疲勞和斷裂第三講

1、12： 7075-T6鋁 R=-1,恒幅 45678X=lgN 1050 99.9Pf 100 7075-T67075-T6鋁合金鋁合金對數(shù)疲勞壽命分布對數(shù)疲勞壽命分布2430.117030999051Sinclair和Dolan,1953.153 207MPa下下 57件，壽命件，壽命: 2106 108次；次； 240MPa下下 29件，壽命件，壽命: 7105 4106次次 275MPa下下 34件，壽命：件，壽命：1105 8105次次 310MPa下下 29件，壽命：件，壽命：4104 1105次次 430MPa下下 25件，壽命：件，壽命：1.5104 2104次。次。共共1741

2、74件件NS(MPa)4003002001010410101010101010105678klgN2015105678+207 MPa共共57件件 壽命分布直方圖壽命分布直方圖100 102 倍倍4a ai i5材質(zhì)不均勻，加工質(zhì)量，加載誤差，試驗環(huán)境等。材質(zhì)不均勻，加工質(zhì)量，加載誤差，試驗環(huán)境等。裂紋、缺口件的疲勞破壞局限在裂紋或缺口高應(yīng)裂紋、缺口件的疲勞破壞局限在裂紋或缺口高應(yīng)力局部，上述因素影響較小。力局部，上述因素影響較小。 給定應(yīng)力水平下，壽命小于給定應(yīng)力水平下，壽命小于N的概率的概率pf？ 存活率為存活率為ps（如如99%）的疲勞壽命？）的疲勞壽命？疲勞壽命常用對數(shù)正態(tài)分布、威布爾

3、分布描述。疲勞壽命常用對數(shù)正態(tài)分布、威布爾分布描述。60f(x)m mx=X正態(tài)概率密度曲線正態(tài)概率密度曲線 對數(shù)疲勞壽命對數(shù)疲勞壽命lgN常常是服從正態(tài)分布的。常常是服從正態(tài)分布的。 令令X=lgN, X 即服從正態(tài)分布。即服從正態(tài)分布。f xx( )exp()12222m密度函數(shù)：密度函數(shù)：( - x ) m m是均值；是均值；f (x)關(guān)于關(guān)于x=x=m m對稱對稱 為標準差，是非負的。為標準差，是非負的。7 越小，越小， f (m m)越大，曲線越越大，曲線越瘦，瘦，X的分散性越小。的分散性越小。故標準差故標準差 反映反映X的分散性。的分散性。 (1) f(x) 0 ; 隨機變量隨機變

4、量X取值取值的的可能性非負?？赡苄苑秦摗Ｔ谠趚=m m處處, f (x)最大，且最大，且:f(x=m m)=12：(無論分布形式如何無論分布形式如何)1)(dxxf(2) ；所有取值的總可能為；所有取值的總可能為1。f xx( )exp()12222m0f(x)m mx=X正態(tài)概率密度曲線正態(tài)概率密度曲線8dxxdxxfxXxFxx2)(exp21)()Pr()(22mF(x)是是X小于等于小于等于x的概率的概率, 是是f(x)在在x左邊的面積左邊的面積。0f(x)m mxX正態(tài)概率密度曲線正態(tài)概率密度曲線F(x)1-F(x)1)(dxxf9令令, , 即有：即有：ux()mxum注意注意 d

5、x=dx= du, du, 由由公式可得到公式可得到為：為： ( - u )( )( )exp()uf xdxduu12122U0-uu (u) 標準正態(tài)分布密度函數(shù) u服從均值服從均值 m m=0=0、標準差、標準差 =1=1的正態(tài)分布。的正態(tài)分布。則為：則為：)()21exp(21)(2mxduuuu10u0或或 (u)0.5，利用利用 (-u)=1- (u)的關(guān)系求解。的關(guān)系求解。注意有：注意有： (0)=0.5 ； (-u)=1- (u)； Pr(auQ0, 故相關(guān)系數(shù)故相關(guān)系數(shù) r 130XY0r1完全相關(guān)完全相關(guān)XY0r- -1完全相關(guān)完全相關(guān)XY0r0完全不相關(guān)完全不相關(guān)rr當當

6、 時，有時，有Q0 0，數(shù)據(jù)點基本在回歸直線上，變量數(shù)據(jù)點基本在回歸直線上，變量X X、Y Y相關(guān)密切；相關(guān)密切；1rrQ Lyy21 / , Q , 數(shù)據(jù)點越分散，相關(guān)越差；數(shù)據(jù)點越分散，相關(guān)越差； 若若 0， X、Y完全不相關(guān)。完全不相關(guān)。相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)r與與B同號，同號，r0, 則則B0，正相關(guān)；正相關(guān)； r0，B0，負相關(guān)。負相關(guān)。rrXY00r1正相關(guān)正相關(guān)XY0- -1r0負相關(guān)負相關(guān)31 回歸方程回歸方程反映隨機變量間的相關(guān)關(guān)系？反映隨機變量間的相關(guān)關(guān)系？ 是相關(guān)系數(shù)起碼值，可查表。是相關(guān)系數(shù)起碼值，可查表。 與樣本容量與樣本容量n有關(guān)，有關(guān)，n越大，越大， 越小。越小。 與置

7、信水平與置信水平 有關(guān)，有關(guān)， =1- 越大，越大， 越大。越大。 是是顯著性水平顯著性水平 ，或或納偽概率。納偽概率。r r r 相關(guān)性檢驗條件相關(guān)性檢驗條件為：為： rr 表表3-4 相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù) 的起碼值的起碼值 n-2 0.05 0.01 n-2 0.05 0.01 n-2 0.05 0.01 1 0.997 1.000 5 0.754 0.874 10 0.576 0.708 20 0.423 0.537 30 0.349 0.449 40 0.304 0.393r 32對應(yīng)于任一對應(yīng)于任一x0，y0正態(tài)分布，正態(tài)分布，n大時，分布參數(shù)可估計為：大時，分布參數(shù)可估計為： m m=

8、 =A+Bx =s=Q/(n-2)1/2 =(Lyy-B2Lxx)/(n-2)1/2yYX0 x0y0y=A+Bx利用回歸方程進行統(tǒng)計推斷利用回歸方程進行統(tǒng)計推斷yy0= +3syy0= -3s直線直線 y= +ups所對應(yīng)的概率為所對應(yīng)的概率為 p=Pr(Y y) 。如，如，up=3時，時，p=99.87%， 故故y落在落在y= +3s之下的概率為之下的概率為99.87%，上限。，上限。yy up=-3時，時，p=0.13%，y= -3s 為為0.13%的下限。的下限。 y在在y= +3s間的概率為間的概率為p=99.74%。 up=0時，時，p=50%，故，故y= =A+Bx對應(yīng)概率對應(yīng)概

9、率50%yyy33 獲取樣獲取樣 本數(shù)據(jù)本數(shù)據(jù) (x(xi,y,yi) ) 共共n n對對下面通過一例題，進一步了解其分析步驟。下面通過一例題，進一步了解其分析步驟。作作散散點點圖圖 回歸方程回歸方程 的形式的形式 y=A+Bx 最小二乘最小二乘 法確定回法確定回 歸系數(shù)歸系數(shù) A A、B B相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù) r相關(guān)性檢驗相關(guān)性檢驗 rr 用回歸方程進行用回歸方程進行預(yù)測和統(tǒng)計推斷預(yù)測和統(tǒng)計推斷34實驗得到：實驗得到： Ly12鋁合金板材，鋁合金板材， 在在Smax為為199、166、141.2、120.2 Mpa 四種應(yīng)力水平下的疲勞試驗結(jié)果四種應(yīng)力水平下的疲勞試驗結(jié)果 ， 循環(huán)應(yīng)力比循環(huán)應(yīng)

10、力比R=0.1試用最小二乘法擬合試用最小二乘法擬合S-N曲線和曲線和P-S-N曲線。曲線。35序號序號 Smax (MPa) 破壞率破壞率 存活率存活率 i 199 166 141.2 120.2 Pi=i/n+1 Ri=1-pi 1 4.914 5.093 5.325 5.721 0.0909 0.9091 2 4.914 5.127 5.360 5.851 0.1818 0.8182 3 4.929 5.130 5.435 5.859 0.2727 0.7273 4 4.964 5.140 5.441 5.938 0.3636 0.6364 5 4.964 5.146 5.470 6.01

11、2 0.4545 0.5455 6 4.982 5.167 5.471 6.015 0.5455 0.4545 7 4.982 5.188 5.501 6.082 0.6364 0.3636 8 4.996 5.204 5.549 6.136 0.7273 0.2727 9 5.029 5.220 5.582 6.138 0.8182 0.1818 10 5.063 5.248 5.612 6.165 0.9091 0.0909364.55.05.56.06.5X=lgN99.9 99 90705030 10 10.1Ps 100對數(shù)疲勞壽命分布對數(shù)疲勞壽命分布Smax=199Smax=166

12、Smax=141.2Smax=120.237 Si x=A+Bup=lgNi (MPa) A B r lgS Ps=50% Ps=99.9% up=0 up=-3.091 199.0 4.9737 0.0566 0.975 2.2989 4.9737 4.79882 166.0 5.1663 0.0571 0.988 2.2201 5.1663 4.98993 141.2 5.4746 0.1084 0.989 2.1498 5.4746 5.13964 120.2 5.9917 0.1722 0.973 2.0799 5.9917 5.4596回歸方程估計的存活率回歸方程估計的存活率ps為為

13、50%和和99.9%時的時的x。 r =0.765 =0.01 38 由前表所列由前表所列ps為為50%和和99.9%時的二組時的二組lgS lgN數(shù)數(shù)據(jù)，給出了給定存活率據(jù)，給出了給定存活率ps下的下的S-N關(guān)系。關(guān)系。雙對數(shù)坐標圖上，這二組雙對數(shù)坐標圖上，這二組 S-N數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系。數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系。56lg Nlg N2.32.22.1lg S雙對數(shù)坐標下的雙對數(shù)坐標下的S-N圖圖ps=50%ps=99.9%1239ps100 lgS=a+blgN r SmN=C a b M C 50 3.2965 -0.2054 -0.971 4.869 1.1241016 99.9 3.8739 -

14、0.3309 -0.983 3.022 5.0921011可知，對于本例，可知，對于本例，中值中值S-N曲線為：曲線為：ps=99.9%的的p-S-N曲線為：曲線為：16869.4max10124.1NS%)9 .99(10092. 511022. 3maxspNS401）疲勞壽命分散性顯著。）疲勞壽命分散性顯著。S越低，越低，N越長，分散越長，分散 性越大。性越大。2）對數(shù)疲勞壽命可用正態(tài)分布描述。）對數(shù)疲勞壽命可用正態(tài)分布描述。 xp=lgNp=x+ups; x m m ; s 3）三參數(shù)威布爾分布為：）三參數(shù)威布爾分布為： N0-下限；下限； Na-特征壽命參數(shù)；特征壽命參數(shù)；b-形狀參數(shù)。形狀參數(shù)。F NNNNNab()exp () 100415 5）回歸分析的主要任務(wù)是：）回歸分析的主要任務(wù)是： 尋找隨機變量間相關(guān)關(guān)系的近似定量表達式；尋找隨機變量間相關(guān)關(guān)系的近似定量表達式； 考查變量間的相關(guān)性；考查變量間的相關(guān)性； 利用回歸方程進行預(yù)測和統(tǒng)計推斷。利用回歸方程進行預(yù)測和統(tǒng)計推斷。7）相關(guān)系數(shù)）相關(guān)系數(shù) r可檢驗回歸方程與樣本數(shù)據(jù)相關(guān)性可檢驗回歸方程與樣本數(shù)據(jù)相關(guān)性 的密切程