畢業(yè)設(shè)計(jì)論文關(guān)于廣義冪等矩陣的性質(zhì)的探討

1、關(guān)于廣義冪等矩陣的性質(zhì)的探討左航（導(dǎo)師：謝濤）（湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 湖北 黃石 435002）1.引言 在高等代數(shù)中，矩陣是代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要研究對(duì)象，也是數(shù)學(xué)研究中不可缺少的工具。我們把滿(mǎn)足的矩陣a叫做冪等矩陣，把滿(mǎn)足的線(xiàn)性變換叫做冪等變換。文【1，2】已給出了冪等矩陣與冪等變換的性質(zhì)和等價(jià)條件。本文試圖通過(guò)引入k次冪等矩陣和k次冪等變換的概念，來(lái)推廣冪等矩陣和冪等變換，并討論它們的性質(zhì)。同時(shí)由于可逆矩陣對(duì)處理矩陣問(wèn)題的重要性，文中在可逆冪等矩陣的基礎(chǔ)上給出可逆n階k次冪等矩陣的定義，并總結(jié)出相關(guān)的一些性質(zhì)。而且在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中對(duì)于大多數(shù)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象進(jìn)行比較靜態(tài)分析的結(jié)果，都可以合理地歸結(jié)

2、為一個(gè)線(xiàn)性經(jīng)濟(jì)模型ax=b，其中的系數(shù)矩陣a往往是一個(gè)冪等矩陣。為此，也有必要對(duì)冪等矩陣展開(kāi)理論方面的深入研究。1.冪等矩陣定義1.1 任何一個(gè)滿(mǎn)足冪等關(guān)系的矩陣稱(chēng)為冪等矩陣。顯然，n階零矩陣和單位矩陣都是冪等矩陣。關(guān)于冪等矩陣，目前已有一些結(jié)論，我們選擇其中一些性質(zhì)列舉如下：1.1.1冪等矩陣的特征值只取0和1兩個(gè)數(shù)值；1.1.2所有的冪等矩陣（單位矩陣除外）都是奇異矩陣；1.1.3所有冪等矩陣的秩與跡相等，即；1.1.4若為冪等矩陣，則也為冪等矩陣；1.1.5若為冪等矩陣，則也為冪等矩陣所有對(duì)稱(chēng)的冪等矩陣（單位矩陣除外）都是半正定的；1.1.6令nn冪等矩陣的秩為r,則有個(gè)特征1和個(gè)特征值

3、0；1.1.7所有的冪等矩陣都可對(duì)角化的：；1.1.8一個(gè)對(duì)稱(chēng)的冪等矩陣可以表示為，其中滿(mǎn)足；1.1.9設(shè)有全矩陣，則是一個(gè)冪等矩陣；1.1.10若方陣b是冪等矩陣，則和也是冪等矩陣；1.1.11若n階方陣a為冪等矩陣，則它的秩滿(mǎn)足r(a)+r(e-a)=n。2.k次冪等變換與k次冪等矩陣 定義2.1 把滿(mǎn)足的矩陣a叫做k次冪等矩陣，把滿(mǎn)足的線(xiàn)性變換叫做k次冪等變換。顯然，冪等矩陣(變換)必是2次冪等矩陣(變換)，對(duì)合矩陣是3次冪等矩陣，所以，k次冪等矩陣(變換)是冪等矩陣(變換)與對(duì)合矩陣(變換)的統(tǒng)一和推廣。另外，容易驗(yàn)證以下命題：命題2.1 設(shè)是以n維線(xiàn)性空間v的基，那么，v上的任意k次

4、冪等變換關(guān)于該基的矩陣是k次冪等矩陣。反過(guò)來(lái)，任意k次冪等矩陣都是某個(gè)k次冪等變換關(guān)于該基的矩陣。從而，k次冪等矩陣與k次冪等變換有平行的性質(zhì)。定義2.2 設(shè)a是k次冪等矩陣，把叫做a的k-余矩陣，記為。把的k-余矩陣記為。設(shè)是k次冪等變換，把叫做a的k-余變換，記為。把的k-余變換記為。之所以把叫做的余變換，我們會(huì)在定理3之后說(shuō)明原因。為了論述方便，我們把本文需要的有關(guān)概念和結(jié)論陳述如下：定義2.3【3】 設(shè)是線(xiàn)性空間v上的線(xiàn)性變換，把叫做的核，把的維數(shù)叫做的零度。把叫做的值域，把的維數(shù)叫做的秩，記為。定義2.4【4】 設(shè)w1,是線(xiàn)性空間v的子空間，如果，我們稱(chēng)是的余子空間。引理2.1【3】

5、 設(shè)a是n級(jí)矩陣，r(a)表示a的秩，則 （1）； （2）如果ab=0,那么 引理2.2【3,4】 設(shè)是以n維線(xiàn)性空間v的基，線(xiàn)性變換關(guān)于該基的矩陣是a，那么 的列空間； 其次線(xiàn)性方程組。性質(zhì) 定理2.1 如果是v上的線(xiàn)性變換，那么，是k次冪等變換。證明 顯然設(shè)有所以使得從而即故設(shè)，由于所以即于是定理2.2 如果是v上的線(xiàn)性變換，那么，是k次冪等變換。證明 設(shè)有即所以反過(guò)來(lái)，使得，從而即故從而 設(shè) 故即有定理2.3 如果是v上的線(xiàn)性變換，那么是k次冪等變換。并且如果是k次冪等變換，那么有證明 設(shè)由故有定理2.1可知，故且從而于是設(shè)于是故即再由定理2.1和定理2.2易得 定理3說(shuō)明，如果是v上的

6、k次冪等變換，那么是的k-余子空間【4】，是的余子空間，這正是定義4中把叫做余變換的原因。 定理2.4 n級(jí)矩陣a為最次冪等矩陣。平行地，n維線(xiàn)性空間v上的線(xiàn)性變換為k冪等變換。證明 設(shè)在基下的矩陣為a，則在基下的矩陣為，則由引理2.2又知，：由定理2.3和引理2.2直接得到，：設(shè)即由于故但故由定理3便知，為k次冪等變換，從而a為k次冪等矩陣。 定理2.5 設(shè)a為k次冪等矩陣，則a的任意正整數(shù)次冪也為k次冪等矩陣。平行地，設(shè)為k次冪等變換，則的任意正整數(shù)次冪也為k次冪等變換。 證明 設(shè)m為任意正整數(shù)，。 定理2.6 設(shè)a為k次冪等矩陣，則。平行地，設(shè)為n維線(xiàn)性空間v上的k次冪等變換，則。證明

7、由定理5可知，為k冪等矩陣，故，由引理1得。但顯然，所以。 定理2.7 設(shè)a為k次冪等矩陣，則有。 證明 由定理4得，。由定理6得，。故有。定理8 a是k次冪等矩陣平行地，如果是k次冪等變換。 證明 設(shè)，有，同理得，設(shè)。即，所以a是k次冪等矩陣。3. 可逆n階k次冪等矩陣的性質(zhì)3.1 預(yù)備知識(shí)性質(zhì)3.15 定義3.1 設(shè)a，b，若存在可逆矩陣p，使得，則稱(chēng)a與b相似。 定義3.2 設(shè)a，若存在最小正整數(shù)kn-0，1，使得則稱(chēng)a為n階k次冪等矩陣(簡(jiǎn)稱(chēng)k次冪等矩陣)。若a可逆，則稱(chēng)a為可逆n階k次冪等矩陣。3.2 n階k次冪等矩陣的性質(zhì) 性質(zhì)3.2 可逆n階k次冪等矩陣的轉(zhuǎn)置也是可逆n階k次冪等

8、矩陣。 證明 證明設(shè)a是k次冪等矩陣，則存在最小正整數(shù)kn-0，1)，使得，則。假設(shè)存在mn-0，1且m<k，有則 于是即這與k的最小性發(fā)生矛盾，因此矩陣a與其轉(zhuǎn)置同為k次冪等矩陣，由此可得也是可逆的n階k次冪等矩陣。性質(zhì)3.3 可逆n階k次冪等矩陣的次冪是可逆n階p(pn-0，1，pk)次冪等矩陣。 證明 設(shè)ac 且是k次冪等矩陣，則存在最小正整數(shù)kn-0，1，使得則，由最小數(shù)原理可知，一定存在pn-0，1且pk，使得。因此是p次冪等矩陣。又a是可逆矩陣，則| a |0，而，那么，即是可逆p次冪等矩陣。 性質(zhì)3.4 可逆n階k次冪等矩陣的特征值a是k一1次單位根。 證明 設(shè)a是k次冪等

9、矩陣，則存在最小正整數(shù)kn-0，1，使得。 設(shè)是a的任意一個(gè)特征值，是a的屬于特征值的一個(gè)特征向量，因而有0且，由于則即因?yàn)?o，所以，即=0或a=1，因此，a的特征值為0和k-1次單位根。又根據(jù)可逆矩陣的性質(zhì)可知，可逆k次冪等矩陣的特征值是k-1次單位根。 性質(zhì)3.5 可逆k次冪等矩陣的逆仍是可逆k次冪等矩陣。 證明 設(shè)a是可逆k次冪等矩陣，則存在最小正整數(shù) kn-0，1，使得則有假設(shè)存在m n-0，1且m<k，使得將其兩邊同時(shí)取逆，有于是即。這與最小性矛盾，從而得知 k為使得成立的最小正整數(shù)，因此a的逆是k次冪等矩陣，又a是可逆矩陣，則| a |0，而，即，因此也是可逆k次冪等矩陣。

10、 性質(zhì)3.6 可逆k次冪等矩陣的k-1次是單位矩陣。 證明 設(shè)a是可逆k次冪等矩陣，則存在最小正整數(shù) kn-0，1，使得又a是可逆矩陣，將其左右同乘以，得即因此，可逆k次冪等矩陣的k-1次是單位矩陣。 性質(zhì)3.7 如果可逆k次冪等矩陣a與可逆次冪等矩陣b可交換，則ab是可逆p(pn-0，l，pk-1，-1+1)次冪等矩陣。 證明 由已知，知存在最小正整數(shù)k，n-0，1分別使得因?yàn)閍b=ba，所以取t=k一1，一1(其中a，b表示a，b的最小公倍數(shù))，則均為正整數(shù)。令，從而 又a可逆，為此有于是 根據(jù)最小數(shù)原理，一定存在pn-0，1且pt+1，使得再根據(jù)k次冪等矩陣的定義，可知ab是p次冪等矩陣

11、。又a，b均是可逆矩陣，則|a|0，|b|0，而|ab|=|a|b|，那么|ab|o，即ab是可逆p次冪等矩陣。 推論1 如果是可逆次冪等矩陣且兩兩可交換，則是可逆p(p n-0，1，p一1，1， 一1+1)次冪等矩陣。 證明 由已知，知存在最小正整數(shù)n-0，1( i=1，2，k），分別使得。又因?yàn)閮蓛煽山粨Q，所以 取t=一1，1， 一1(其中a，b， 表示a，b，的最小公倍數(shù))，則均為正整數(shù)。不妨設(shè)。從而又均可逆，為此有于是 即。根據(jù)最小數(shù)原理，一定存在pn-0，1且pt+1，使得再依據(jù)定義有，是p次冪等矩陣。又均是可逆矩陣，則而那么，即是p次冪等矩陣。 性質(zhì)3.8 與可逆k次冪等矩陣相似的

12、矩陣仍為可逆k次冪等矩陣。 證明 設(shè)a是k次冪等矩陣，b是與a相似的矩陣，則存在最小正整數(shù)kn一0，1，使得又由于b與a相似，則存在n階可逆矩陣q，使得，則 假設(shè)存在mn-0，1且m<k ，使得。于是。 即,這與最小性矛盾。從而，得知此k為使得的最小正整數(shù)。所以b也是k次冪等矩陣。又a是可逆矩陣，則則，即因此b也是可逆k次冪等矩陣。 性質(zhì)3.9 任意可逆矩陣a都可以分解成一個(gè)可逆矩陣與一個(gè)2次冪等矩陣的乘積。 證明 因?yàn)閍是可逆矩陣，則存在可逆矩陣p，q使得a=peq，因而a=(pq)(q -1eq)=bc，其中b=pq為可逆矩陣，c=q -1eq，然而c2 =c，即c為可逆2次冪等矩陣

13、。命題得證。 性質(zhì)3.10 設(shè)a是可逆k次冪矩陣與一個(gè)2次冪等矩陣可逆的充要條件m+n0。 證明 因?yàn)閍是k次可逆矩陣，由性質(zhì)6得所以 則有(m+n)e可逆的充要條件是m+n0，即可逆的充要條件是m+n0。 性質(zhì)3.11 已知a是數(shù)域f上可逆矩陣，則存在mn-0，使得的充要條件是a是p(pn-0，1，pm+1)次冪等矩陣。 證明 充分性：因?yàn)閍是p次冪等矩陣，則存在最小正整數(shù)pn一0，l，使得。又a是可逆矩陣，將上式左右同乘以，即得，此時(shí)令m=p-1，即有，也就是存在mn-0，使得 必要性：因?yàn)榇嬖趍n-0，使得將其左右同乘以a，有。由最小數(shù)原理可知，一定存在pn-0，1且pm+1，使得，所以

14、a是p次冪等矩陣。命題得證。 性質(zhì)3.12 若a為可逆k次冪等矩陣，則a的全體實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的不超過(guò)k-1維線(xiàn)性空間。 證明 因?yàn)閍為可逆k次冪等矩陣，由性質(zhì)6知(kn-0，1)，那么等價(jià)于。又因?yàn)榈闹刃∮诘扔趉-1，故a的全體實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的不超過(guò)k-1維的線(xiàn)性空間。3.3 小結(jié) 本文在可逆冪等矩陣的有關(guān)概念與性質(zhì)的基礎(chǔ)上，把一般矩陣的性質(zhì)推廣到特殊的可逆n階k次冪等矩陣，極大的豐富了代數(shù)這門(mén)課的內(nèi)涵，推廣了可逆冪等矩陣研究的相關(guān)理論。至于這種推廣的理論與實(shí)際應(yīng)用價(jià)值如何，其他科學(xué)研究將產(chǎn)生何種影響，還有待科研工作者進(jìn)一步探索與發(fā)掘。4. 冪等矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)型與分解形式

15、4.1 冪等矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)型 對(duì)角矩陣可以認(rèn)為是形式最簡(jiǎn)單的一種矩陣，對(duì)角矩陣的特征值就是其主對(duì)角線(xiàn)上的全部元素，對(duì)角矩陣的秩就等于主對(duì)角線(xiàn)上非零元素的個(gè)數(shù)。接下來(lái)我們以?xún)绲染仃嚨奶卣髦禐榫€(xiàn)索，探求冪等矩陣的具有對(duì)角形式的相似標(biāo)準(zhǔn)型。 定理4.1 若n階方陣a為冪等矩陣，并且a的秩r(a)=r，則存在可逆矩陣p使得 。 證明 在n維線(xiàn)性空間v中任取一組基，定義線(xiàn)性變換在基下的矩陣為a。即 假設(shè)其中x0，則由，得，所以?xún)绲染仃囂卣髦禐閘或0。由于矩陣a的秩r(a)=r，故a的n個(gè)特征值中有n個(gè)l以及n-r個(gè)0，則其特征多項(xiàng)式：從而y可以分解為特征子空間的和： 先在特征子空間取一組基，然后在特征子

16、空間取一組基屆，則就是v的一組基，顯然這就是說(shuō) 由于線(xiàn)性變換在不同基下的矩陣都是相似的，因此存在可逆矩陣p使得 此時(shí)，我們也稱(chēng)為冪等矩陣a的相似標(biāo)準(zhǔn)型。值得指出的是，根據(jù)harniltoncaylay定理，線(xiàn)性空間可以分解為特征子空間的和： 其中恰好構(gòu)成了線(xiàn)性空間v的值域恰好構(gòu)成了線(xiàn)性空間v的核 根據(jù)冪等矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)型，冪等矩陣可以具體分為以下三種類(lèi)型，并且，其中除了單位矩陣，其他類(lèi)型的冪等矩陣都是不可逆的。 當(dāng)r=0時(shí)，即a為零矩陣； 當(dāng)r=n時(shí)，即a為單位矩陣； 當(dāng)0<r<n時(shí)，。 4.2 冪等矩陣的秩和跡 矩陣的秩和跡，是描述矩陣的兩個(gè)基本數(shù)字特征，冪等矩陣的秩與跡之間還有

17、如下的重要關(guān)系。 定理2：設(shè)n階方陣a為冪等矩陣，則a的秩恰好等于它的跡，即 證明：設(shè)a為冪等矩陣，且其秩r(a)=r，則a存在可逆矩陣p使得 根據(jù)矩陣的秩的基本性質(zhì)，可知 與此同時(shí)，考慮到矩陣的特征方程中特征根與系數(shù)的關(guān)系，可知 所以 4.2 冪等矩陣的分解形式 眾所周知，任意可逆n的階實(shí)矩陣m都可以分解為一個(gè)正交矩陣和一個(gè)上三角矩陣的乘積：m=qt，其中q為正交矩陣，t為上三角矩陣【18】。受此啟發(fā)，我們來(lái)探究?jī)绲染仃囋诰仃嚪纸庵械淖饔谩?定理3：任意n階方陣m的都可以分解為一個(gè)可逆矩陣與一個(gè)冪等矩陣的乘積，即 其中 證明：假設(shè)n階方陣m的秩r(m)=r，則存在可逆矩陣p與q使得從而如果令

18、則，其中定理4：若n階方陣a為冪等矩陣，則可以分解為兩個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣的乘積，即其中證明：根據(jù)冪等矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)型，存在可逆矩陣p，使得如果令那么，其中4.5 結(jié)束語(yǔ)我們以?xún)绲染仃嚨奶卣髦禐榫€(xiàn)索，相對(duì)系統(tǒng)地研究了它的一些基本性質(zhì)。具體說(shuō)來(lái)，冪等矩陣存在著對(duì)角形式的相似標(biāo)準(zhǔn)型，冪等矩陣的秩恰好等于它的跡，任意方陣都可以分解為一個(gè)可逆矩陣與一個(gè)冪等矩陣的乘積，冪等矩陣可以分解為兩個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣之積的形式。5.數(shù)量?jī)绲染仃嚨囊恍┲鹊仁?.1 預(yù)備知識(shí)設(shè)為復(fù)數(shù)域c上所有矩陣集合，為c上m×m可逆矩陣集合。r(a)為矩陣a的秩，用i表示適當(dāng)階數(shù)的單位矩陣，為正整數(shù)集合。表示復(fù)數(shù)a(c)的模。當(dāng)時(shí)，稱(chēng)p為

19、冪等矩陣。文獻(xiàn)15，16得到了很多冪等矩陣的秩等式冪等矩陣p與q的換位子pqqp的秩等式是由文獻(xiàn)15引入討論的(文獻(xiàn)17也稱(chēng)pqqp為lee product)當(dāng)r是環(huán)的時(shí)候，稱(chēng)為r上的jordan積【17】引言，因此文獻(xiàn)18稱(chēng)ab+ba為矩陣a與b的jordan積。文獻(xiàn)15，16等都得到了冪等矩陣p與q的jordan積的秩等式。定義5.1 設(shè)，如果有復(fù)數(shù)使，則稱(chēng)p是數(shù)量?jī)绲染仃嚒?在定義5.1中當(dāng)時(shí)，p就是通常的冪等矩陣；當(dāng)時(shí)，p是文獻(xiàn)20和21中所說(shuō)的斜冪等矩陣應(yīng)用這類(lèi)矩陣與通常的冪等矩陣的密切關(guān)系，文獻(xiàn)15110給出命題5.1 設(shè)數(shù)量?jī)绲染仃嚌M(mǎn)足則 （1） （2） （3） （4） 由定義5

20、.l知數(shù)量?jī)绲染仃噋，q與滿(mǎn)足的數(shù)量有重要的聯(lián)系，文獻(xiàn)15以命題5.1形式給出的與數(shù)量有關(guān)的秩等式是合理的。在命題5.1中取，就可得到文獻(xiàn)15，16關(guān)于冪等矩陣的p，q和，差，換位子和jordan積的秩等式。由定義1知數(shù)量不同的選取，一般的說(shuō)，確定的是不同的數(shù)量?jī)绲染仃噋，q。引理5.1【15】110 設(shè)數(shù)量?jī)绲染仃嚌M(mǎn)足則引理5.2 設(shè)是冪等矩陣，是非零復(fù)數(shù)；則引理5.3 設(shè)數(shù)量?jī)绲染仃嚌M(mǎn)足，則是冪等矩陣且 （5）證明由文1110頁(yè)知是冪等的，從定義1得，逐步歸納可得到(5)。 引理5.4 設(shè)數(shù)量?jī)绲染仃?，滿(mǎn)足則（6）（7）證明：設(shè)，顯然，且 因?yàn)榉謮K的初等變換不改變矩陣的秩，所以 （8）從和因此， (9)這樣從（7）和（9）可得（6）左邊的秩等式，進(jìn)而可得這說(shuō)明（6）的秩等式成立設(shè)，顯然此時(shí)，即有 (10)由 ，和即有