交于A B兩點(diǎn)當(dāng)直線l平行于x軸時(shí)，直線I被橢圓E截的線段長為2 2（I）求橢圓E的方程（n）在平面直角坐標(biāo)系

37、中是否存在與點(diǎn)Q使得qA=-PAQBPBP不同的定點(diǎn)恒成立,若存在,求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由22J27.已知橢圓C：7 =1（a巾一1）的離心率e，右焦點(diǎn)到直線a b2的距離為.3（I）求橢圓C的方程;（n）已知直線 x-y+m=0與橢圓C交于不同的兩點(diǎn) M N,且線段 MN的中點(diǎn)不在圓 x y =1內(nèi)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；1（川）過點(diǎn)P（0,-）的直線I交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，是否存在點(diǎn) Q使得以AB為直徑的圓3恒過這個(gè)定點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由8. 已知圓 F1 : (x - 1)2172. 已知P為拋物線y x2上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) P在x軸上的射影為 M點(diǎn)A的坐

38、標(biāo)是(6,), 2 y2 = r2 與圓 F2 : (x -1)2 y2 = (4 - r)2(0 <r<4)的公共點(diǎn)的軌跡為曲線E,且曲線E與y軸的正半軸相交于點(diǎn) M若曲線E上相異兩點(diǎn) A B滿足直線MA MB1的斜率之積為丄.4(I)求E的方程；(H)證明直線 AB恒過定點(diǎn)，并求定點(diǎn)坐標(biāo)；(川)求.ABM的面積的最大值.四、參數(shù)(或式)的取值范圍問題解決圓錐曲線中的取值范圍問題的五方面考慮：(1) 利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；(2) 利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的(3) 利用隱含的不等關(guān)系建立不等

39、式，從而求出參數(shù)的取值范圍；(4) 利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；(5) 利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參 數(shù)的取值范圍.2 2x y引例1已知A是橢圓E:1的左頂點(diǎn)，斜率為k k>0的直線交E于A, M兩點(diǎn),點(diǎn)N在E上，MA _ NA .(I )當(dāng)AM = AN時(shí)，求U AMN的面積(II)當(dāng)2 AM = AN時(shí)，證明： 屁"2.2 2引例2已知橢圓E 2 + L = 1的焦點(diǎn)在x軸上，A是E的左頂點(diǎn)，斜率為k(k>0)的t 3直線交E于A,M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，MA_ NA.(I )當(dāng)t=4, AM = A

40、N時(shí)，求 AMN勺面積;(II )當(dāng)2 AM = AN時(shí)，求k的取值范圍1. 若過點(diǎn)A(4,0)的直線I與曲線(x-2)2 y2 =1有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍為( )A 亠 3B.(-亠 3)C.二屈 D.(二兀)3333則PA十PM的最小值是()A. 8 B.19c21C. 10D.223.橢圓C: X2 +占一 1( a> b> 0)的左、右焦點(diǎn)分別是 F1、F2,離心率為 品，過F1且垂 a2 b22直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為l .(I)求橢圓C的方程；(n)點(diǎn)P是橢圓C上除長軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接PF、PR,設(shè)/ F1PF的角平分線PM交C的長軸于點(diǎn) M

41、 (m 0),求m的取值范圍；(川)在(n)的條件下，過點(diǎn)P作斜率為k的直線l，使得I與橢圓C有且只有一個(gè)1 1公共點(diǎn)，設(shè)直線聽PF2的斜率分別為k1,紅若"°,試證明礦玩為定值，并求出1A, B關(guān)于直線y=m)+ 對(duì)稱.2這個(gè)定值.23. 已知橢圓y2 =1上兩個(gè)不同的點(diǎn)2(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍;(2)求厶AOB面積的最大值(O為坐標(biāo)原點(diǎn))24. 已知橢圓y2 = 1的左焦點(diǎn)為F, O為坐標(biāo)原點(diǎn).設(shè)過點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交2橢圓于A, B兩點(diǎn)，線段 AB的的垂直平分線與 x軸交于點(diǎn)G,求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍.5. 在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知橢圓C的中心在原點(diǎn)

42、 0,焦點(diǎn)在x軸上，短軸長為2,離心率為一2 .2(I)求橢圓C的方程;(II)AB為橢圓C上滿足 AOB的面積為-6的任意兩點(diǎn),4E為線段AB的中點(diǎn)，射線OE交橢圓C與點(diǎn)P,設(shè)OP二tOE，求實(shí)數(shù)t的值.6.已知橢圓E:X +y2,2a b=1(a b 0)的離心率為，過其右焦點(diǎn)2F2作與x軸垂直的2H v 2 H直線l與該橢圓交于 A B兩點(diǎn)，與拋物線y 28.如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xoy中，橢圓X2y2a b右焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的弦 AB與 CD當(dāng)直線AB的斜率為0時(shí)，AB + CD = 32 .(1 )求橢圓的方程；(2)求由A, B, C, D四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積的取值范圍2 29.已知橢圓G ：占務(wù)=1(a b 0)與拋物線C2 ： X2 = 2py